科学巨人牛顿的工作 学案 (4)

科学巨人牛顿的工作
一、自学目标：通过本专题的学习，了解牛顿在微积分上的贡献，进一步了解微积分思想方法的形成过程。
二、自学内容提炼
（一）知识梳理：
在牛顿、莱布尼兹作最后冲刺前，微分、积分的知识已积累起来，尚未有人发现更具有本质，更有普遍意义的内涵，更谈不上指出两者之间的联系，尽管巴罗已认识到微分是积分之逆，费马的工作也到了微积分创立边缘，但是，他们没有能走出这最后、最高的一步，这一步归功于牛顿、莱布尼兹。21cnjy.com
牛顿、莱布尼兹所要做的工作是创立一个具有划时代意义的新学科，应当包括：
1?纯洁概念。特别是建立变化率的概念。
2?提炼方法。把解决各种具体问题的方法加以提炼，创立有普遍意义的微积分方法。
3?改变形式。变概念和方法论述的几何形式为解析形式，使它应用更广。
依萨克·牛顿1642年12月25日生于 国林肯郡的一个小村庄里。他小时候对数学并无多大兴趣，进了大学后，欧氏几何考试成绩不佳，1661年考入剑桥大学三一学院，到1664年时他对数学发生了浓厚兴趣，1665-1666年在家乡躲避伦敦的鼠疫流行，这两年作了物理学、数学的许多重要发现。1665年5月20日的一页文件中有他关于“流数”(即导数)的记载，不妨将这一天作为微积分诞生的纪念日。1669年牛顿接替老师巴罗为剑桥大学教授，1703年任英国皇家学会会长直到逝世。1705年受英王册封为爵士。死后葬威斯特敏特大教堂。21世纪教育网版权所有
牛顿继承和总结了先辈的思想和方法作出自己独创的建树，伽利略，开普勒、费马、华里斯特别是老师巴罗对他有直接影响。1664年到1666年，牛顿提出 理论，建立了一套求 的方法，他把自己的发现称为“ ”，牛顿是伟大的物理学家，他致力于物体的力和运动的研究，正如爱因斯坦(1878-1955，Einstein,A)在1942年12月25日纪念牛顿诞生300周年时所说：“速度和速度变率-在任何被设想为无大小的物质(质点)的运动的情况下，那就是加速度-这两个概念首先必须以数学的准确性来表达，这项任务导致牛顿发明了微积分的基础。” 21教育网
牛顿称连续变化的量为 量或 量，用英文字母表最后几个字母V、X、Y、Z等来表示，X的无限小的增量△X为X的瞬(X为时间时，即无限小的时间间隔为瞬),用小写字母o表示。流量的速度，即流量在无限小的时间间隔内的变化率，称为流数，用带点的字母，，，表示。牛顿的“流数术”就是以流量、流数和瞬为基本概念的微分学，牛顿用有限差分的最初比和最终比来描述“流数”，如函数Y＝Xn(n为正整数)，流量X从X流动到X+o，函数值的增量(X+o) n-Xn，瞬o与增量之比(最初比)，当o消失时，最后比即1：nXn-1，相当于dy[]dx＝nXn-1。尽管没有明显的极限步骤，对瞬的性态也不太清楚，但牛顿不仅引入了导数，还明确了导数是增量比极限的思想。牛顿在1669年写的《运用无限多项方程的分析学》不仅给出求一个变量对另一个变量的瞬时变化率的普遍方法，而且还证明了“面积可以由变化率的逆过程得到。”如果［0，X］区间上曲线是Y＝ma·xm-1 (a＞0)则它下面的曲边形面积为Z＝a·xm (即∫x0ma·xm-1dx=axm)或dy[]dx＝y,[]＝y(牛顿记号)，这一结论称为牛顿-莱布尼兹定理(微积分学基本定理)，牛顿引入了分部积分法，变量代换法，1671年制作了积分表，又解决了极值，曲线拐点问题，提出了曲率公式，方程求根的切线法，曲线弧长计算方式，且得到许多重要函数的无穷级数表达式，牛顿为微积分的创立做了划时代的奠基工作，足迹几乎遍布每一个数学分支。他提出了牛顿-格里高里内插公式，后来被泰勒发展成为泰勒公式以至泰勒级数。甚至在基本停止数学研究之后，只用了晚饭前的一点余暇时间就解决了所谓“最速降线问题”，所求曲线即摆线，牛顿为变分学的建立作出杰出贡献。
牛顿的著作迟迟不肯发表，有人认为他对新学科的基础不满意，也有人说他怕人家批评。牛顿的工作是创造性的，他认为，除了不屈不挠和保护警觉清醒这两点外和别人没有什么区别，当人们问他如何作出他的发现时，他总是回答说：“经常不断地想它们”。牛顿是审慎、严谨的，有着虚怀若谷的精神，他说：“若说我比笛卡儿看得更远一些的话，那是因为我站在巨人肩上的缘故。”他以天真的童心，把自己比作海边拾贝的孩子，寻找的是光滑的卵石和美丽的贝壳，在面前展现的是未知的大海。www.21-cn-jy.com
牛顿的巨著《自然哲学之数学原理》是留给后人宝贵的遗产。
（二）典例选讲
牛顿的数学方法。
牛顿的“流数术”
牛顿以他的运动学为背景，总结了笛卡尔、费马等人的方法，提出了具有一般意义的“流数”概念，他的《流数简论》的问世标志着微积分的诞生。2·1·c·n·j·y
以函数为例说明流数概念。
设x变为x+o，则变为，
，设增量o消失，它们的比就是
，这就是x的流数与的流数之比。
流数就是现在的微商。
然后牛顿使用流数概念应用于求曲线切线、曲率、拐点，曲线求长、求积、求引力与引力中心等大量问题，展示了流数及其算法的极大普通性与系统性。21·cn·jy·com
（三）提出疑点和解决
分析牛顿的微积分的缺陷
答：牛顿的微积分是不严格的，特别在使用无限小概念上的随意与混乱，这使他们的学说从一开始就受到怀疑和批评。 【来源：21·世纪·教育·网】