科学巨人牛顿的工作 学案 (2)

科学巨人牛顿的工作
一、自学目标：通过本专题的学习，了解牛顿在微积分上的贡献，进一步了解微积分思想方法的形成过程。
二、自学内容提炼
（一）知识梳理：
牛顿(I.Newton,1642-1727)1642年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭，少年时成绩并不突出，但却酷爱读书。17岁时，牛顿被他的母亲从中学召回务农，后来，牛顿的母亲在牛顿就读的格兰瑟姆中学校长史托克斯和牛顿的舅父埃斯库的竭力劝说下，又允许牛顿重返学校。史托克斯的劝说词中的一句话：“在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失”，可以说是科学史上最幸运的预言。1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗。对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。 1665年，牛顿刚结束他的大学课程，学校就因为流行瘟疫而关闭，牛顿离校返乡。在家乡躲避瘟疫的两年，成为牛顿科学生涯中的黄金岁月， 的创立、 以及 理论的发现等都是牛顿在这两年完成的。 牛顿于1664年秋开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展。1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文—《 》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”。“微积分基本定理”也称为 定理，牛顿和莱布尼茨各自独立地发现了这一定理。21世纪教育网版权所有
微积分基本定理是微积分中最重要的定理，它建立了微分和积分之间的联系，指出微分和积分互为逆运算。这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来。正是在这种意义下，我们说牛顿创立了微积分。 《 》标志着微积分的诞生，但它有许多不成熟的地方。1667年，牛顿回到剑桥，并未发表他的《流数简论》。在以后20余年的时间里，牛顿始终不渝地努力改进、完善自己的微积分学说，先后完成三篇微积分论文：《运用无穷多项方程的分析学》（简称《分析学》，1669）；《流数法与无穷级数》（简称《流数法》，1671）；《曲线求积术》（1691），它们反映了牛顿微积分学说的发展过程。在《分析学》中，牛顿回避了《流数简论》中的运动学背景，将变量的无穷小增量叫做该变量的“ ”，记作，看成是静止的无限小量，有时直接令其为零，带有浓厚的不可分量色彩。在论文《流数法》中，牛顿又恢复了运动学观点。他把变量叫做“ ”，变量的变化率叫做“ ”，变量的瞬是随时间的瞬而连续变化的。在《流数法》中，牛顿更清楚地表述了微积分的基本问题：“已知两个流之间的关系，求他们的流数之间的关系”；以及反过来“已知表示量的流数间的关系的方程，求流之间的关系”。在《流数法》和《分析学》中，牛顿所使用的方法并无本质的区别，都是以无限小量作为微积分算法的论证基础，所不同的是：《流数法》以动力学连续变化的观点代替了《分析学》的静力学不可分量法。 牛顿最成熟的微积分著述《曲线求积术》，对于微积分的基础在观念上发生了新的变革，它提出了“首末比方法”。牛顿批评自己过去随意扔掉无限小瞬的做法，他说“在数学中，最微小的误差也不能忽略…。在这里，我认为数学的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的”。在此基础上牛顿定义了流数概念，继而认为：“流数之比非常接近于尽可能小的等时间间隔内产生的流量的增量比，确切地说，它们构成增量的最初比”，并借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比。可以看出，牛顿的所谓“首末比方法”相当于求函数自变量与因变量变化之比的极限，它成为极限方法的先导。 牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度。1687年，牛顿出版了他的力学巨著《 》，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作。而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表。（二）典例选讲21教育网
牛顿的数学方法。
牛顿的“流数术”
牛顿以他的运动学为背景，总结了笛卡尔、费马等人的方法，提出了具有一般意义的“流数”概念，他的《流数简论》的问世标志着微积分的诞生。21cnjy.com
以函数为例说明流数概念。
设x变为x+o，则变为，
，设增量o消失，它们的比就是
，这就是x的流数与的流数之比。
流数就是现在的微商。
然后牛顿使用流数概念应用于求曲线切线、曲率、拐点，曲线求长、求积、求引力与引力中心等大量问题，展示了流数及其算法的极大普通性与系统性。21·cn·jy·com
（三）提出疑点和解决
分析牛顿的微积分的缺陷
答：牛顿的微积分的基础是不牢固的，是不严格的，尤其是在使用无穷小的概念上的随意与混乱，一会儿说不是零，一会儿说是零，这引起了人们对他们理论的怀疑与批评。引起了人们对微积分基础严格化努力的第二阶段。从微积分建立到分析算术化于1872年完成，使微积分建立在一个牢固的基础之上，平息了对微积分基础的争论，历时200余年。