微积分产生的历史背景 教案 (7)

微积分产生的历史背景
教学目标分析：
1、了解微积分产生的时代背景，进一步形成客观事物具有相互制约、相互转化、对立统一的辩证关系的观点。
2、通过了解微积分思想方法形成的历史过程，学生对数学的本质、数学方法及数学对社会发展的意义和作用有较明晰的认识。21·cn·jy·com
3、激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养积极进取的精神。
重难点分析：
重点：了解微积分产生的历史背景。
难点：理解微积分思想方法形成的历史过程。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一、古代东西方微积分思想的萌芽
微积分学的核心概念之一——极限，其理论的完善得力于19世纪柯西和魏尔斯特拉斯的工作，但极限的观念、思想可以追溯到遥远的古代。2·1·c·n·j·y
公元前五世纪古希腊的安提丰提出“穷竭法”，前四世纪由欧多克斯作了补充和完善，他们用来求平面圆形的面积和立体的体积。方法记载在欧几里得的《几何原本》中，公元前三世纪阿基米得用“穷竭法”求圆的面积，认为圆的面积与正内接(外切)多边形面积之差可以被“竭尽”，得圆周率约等于3.14。西方人在17世纪(1647年)时称这种没有极限步骤，但给出证明蕴含极限思想的求积方法为“穷竭法”。中国前四世纪春秋战国时代学者惠施称：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，引出收敛的数列1[]2，1[]22，…，1[]2n，…。江泽民主席1997年访美时，11月1日在哈佛大学发表演讲，说“记得我在高中读书时，老师给我们讲微积分，第一课就是讲《庄子》中的‘一尺之棰，日取其半，万世不竭’，很形象地使我建立起极限的概念，”指出：“我们的先人对自然界的认识已达到相当高的水平。”安提丰的“穷竭法”和惠施的“一尺之棰”都是极限思想的滥觞。至公元三世纪，三国魏人刘徽作《九章算术》注，提出“割圆术”，以圆的内接正6×2n-1 (n＝1，2……)边形的面积An近似单位圆的面积π（π≈An），算到6×25＝192边形，得π≈157/50或3.14，又进一步算到6×29＝3072边形，得到一个相当于3.14159的分数。刘徽认为：“割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。即n愈大，π-An愈小；n→∞，π-An→0，则An→π，剩余面积可以被“竭尽”，这种思想也含有积分的雏形。刘纯称之为“无穷分割求和原理”。刘徽的工作影响较大，后来有祖冲之更好的结果。www-2-1-cnjy-com
积分思想，源自欧多克斯的穷竭法。古希腊最接近积分的是阿基米得于前225年求抛物线弓形面积的工作，他在抛物线弓形与其内接最大的三角形的每一个空间中又内接一个新的三角形，这三角形与剩余空间同底同高，这样无限进行下去，最后的三角形就非常小了，他的方法实际上也是无穷级数求和最早的例子，用了几何级数1+1[]4+1[]42+…+1[]4n+…=3[]4。【来源：21cnj*y.co*m】
中国古代思想家荀况的《荀子·大略》中有“尽小者大，积微者著”一语(使我们想起荀子的另一些名言：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”),之后何承天 “积微之量”一说也继承这种思想。至11世纪宋代沈括《梦溪笔谈》中也提到“造微之术”，当代英国著名科学史专家李约瑟博士认为，他的思想和600年后微积分先驱者卡瓦列里的无穷小求和相当，沈括知道，分割的单元愈小，所求得的体积、面积愈精确。上述这些思想尽管没有导致微积分在中国诞生，但对近代(清)李善兰将西方微积分学介绍到国内，著《代微积拾级》，首创“微分”、“积分”等许多贴切的中文译名不无影响，也说明我国古代微积分的观念发端甚早，渊源很深。【出处：21教育名师】
二、微积分创立前夕欧洲的思想和社会背景
15-16世纪的文艺复兴运动使欧洲的精神文化面貌发生了深刻的变化，对自然界的研究蓬勃开展，数学也活跃起来了。这一时期，人们的独立思考和自由探讨的精神得到了发扬，对于过去的文化遗产，人们都投以审视的目光，然而，数学的逻辑严密性而赢得人们特殊的重视和信赖，都认为数学知识确定无疑，艺术三杰(达·芬奇、米开朗基罗、拉菲尔)之一达·芬奇指出“除非通过数学上的说明和论证，人们的探讨不能称为科学的。”达·芬奇为艺术大师，也精通数学，西画所采用的透视法就基于数学原理，据说达·芬奇的名作《最后的晚餐》，那个犹大就位于画面长度的0.618：0.382的分点处。当时人们都崇尚黄金分割，认为0.618蕴含着和谐之美。【版权所有：21教育】
17世纪是从布鲁诺捍卫哥白尼的太阳中心说为真理献身(1600年2月17日，罗马鲜花广场)揭开序幕的，1632年，伽利略宣传哥白尼学说，出版《关于托勒密与哥白尼两大世界体系的对话》，1633年受罗马教庭迫害，他坚定的科学信念为后世所景仰。1979年，罗马教皇约翰·保罗二世提出为伽利略“平反”一桩冤案，历经三个多世纪，令人感概不已。21教育名师原创作品
教会势力对科学的迫害，阻挡不了人们对自然深入研究的热情，对数学感兴趣的，不仅有职业数学家和教师，还有业余爱好者。但由于历史的局限，当时的科学家不可能成为无神论者，古希腊的毕达哥拉斯称“万物皆数”，伽利略认为：数学是上帝用来书写宇宙的文学。他们相信上帝按数学方式设计了大自然，进行研究就是为了发现上帝赋予的次序与和谐，从混沌中发现有序是数学的伟大使命。21*cnjy*com
在社会变革和生产力发展方面，1640年英国资产阶级革命爆发。1649年英王查理一世被处死，革命达到了高潮。欧洲一些国家处于资本主义上升时期，生产力得到空前发展，航海、工商业、工程建筑设计都发达起来，研究物体的运动和变化成了日益迫切的课题，力学在各门学科中首先兴盛，但它的进步必须依靠数学，各种实际问题(包括古老的天文学问题以及历史悠久的面积、体积测算)都要求数学引入新的概念，提出更有效的算法。
就科学本身而言，十七世纪时开始了它的革命化-数学化的进程，笛卡儿说，科学的本质是数学；伽利略认为，任何科学分支都应在数学模型上取图案。伽利略、惠更斯、牛顿都相信，科学中演绎数学所起的作用比实验作用还要大。他们是科学数学化的推动者。这种进程现在还在延续，并有加速的趋势。数学已渗透到生命科学，社会科学等过去从未涉足的领域。当时，以力学方面的需要为中心，至少有4类问题直接导致微积分的诞生。
1?已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度(还有反问题的求解)
2?曲线切线问题，透镜设计要考虑曲线的法线，实际上就是求切线，运动物体在任一点处的运动方向即该点的切线方向。21教育网
3?炮弹射程问题：求获得最大射程的发射角，求行星离太阳最远最近距离(近日点、远日点)讨论函数的最大最小值。【来源：21·世纪·教育·网】
4?曲线的弧长、曲线围成的平面图形的面积，曲面围成的立体体积，物体重心，引力等等。思想的解放、生产力的发展、科学的革命化促使人们去思索，解决这些迫切需要解决的问题，经过长时间的研究，讨论、酝酿，有关的知识渐渐积累起来了，一些最活跃的人物理当称为微积分学的先驱。2-1-c-n-j-y
三、微积分学先驱者的重要贡献
1、笛卡儿、费马和解析几何学的诞生
笛卡儿年轻时在军队服役，那时他就孜孜不倦地研究数学，他说：“…我决心放弃那仅仅是抽象的几何，这就是说，不再去考虑那些仅仅用来练习思想的问题，我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然的几何。”笛卡儿经过多个日日夜夜的苦思冥想，在连续梦境的第二天，“开始懂得这惊人发现的道理。”这个惊人的发现即坐标几何即今称为解析几何。笛卡儿创立的解析几何就要与传统的古希腊的几何决裂，1637年他出版了名著《更好地指导推理和科学真理的方法论》(简称《方法论》)有三个附录，其一为《几何》，表达了他(将代数用于几何)用方程表示曲线的思想。选定一条直线为基线，取一点A为原点，X为基线上的点到A的线段长度，过基线上的该点作一线段，与基线成固定角度(现取90度)，Y值即此线段的长。这样就引入了笛卡儿的坐标系，线段的另一端点就描出一条曲线。给定含X、Y的一个方程(X，Y≥0)都可以求出它的曲线，他着重于方程的轨迹(图形)，在曲线领域内迈了一大步。此外，他还引入了变量(变数)的思想，称一些量为“未知和未定的量”，相当于现在的变量。恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分就立刻成为必要的了。” 21cnjy.com
另一位创立者费马1629年提出解析几何的基本原理，他强调的是轨迹的方程，这与笛卡儿所考虑的恰好是解析几何相辅相成的两个方面，共同点为集中考察了含连续变量的不确定方程F(X，Y)＝0，而不是韦达所研究的解为常数的一元二次方程，费马还研究了切线的作法，他的方法有现代微分学的形式，他是考虑函数在极值点附近的特性解决极植的第一个人⑻，认为“一个数量达到它的最大值或最小值的时刻，他的变化好像停止了”(即变化率为0，f′(x)＝0)。21*cnjy*com
2、伽利略与近代科学方法论的奠基
伽利略是近代科学法论的奠基人，他的科学研究方式，第一个采用了实验和数学模型相结合的方法，甚至认为数学推导演绎比实验作用还要大，他用这种方法结合在比萨斜塔做的著名试验，指出落体的距离与时间的平方成正比，S＝kt2，揭示了自由落体的规律，为近代的第一个数学模型，也具备函数概念的初步形式。事实上，他对问题作了抽象、简化，先不考虑阻力，然后再考虑有介质的情形。M.克莱因说“数学的抽象方法确实离开了现实，说也奇怪，当回到现实时，它却比所有因素考虑进去更有力。”牛顿等人也接受这种思想，认为科学研究不必要做太多的实验，重要的方法是数学的描述，牛顿的万有引力定律的发现是一个最成功的范例。
3、其他先驱者的工作
17世纪求面积、体积、曲线长，始于开普勒，他怀疑酒商的酒桶体积，发表《测量酒桶体积的新科学》，认为旋转体的体积是非常薄的圆盘体积之和(“无限多个无限小元素之和”)，卡瓦列里求积提出不可分量法，认为面积是无数个等距平行线段构成的。线是由点构成的，就象链由珠子穿成一样；面是由直线构成的，就象布由线织成一样。立体是由平面构成的，就象书由页组成一样。卡瓦列里的理论是欧多克斯的“穷竭法”到牛顿、莱布尼兹过渡。托里拆利对他的方法作了改进，更接近于现代积分。帕斯卡)将纵坐标之和发展为无限多个矩形之和，也接近于现代积分。费马克服了卡瓦利里的方法缺点，几乎采用了现代积分的全过程，用小矩形面积近似小曲边形面积，最后用相当于和式极限的方法得到正确结果，他求了一个幂函数曲线下的曲边形的面积。之后还有华里斯，罗贝瓦尔的工作。但上述这些人都没有提练出更有价值和普遍意义的东西，尽管费马已站在积分发明的大门口。www.21-cn-jy.com
微分的研究源于对切线，极值和运动速度等问题的处理。对于切线，早期有笛卡儿、罗贝瓦尔、托里拆利的工作。开普勒用列表法确定最大体积，注意到体积接近最大值时，由尺寸的变化引起体积的变化越来越小，这正是f′(X)＝0的原始形式。费马的切线作法载于他1637年发的手稿《求最大值和最小值的方法》中.巴罗的求切线方法，考虑了“微分三角形”(一边为dx,一边为dy，一边为ds)，认识到Δy[]Δx的重要性。恩格斯称赞说：“当直线和曲线的数学可以说山穷水尽的时候，一条新的几乎无穷无尽的道路，由那种把曲线视为直线(微分三角形)并把直线视为曲线(曲率无限小的一次曲线)的数学开拓出来了。”21·世纪*教育网
小结：
微积分的发明不是一蹴而就的，而是人类集体智慧的结晶，是无数科学家长期奋斗的结果。数学来源于实践，没有当时大量实际问题的涌现，没有科学家深入实际，将大量实际问题转化为数学问题的研究，是不可能产生微积分理论的。
恩格斯指出，只有微积分学才能使自然科学有可能用数学来不仅表明状态，并且也表明过程、运动。他又说：“在一切理论成就中，未必再有什么象十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”。21世纪教育网版权所有