平面解析几何的产生 课件 (4)

课件26张PPT。第四讲 平面解析几何的产生一、坐标思想的早期萌芽1、公元前4世纪中叶，古希腊数学家门奈赫莫斯发现了圆锥曲线。
2、公元前200年左右，阿波罗尼奥斯著有《圆锥曲线论》8卷，全面论述了圆锥曲线的各种性质，其中采用了一种“坐标”。以圆锥体底面的直径作为横坐标，过顶点的垂线为纵坐标，加之所研究的内容，可以看作是解析儿何的萌芽。3、14世纪，法国数学家奥雷姆在其1360年出版的《论质量与运动的结构》等书中提出一种坐标儿何。用两个坐标来确定点的位置。用水平线上的点表示时间，称为径度；而所对应的速度则用纵线表示，称之为纬度。这是从天文、地理坐标向近代坐标儿何学的过渡。
4、16世纪末，法国数学家韦达提出了应用代数方法解决几何问题的思想.书达是符号代数的创始人，他在代数专著《分析五篇》和几何专著中都使用代数方法解决儿何问题.曾圆满地解决了阿波罗尼奥斯的问题，他的思想给笛卡儿以很大启迪.此外，开普勒发现行星运动三大定律，伽利略研究抛射物的运动轨迹，都要求数学从运动变化的观点研究和解决问题.上述这一切促使了解析几何学的诞生。
二、 笛卡尔与解析几何的产生 在17世纪以前，代数和几何基本是分离的。代数主要研究“数”，而几何主要研究“形”。第一个在代数和几何上架起一座桥梁的人是法国的笛卡尔。 （一）笛卡尔生平
笛卡尔（1596-1605）生活在资产阶级与封建领主、
科学与神学进行激烈斗争的时代。从读书始便对僵化的说
教有强烈的怀疑批判精神，坚定不移地寻找真理。

笛卡尔在获得法学博士学位后，为了“读世界这本大书”，曾到荷兰服役，一边到各地旅行，一边和朋友讨论数学和科学问题。他探求正确的思想方法，认为创立为实践服务的哲学“才能成为自然的主人”。
退伍以后，主要居住在荷兰，也曾回到法国，从事学术研究。1649年应邀去瑞典担任女王的教师，最后因肺炎病逝在异国。
笛卡儿的主要著作都是在荷兰完成的，其中1637年出版的《方法论》一书成为哲学经典。
这本书中的3个著名附录《几何》《折光》和《气象》更奠定了笛卡儿在数学、物理和天文学中的地位。
在《几何》中，笛卡儿分析了几何学与代数学的优缺点，并由此创立了解析几何。所以说笛卡尔是解析几何的创始人。 恩格斯对笛卡尔的这一贡献给予高度评价，他在《自
然辩证法》中说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有
了变数，运动进入了数学，有了变数，微分和积分也就成
为必要的了。
（二）解析几何的产生
15、16世纪，欧洲由封建社会向资本主义社会过渡，
进入文艺复兴时期。特别是从17世纪起，从封建社会内部
产生出来的资本主义生产关系，处于它的上升时期，曾促进
了社会生产的迅速发展。 远洋航行、矿山开采、机械制造以及资本的对外扩张，向自然科学提出了大量的问题。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。
这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，相应地要求数学提出新的概念与方法，于是产生解析几何的条件便成熟了，导致了解析几何的出现。 笛卡儿（Descartes,1596年~1650年）由于亲自参加社会实践，重视对机械曲线的探讨，终于突破了用综合法研究静止图形的局限性，在他所著的《方法论》一书的附录《几何学》中引进了变数，开始应用代数思想解决几何作图问题；后来逐渐出现用方程来表示曲线的思想。 他的基本思想是借助坐标法，把反映同一运动规律的空间图形（点、线、面）同数量关系（坐标和它们所满足的方程）统一起来。
从此，由曲线或曲面求它的方程，以及由方程的讨论研究它所表示的曲线或曲面的性质，就成了解析几何学的两大基本问题。
（三）解析几何的基本思想
1、解析几何的方法论基础 《几何学》作为笛卡儿哲学著作《方法论》的附录，意味着他的几何发现乃至其他方面的发现都是在其方法论原理指导下获得的。
笛卡儿方法论原理的本旨是寻求发现真理的一般方法，他称自己设想的一般方法为“通用数学”（mathesis univer salis），即：
任何问题→数学问题→代数问题→方程求解。
为了实施这一计划，笛卡儿首先通过“广延”（extension）的比较，将一切度量问题化为代数方程问题，为此需要确定比较的基础，即定义“广延”单位，以及建立“广延”符号系统及其算术运算，特别是要给出算术运算与几何图形的对应，这就是笛卡儿几何学的方法论背景。 2、解析几何的基本思想
笛卡尔的《几何学》共分三卷，
第一卷讨论尺规作图；
第二卷是曲线的性质；
第三卷是立体和“超立体”的作图，但它实际是代数问题，探讨方程的根的性质。 从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。
他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。 为了实现上述的设想，笛卡尔从天文和地理的经纬制
度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。x,y
的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用
代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。 三、费马的解析几何思想 费马关于曲线的工作，是从研究古希腊几何学家，特别是从阿波罗尼斯的工作开始的. 他在认识到阿波罗尼斯所用几何方法的困难之后，萌生了用代数来研究曲线性质的想法.
费马的坐标几何研究很可能把阿波罗尼斯的结果直接翻译成代数的形式.特别是关于研究圆锥曲线方法的探索，费马是直接从阿波罗尼斯的研究出发的. 四、解析几何的进一步发展 在笛卡儿和费马不约而同、殊途同归地建立解析几何后，解析几何获得了迅猛发展。并广泛地应用到各个数学分支中.
1、意大利数学家卡瓦列利最先使用极坐标来求阿基米德螺线下的面积.牛顿则第一个把极坐标看成是确定平面上点的位置的一种方法.
2、18世纪，法国数学家克莱罗（A.C.Clairaut.1713-1765）、瑞士的欧拉以及法国的拉格朗日等都讨论了曲面和空间曲线的解析理论.
3、19世纪，德国数学家普吕克（J.Placker，1801-1868)发表了《解析几何的发展》和《解析几何系统》。以优美的方式证明了该领域中的许多结论和定理，在解析几何发展史上占有重要地位.
4、在解析几何中，“坐标”一词是由德国数学家莱布尼茨于l602年首先使用的.“纵坐标”
也是他在两年后正式使用的.“横坐标”一词则一直到18世纪才由德国数学家沃尔夫
解析几何学大大推进了微积分的创立和发展，它的直接推广还产生了代数几何分支.本章思考题：
1、试举例解析几何的早期萌芽？
2、简述笛卡儿在解析几何方面的贡献？
3、简述解析几何的思想