九章算术 学案 (2)

《九章算术》
一、自学目标：通过本专题的学习，了解《九章算术》的主要内容。
二、自学内容提炼
（一）知识梳理：
1、内容
在《九章算术》中的九部分内容,具体如下:
“ ”章.
来自于田亩丈量与分配的需要.它提出了完整的 运算法则,以及多边形, ,弓形等的 公式.
“ ”章.
来自以易物与交换的需要.以 交换为例.提供了各类比例的算法.
“ ”章.
来自于不同等级的分配需要.它提供了的 的法则和 问题的处理方法.
“ ”章.
来自于田,地的计算需要.它提出了分数以完整地 , 的程序.
“ ”章.
来自于土木工程与水利建设的需要.它讨论了多种立体 公式与工程分配问题.
“ ”章.
来自于官方摊派劳役和税收的需要。它提供了解决赋役中的合理分担及 等问题，以及西汉当时社会实际的算术问题。
“ ”章。
来自于两预设答案求解二元问题的特殊需要。它给出的是解决 问题。
“ ”章。
讲的是 方程组的解法，以及给出了 数的加减法则。
“ ”章。
提出了 定理，解勾股形及若干侧高望远等问题。
2、《九章算术》的数学贡献
①算术方面
①
《九章算术》中有比较完整的 计算方法，包括四则运算、通分、约分、化带分数为假分数（我国古代称为通分内子，“内”读为纳）等，其中“约分术”给出了求分子、分母最大公约数（中国古代数学家称最大公约数为“等数”）的“更相减损”法，与欧几里得的《原本》中给出的方法是一致的。
② 算法
在《九章算术》的第二、三、六等章内，广泛地使用了各种 解应用问题。 我国古代数学家刘徽就用“今有术”作为这类比例问题解法的专用名词。
《九章算术》中另一个常用的比率算法是“ 术”，所谓“ ”就是差分，比例分配的意思，是古代处理分配问题的一种方法，另外还有“ ”章则运用比例分配解决粮食运输负担的平均分配。
③ 术
“ ”术是以盈亏类问题为原型，通过再次假设来求繁难算术问题的解的方法。答曰：“七人，物价五十三”。《九章算术》给出了求解公式。
一些其他的算术问题也可以通过两次假设未知量的值转换为盈不足问题。《九章算术》就用这种方法解决了许多不属于盈不足的问题。因此盈不足是一种创造，在中国古代算法中占有重要的地位。盈不足问题后来传到阿拉伯国家，称为“契丹算法”，受到特别的重视，中世纪传到欧洲，称为“双设法”。
②代数方面
《九章算术》在代数方面的成就具有世界先进水平。主要包括以下三个方面：
① 术。
《九章算术》在代数上的第一个贡献是引进负数，这是数系扩充的一个重大进展，并给出了对正、负数进行加减运算的正确法则，《九章算术》之后，魏晋时期的数学家刘徽对负数的出现就作了很自然的解释：“两算得失相反，要令正负以名之”，并主张在筹算中用红筹代表正数，黑筹代表负数。
② 术。
《九章算术》中讲到开平方、开立方的方法，计算步骤和现在的基本一样。本质上是一种减根变换法，开创了后来开更高次方和求高次方程数值解之先河。《九章算术》开方术实际上包含了二次方程x2+bx=c的数值求解程序。特别令人惊异之处，是指出了存在有开不尽的情形。“若开之不尽者，为不可工”，并给这种不尽根数起了一个专门的名字—“面”。
③ 术
《九章算术》“ ”一章主要讲多元一次联立方程组及其解法， 其解法实质上就是“高斯消元法”，欧洲到17世纪才出现。在《九章算术》中有一题是“五家共井”问题，把它化为联立方程问题，则得到一个含五个方程，六个未知数的方程组，这是世界上最早的不定方程组。《九章算术》 术，是世界数学史上一颗明珠。
③几何方面
《九章算术》中包含大量的几何知识，分布在“方田”、“商功”和“勾股”各章，“方田”章讲面积计算，“商功”章讲 计算，“勾股”章讲勾投定理的应用。
《九章算术》中的几何问题具有很明显的实际背景，如面积问题多与农田测量有关，何种问题则主要涉及工程土方计算。各种几何图形的名称就反映着它们的现实来源。如平面图形有：“方田（正方形）”、“直田（矩形）”等。《九章算术》中给出的所有直线形的面、体积公式都是准确的。
《九章算术》方田章“圆田术”圆面积公式 是正确的，但以3为圆周率，失诸粗疏。
与欧几里得《原本》中将代数问题几何化的做法相反，《九章算术》将几何问题算术化和代数化。
3、《九章算术》思想方法的体例及特点
《九章算术》共分九章，每一章都包括若干道问题，共计有 道题。每道问题后给以答案，一些问题后给出“ ”，即解题的方法。通过这种形式，对我国古代数学作了总结和发展，代表了中国古代数学的基本思想方法．它具有如下的特点。
①开放的归纳体系
《九章算术》是按着当时社会实践所需要解决的问题来分类的，每一类(一章)中设置若于个实际问题，每个问题都给出答案，并提供有关的算法。由于实际问题是从具体的东西开始研究，所以是一个归纳的体系——从个别的问题到一般的算法。又由于是按当时社会实践所需要解决的问题来分类的，那么社会实践的发展必然向数学提出新的问题来，那也就必然会直接促进数学的发展，数学的发展直接来自社会实践中的问题，所以是一个开放的体系。整个中国古代数学思想都具有这个特点，《九章算术》是它的一个典型代表。
《九章算术》是一个按应用问题性质归纳分类的开放性的理论体系。《九章算术》的开放性、应用性的数学思想也是近代数学思想发展的一大源泉。考察现代应用数学体系，也正是按应用方向或主要采用的数学模型分类的。
②算法化的内容
《九章算术》的结构特点：按应用方向或主要应用的数学模型把全书划分为若干章，在每一章内举出若干个实际问题，对每个问题都给出答案，然后给出这一类问题的算法。《九章算术》中称这种算法为“术”，按“术”给出的程序去做就一定能求出问题的答案来。历来数学家对《九章算术》的注、校基本上都是在“术”上作文章，即不断改进算法。
算法化的内容是完全适合于开放性的归纳体系的。这种体系首先就是要解决实际问题。要迅速地解决问题，最好的方法莫过于给出一个算法。
还应该特别指出，《九章算术》的算法化内容是与算筹的发明和应用分不开的。据专家估计，至迟在公元前5世纪，算筹就已开始使用了。
③模型化的方法
从方法论的角度来看，《九章算术》广泛地采用了模型化方法。它在每一章中所设置的问题，都是在大量的实际问题中选择具有典型性的现实原型，然后再通过“术”(即算法)转化成数学模型。其中有些章就是探讨某种数学模型的应用的——其章的标题也就是。这种数学模型的名称，如“勾股”、“方程”等章。“衰分”、“少广”等章也是由数学模型开始的。
模型化的方法与开放性的归纳体系及算法化的内容是相适应的。模型法的各个模型之间当然也有一定的联系，但它们有较大的独立性，一个模型的建立并不太严格地依赖于其他模型，因此随时都可以由实践中提炼出新的模型。在这种体系里，算法是适合一定的模型的，因此，算法化的内容与模型化的方法是分不开的，只有采用了数学模型方法才能得到有关的一类问题的算法，这在现代计算理论中也是一个确定不移的原则。
4、《九章算术》的优点
1、从总体上看，《九章算术》有其完整地结构，符合逻辑，自成一般的理论体系。
2、从《九章算术》的算法安排的顺序来看，把正整数和正分数的四则运算，结合面积的计算，放在开头，作为全书理论的基础；接着是正比例、配分比例、混合比例、开方、体积计算等算术运算和几何计算方法；其后是二元一次方程组（双假设法）多元一次方程组的矩阵变换解法，并引入负数及其加减运算法则；最后是勾股测量术。算法从低级到高级，由简单到复杂，前面的算法是后面的算法则是前面算法的发展和推广，层次清楚，联系紧密，形成一个比较完整的理论体系。
3、从一章中问题的安排来看，也是由简到繁，彼此相关，符合逻辑。
因此，他便于人们学习和应用。
（二）典例选讲
《九章算术》中的“勾股定理”
《九章算术》以前虽然已经有了勾股定理，但主要是在天文方面的应用．在《九章算术》中已经用得很广，而且在勾股章一开始就先讲了勾股定理及其变形，前三个题的“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦．又股自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即勾．又勾自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即股”．
如果以a、b、c各表示直角三角形的勾、股、弦．则上述三句话即相当于：
因此，勾股术可以理解为已知直角三角形两边推求第三边的方法．
刘徽在注文中，曾对勾股定理用出入相补原理来论证这一定理，可惜所绘的弦图早已散失，没有能够和注文一起留传下来．
《九章算术》勾股章除了勾股定理及其变形的三个题以及涉及勾股容方、容圆各一题以外，其余十九个题全是应用问题．
例如勾股章第六题“今有池方一，葭(音jia，一种芦苇类植物)生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何．”“答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺．”
术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之，余，倍出水除之，即得水深、加出水数，得葭长”．
如图所示，设池方为2a，水深为b，葭长为c，
现代解法：设水深为x尺，则葭长为x+1，
按题意由勾股定理，得 52+x2=(x+1)2．
整理，得 2x=52-12，∴x=12．
两种解法相比较，可见实质解法步骤完全一致．
印度古代有著名的“莲花问题”，其中除了只有数据与《九章算术》的“葭生中央问题”不同以外，其余完全相同．但要比中国《九章算术》晚了一千多年．
（三）提出疑点和解决