中国古代数学家 学案 (2)

中国古代数学家
一、自学目标：通过本专题的学习，了解几位中国古代数学家的数学贡献。
二、自学内容提炼
（一）知识梳理：
1、刘微
（1）简介
刘徽是中国古代最伟大的数学家之一．
他是三国时代魏国人，籍贯山东，生卒年不详，约死于西晋初年．刘徽出身平民，终生未仕，被称为“布衣”数学家．
刘徽在童年时代学习数学时，是以《九章算术》为主要读本的，成年后又对该书深入研究，于公元263年左右写成《 》，刘徽自序说：“徽幼习《九章》，长再详览．
观阴阳之割裂，总算术之根源．探赜之暇，遂悟其意，是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注．”刘徽在研究《九章算术》的基础上，对书中的重要结论一一证明，对其错误予以纠正，方法予以改进，并提出一些卓越的新理论、新思想．《九章算术注》是刘徽留给后世的十分珍贵的数学遗产，是中国传统数学理论研究的奠基之作．
刘徽还著有《重差》一卷，专讲测量问题．他本来把《重差》作为《九章算术注》的第十卷，唐代初年改为单行本，并将书名改作《海岛算经》，流传至今．
从刘徽著作来看，他学风严谨，实事求是，而且富于批判精神，敢于创新，理论研究相当深入，堪称数学史上的一代楷模．
（2）著作——《九章算术注》
1）算术
①十进分数
刘徽之前，计算中遇到奇零小数时，就用带分数表示，或者四舍五入．刘徽首创 分数，用以表示 的近似值．这种记数法与现代 刘徽用忽来表示，但a后各位就不必再命名了，刘徽称它们为“微数”，说：“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母．退之弥下，其分弥细．”这种方法，与我们现在开平方求无理根的十进小数近似值的方法一致，即
其中a1，a2，…，an是0至9之间的一位整数．
② 术
　　《九章算术》中虽有分数 的方法，但没有形成完整理论，刘徽提出 术，使这一理论趋于完善．他说：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同．”又进一步提出通分后数值不变的理论依据，即“一乘一除，适足相消，故所分犹存“法实俱长，意亦等也”．前句话的意思是，一个分数用同一个(非零)数一乘一除，其值不变；后句话的意思是，分数的分子、分母扩大同一倍数，分数值不变．刘徽指出，“同”即一组分数的公分母，“齐”是由“同”而来的，是为了使每个分数值不变．另外，刘徽还将齐同术引而伸之，用来解释方程及盈不足问题．
2）代数
①对 数的认识
《九章算术》成书后， 数的运算越来越广泛，但究竟应该如何认识正负数，却很少有人论及．刘徽在《九章算术注》中首次给出正负数的明确定义：“今两算得失相反，要令正负以名之．”就是说以正负数表示得失相反的量．他还进一步阐述正负的意义：“言负者未必负于少，言正者未必正于多．”即负数绝对值未必少，正数绝对值未必大．另外，他又提出筹算中表示正负数的两种方法：一种是用红筹表正数，黑筹表负数；再一种是以算筹摆法的正、斜来区别正、负数．这两种方法，对后世数学都有深远影响．
②对 方程组解法的改进
　　《九章算术》中用直除法解线性方程组，比较麻烦．刘徽在方程章的注释中，对直除法加以改进，创立了 法．他指出，“相消”时要看两方程首项系数的同异，同则相减，异则相加．刘徽的工作，大大减化了线性方程组解法．
③方程理论的初步总结
刘徽在深入研究《九章算术》方程章的基础上，提出了比较系统的方程理论．刘徽所谓“程”是程式或关系式的意思，相当于现在的方程，而“方程”则相当于现在的方程组．他说：“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之．并列为行，故谓之方程．”这就是说：“有两个所求之物，需列两个程；有三个所求之物，需列三个程．程的个数必须与所求物的个数一致．诸程并列，恰成一方形，所以叫方程．”这里的“物”，实质上是未知数，只是当时尚未抽象出未知数的明确概念．定义中的“皆如物数程之”是十分重要的，它与刘徽提出的另一原则“行之左右无所同存”，共同构成了方程组有唯一组解的条件．若译成现代数学语言，这两条即：方程个数必须与未知数个数一致，任意两个方程的系数不能相同或成比例．刘徽还认识到，当方程组中方程的个数少于所求物个数时，方程组的解不唯一；如果是齐次方程组，则方程组的解可以成比例地扩大或缩小，即“举率以言之”．
对于方程组的性质，刘徽总结出如下诸条：“令每行为率”，即方程各项成比例地扩大或缩小，不改变方程组的解；“每一行中，虽复赤黑异算，无伤”，即方程各项同时变号，不改变方程组的解；“举率以相减，不害余数之课也，即两方程对应项相减，不改变方程组的解．很明显，刘徽对于线性方程组的初等变换，已经基本掌握了．不过，他没有考虑交换两个方程的位置，因为不进行这种变换亦可顺利求出方程组的解，而且调换算筹的位置是不方便的．
3）几何
① 术
　　刘徽以前，一般采用周三径一的圆周率，这是很不精确的．刘徽在《九章算术注》中指出：周三径一的数据实际是圆内接正六边形周长和直径的比值，不是圆周与直径的比值．他认为圆内接正多边形的边数越多，其面积就越接近圆面积．他从这一思想出发，创立了科学的求圆周率方法--- 术．具体来说，就是以1尺为半径作圆，再作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，依次算出内接正六边形、正12边形乃至正192边形的面积．刘徽之所以选半径为1，是为了使圆面积在数值上等于圆周率，从而简化运算．
②几何定理的证明
刘徽采用 原理，证明了《九章算术》中许多几何公式和定理．例如，他在证明三角形面积公式时，思路如下：把三角形的高h二
自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂．”可惜的是原图失传，所以不知刘徽怎样“出入相补”．
刘徽在研究立体几何时，发现“邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．即“过对角面分割堑堵为一个阳马(图4·16中ABCDE)和一个鳖臑(图4·16中DEFC)，则阳马与鳖臑的体积之比恒为二比一．”为叙述方便，我们称之为阳马定理．刘徽从长方体体积公式出发证明了这一定理，然后用它证明了各种多面体的体积公式．另外，他还发现了一条重要原理：对两个等高的立体，若用平行于底面的平面截得的面积之比为一常数，则这两立体的体积之比也等于该常数．这一原理可称为“刘徽原理”．在《九章算术注》中，刘徽多次运用了这一原理，例如，圆台体积∶外切正四梭台体积=圆面积∶外切正方形面积=π∶4．书中对圆锥、圆台等旋转体体积公式的推导，都是以刘徽原理为依据的．
③对球体积的研究
刘徽发现了《九章算术》中球体积公式不正确，试图利用刘徽原理求出正确的球体积公式．他首先作球的外切立方体，然后用两个直径等于球径的圆柱从立方体内切贯穿(图4．17)．于是，球便被包在两圆柱相交的公共部分，而且与圆柱相切．刘徽只保留两圆柱的公共部分，取名“ ”．(图4．18)根据刘徽原理，球体积与牟合方盖体积之比等于圆面积与外切正方形面积之比，即。只要求出牟合方盖体积，整个问题就迎刃而解了．刘徽没有成功，只好“以俟能言者”．但他的思路正确，为后人解决这一问题打下了基础．
4）刘徽的 观念
从《九章算术注》可以看到，刘徽具有明确的 思想．他把极限用于代数和几何研究，取得重要成果．这说明极限思想从春秋战国时期萌芽以后，到这时已有较大发展．
例如，刘徽的割圆术便建立在极限理论的基础上．他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”就是说当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形面积的极限便是圆的面积．他还把割圆术用于求弓形面积．如图4．19，刘徽在弓形内
　 　
为弓形面积．显然，用此方法可使弓形面积达到任何需要的精确度．
刘徽在研究开方不尽的问题时，认为求出的位数越多，就越接近真值，但永远不会达到真值，只能根据需耍，求到“虽有所弃之数，不足言之也”的程度．刘徽正是在这种极限观念的基础上创立十进分数的．他在征明有关体积的定理(如阳马定理)时也用到极限，并深刻地指出，极限问题“谓以情推，不用筹算”，就是说研究极限靠思维和推理而不靠具体计算．
3、刘徽的 术
重差术是中国古代的一种重要测量方法，用以测量不可到达的距离．刘徽对这一理论进行了总结和提高，写出重差术专著---《海岛算经》(即《重差》)．他在序言中说：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差．”全书只有九道题，但很有代表性．刘徽曾著《重差图》和《重差注》，可能是用来推导术文的，已佚．估计刘徽的推导方法不外两种，一是利用出入相补，二是利用相似三角形．
4、刘徽的学术思想
刘徽所以能在数学上取得卓越成就，是与他先进的学术思想分不开的．概括起来，他的学术思想有如下特点．
①富于批判精神．刘徽在数学研究中不迷信权威，也不盲目地踩着前人的脚印走，而是有自己的主见．他曾一针见血地指出张衡关于球体积的不正确观点，还批评了那种泥守古人“周三径一”的踵古思想，说：“学者踵古，习其谬失．”刘徽正是因为有这种可贵的批判精神，才在研究《九章算术》时发现许多问题，从而深入探讨，写出名垂千古的《九章算术注》．
②注意寻求数学内部的联系．刘徽在《九章算术注》的序言中说：“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已．”不难看出，他的整个数学研究都贯穿了这一思想．例如，他把许多平面几何问题归为出入相补，把许多体积公式的推导归为刘徽原理，把各种比例问题归为今有术，以及用重差术的一般方法解决各种测量问题，都是这一思想的体现．
③注意把数学的逻辑性和直观性结合起来．刘徽主张“析理以辞，解体用图”，就是说问题的理论分析要用明确的语言表达，空间图形的分解要用图形显示，也就是理论和直观并用．他认为只有这样才能使数学既简又明．实际上，他对原书和《九章算术注》中提出的重要数学概念，都给出明确定义．他对定理、公式的证明基本上采取演绎法，推理相当严密．例如，他从长方体体积公式出发，运用极限观念，证明了阳马定理，又用阳马定理证明了棱锥、棱台的体积公式，然后根据刘徽原理推出圆锥、圆台的体积公式，是一环扣一环的．另一方面，刘徽也很注意数学的直观．他常借助图形来证明平面几何定理，称为图验法；借助立体模型来研究开立方和推导体积公式，称为棋验法(刘徽称特定的立体模型为棋)．有时，他还在证明过程中辅之以剪贴和涂色的方法．总之，他在数学研究中
2、祖冲之父子的数学工作
（1）祖冲之父子生平
祖冲之(429---500)，河北人，后迁居江南，生活于南朝的宋、齐之间．父亲祖朔之曾在刘宋朝中为官．祖冲之自幼好学，尤喜历、算．青年时曾任南徐州(今镇江)从事史，后来回建康(今南京)任公府参军．他的行政事务虽多，仍利用工余时间进行大量科学研究．他对前代历法进行仔细的分析比较，对八尺高标杆的日影长度坚持观测达十年之久，在此基础上于大明六年(462)完成《大明历》，书中首次应用了岁差理论，是当时中国最先进的历法．但他把该历呈送朝廷后，由于保守势力的阻挠，未能及时推行．大明八年(464)后，祖冲之出任娄县(今江苏昆山)令，刘宋末年再度被调回建康，任谒者仆射(一种司礼节的官)．齐灭宋后又在齐为官，晚年升到长水校尉，享受四品奉禄．曾造指南车、千里船、水碓磨、刻漏等，远近驰名．数学方面，他曾给《九章算术》作注，并与其子祖暅共同完成数学史上的名著---《 》(已佚)．
祖暅曾在梁朝先后担任员外郎、材官将军等职．他多次向朝廷建议修改历法，采用他父亲的《大明历》，经太史令实测天象、考验新旧历法后，政府终于在天监九年(510)采用了《大明历》．天监十三年(514)，祖暅奉命在淮河上指挥修筑浮山堰，因被洪水冲毁而获罪入狱．他出狱后不久，在南朝边境被北魏军队俘获，软禁于元延明家，在那里遇到北魏天文学家信都芳，两人常在一起讨论天文和数学．梁普通七年(526)，祖暅南还．他除了和父亲共同完成《缀术》外，还自著《天文录》、《权衡记》等，已失传．
②祖冲之的圆周率
继刘徽之后，祖冲之为求得更精确的圆周率而作了艰苦卓绝的努力．据《隋书》记载，他已算得 ＜π＜ ．
他还得到圆周率的两个近似值 和 ，并称 为密率，称 为约率。他的圆周率小数值则被后世成为祖率。
祖率和密率，都是当时世界上的最好结果．祖率已精确到七位小数，保持世界纪录近千年．至于密率，堪称数学史上的奇迹．它的特点是既都是准确的．比密率更接近π的分数，其分母比113大得多．可以证明，
祖冲之是怎样求圆周率的？这个问题至今还是个谜．因为他的数学著作《缀术》已失传，《隋书》中则只有结论而无求法．据一些史料推测，他可能继承了刘徽的割圆术，通过增加圆内接正多边形的边数来求得更精确的圆周率值．实际上，只要用割圆术求得圆内接正24576(即3×213)边形面积，就可以得到祖率．祖冲之用不足近似值和过剩近似值两数来限定π，这种思想可能也受到刘徽的影响．
③祖暅原理与球体积公式
刘徽开辟了通向球体积公式的正确道路但没有达到目标．祖冲之父子在这条路上继续前进，终于完成了刘徽的未竟之业．祖冲之与戴法兴辩论时曾说：“至若立圆旧误，张衡述而弗改……此则算氏之剧疵也．”可见他对球体积问题进行过深入研究．至于他是否解决了这一问题，不见记载．但根据唐代李淳风注《九章算术》“开立圆术”时引用的资料来看，祖暅确实解决了这一问题．他很可能是在父亲工作的基础上取得突破的．
祖暅在研究球体积时继承了刘徽的思想，抓住关键性的牟合方盖的体积计算．但他吸取了刘徽的教训，不再直接求方盖体积，而是首先研究立方体内除去牟合方盖的部分．他利用了图形的对称性，着重研究这面面积为R2－h2(图4．23(1))，因为内外棋截面和等于R2，所以高h处的外棋截面为h2(图4．23(2))．再作一个底边和高都是R，且有一条棱垂直于底面的倒立四棱锥，则梭锥在高h处的截面也是h2(图4．23(3))．祖暅研究了各体积的关系，提出“幂势既同，则积不容异”的原理．其中“幂”是面积，“势”是关系，“积”是体积．这句话的意思是：在两立体中作与底平行的截面，若截面积处处相同，则两立体体积相等．这一原理可称为“祖暅原理”，是刘徽原理的特例．西方称此为“卡瓦列里原理”，因为它曾被17世纪的意大利数学家卡瓦列里(B．Cavalieri，1598---1647)重新发现．
根据祖暅原理，很容易得到外棋与倒立四棱锥体积相等的结论，而
　
这便是正确的球体积公式．自《九章算术》以来，历经四个多世纪，这一问题终于得到圆满解决．在祖暅之前，阿基米德曾用平衡法求得球体积公式，两人的工作是各具特色、殊途同归的．
（二）典例选讲
1、割圆术
刘微利用公式
　　
　　(ln为内接正n边形边长，S2n为内接正2n边形面积)来求各正多边形面积．至于正多边形边长，他是反复利用勾股定理来求的．例如，由以下三式即可求得正12边形边长(图4．14)：
　　　
　　TR＝OR-OT，
　　
　　
后，便根据
　　S192＜S＜S192＋(S192－S96)
　　
　　刘徽舍弃分数部分，取圆面积为314平方寸，从而得到π＝3．14、这种方法可以求得任意精度的圆周率近似值，刘徽对这一点是很清楚的．不过，他根据当时的需要，运算中只取到两位小数．
割圆术的创立是数学史上的一件大事．古希腊的阿基米德(Archimedes，公元前287---前212)也曾用割圆术求圆周率，他的方法是以圆内接正多边形和外切正多边形同时逼近圆，比刘徽的方法麻烦一些．刘徽的成就晚于阿基米德，但是独立取得的．
2、为测量海岛，立两根3丈高的标杆，前后相距1000步，令后杆与前杆对齐．从前杆后退123步，人眼着地看岛峰，视线正好过杆顶．从后杆后退127步，人眼着地看岛峰，视线也过杆顶．问岛高和岛离杆的距离各是多少？
　　按题意画图如下：
　　因当时1步为6尺，故标杆高5步．由刘徽术文，得
　　
　　若用字母表示，则
（三）提出疑点和解决
1、简述刘微和祖冲之父子的主要贡献
答：刘徽撰写的《九章算术注》，系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理。其数学成就中最突出的是“割圆术”，求出圆周率为3927/1250（=3．1416），主张利用圆内接正192边形的面积求出157/50（=3．14）作为圆周率，后人常把这个值称为“徽率”。这使刘徽成为中算史上第一位用可靠的理论来推算圆周率的数学家，享有国际声誉。
祖冲之父子作的《缀术》取得了圆周率的计算和球体体积的推导两大数学成就。祖冲之算出圆周率在3．1415926与3．1415927之间，并以355/113（=3．1415929…）为密率，22/7（=3．1428…）为约率。《缀术》的另一贡献是祖氏原理 ：幂势既同则积不容异，在西方文献中称为卡瓦列里原理，或不可分量原理。
2、运用互乘相消法解方程组
解：(1)×2，(2)×5，得
(4)-(3)，得
21y＝20
y=
x=