微积分产生的历史背景 学案 (3)

微积分产生的历史背景
一、自学目标：通过本专题的学习，了解微积分产生的时代背景和微积分思想方法形成的历史过程
二、自学内容提炼
（一）知识梳理：
1609年、1619年 公布了通过观测归纳出的行星运动 大定律，如何从数学上推证这定律成为当时自然科学的中心课题之一。事实上，自文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破的阶段，所面临的数学困难，关注的焦点： 问题、 问题， 问题， 、 、 、 和 计算问题。在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具，特别是描述运动与变化的无限小算法。21世纪教育网版权所有
（1） （意，1564－1642年），1638年《关于力学和位置运动的两种新科学的对话与数学证明》，建立了自由落体定律、动量定律等，为动力学奠定了基础，切线构造为运动合速度方向的直线；21教育网
（2） （德，1571－1630年），1615年《测量酒桶的新立体几何》，论述了求圆锥曲线围绕其所在平面上某直线旋转而成的立体体积的积分法，无穷小求和思想；21cnjy.com
（3） （意，1598－1647年），就学于伽利略，1629－1647年是波罗尼亚大学的数学教授，他那个时代最有影响的数学家之一，虔诚的耶稣会士，曾任帕马的耶稣会修道院院长，1629年任波罗尼亚大学首席数学教授直至去世（1629－1647年），1635年《用新方法促进的连续不可分量的几何学》中提出了线、面、体的 原理，即 原理，无穷小方法计算面积和体积，该书成为研究无穷小问题的数学家引用最多的书籍，1639年他用一可分量原理建立了等价于a^{2}/2的积分公式；21·cn·jy·com
（4） （意，1608－1647年），物理学家、数学家，幼年时表现出数学才能，20岁时到罗马在伽利略早年的学生卡斯提利指导下学习数学，毕业后成为他的秘书，1641年写了第一篇论文《论自由坠落物体的运动》，发展了伽利略关于运动的想法，经卡斯提利推荐做了伽利略的助手，在数学上的主要贡献是推进了不可分量方法，关于高次抛物线和双曲线的切线，获得了面积比等于抛物线的 比，从而本质上证明了＝a{n+1}/(n+1)；
（5） （法，1596－1650年）1637年《几何学》中提出圆法及讨论光的折射时法线的构造方法，由此可导入切线的构造，牛顿是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路；www.21-cn-jy.com
（6） （法，1601－1665年）的极大极小方法（1629）和曲边梯形面积（1636），给出了增量方法及矩形长条分割曲边形并求和的方法，这方法几乎相当于现今微分学中所用的方法；令人奇怪的是，费尔马在应用他的方法来确定切线、求函数的极大值极小值以及面积、求曲线长度等问题时，能在如此广泛的各种问题上从几何和分析的角度应用无穷小量，而竟然没有看到这两类问题之间的基本联系，其实，只要费尔马对他的抛物线和双曲线求切线和求面积的结果再仔细地考察和思考，是有可能发现微积分的基本定理的，也就是说费尔马差一点就成为微积分的真正发明者。2·1·c·n·j·y
（7） （英，1630－1677年），1664年任剑桥大学卢卡斯讲座教授（荣誉数学教授职位，每年有若干津贴，低于大学院院长，不需要再担任神职，也不许再兼其他学校的教授）第一人，以微积分先驱者闻名于世，1669年让位于牛顿，形成于1664年、载于1669年《几何讲义》，求切线方法的关键概念是“特征三角形”或“微分三角形”，Δy/Δx对于决定切线的重要性；此外，微积分基本定理是架设在切线问题和求积问题之间的桥梁，揭示了两者的互逆关系，巴罗在《几何讲义》的第10、11讲中用几何形式给出面积与切线的某种关系，已得到基本定理的要领。【来源：21·世纪·教育·网】
（8） （英，1616－1703年），在牛顿和莱布尼茨以前，将分析方法引入微积分贡献最突出的数学家，是当时最有能力、最有创造力的数学家之一，也是牛顿在英国的直接前辈之一，他推动英国数学界的发展长达半个世纪。1649年他被任命为牛津大学的萨魏里几何讲座教授直至逝世（任职54年），1655年出版《无穷算术》，因而作为一个数学家享誉四方，其中有分数幂积分公式、无穷小分析的算术化等内容，有计算(的著名的沃利斯公式，4/(=3/2(3/4(5/4(5/6(7/6((，引进了现在用的无穷大符号(，最先完整地说明零指数、负指数和分数指数意义的人，为牛顿创立微积分开辟了道路。
17世纪上半叶一系列前驱的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近，这还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生，方法缺乏足够的一般性，没有一般规律性的提出，需要有人站在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论。历史安排牛顿和莱布尼茨在这样关键的时刻出场了。
（二）典例选讲
费马求极值的代数方法。
法国数学家费马求函数y=f（x）在点a处极值（如果存在的话）的代数方法是：用a+e代替a，并使f（a+e）与f（a）“逼近”，即f（a+e）→f（a）。21·世纪*教育网
消去公共项后，用e除两边，再令e消失，即
，
由此方程求出的a就是f（x）的极值点。
以为例，，
。
-1是f（x）的极值点。
费马的方法几乎相当于后来微分学中的方法，只是以符号e代替了增量△x。可以说费马已经走到了微积分的边缘了，再往前迈一步，微积分的发明人也许要改弦易辙了。
（三）提出疑点和解决
简述17世纪面临的有待用微积分去解决的四种主要类型的问题。
答：第一类：已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数的公式，求速度和距离。
第二类：问题是求曲线的切线，这是一个几何问题，但对科学的应用有巨大的影响。
第三类：问题是求函数的极大极小值。
第四类：问题包括求曲线的长度,曲线围成的面积等等。