莱布尼茨的“微积分” 教案 (7)

莱布尼茨的“微积分”
教学目标分析：
1、了解莱布尼茨在微积分上的贡献。
2、通过进一步了解微积分思想方法形成的历史过程，学生对数学的本质、数学方法及数学对社会发展的意义和作用有较明晰的认识。21教育网
3、激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养积极进取的精神。
重难点分析：
重点：了解莱布尼茨在微积分上的贡献。
难点：理解莱布尼茨在微积分方法。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一、莱布尼茨的生平
莱布尼茨（1646-1716）出生在德国的一个教授家庭，在莱比锡大学学习法律，1667年获阿尔特多夫大学法学博士学位，之后一生从政。1673-1676年，其成果发表于1684及1686年。21cnjy.com
二、莱布尼茨的微积分
莱布尼茨认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大影响。1713年，莱布尼茨发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。21·cn·jy·com
三、莱布尼茨的其它贡献
莱布尼兹是科学巨人。莱布尼兹对数学、力学、机械、地质逻辑甚至哲学、法律、外交、神学和语言都做出了杰出的贡献。在数学上，除微积分外，他还是数理逻辑的奠基人，二进记数制的发明人，制造计算机的先驱，行列式发现者之一等等。www.21-cn-jy.com
四、牛顿和莱布尼茨的微积分的异同
相同点：
①经过两人的努力微积分不再是古希腊几何的附庸 和延伸，而是一门独立的科学，用来处理较前更 为广泛的问题。 2·1·c·n·j·y
②两人都算术化了微积分，即在代数的概念上建立微积分，其中解析几何成为重要工具。两人使用的代数符号和方法，不仅给他们提供了比几何更为有效的工具，而且还允许许多不同的几何和物理问题用同样方法处理。【来源：21·世纪·教育·网】
③两人平分的第三个极端重要的贡献是把面积、体积及其他以前作为和来处理的问题归并到反微分（即定积分）。 21世纪教育网版权所有
因此，四个主要问题——速率、切线、最大值和最小值、求和——全部归结为微分和反微分（即定积分）。
不同点：
①牛顿把x和y 的无穷小增量作为求流数或导数的手 段。当增量越来越小的时候，流数（或导数）实际上就是增量的比的极限。莱布尼茨却直接用x和y 的无穷小增量（即微分）求出它们之间的关系。这个差别反映了牛顿的物理方向和莱布尼茨 的哲学方向。
①牛顿以微分作为基础，从考虑变化率出发解决面积和体积问题。莱布尼茨首先想到求和，得到一批求面积的公式，而后才悟出这些和可以用反微分（即定积分）计算。
③牛顿自由地使用级数表示函数，而莱布尼茨宁愿用有限形式。
小结反思：
牛顿和莱布尼兹的微积分的基础是不牢固的，是不严格的，尤其是在使用无穷小的概念上的随意与混乱，一会儿说不是零，一会儿说是零，这引起了人们对他们理论的怀疑与批评。引起了人们对微积分基础严格化努力的第二阶段。从微积分建立到分析算术化于1872年完成，使微积分建立在一个牢固的基础之上，平息了对微积分基础的争论，历时200余年。