大衍求一术 学案

大衍求一术
一、自学目标：通过本专题的学习，了解大衍求一术的解题思路。
二、自学内容提炼
（一）知识梳理：
我国著名数学家 ，在前人开方法的基础上提出了“正负开方术”，并系统的应用到有理或无理根的求解上，其成果比西方同类解法早近600年。除此之外他最著名的成就之一是给出了一次同余式组的完整解法程序。 术就是其中之一。
秦九韶在《 》“ ”题的基础上，提出了“大衍求一术”及“大衍总数术”分别解决模数两两 及 的情况，从而完整的解决了 的问题。
讨论多个同余式的联立求解问题：
其中问题的原始数据是来源于生活实践，其情况复杂多样。大衍总数术分为三大步骤：
步骤一：将问题数据标准化，即把非两两互素的模数化为两两互素，把一组问数{ }化为满足下列条件的{ ai}：
（三） 定理
秦九韶的算法非常严密，但他并没有对大衍术的算法给出证明。到18、19世纪欧拉（1743）和高斯（1801）分别对一次同余式组进行了详细研究，重新独立地获得了与秦九韶“大衍术”相同的定理，并对模数两两互素的情形给出了严格证明。高斯的成果是最完整的，他还解决了模不是两两互素时的情形。1876年德国人马蒂生首先指出秦九韶的算法与高斯的算法是一致的，因此关于这一算法被称作“ 定理”。
（二）典例选讲
N=8(mod 15)=5(mod 8)=13(mod 25)
求“定数”：化15、8、25为3、8、25，其中要满足3、8、25两两互素，
3×8×25的最小公倍数，且3|15，8|8，25|25，
从而使原问题转化为 N=3(mod 3)=5(mod 8)=13(mod 25)
求“衍母”：M=3×8×25=600
求“衍数”：
求“奇数”：
求“乘率”：

（三）提出疑点和解决