微积分产生的历史背景 教案 (4)

微积分产生的历史背景
教学目标分析：
1、了解微积分产生的时代背景，进一步形成客观事物具有相互制约、相互转化、对立统一的辩证关系的观点。
2、通过了解微积分思想方法形成的历史过程，学生对数学的本质、数学方法及数学对社会发展的意义和作用有较明晰的认识。
3、激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养积极进取的精神。
重难点分析：
重点：了解微积分产生的历史背景。
难点：理解微积分的内涵。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一、求积理论的发展
在16世纪，积分思想是围绕求积问题发展的，而计算物体重心是与求积有关的一个重要问题．微积分的先驱之一——斯蒂文，首先在这方面有了突破．他在1586年出版的《平衡的原理》(De Beghinselen der weeghconst)一书中，用极限思想证明了三角形的重心落在中线上．
如图11．1，AD是△ABC的一条中线．斯蒂文在△ABC内作一系列平行四边形，根据阿基米德证明过的对称原理，内接图形的重心应在中线上．当平行四边形的个数无限增加时，内接图形便无限接近△ABC，假定△ABD与△ACD的“重量”不等，其差必为一常数．当平行四边形的个数增加到某一数值时，必使内接图形与△ABC的差小于任意给定常数，从而使△ABD与△ACD之差小于所给常数．这就证明了△ABD与△ACD“重量”相等，即△ABC的重心落在中线上．显然，斯蒂文把三角形看成平行四边形和的极限，其中蕴含着积分思想的萌芽．
开普勒进一步发展了求积中的极限方法，他把球看成是由无穷多个棱锥组成的，每个棱锥的顶点都在球心，底面在球的表面上，高等于球半径r．把这些棱锥的体积加起来，由棱锥体积公式立即得到

开普勒的这一杰出思想，还体现在1615年发表的《测定酒桶体积的新方法》(Nova Stereometria doliorum vinariorum)一书中．据说他对求积问题的兴趣，起源于对啤酒商的酒桶体积的怀疑．他在该书中讨论了许多旋转体的体积，其基本思想是化曲为直，即把曲线形看作边数无限多的直线形．例如，他把圆看作边数为无限的多边形，因此圆面积等于无穷多个等腰三角形面积之和，这些三角形的顶点在圆心，底在圆上，而高为半径r．显然，圆面积等于圆周长与半径的乘积之半．他对球体积公式的推导就是在此基础上发展而来的，著名的开普勒行星三定律中的第二定律——由太阳到行星的向径扫过的面积与经过的时间成正比，其推导过程也应用了这种求积方法．用无穷多个同维的无限小元素之和来确定曲边形面积和体积，这是开普勒求积术的核心，是他对积分学的最大贡献．他的许多后继者都吸取了这一精华．
在《两种新科学》(全名是《关于两种新科学的论述与数学证明》，Discourses and Mathematical Demonstrations Concerning Two New Sciences，1634)一书中，伽利略的求积方法与开普勒一脉相承．在处理匀加速运动问题时，他证明了在时间一速度曲线下的面积就是距离．如图11．2，假定物体以变速v=32t运动，则在时间OA内通过的距离就是面积OAB．伽利略所以得到这个结论，是因为他不仅把A′B′当作某个时刻的速度，而且把A′B′当作无穷小距离(即把A′B′看作速度与无穷短时间之积)．他认为由动直线A′B′组成的面积OAB必定是总的距离．因为AB是32t，OA是t，所以OAB的面积为16t2，即在时间t内走过的距离为16t2．结论显然是正确的，但推理不够严格．
系统运用无限小元素来计算面积和体积，是通过伽利略的学生卡瓦列里实现的．从1635年发表的《不可分连续量的几何学》(Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota)一书可以看出，他不仅继承了开普勒与伽利略的思想，而且有明显的变革．第一，他不再把几何图形看作同维无穷小元素所组成，而是看作由维数较低的无穷小元素所组成，并把这些无穷小元素称为“不可分量”．例如，体积的不可分量是无数个平行的平面．第二，他建立起两个给定几何图形的不可分量之间的一一对应关系，若每对量的比都等于同一个常数，则他断定两个图形的面积或体积也具有同样比例．所谓卡瓦列里原理便是在此基础上提出的，下面，我们以他对球体积的推导为例，说明他是怎样通过不可分量的比较来求积的．
如图11．3，设DHC是以O为圆心的半圆，ABCD是它的外切矩形．以OH为旋转轴，则正方形OHBC画出圆柱，三角形OHB画出圆锥，而弧HC画出半球面．用平行于底面的任意平面去截这些图形，则产生以G为圆心的半径分别为RG、FG和EG的圆，它们分别为圆柱、圆锥和半球的不可分量，这些不可分量存在如下关系：
OE2=GO2＋EG2
即 RG2＝FG2+EG2．
所以 πRG2＝πFG2＋πEG2．
由于截面的任意性，所以圆柱体积等于半球与圆锥体积之和，设球半径为r，则

大约在1636年，费马提出一种新的求积方法．他吸收了开普勒的同维无限小元素思想，又保留了卡瓦列里不可分量法在求积问题上的有效
坐标为a，αa，α2a…的点(比例常数α＜1)，然后在这些点上作纵坐标，于是整个图形被分割成无数个小矩形(图11．4)，这些矩形的底边分别为
(1-α)a，α(1-α)a，
α2(1-α)a…
　
于是，各矩形面积构成一个几何级数：
为使矩形和充分接近抛物线所围面积，须将矩形的宽无限缩小，即令α→1．为此，费马先令α=βq，则

若α→1，则β→1，上式分子为q个1之和而分母为p＋q个1之和，
　
显然，在费马辛勤耕耘的数学园地里，已经看得见定积分的曙光了．费马的思想与定积分的差距仅仅在于：第一，尚未抽象出定积分的概念；第二，还未建立一般的积分公式．
与费马相比，帕斯卡的求积方法更为有效，因为他采取了略去无穷序列之和的高次项的方法(1654年)，这种思想对莱布尼茨和牛顿有很大影响．例如，帕斯卡在计算以曲线y=x2为一边的曲边三角形面积时，把由曲线y＝x2，x轴和直线x＝a围成图形的底分成n等分，于是得到n个矩形(图11．5)，他称这些矩形为“无穷小矩形”，用它们取
d·d2+d·(2d)2+d·(3d)2＋…＋ d(nd)2
　
法证明了由一般曲线y＝xn，x轴和直线x＝a所围成的曲边梯形面积
在牛顿和莱布尼茨之前，为发明微积分作准备工作最多的是英国的沃利斯．他的《无限算术》(Arithmetica Infinitorium，1655)一书，把不可分量法译成了数的语言，从而把几何方法算术化．他把几何中的极限方法转移到数的世界，首次引入变量极限的概念，他说：“变量的极限——这是变量所能如此逼近的一个常数，使得它们之间的差能够小于任何给定的量．”他使无限的概念以解析形式出现在数学中，从而把有限算术变成无限算术，为微积分的确立准备了必要的条件．牛顿便曾直接得益于《无穷算术》．我们从下面的例子可以清楚地看出沃利斯的思想特点．
在求曲线y＝xn下的面积时，沃利斯不是直接去求，而是考虑该面积与横轴及过端点的纵线为边而成的矩形OABC(图11．6)之比，即
　
把横轴从0到a分为m等分，则曲线y=xn下的面积近似为：
0n+1n+2n+…＋an，
而与此相比较的矩形面积为
an+an+an+……＋an．
它们的比为

当m→∞时，上式的极限便是曲线下的面积与矩形面积之比．
沃利斯分别考虑了n＝1，2，3，4，5，6的情况．当n＝2时，有

任意给定的量．”如果项数趋于无限，则这个差将“趋于消失”，因此
显然，沃利斯已经接近现代意义的定积分了．
二、微分方法的形成
微分方法形成于对速度、切线和极值的研究．
关于切线的新观点是伽利略首先提出的，他认为作斜抛运动的物体具有两个方向的速度——水平速度PQ和垂直速度PR，它们的合速度是以PQ和PR为边的平行四边形的对角线PC(图11．7)，它代表了物体在P点运动的方向，即运动轨迹在P点的切线．在这一认识的基础上，伽利略的学生、意大利数学家托里切利(E．Torricelli，1608—1647)对切线作了进一步的研究．
托里切利的方法可用现代数学语言叙述如下：设O是抛射体M的初始位置(图11．8)，M具有垂直下落的速度gt(g是重力加速度)及水平速度u，于是在瞬间t有
　
可见动点M(即抛射体)的轨迹是抛物线．由于垂直速度与水平速度之比为

再应用相似三角形的性质，可知M点的切线同抛物线对称轴的交点与顶点的距离为y．所以，只要由o点向上量出y，就很容易作出M点的切线了．不过这种方法只局限于力学范畴，不能适用于一般的曲线切线．
同托里切利相比，费马的方法就普遍多了．在“求最大值和最小值的方法”(Methodus ad Disquirendam Maximamet Minimam， 1637)一文中，费马求切线的方法大致如下：
设PT是曲线在P点的切线(图11．9)，PQ⊥TQ．费马称TQ为次切线，只要知其长，便可确定T点，从而作出切线TP．
为确定TQ，设QQ1为TQ的微小增量，其长为E(相当于今天的Δx)．
∵△TQP∽△PRT1，
费马认为，当E很小时，RT1同RP1几乎相等，因此有

若改写成现在的符号，以f(x)代替QP，则上式变为

这时，费马先用E同除分子和分母，然后再让E＝0，便得到TQ的数值．显然，他的方法已接近微分了，只是还未提炼出E→0的极限概念．数学史家伊夫斯(H．Eves)称费马的工作是“微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作．”①
在同一篇论文中，费马还用类似的方法处理了如下的极值问题：分一个量为两部分，使它们的乘积最大．费马令B为给定的量，以A和B－A表示所求的两部分．他认为在E很小时，A－E与A几乎相等，所以他写成
A(B-A)＝(A-E)[B-(A－E)]，
即 2AE-BE-E2=0．
除以E后得 2A-B-E=0．
令E=0，得2A＝B，这便是所求的划分．从本质上来说，费马的方法等价于

如果我们注意一下图11．9，就会发现一个含微小增量的三角形PRT1，它被莱布尼茨称为“微分三角形”，沿用至今．帕斯卡认真研究了这种三角形．在他的《戴东维尔的某些几何发现的信件》(Lettres de A．Dettonville contenant quelquesunes de ses inventions de gēomētrie， 1659)①中正确指出，当区间(即PR)很小时，“弧可以代替切线”，因此可由微分三角形来决定切线．从微积分的观点来看，微分三角形即是由自变量增量Δx与函数增量Δy为直角边所组成
十分重要的．实际上，揭示微分三角形的实质就等于掌握微分概念．不过帕斯卡却忽视了微分三角形两边的商对于决定切线的重要性，所以没有击中微积分的要害．
认识微分三角形两边之商对于决定切线的重要性的是英国的巴罗．在《几何讲义》(Lectiones geometricae， 1670)一书中，巴罗叙述的方法大致如下：
如图11．10，欲求给定曲线上P点的切线，令Q为曲线上点P的邻点，则△PTM与△PQR接近于相似．巴罗认为，当小三角形变得无限小时，则

　
令QR＝e，RP＝a，若P的坐标是x和y，则Q的坐标是x－e和y-a．将这些值代入曲线方程，并略去e和a的二次以上的项，即可求出比值
(x-e)3＋(y－a)3=r3，
即 x3－3x2e＋3xe2－e3＋y3－3y2a+3ya2-a3=r3．
略去e和a的二次以上的项，得
x3－3x2e+y3－3y2a=r3，
即 3x2e＝－3y2a．

几何与微积分的关系，如果没有解析几何中的坐标观念和以方程表示曲线的理论，是不会产生微分概念的．
巴罗的贡献不仅在于微分，还在于他首次认识到作切线与求积的互逆关系，这说明他已对微积分基本定理有了局部的认识．他的这项成果反映在《几何讲义》第十讲中．
为方便起见，设y轴和z轴方向相反，并设f(x)为增函数．如图11．11，以曲线y＝f(x)为一边的曲边梯形面积用z＝A(x)表示．给定x轴上的一点D(x0，0)，设T是x轴上一点，使得
　
　
巴罗断言：直线TF与曲线z=A(x)只在点F(x0，A(x0))相接触，即TF是z=A(x)的切线．从微积分的观点看，这相当于由z＝
标．这显然与微积分基本定理相符．不过，巴罗并没有用分析的方法定义斜率，也没有从理论上总结出微分与积分的互逆关系．他只用如下方法证明了他的结论．
设x1＜x0，由I(x1，A(x1))作IL∥x轴，交TF于K．
　
∴ LF＝LK·DE．
但LF＝DF－PI＝A(x0)－A(x1)＜DP·DE(考虑到f(x)是增函数)，
∴ LK·DE＜DP·DE，
∴ LK＜DP=LI．
即K在I的右边．
理可证x1＞x0时K亦在I的右边，所以直线TF与曲线A(x)只有一个接触点F．
显然，巴罗的思想完全是以几何面貌出现的，所以还不能看作微积分的真正创始．
综上所述，数学家们已经作了大量属于微积分范畴的工作．但如果说他们已经发明微积分，那就不合适了．因为微积分的产生需要三个不可或缺的条件：一是引入变化率的概念；二是建立具有普遍意义的微分和积分方法；三是确认微分与积分的互逆关系．但上述数学家的兴趣都在于今天说来应该算是微积分应用的那些方面——作切线、求面积、求体积等等．尽管在具体工作中一步步接近微积分，但谁也没有抽象出变化率这个微积分的基本概念，谁也没有建立起普遍适用的方法．巴罗虽然在几何问题中注意到作切线与求积的互逆关系，但并没有从理论上概括出微积分基本定理．至于其他数学家，则从未考虑过这种互逆关系．
实际上，数学中的重大突破总是与许多人的辛勤工作分不开的．在此基础上需要一位杰出人物走那最后的，也是最关键的一步，这个人要能够从大量材料中清理出前人的有价值的思想，能够洞察问题的本质，给予理论上的概括和提高．在微积分方面，这个人就是牛顿．
小结：
（1）微积分的发明不是一蹴而就的，而是人类集体智慧的结晶，是无数科学家长期奋斗的结果。
（2）数学来源于实践，没有当时大量实际问题的涌现，没有科学家深入实际，将大量实际问题转化为数学问题的研究，是不可能产生微积分理论的。