微积分产生的历史背景 学案 (5)

微积分产生的历史背景
一、自学目标：通过本专题的学习，了解微积分产生的时代背景和微积分思想方法形成的历史过程
二、自学内容提炼
（一）知识梳理：
微积分思想真正的迅速发展与成熟是在 世纪以后。1400年至1600年的欧洲文艺复兴，使得整个欧洲全面觉醒。一方面，社会生产力迅速提高，科学和技术得到迅猛发展；另一方面，社会需求的急需增长，也为科学研究提出了大量的问题。这一时期，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，以常量为主要研究对象的古典数学已不能满足要求，科学家们开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变量为主要研究对象的研究上来，自然科学开始迈入综合与突破的阶段。 微积分的产生，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。有四种主要类型的科学问题：21世纪教育网版权所有
第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的 的公式，求物体在任意时刻的速度和 使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；21教育网
第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的 问题变得不可回避；
第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、 问题也急待解决；21·cn·jy·com
第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体 与 等，又使 、 、 、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。
在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具。这里我们只简单介绍在微积分酝酿阶段最具代表性的几位科学大师的工作。
① (J.Kepler,1571-1630)与 法。德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表的《测量酒桶的新立体几何》中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法。他的无限小元法的要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积，如他认为球的体积是无数个顶点在球心底面在球上的小圆锥的体积的和。② (B.Cavalieri,1598-1647)与不可分量法。意大利数学家 在其著作《用新方法推进的连续的不可分量的几何学》(1635)中系统地发展了不可分量法。他认为点运动形成线，线运动形成面，体则是由无穷多个平行平面组成，并分别把这些元素叫做线、面和体的不可分量。他建立了一条关于这些不可分量的一般原理（后称卡瓦列里原理，既是我国的祖原理）：如果在等高处的横截面有相同的面积，两个有同高的立体有相同的体积。③ (I.Barrow,1630-1677)与“ ”。 是英国的数学家，在1669年出版的著作《几何讲义》中，他利用微分三角形（也称特征三角形）求出了曲线的斜率。他的方法的实质是把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无限小来取极限。巴罗是牛顿的老师，英国剑桥大学的第一任“卢卡斯数学教授”，也是英国皇家学会的首批会员。当他发现和认识到牛顿的杰出才能时，便于1669年辞去卢卡斯教授的职位，举荐自己的学生—当时才27岁的牛顿来担任。巴罗让贤已成为科学史上的佳话。④ (R.Descartes,1596-1650)、费马(P.deFermat,1601-1665)和坐标方法。笛卡儿和费马是将坐标方法引进微分学问题研究的前锋。 在《 》中提出的求切线的“圆法”以及费马手稿中给出的求极大值与极小值的方法，实质上都是代数的方法。代数方法对推动微积分的早期发展起了很大的作用，牛顿就是以笛卡儿的圆法为起点而踏上微积分的研究道路。⑤ (J.Wallis,1616-1703)的“ 算术”。沃利斯是在牛顿和莱布尼茨之前，将分析方法引入微积分贡献最突出的数学家。在其著作《无穷算术》中，他利用算术不可分量方法获得了一系列重要结果。其中就有将卡瓦列里的幂函数积分公式推广到分数幂情形，以及计算四分之一圆的面积等。2·1·c·n·j·y
17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近，但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。前驱者对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵的贡献，但他们的方法仍缺乏足够的一般性。虽然有人注意到这些问题之间的某些联系，但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来，作为微积分基本特征的积分和微分的互逆关系也没有引起足够的重视。因此，在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论，成为17世纪中叶数学家面临的艰巨任务。【来源：21·世纪·教育·网】
（二）典例选讲
笛卡儿求切线的“圆法”。

法国数学家笛卡儿用代数方法（即圆法）求出了曲线在其上某一点处的切线方程。
笛卡儿求曲线y=f（x）过点P（x，f（x））的切线斜率的“圆法”是：（如图）过C点（曲线在点P处的法线与x轴的交点）作半径为r=CP的圆C：。因CP是曲线y=f（x）在P点的法线，则P应是曲线与圆C的“重交点”。若是多项式函数，有重交点就相当于方程有重根x=e，从而，比较系数得v与e的关系，代入e=x，便得过P点的切线斜率。21cnjy.com
以为例。点。设
，经特定系数法得知：
。
故切线斜率。
笛卡尔的代数方法正是后来求切线方法的雏形，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分道路的。www.21-cn-jy.com
（三）提出疑点和解决
简述17世纪面临的有待用微积分去解决的四种主要类型的问题。
答：第一类：已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数的公式，求速度和距离。
第二类：问题是求曲线的切线，这是一个几何问题，但对科学的应用有巨大的影响。
第三类：问题是求函数的极大极小值。
第四类：问题包括求曲线的长度,曲线围成的面积等等。