笛卡儿坐标系 教案 (1)

笛卡儿坐标系
教学目标分析：
1、了解笛卡儿的数学成就和笛卡儿坐标系。
2、能够运用坐标系解决现实中的问题。
3、激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养积极进取的精神
重难点分析：
重点：了解笛卡儿的数学成就和笛卡儿坐标系。
难点：理解笛卡儿坐标系的内涵。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
1．笛卡儿传
笛卡儿(R．Descartes，1596—1650)是17世纪的天才．他是杰出的哲学家和数学家，是近代生物学的奠基人之一，在物理学方面也作了许多有价值的研究．
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1596年3月31日，笛卡尔出生在法国土伦(Tournine)的一个律师之家，早年丧母，八岁时被父亲送到当地的一所耶酥教会学校．由于他身(R．Descartes1596—1650)体较弱，父亲与校方商定，允许他每天早晨多睡些时间．于是，笛卡儿养成了晚起的习惯．长大以后，他经常在早晨躺在床上思考问题，据说他的大部分成果出自早上那段适宜思考的时间．
笛卡儿成年后的生活，可以1628年为界分成两个阶段．他16岁时离开家乡，去外地求学， 20岁(1616年)时毕业于普瓦捷(Poitiers)大学，在巴黎当了律师．他在那里结识了数学家梅森(M．Mersenne)和迈多治(C．Mydorge)，经常和他们一起讨论数学问题．笛卡儿于1617年到荷兰，参加了奥兰治(Orange)公爵的军队，后来又到其他军队服务．他参军的目的主要是弥补学校教育的不足，并无明显的宗教或政治倾向．1621年以后，他先后到德国、丹麦、荷兰、瑞士和意大利旅行．在当兵和旅行的日子里，他的数学研究一直没有中断，他把解决数学问题当作自己的乐趣．在荷兰布雷达(Breda)地方的招贴牌上，笛卡儿发现一个挑战性的问题，很快就解决了，这使他自信有数学才能，从而更认真地研究数学． 1625年回到巴黎后，他为望远镜的威力所激动，开始钻研光学理论，同时参加了德扎格等数学家的讨论，并继续他的哲学探索．1628年，他写成第一部哲学著作《思想的指导法则》(Regulae ad DirectionemIngenii)．在这个阶段的生活中，他实际上已为他后来创立唯理论的认识论奠定了基础，为发明解析几何创造了条件．
由于笛卡儿对《圣经》持批评态度，受到国内封建教会的排斥．1628年，笛卡儿移居荷兰，开始了第二阶段的生活．他的主要学术著作，都是在那里的20年中完成的，包括《宇宙论》(LeMonde，1633年写成，1664年出版)、《方法论》(Discours dela Méthode， 1637)、 《形而上学的沉思》(Meditationes dePrima Philosophia，1640)、《哲学原理》(PhincipiaePhilosophiae，1644)、《激情论》(Traité des Passions delame，1649)．《方法论》一书有三个附录——《折光》(La Di-optrique)、《气象》(Les Météores)和《几何》(La Géo－métrie)．其中第三个附录便是笛卡儿创立解析几何的标志．很明显，笛卡儿最关心的是哲学问题．实际上，他的解析几何只是他的哲学思想在数学中的体现，所以著名数学史家克莱因(M．Kline)说，笛卡儿“只偶然地是个数学家．”
1649年，笛卡儿接受瑞典女王克利斯蒂娜(Christina)的邀请，去斯德哥尔摩担任了女王的宫廷教师，不幸在那里染上肺炎，于1650年2月11日病逝．
2．笛卡儿的数学思想
笛卡儿是以哲学家的身分来研究数学的．他认为自己在教会学校里没学到多少可靠的知识，所以从青年起就认真思考这样的问题：人类应该怎样取得知识？他勇敢地批评了当时流行的经院哲学，提倡理性哲学．他说圣经不是科学知识的来源，并且说人们应该只承认他所能了解的东西．尽管笛卡儿从未否认过上帝存在，他的这些话还是惹恼了教会，以至在他的葬礼上不准为他致悼词．
笛卡儿认为逻辑不能提供基本的真理，他说：“谈到逻辑，它的三段论和其他观念的大部分，与其说是用来探索未知的东西，不如说是用来交流已知的东西．”那么，什么地方提供真理呢？这就是客观世界，而数学正是客观存在的事物，所以数学里必然包含许多有待发现的真理．他认识到严格的数学方法是无懈可击的，不能为任何权威所左右，他说数学“是一个知识工具，比任何其他由于人的作用而得来的知识工具更为有力，因而是所有其他知识工具的源泉．”
笛卡儿从他的数学研究中得出一些获得正确知识的原则：不要承认任何事物是真的，除非对它的认识清楚到毫无疑问的程度；要把困难分成一些小的难点；要由简到繁，依次进行；最后，要列举并审查推理步骤，要做得彻底，使无遗漏．对于数学本身，他相信他有清楚的概念，这些数学概念都是客观存在的，并不依赖于人是否想着它们．笛卡儿强调要把科学成果付之应用，要为人类的幸福而掌握自然规律．
笛卡儿数学研究的目标是建立一种把形和数结合起来的科学，吸取代数与几何的优点，而抛弃它们的缺点．他对逻辑学、欧氏几何及代数都很熟悉，尤其强调代数的价值．他批评希腊人的几何过多地依赖于图形，主张把代数用到几何中去．他认为代数在提供广泛的方法论方面，高出希腊人的几何方法．他强调代数的一般性和程序性，认为代数的这些特点可以减小解题的工作量．他证明了几何问题可以归结为代数问题，因此在求解时可以运用代数的全部方法．由于代数语言比几何语言更有启发性，所以在问题改变形式以后，只要进行一些代数变换，就可以发现许多新的性质．显然，在笛卡儿的数学研究中，代数是居于主导地位的．这种数学思想具有重要意义，因为它终于使代数摆脱了几何思维的束缚，而在文艺复兴之前，这种束缚是长期存在的．例如，x，x2，x3通常被看作长度、面积和体积，方程次数不能高于三次，因为高于三次的方程就难于找到几何解释了．卡尔达诺(G．Cardano)、费拉里(L．Ferrari)等对高次方程的研究，使代数有了独立于几何的倾向，而笛卡儿的工作则使代数完全摆脱了几何的束缚，又反过来用代数方法研究几何问题．他在研究中引入了变量思想，认为曲线是这样生成的：在坐标系内，随着一个坐标的变化，另一个坐标也相应变化，每对坐标决定一个点，这无穷多个点便组成曲线．他用方程表示曲线，把曲线上的每一个点看作方程的一组解，从而把代数与几何在变量观念下统一起来，这是他创立解析几何的基础，我们从他的著作中可以看得很清楚．
3．笛卡儿的《几何》
《几何》分三卷．第一卷的前半部分是解析几何的预备知识，通过典型例题说明如何把代数用于几何，解决尺、规作图问题；后半部分则包含笛卡儿解析几何的基本理论．第二卷讨论曲线方程的推导及曲线性质，提出按方程次数对曲线进行分类的方法．第三卷讨论如何用圆锥曲线解高次方程，以及高次方程的性质．
在第一卷，笛卡儿明确指出用代数方法解决几何作图题的实质在于“定出所求线段的长度”．他首先定义了单位线段，在此基础上又定义了线段的加、减、乘、除和开方．例如，假定取AB为单位，笛卡儿说：“我只需要连接点A和C，然后引DE平行于CA，那么BE就等于BD和BC的积”，“如果要求用BD来除BE，我就连接E和D，再引AC平行于DE，那么BC是除的结果．”(图10．9)“如果要求CH的平方根，我沿同一直线加上FC，FC等于单位，然后在K点将FH二等分．我以K为中心画圆FIH，再从C引垂线到I，那么CI就是所要求的根．”(图10．10)虽然对线段的运算古已有之，单位线段却是笛卡儿首次引入的．它的意义在于突破了几何对代数的束缚——齐次原则．根据这一原则，不同量纲的几何量不能相加，方程ax2＋bx＋c＝0是没有几何意义的，因为ax2表体积，bx表面积而c表长度，属于不同的量纲．而笛卡儿引入单位概念之后，使所有几何量都通过单位而变成统一的关于数的表示．于是图形中各种量的关系就转化成数的关系，这是把代数与几何统一起来的关键．
笛卡儿在把代数方法用于几何时，首先是用未知数去表示特定的线段．例如某几何问题归结到求一个未知长度x，而x满足方程x2＝ax＋
作出x，笛卡儿先作直角三角形NLM(图10．11)，其中LM＝b，
地，若x满足方程x2=-ax+b2，则x为MP．
解析几何的精髓是用代数方程表示几何曲线，笛卡儿通过帕波斯问题引入了这一崭新的方法．该问题是：设AB，AD，EF和GH是四条给定直线，从某点C引直线CB，CD，CF，CH各与一条给定直线构成已知角CBA， CDA， CFE，CHG，要求满足CB·CF＝CD·CH的点的轨迹．
笛卡儿的解法是：首先假定已得到轨迹上的C点，然后以AB和CB为主线，考虑其他直线与主线的关系．笛卡儿记AB为x，BC为y，这相当于设了两个相交的坐标轴，当然与现在直角坐标系中的x轴和y轴还有所区别．这样，线段CB，CD，CF和CH的长度便可由x和y确定了．由于三角形ARB的所有角已给定，所以AB与BR之比一定，设AB∶BR=z∶b，因AB＝
　
因为AB， AD，EF是三条给定直线，所以AE长度是确定的，设AE＝k，则EB＝k＋x(或k-x，或-k＋x，依E，A，B三点的根对
这样，CB，CD，CF，CH便都表示成关于x和y的一次式了．把这四个一次式代入CB·CF＝CD·CH，可知两边关于x，y的次数都不会高于二次，即满足帕波斯问题的C点的轨迹方程为
y2＝Ay＋Bxy＋Cx＋Dx2，
其中A，B，C，D是由已知量组成的代数式．
笛卡儿接着指出：“如果我们逐次给线段y以无限多个不同的值，对于线段x也可找到无限个值．这样被表示出来的C点就可以有无限多个，因此可把所求的曲线表示出来．”这就在变量思想指导下，把数与形统一起来了．这是数学史上一项划时代的变革，从此开拓了变量数学的新领域．
在《几何》的第二卷中，笛卡儿详细讨论了曲线方程的推导及各种曲线的性质．我们从下面的例子可以领会他的思路．
设直线l1⊥l2于A，G是l1上的定点，射线m(笛卡儿说是直尺)绕端点G旋转，交l2与L，射线n的端点K沿l2滑动，LK为定长．笛卡儿试图导出m与n的交点的轨迹方程．他设C为轨迹上任一点，过C作CB∥BA，交l2于B，过L作LN∥GA，交n于N，他以A为原点建立坐标系，并设BC＝y，AB＝x，设GA，LK和NL三个已知量为a，b，c(图10．13)
　
　　
这显然是双曲线的方程．
笛卡儿以方程次数为标准，对曲线进行了系统的分类．他认为：几何曲线是那些可用一个唯一的含x和y的有限次代数方程来表出的曲线，所以方程次数决定了曲线的种类．他研究了各种圆锥曲线，指出圆锥曲线都是二次的；另一方面，二次方程(指二元二次方程)的曲线也都是圆锥曲线．他把方程次数强调到这种程度，以至认为像x3+y3-3axy=0(图10．14，即笛卡儿叶线)这样复杂的曲线，比曲线y＝x4还要简单．笛卡儿坚持曲线与方程相对应，对任何一条曲线，只要可以找到适合于它的方程，他立即当作几何曲线来研究．这就突破了欧氏几何只用圆规、直尺作图的局限，以前一向为几何学家所回避的许多曲线，便有了和常见曲线相同的地位．至于不能用代数方程表示的曲线，如螺线和割圆曲线等，笛卡儿一律称之为机械曲线．
第三卷侧重于代数．笛卡儿在解几何作图题时，首先把问题用代数表示，然后解所得出的代数方程，并按解的要求来作图．他还提出利用圆锥曲线来解三次和四次方程的方法，即用同一坐标系内两条圆锥曲线的交点来表示方程的解．这是数学史上的一项革新，它提供了解方程的一个有力工具．笛卡儿用这种方法求出了形如z3=±pz±q和z4=±pz2±qz±r的方程的实根．
则圆与抛物线在轴左边的交点F给出方程的正根，笛卡儿称为“真正的根”；另一边的交点G和H则表示方程的负根，笛卡儿称为“假根”，因为他不承认方程的负根．实际上，笛卡儿是把圆和抛物线放在以A为原点的同一坐标系内来考虑的．若用现代符号表示，则抛物线方程
为 x2=y， (1)
圆的方程为

化简得 x2＋y2＝qx＋(1+p)y． (2)
把方程(1)和(2)联立，所得解的x值即圆与抛物线的交点的横坐标，也就是方程z3＝pz＋q的解．在这里，笛卡儿把方程的解、方程组的解，以及代表方程的曲线的交点都统一在坐标系内，这种思想是相当出色的．
在第三卷中，还有一部分内容是专门讨论方程的，具有独立的代数意义．著名的笛卡儿符号法则就是在这里提出的．
纵观笛卡儿的《几何》，虽然篇幅不过百页，却已奠定了解析几何的基础．笛卡儿把曲线与方程相联系的观点，不仅是曲线理论而且是整个数学思想的重大突破．他还进一步认识到，如果两条曲线以同一个坐标系为参考，则其交点由它们的方程之解来确定．这种思想远远高出了他的同时代人，正如数学史家芬克(Karl Fink)所说：“从来都没有谁作过任何尝试，企图把不同次数的几条曲线同时表示在一个坐标系中……甚至连费马也没有尝试过．笛卡儿所系统完成的恰恰是这件事．”
但是，笛卡儿同费马一样不考虑负坐标，这就不可避免地给他的研究工作带来局限性．另外，他对几何作图题的强调掩盖了解析几何的主要思想——用代数方程表示并研究曲线．许多和他同时代的人认为解析几何主要是为了解决作图问题．当然，笛卡儿本人是清楚这门学科的意义远不止于此的．他在《几何》的引言中说：“我在第二卷中所作的关于曲线性质的讨论，以及考查这些性质的方法，据我看，远远超出了普通几何的论述．”
笛卡儿的《几何》还有一个特点，即很少证明．实际上，笛卡儿不仅熟悉欧氏几何的证明方法，也完全会用代数方法证明几何问题．他有意删去定理的证明，大概是为了使文章简短和利于自学．他在一封信里把自己比做建筑师，说自己的工作是指明应该做什么，而把手工操作留给木工和瓦工．他还说：“我没有做过任何不精心的删节．”他在《几何》中明确表示：他不愿夺去读者们自己进行加工的乐趣．他说之所以删去大多数定理的证明，是因为如果读者系统考查他的题目，则证明就成为显然的了，而且这样学习会更为有益．不过，由于笛卡儿的《几何》过于难懂，还是影响了解析几何的传播速度．后来有人给此书写了许多评注，使它易于理解．
小结：
但从数学思想的先进来说，笛卡儿无疑是优胜者．他以十分鲜明的态度批评了希腊数学的局限，并自觉地突破了这一局限．他用代数方法代替传统的几何方法，认为曲线是任何具有代数方程的轨迹．这种思想不仅扭转了代数对几何的从属地位，而且大大扩展了数学的领域．只要我们把现代数学研究的种类繁多的曲线同希腊人所承认的曲线种类相比较，就知道摆脱尺规作图的束缚是何等重要了．