中国古代数学家 教案 (3)

中国古代数学家
教学目标分析：
1、了解几位中国古代数学家的数学贡献。
2、培养学生主动学习的习惯，积极探索解决问题的良好习惯
3、激发学生的学习热情，培养积极进取的精神
重难点分析：
重点：了解刘微和祖冲之父子的数学贡献。
难点：理解割圆术。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一、古代数学家
以勤劳、智慧著称于世的我国，在古代数学发展的历史长河中涌现了许多杰出的数学家，为推动数学发展做出了彪炳千古的贡献。赵爽、刘徽、祖冲之等是其中的佼佼者，他们的丰功伟绩值得我们崇敬，他们百折不挠的治学精神值得我们学习.
中国古代数学家
秦九韶的“大衍求一术”
李冶的“天元术”
朱世杰的“四元术”
杨辉的高阶等差级数公式，这些成就领先于欧洲400至600年
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刘徽“割圆术”中的极限思想；
我国古代数学家祖冲之在计算圆周率的巨大历史意义；
祖暅继承和完善前人对球体积的推导提出了截面原理“祖氏原理”.
二、刘徽与割圆术
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1、割圆术
《九章算术》是用经文在竹简写成的，历代学者对它进行校订与注释，特别是魏晋刘徽注，使它精湛博大的数学理论和光彩夺目的数学思想方法成为中华数学瑰宝和世界数学经典名著.因此刘徽是继希腊泰勒斯后，世界论证数学的杰出代表之一.
刘徽是中国古代数学理论的奠基人.他的主要贡献：创造了割圆术，运用朴素的极限思想计算圆面积及圆周率；建立了重差术；重视逻辑推理，同时又注意几何直观的作用.其中割圆术对中国古算的影响尤其深远.
《九章算术》中关于求圆面积的古法“周三径一”是不精确的，刘徽在方田章的“圆田术”中用割圆术计算圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元.
他首先肯定圆内接正多边形的面积小于圆的面积将边数屡次加倍，从而面积增大，边数越多则正多边形的面积越接近圆面积.
刘徽的“割圆术”
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.
极限方法
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刘徽计算到192边形，求得3.1416，含有极限思想.
从刘徽割圆术看出，他明确地多次使用了极限思想，并采取了对面积进行无穷小分割，然后求其极限状态的和的方式解决圆面积问题的方法.
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这说明刘徽头脑中已经有了朴素的积分思想的萌芽.他是中算史上第一个建立可靠的理论来推算圆周率的数学家.
评价：古希腊穷竭法与古代中国的割圆术极相似，刘徽的割圆术比古希腊晚几百年，但他的成就超过了和他同时代的数学家. 首先，阿基米德的不等式既要用到圆的内接正多边形又要用到圆的外切正多边形，而刘徽的不等式只需用圆内接正多边形；其次，当时我国已使用十进位值记数，并且算筹技术十分发达，乘方、开方都能迅速完成数字计算比古希腊人要容易的多.
2、牟合方盖
刘徽看出《九章算术》中的球体积公式是错误的，为正确计算球的体积，他创造了一个新的立体图形——“牟合方盖”.
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八分之一个牟合方盖图形
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完整的一个牟合方盖图形
在一个正方体内作两个互相垂直内切圆柱，这两个圆柱的公共部分是牟合方盖.
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刘徽指出，每一个高度上的水平截面圆与其外切正方形的面积比都为，因此球体积与牟合方盖的体积之比也是
这就是西方的“卡瓦列利原理”.
评价：刘徽没能把它总结为一般形式并且未能求出“牟合方盖”的体积.但他创立的特殊形式的不可分量方法却为后人解决球的体积问题指明了方向.
三、祖冲之和祖暅
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南北朝祖冲之（429－500）及其子祖暅计算了圆内接正6144边形和正12288边形的面积，得出π＝3.1415926～3.1415927求出精确到第七位有效数字的圆周率，领先世界达千年之久。
祖冲之的杰出成就，主要在天文历法、机械和数学三方面。祖冲之之子祖暅也是一个博学多才的人并子承父业，他的成就也是在历法和数学方面。
“密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五；约率：圆径七，周二十二.”
——《隋书·律历志》
密率：
约率：
约率早已被阿基米德所知，但密率却是一项史无前例的创举。密率，为纪念祖冲之的首创之功，“密率”因此又被称为“祖率”.
曾经困扰刘徽的球体积问题到祖冲之时代获得了突破。这个正确结果记载在《九章算术》“开立圆术”之李淳风注中，称为“祖暅之开立圆术”。
祖暅对球体积的推导也遵循了刘徽的方法，具体做法是，先取牟合方盖的八分之一考虑它的外切正方体，它把这个正方体又分出三个小立体，牟合方盖的八分之一部分称为“内棋”，三个小立体称为“外棋”.
三外棋的体积之和等于一个长宽高皆为立方体边长的四棱锥的体积.
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根据上述分析可知：
，所以：
又根据刘徽的结论可知：
即
在推导球体积问题上，刘徽与祖暅各完成了任务的一半，刘徽确定了“牟合方盖”之形，指明了努力的方向，而祖暅则算出了“牟合方盖”的体积。从而得到了正确的球体积公式。
小结：本节介绍了中国古代几位著名的数学家
①刘微：作《九章算术注》，在算术、代数、几何等方面的杰出贡献．如齐同术、改进方程组的解法和割圆术
②祖冲之父子：圆周率、祖暅原理与球体积公式
③张丘建的《张丘建算经》以及王孝通和他的《缉古算经》