九章算术 学案 (1)

《九章算术》
一、自学目标：通过本专题的学习，了解《九章算术》的主要内容。
二、自学内容提炼
（一）知识梳理：
1、《九章算术》的主要内容
第一章“ ”
主要论述了各种平面几何图形面积的地亩面积算法及分数的运算法则。平面图形有方田——长方形田地、圭田——三角形田地、斜田——直角梯形田地、箕田——等腰梯形田地、圆田——圆形田地、弧田——弓形田地、环田——圆环或环缺形田地的面积算法。分数运算法则包括 术——约分与通分、 术——分数加法、 术——分数减法、 术——两个分数的大小比较、 术——求几个分数的算数平均、
乘分术——分数乘法、经分术——分数除法、 术——带分数除法。
第二章“ ”
该章主要论述了20种粮食及其成品如稻、米、麦、面等之间的兑换比率及四项 算法。四项比例算法当时称为“今有术”，其计算方法是：所求数=（所有数×所求率）/所有率，这里，所求率、所有率、所有数与所求数是比例算法的四个专用名词。例：已知麦与米的比率是3:2，现有麦60斤，问能兑换大米多少斤？
所有率是麦子的比率3，所求率是大米的比率2，所有数是是已有麦子的斤数，
所求数就是欲求的大米斤数，
所以 能兑换大米的斤数=（60×2）÷3=40（斤）
第三章“ ”
主要论述分配比例算法，其中问题多与商业、手工业及社会制度有关。
例：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士五人，共借得五鹿，欲以爵次分之，问个几何？”
大夫、不更、簪褭、上造、公士是五种官爵，其分配原则是“位高者多得，位卑者少得”，故按大夫5、不更4、簪褭3、上造2、公士1的比率分配
所以
大夫得5÷（1+2+3+4+5）×5= (头)
不更得4÷（1+2+3+4+5）×5= (头)
簪褭得3÷（1+2+3+4+5）×5=1(头)
上造得5÷（1+2+3+4+5）×5= (头)
公士得5÷（1+2+3+4+5）×5= (头)

第四章“ ”
主要成就包括开平方、开立方的算法。用来求已知面积、体积，反求其一
边和径长等。
第五章“ ”
主要论述各种立体图形的体积算法，其中包括柱、锥、台、球体等内容涉及筑城、修堤、开渠粮垛等施工方面的计算问题。
第六章“ ”
主要论述较为复杂的配方比例问题，其中最引人注目的是“均输数”。主要解决按人口多少、路途远近、谷物贵贱等条件，平均缴纳赋税或摊派徭役等实际问题，这很类似于条件极值问题。
第七章“ ”
主要论述盈亏问题的解法。
盈不足的典型问题是：若干人共买一物，若每人出钱，则多出钱；若每人出（<）钱，则又不足钱，求人数与物价，《九章算术》给出的方法相当于公式：人数=（+）/(-)
物价=（+）/(-)
这一方法除了对于线性问题给出精确的解外，也为非线性问题提供了一个有效的近似解法。
第八章“ ”
主要研究线性方程组的解法，其基本思想是消元。在解方程组时，将方程组的系数（包括常数）分离出来排成一个数表，相当于现在线性代数中的增广矩阵，然后通过类似于矩阵初等变换的方法消元。这一思想方法在数学发展史上是非常重要的，在西方被称为“高斯消去法”。
该章的另一个重点就是对负数的概念、运算进行了研究。在解方程的过程中，由于无法回避被减数小于减数的情况出现，所以《九章算术》提出了“以正负数入之”，即引入负数及其运算法则：
“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”
即两数相减时，同号则绝对值相减，异号则绝对值相加，正数减零为负数，负数减零为正数；两数相加时，同号则绝对值相加，异号则绝对值相减，正数加零为正数，负数加零为负数。
9. 第九章“ ”
主要讨论有关勾股问题的解法，并论及简单的勾股测量。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则，m>n。
（二）特点：
《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从 发展起来的；以 、 为主，很少涉及 性质；重视 ，缺乏 等。
（二）典例选讲
例：上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，下等禾谷一捆，，共出粮三十九斗；上等禾谷二捆，中等禾谷三捆，下等禾谷一捆，，共出粮三十四斗；上等禾谷一捆，中等禾谷二捆，下等禾谷三捆，，共出粮二十六斗。问上中下等禾谷每捆出粮各多少？
设上、中、下等禾谷每捆出粮分别为x、y、z斗，则有
《九章算术》给出的表示方法相等于下列矩阵

即上等禾谷每捆出粮斗，中等禾谷每捆出粮斗，下等禾谷每捆出粮斗。
（三）提出疑点和解决
请根据你所学的知识和查阅的资料，比较《几何原本》和《九章算术》。
答：如果要找两部在世界上流传最久的古代数学著作，那就是希腊的《几何原本》与中国的《九章算术》，它们都是世界数学史上极为珍贵的文献，分别在西方和东方的数学发展中产生过深远影响．但两书是各有特色的，从中可以看出东、西方数学的差异．
①在指导思想上，《九章算术》是把数学当作工具来用的．全书246题，几乎都是与生产、生活实际有关的应用问题，这说明作者在研究数学时，是以应用为目的，不大重视数学体系自身的完善．而《几何原本》则正好相反，全书没有一道应用题，全是“纯粹”的数学问题，表现出作者追求数学自身完善，“为数学而数学”的思想．
②从体例上来看，《九章算术》以术文统御习题，以计算为中心；《几何原本》则是一个演绎体系，以证明为中心．
③在几何研究方面，《九章算术》把重点放在几何量的研究上，把大量算术及代数知识用于长度、面积和体积计算；《几何原本》则把重点放在图形性质及相互关系的研究上，采用的是比较纯粹的几何方法．
总的来说，《九章算术》与《几何原本》相比，前者以实用性、计算性见长，后者以逻辑性、抽象性取胜．当然，《几何原本》对近代数学发展所起的作用无疑超过《九章算术》，因为它那种逻辑演绎体系更适合于近代数学．但《九章算术》在世界数学史上的地位也是不应忽视的．