微积分产生的历史背景 学案 (2)

微积分产生的历史背景
一、自学目标：通过本专题的学习，了解微积分产生的时代背景和微积分思想方法形成的历史过程
二、自学内容提炼
（一）知识梳理：
克莱因（M.Klein）认为：微积分的创立，首先是处于17世纪主要 科学问题，即有 种主要类型的问题有待用微积分去解决。21世纪教育网版权所有
第一类：已知物体移动的距离表示为时间的 的公式，求物体在任意时刻的速度和 ；反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数的公式，求速度和 。
第二类：问题是求曲线的 ，这是一个几何问题，但对科学的应用有巨大的影响。
第三类：问题是求函数的 。
第四类：问题包括求曲线的 ,曲线围成的 等等。
首先对微积分的创造作出贡献的是 和 。用无数个无穷小之和计算面积和体积是开普勒的基本思想，而这一思想的精华是从阿基米德的著作中吸收的， 则奠定了实验和理论协调的近代科学精神，这对于微积分的形成是至关重要的。
对于微积分的孕育有重要影响的是1635 年卡瓦列利 (B.Cavalieri意大利)的《不可分连续量的几何学》的发表，他对前人的微积分结果作了初步系统的综合，并创立了一种简易形式的积分法—— 法，使卡瓦列利的不可分量更接近于定积分计算的，是法国的帕斯卡(Ｂ.Pascal)和英国的瓦里士（J.Wallis）。瓦里士是牛顿、莱布尼茨之前把分析方法引入微积分的工作做得最多的人。对微积分的孕育具有重要影响的人物是法国的费马(Fermat)，最迟在1636年他已达到求积分方法上的算术化程度，微积分的另一个重要课题——求极值的方法也是费马创造的。21cnjy.com
在17世纪，至少有10多位大数学家探索过微积分，而牛顿(Newton)、莱布尼茨(Laeibniz)，则处于当时的顶峰。牛顿、莱布尼茨的最大功绩在于能敏锐的从孕育微积分的各种"个例形态中"洞察和清理出潜藏着的共性的东西——无穷小分析，并把它提升和确立为数学理论。21教育网
（二）典例选讲
费马求极值的代数方法。
法国数学家费马求函数y=f（x）在点a处极值（如果存在的话）的代数方法是：用a+e代替a，并使f（a+e）与f（a）“逼近”，即f（a+e）→f（a）。21·cn·jy·com
消去公共项后，用e除两边，再令e消失，即
，
由此方程求出的a就是f（x）的极值点。
以为例，，
。
-1是f（x）的极值点。
费马的方法几乎相当于后来微分学中的方法，只是以符号e代替了增量△x。可以说费马已经走到了微积分的边缘了，再往前迈一步，微积分的发明人也许要改弦易辙了。
（三）提出疑点和解决
简述17世纪面临的有待用微积分去解决的四种主要类型的问题。
答：第一类：已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数的公式，求速度和距离。
第二类：问题是求曲线的切线，这是一个几何问题，但对科学的应用有巨大的影响。
第三类：问题是求函数的极大极小值。
第四类：问题包括求曲线的长度,曲线围成的面积等等。