中国古代数学家 教案 (1)

中国古代数学家
教学目标分析：
1、了解几位中国古代数学家的数学贡献。
2、培养学生主动学习的习惯，积极探索解决问题的良好习惯
3、激发学生的学习热情，培养积极进取的精神
重难点分析：
重点：了解刘微和祖冲之父子的数学贡献。
难点：理解割圆术。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一、刘微
（一）简介
刘徽是中国古代最伟大的数学家之一．
　　他是三国时代魏国人，籍贯山东，生卒年不详，约死于西晋初年．刘徽出身平民，终生未仕，被称为“布衣”数学家．
　　刘徽在童年时代学习数学时，是以《九章算术》为主要读本的，成年后又对该书深入研究，于公元263年左右写成《九章算术注》，刘徽自序说：“徽幼习《九章》，长再详览．
　　观阴阳之割裂，总算术之根源．探赜之暇，遂悟其意，是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注．”刘徽在研究《九章算术》的基础上，对书中的重要结论一一证明，对其错误予以纠正，方法予以改进，并提出一些卓越的新理论、新思想．《九章算术注》是刘徽留给后世的十分珍贵的数学遗产，是中国传统数学理论研究的奠基之作．
　　刘徽还著有《重差》一卷，专讲测量问题．他本来把《重差》作为《九章算术注》的第十卷，唐代初年改为单行本，并将书名改作《海岛算经》，流传至今．
　　从刘徽著作来看，他学风严谨，实事求是，而且富于批判精神，敢于创新，理论研究相当深入，堪称数学史上的一代楷模．
（二）著作——《九章算术注》
　　1．算术
　　(1)十进分数
　　刘徽之前，计算中遇到奇零小数时，就用带分数表示，或者四舍五入．刘徽首创十进分数，用以表示无理根的近似值．这种记数法与现代 刘徽用忽来表示，但a后各位就不必再命名了，刘徽称它们为“微数”，说：“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母．退之弥下，其分弥细．”这种方法，与我们现在开平方求无理根的十进小数近似值的方法一致，即
　　
　　其中a1，a2，…，an是0至9之间的一位整数．
　　(2)齐同术
　　《九章算术》中虽有分数通分的方法，但没有形成完整理论，刘徽提出齐同术，使这一理论趋于完善．他说：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同．”又进一步提出通分后数值不变的理论依据，即“一乘一除，适足相消，故所分犹存“法实俱长，意亦等也”．前句话的意思是，一个分数用同一个(非零)数一乘一除，其值不变；后句话的意思是，分数的分子、分母扩大同一倍数，分数值不变．刘徽指出，“同”即一组分数的公分母，“齐”是由“同”而来的，是为了使每个分数值不变．另外，刘徽还将齐同术引而伸之，用来解释方程及盈不足问题．
　　2．代数
　　(1)对正负数的认识
　　《九章算术》成书后，正负数的运算越来越广泛，但究竟应该如何认识正负数，却很少有人论及．刘徽在《九章算术注》中首次给出正负数的明确定义：“今两算得失相反，要令正负以名之．”就是说以正负数表示得失相反的量．他还进一步阐述正负的意义：“言负者未必负于少，言正者未必正于多．”即负数绝对值未必少，正数绝对值未必大．另外，他又提出筹算中表示正负数的两种方法：一种是用红筹表正数，黑筹表负数；再一种是以算筹摆法的正、斜来区别正、负数．这两种方法，对后世数学都有深远影响．
　　(2)对线性方程组解法的改进
　　《九章算术》中用直除法解线性方程组，比较麻烦．刘徽在方程章的注释中，对直除法加以改进，创立了互乘相消法．例如方程组
　　
　　刘徽是这样解的：
　　(1)×2，(2)×5，得
　　
　　(4)-(3)，得
　　21y＝20(下略)．
　　显然，这种方法与现代加减消元法一致，不过那时用的是筹算．刘徽认为，这种方法可以推广到多元，“以小推大，虽四、五行不异也．”他还进一步指出，“相消”时要看两方程首项系数的同异，同则相减，异则相加．刘徽的工作，大大减化了线性方程组解法．
(3)方程理论的初步总结
　　刘徽在深入研究《九章算术》方程章的基础上，提出了比较系统的方程理论．刘徽所谓“程”是程式或关系式的意思，相当于现在的方程，而“方程”则相当于现在的方程组．他说：“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之．并列为行，故谓之方程．”这就是说：“有两个所求之物，需列两个程；有三个所求之物，需列三个程．程的个数必须与所求物的个数一致．诸程并列，恰成一方形，所以叫方程．”这里的“物”，实质上是未知数，只是当时尚未抽象出未知数的明确概念．定义中的“皆如物数程之”是十分重要的，它与刘徽提出的另一原则“行之左右无所同存”，共同构成了方程组有唯一组解的条件．若译成现代数学语言，这两条即：方程个数必须与未知数个数一致，任意两个方程的系数不能相同或成比例．刘徽还认识到，当方程组中方程的个数少于所求物个数时，方程组的解不唯一；如果是齐次方程组，则方程组的解可以成比例地扩大或缩小，即“举率以言之”．
　　对于方程组的性质，刘徽总结出如下诸条：“令每行为率”，即方程各项成比例地扩大或缩小，不改变方程组的解；“每一行中，虽复赤黑异算，无伤”，即方程各项同时变号，不改变方程组的解；“举率以相减，不害余数之课也，即两方程对应项相减，不改变方程组的解．很明显，刘徽对于线性方程组的初等变换，已经基本掌握了．不过，他没有考虑交换两个方程的位置，因为不进行这种变换亦可顺利求出方程组的解，而且调换算筹的位置是不方便的．
　　3．几何
　　(1)割圆术
　　刘徽以前，一般采用周三径一的圆周率，这是很不精确的．刘徽在《九章算术注》中指出：周三径一的数据实际是圆内接正六边形周长和直径的比值，不是圆周与直径的比值．他认为圆内接正多边形的边数越多，其面积就越接近圆面积．他从这一思想出发，创立了科学的求圆周率方法---割圆术．具体来说，就是以1尺为半径作圆，再作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，依次算出内接正六边形、正12边形乃至正192边形的面积．刘徽之所以选半径为1，是为了使圆面积在数值上等于圆周率，从而简化运算．他利用公式
　　
　　(ln为内接正n边形边长，S2n为内接正2n边形面积)来求各正多边形面积．至于正多边形边长，他是反复利用勾股定理来求的．例如，由以下三式即可求得正12边形边长(图4．14)：
　　　
　　TR＝OR-OT，
　　
　　
后，便根据
　　S192＜S＜S192＋(S192－S96)
　　
　　刘徽舍弃分数部分，取圆面积为314平方寸，从而得到π＝3．14、这种方法可以求得任意精度的圆周率近似值，刘徽对这一点是很清楚的．不过，他根据当时的需要，运算中只取到两位小数．
　　割圆术的创立是数学史上的一件大事．古希腊的阿基米德(Archimedes，公元前287---前212)也曾用割圆术求圆周率，他的方法是以圆内接正多边形和外切正多边形同时逼近圆，比刘徽的方法麻烦一些．刘徽的成就晚于阿基米德，但是独立取得的．
　　(2)几何定理的证明
　　刘徽采用出入相补原理，证明了《九章算术》中许多几何公式和定理．例如，他在证明三角形面积公式时，思路如下：把三角形的高h二
　　自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂．”可惜的是原图失传，所以不知刘徽怎样“出入相补”．
　　刘徽在研究立体几何时，发现“邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．即“过对角面分割堑堵为一个阳马(图4·16中ABCDE)和一个鳖臑(图4·16中DEFC)，则阳马与鳖臑的体积之比恒为二比一．”为叙述方便，我们称之为阳马定理．刘徽从长方体体积公式出发证明了这一定理，然后用它证明了各种多面体的体积公式．另外，他还发现了一条重要原理：对两个等高的立体，若用平行于底面的平面截得的面积之比为一常数，则这两立体的体积之比也等于该常数．这一原理可称为“刘徽原理”．在《九章算术注》中，刘徽多次运用了这一原理，例如，圆台体积∶外切正四梭台体积=圆面积∶外切正方形面积=π∶4．书中对圆锥、圆台等旋转体体积公式的推导，都是以刘徽原理为依据的．
　　(3)对球体积的研究
刘徽发现了《九章算术》中球体积公式不正确，试图利用刘徽原理求出正确的球体积公式．他首先作球的外切立方体，然后用两个直径等于球径的圆柱从立方体内切贯穿(图4．17)．于是，球便被包在两圆柱相交的公共部分，而且与圆柱相切．刘徽只保留两圆柱的公共部分，取名“牟合方盖”．(图4．18)根据刘徽原理，球体积与牟合方盖体积之比等于圆面积与外切正方形面积之比，即。只要求出牟合方盖体积，整个问题就迎刃而解了．刘徽没有成功，只好“以俟能言者”．但他的思路正确，为后人解决这一问题打下了基础．
　　4．刘徽的极限观念
　　从《九章算术注》可以看到，刘徽具有明确的极限思想．他把极限用于代数和几何研究，取得重要成果．这说明极限思想从春秋战国时期萌芽以后，到这时已有较大发展．
　　例如，刘徽的割圆术便建立在极限理论的基础上．他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”就是说当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形面积的极限便是圆的面积．他还把割圆术用于求弓形面积．如图4．19，刘徽在弓形内
　 　
为弓形面积．显然，用此方法可使弓形面积达到任何需要的精确度．
　　刘徽在研究开方不尽的问题时，认为求出的位数越多，就越接近真值，但永远不会达到真值，只能根据需耍，求到“虽有所弃之数，不足言之也”的程度．刘徽正是在这种极限观念的基础上创立十进分数的．他在征明有关体积的定理(如阳马定理)时也用到极限，并深刻地指出，极限问题“谓以情推，不用筹算”，就是说研究极限靠思维和推理而不靠具体计算．
（三）刘徽的重差术
　　重差术是中国古代的一种重要测量方法，用以测量不可到达的距离．刘徽对这一理论进行了总结和提高，写出重差术专著---《海岛算经》(即《重差》)．他在序言中说：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差．”全书只有九道题，但很有代表性．
　　例如第一题(译为今文)：为测量海岛，立两根3丈高的标杆，前后相距1000步，令后杆与前杆对齐．从前杆后退123步，人眼着地看岛峰，视线正好过杆顶．从后杆后退127步，人眼着地看岛峰，视线也过杆顶．问岛高和岛离杆的距离各是多少？
　　按题意画图如下：
　　因当时1步为6尺，故标杆高5步．由刘徽术文，得
　　
　　若用字母表示，则
　　因公式中用到d(两杆与岛的距离差)和a1-a2两差之比，所以叫重差术．这是书中最简单的一题，只须测望二次．其他问题往往要测望三次或四次，但原理与本题相同．刘徽曾著《重差图》和《重差注》，可能是用来推导术文的，已佚．估计刘徽的推导方法不外两种，一是利用出入相补，二是利用相似三角形．
　　如果用三角知识去解重差问题，结果也是一样的．中国传统数学无三角，重差术便起着与西方平面三角类似的作用，这是中国数学的特色之一．
（四）刘徽的学术思想
　　刘徽所以能在数学上取得卓越成就，是与他先进的学术思想分不开的．概括起来，他的学术思想有如下特点．
　　1．富于批判精神．刘徽在数学研究中不迷信权威，也不盲目地踩着前人的脚印走，而是有自己的主见．他曾一针见血地指出张衡关于球体积的不正确观点，还批评了那种泥守古人“周三径一”的踵古思想，说：“学者踵古，习其谬失．”刘徽正是因为有这种可贵的批判精神，才在研究《九章算术》时发现许多问题，从而深入探讨，写出名垂千古的《九章算术注》．
　　2．注意寻求数学内部的联系．刘徽在《九章算术注》的序言中说：“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已．”不难看出，他的整个数学研究都贯穿了这一思想．例如，他把许多平面几何问题归为出入相补，把许多体积公式的推导归为刘徽原理，把各种比例问题归为今有术，以及用重差术的一般方法解决各种测量问题，都是这一思想的体现．
3．注意把数学的逻辑性和直观性结合起来．刘徽主张“析理以辞，解体用图”，就是说问题的理论分析要用明确的语言表达，空间图形的分解要用图形显示，也就是理论和直观并用．他认为只有这样才能使数学既简又明．实际上，他对原书和《九章算术注》中提出的重要数学概念，都给出明确定义．他对定理、公式的证明基本上采取演绎法，推理相当严密．例如，他从长方体体积公式出发，运用极限观念，证明了阳马定理，又用阳马定理证明了棱锥、棱台的体积公式，然后根据刘徽原理推出圆锥、圆台的体积公式，是一环扣一环的．另一方面，刘徽也很注意数学的直观．他常借助图形来证明平面几何定理，称为图验法；借助立体模型来研究开立方和推导体积公式，称为棋验法(刘徽称特定的立体模型为棋)．有时，他还在证明过程中辅之以剪贴和涂色的方法．总之，他在数学研究中
二、祖冲之父子的数学工作
　　1．祖冲之父子生平
　　祖冲之(429---500)，河北人，后迁居江南，生活于南朝的宋、齐之间．父亲祖朔之曾在刘宋朝中为官．祖冲之自幼好学，尤喜历、算．青年时曾任南徐州(今镇江)从事史，后来回建康(今南京)任公府参军．他的行政事务虽多，仍利用工余时间进行大量科学研究．他对前代历法进行仔细的分析比较，对八尺高标杆的日影长度坚持观测达十年之久，在此基础上于大明六年(462)完成《大明历》，书中首次应用了岁差理论，是当时中国最先进的历法．但他把该历呈送朝廷后，由于保守势力的阻挠，未能及时推行．大明八年(464)后，祖冲之出任娄县(今江苏昆山)令，刘宋末年再度被调回建康，任谒者仆射(一种司礼节的官)．齐灭宋后又在齐为官，晚年升到长水校尉，享受四品奉禄．曾造指南车、千里船、水碓磨、刻漏等，远近驰名．数学方面，他曾给《九章算术》作注，并与其子祖暅共同完成数学史上的名著---《缀术》(已佚)．
　　祖暅曾在梁朝先后担任员外郎、材官将军等职．他多次向朝廷建议修改历法，采用他父亲的《大明历》，经太史令实测天象、考验新旧历法后，政府终于在天监九年(510)采用了《大明历》．天监十三年(514)，祖暅奉命在淮河上指挥修筑浮山堰，因被洪水冲毁而获罪入狱．他出狱后不久，在南朝边境被北魏军队俘获，软禁于元延明家，在那里遇到北魏天文学家信都芳，两人常在一起讨论天文和数学．梁普通七年(526)，祖暅南还．他除了和父亲共同完成《缀术》外，还自著《天文录》、《权衡记》等，已失传．
　　2．祖冲之的圆周率
　　继刘徽之后，祖冲之为求得更精确的圆周率而作了艰苦卓绝的努力．据《隋书》记载，他已算得
3．1415926＜π＜3.1415927．
他还得到圆周率的两个近似值和，并称为密率，称为约率。他的圆周率小数值则被后世成为祖率。
　　祖率和密率，都是当时世界上的最好结果．祖率已精确到七位小数，保持世界纪录近千年．至于密率，堪称数学史上的奇迹．它的特点是既都是准确的．比密率更接近π的分数，其分母比113大得多．可以证明，
　　祖冲之是怎样求圆周率的？这个问题至今还是个谜．因为他的数学著作《缀术》已失传，《隋书》中则只有结论而无求法．据一些史料推测，他可能继承了刘徽的割圆术，通过增加圆内接正多边形的边数来求得更精确的圆周率值．实际上，只要用割圆术求得圆内接正24576(即3×213)边形面积，就可以得到祖率．祖冲之用不足近似值和过剩近似值两数来限定π，这种思想可能也受到刘徽的影响．
　　3．祖暅原理与球体积公式
　　刘徽开辟了通向球体积公式的正确道路但没有达到目标．祖冲之父子在这条路上继续前进，终于完成了刘徽的未竟之业．祖冲之与戴法兴辩论时曾说：“至若立圆旧误，张衡述而弗改……此则算氏之剧疵也．”可见他对球体积问题进行过深入研究．至于他是否解决了这一问题，不见记载．但根据唐代李淳风注《九章算术》“开立圆术”时引用的资料来看，祖暅确实解决了这一问题．他很可能是在父亲工作的基础上取得突破的．
　　祖暅在研究球体积时继承了刘徽的思想，抓住关键性的牟合方盖的体积计算．但他吸取了刘徽的教训，不再直接求方盖体积，而是首先研究立方体内除去牟合方盖的部分．他利用了图形的对称性，着重研究这
面面积为R2－h2(图4．23(1))，因为内外棋截面和等于R2，所以高h处的外棋截面为h2(图4．23(2))．再作一个底边和高都是R，且有一条棱垂直于底面的倒立四棱锥，则梭锥在高h处的截面也是h2(图4．23(3))．祖暅研究了各体积的关系，提出“幂势既同，则积不容异”的原理．其中“幂”是面积，“势”是关系，“积”是体积．这句话的意思是：在两立体中作与底平行的截面，若截面积处处相同，则两立体体积相等．这一原理可称为“祖暅原理”，是刘徽原理的特例．西方称此为“卡瓦列里原理”，因为它曾被17世纪的意大利数学家卡瓦列里(B．Cavalieri，1598---1647)重新发现．
　　根据祖暅原理，很容易得到外棋与倒立四棱锥体积相等的结论，而
　　　
　　这便是正确的球体积公式．自《九章算术》以来，历经四个多世纪，这一问题终于得到圆满解决．在祖暅之前，阿基米德曾用平衡法求得球体积公式，两人的工作是各具特色、殊途同归的．
三、张丘建
《张丘建算经》
　　《张丘建算经》成书于5世纪，比《孙子算经》稍晚．作者张丘建，河北清河人．该书共三卷92题，包括测量、纺织、交换、纳税、冶炼、土木工程、利息等各方面的计算问题．
　　等差级数是书中一项重要内容．例如卷上第22题，大意为某女子善于织布，一天比一天织得快，而每天增加的数量都一样．已知第一日织5尺，30日共织930尺，求每日比前一日多织多少？这是一个已知等差级数首项、项数和前n项和，求公差的问题．设a1为首项，n为项数，S为前n项和，d为公差，则张丘建的解法相当于
　　?
　　在其他算题中，张丘建还给出公式
　　
　　
　　容易验证，这些等差级数公式都是正确的．
　　《张丘建算经》的最后一题是闻名于世的“百鸡问题”；“今有鸡翁一，直(值)钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”书中给出三组解：(1)鸡翁4，鸡母18，鸡雏78；(2)鸡翁8，鸡母11，鸡雏81；(3)鸡翁12，鸡母4，鸡雏84．至于解法，则只提到：“鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益(增加)三，即得．”
　　这是一个不定方程问题．设鸡翁、鸡母、鸡雏的只数分别为x，y，z，则可列出方程组
　　
　　(2)×3-1，得
　　14x ＋8y＝200，
　　即 7x＋4y＝100．(3)
　　显然，x＝0，y＝25是(3)的一组解．根据定理“若x＝x0，y=y0是整系数方程ax＋by＝c的一组整数解，则对任何整数t，x＝x0＋bt，y＝y0-at也是ax+by=c的解”，得
　　x＝4t，y＝25－7t，
　　代入(1)，得
　　z=100－4t－(25－7t)＝75＋3t．
　　当t＝1，2，3时，便得到《张丘建算经》中的三组解．实际上，符合题意的也只有这三组解．t每增1时，x便增4，y便减7，z便增3，这与张丘建对解法的提示是一致的．
四、王孝通和《缉古算经》
　　1．王孝通生平
　　王孝通，唐代数学家．出身平民，自幼喜算．唐初为历算博士，后升任太史丞．武德六年(623)曾批评《戊寅元历》的缺点，武德九年(626)又同大理卿崔善为一起，对该历作了许多校正工作．他的《缉古算经》约成书于626年前后．
　　王孝通时代，土木建筑发展很快，一些复杂问题超出了原有数学知识的范围．王孝通曾研究过《九章算术》和《缀术》，但当他运用这些书中的数学去解决实际问题时，感到满足不了需要．于是他结合实际，钻研数学多年，创立了不少解决工程问题的新术，成书《缉古算经》．全书共20题，大部分与土木工程有关，也有天文和勾股问题．题目虽然不多，但难度较大，王孝通是特地找那些前人没有研究过或未解决的问题加以研究的．他对自己的著作很自信，进呈皇帝时写了一篇《上缉古算经表》，说：“如有排其一字，臣欲谢以千金．”这种态度当然不够谦虚，但此书水平确实很高，是数学史上的不朽之作．
　　2．堤坝型体积公式
　　《九章算术》商功章虽有许多体积公式，但都比较规则，对于上下宽窄不一，前后高低不同的堤坝型体积计算则无能为力．王孝通研究了筑坝、挖河等工程建设中提出的这类问题，在《缉古算经》第3题中建立了新的公式．原题为：“假令筑堤，西头上、下广差六丈八尺二寸，东头上、下广差六尺二寸，东头高少于西头高三丈一尺，上广多东头高四尺九寸，正袤多于东头高四百七十六尺九寸．……”王孝通用文字叙述的方法给出了求这类堤坝体积的一般公式．设东头上宽a，下宽b，西头上宽a′，下宽b′，东头高h，西头高h′，东西水平长l(图4．24)，则王孝通的公式相当于
　　
　　题中a与a′等长，即使不等长，这一公式也适用．凡是有两个面平行的六面体体积都可用这一公式求出来．
　　王孝通创立的堤坝型体积公式，在土木工程中有重要意义，遗憾的是他没有留下公式的推导过程．
　　3．三次方程
　　《缉古算经》20道题中，绝大部分是三次方程问题，为中国流传至今的最早的三次方程．它们都是x3＋ax2＋bx＝c型的，其中a，b，c是非负有理数且c不为0．王孝通称c为实，b为方法，a为廉法．下面以第2题为例说明王孝通是怎样建立三次方程的．
　　该题为：“假令太史造仰观台，上广袤少，下广袤多．上下广差二丈，上下袤差四丈，上广袤差三丈，高多上广一十一丈．甲县差一千四百一十八人，乙县差三千二百二十二人，夏程人功常积七十五尺，限五日役台毕．……”所求为台的长、宽、高．
　　仰观台实际是一个长方台，即刍童．王孝通先求上宽，相当于以上宽为x，于是下宽为x＋2，上长为x+3，下长为x+7，高为x＋11(见图4．12)．若以V表示台的体积，则根据王孝通的术文，有
　　V＝(1418＋3222)×0.075×5＝1740(丈3)
　　代入《九章算术》中的刍童体积公式，得
　　
　　化简，得
　　3x3+51x2+215x＝5033．
不过，题中并无设未知数的明确步骤，也没有数学符号．王孝通是通过几何方法，以文字形式建立方程的．至于方程解法，王孝通只说“开立方除之”，估计是用《九章算术》开立方法中求方根第二位及以后各位的方法来求三次方程正根的．为了简化开方程序，王孝通把所有三次方程的最高项系数化为1．经验证，其解答都是正确的．
小结：本节介绍了中国古代几位著名的数学家
①刘微：作《九章算术注》，在算术、代数、几何等方面的杰出贡献．如齐同术、改进方程组的解法和割圆术
②祖冲之父子：圆周率、祖暅原理与球体积公式
③张丘建的《张丘建算经》以及王孝通和他的《缉古算经》