莱布尼茨的“微积分” 教案 (8)

莱布尼茨的“微积分”
目的要求
1．了解莱布尼茨的生平和他在微积分上的贡献。
2．通过进一步了解微积分思想方法形成的历史过程，学生对数学的本质、数学方法及数学对社会发展的意义和作用有较明晰的认识，激发学习数学的热情。
内容分析
初步学习了极限、导数等微积分基础知识之后，试验修订本教科书特别安排了介绍微积分建立的时代背景和历史意义的内容。这在中小学数学必修教科书中尚属首次，是教科书编写的创新。了解数学的历史，既是提高自身修养的途径，又是自觉有效地学习、应用数学的催化剂。数学作为人类文明的主要组成部分，它的发展规律及与其他文化的关系，应该为更多的公民所了解。21教育网
本节课的主要内容是莱布尼茨发明微积分思想方法。
教科书对本节内容阐述得较详细、系统，讲授时可先让学生阅读，教师再牛顿的工作作简要介绍，着重阐述他们研究的问题与微积分思想方法的相关程度。之后可让学生讨论自己对微积分发明的体会。21cnjy.com
教学过程
（一）引入
1．用电脑展示微积分发明者——牛顿与莱布尼茨的像片。

微积分发明人
2．前面我们学习了极限与导数，已经领略到了在利用导数求曲线的切线方程、讨论函数的单调性与极值问题中所显示出的无比优越性。也了解了牛顿发明微积分的过程，我们不禁会问：那菜布尼茨又是怎样发明这样高明的数学方法的，是灵感在一夜之间的闪现还是前人长期努力的结晶？21世纪教育网版权所有
（二）新课
1．学生阅读教科书第47页至第50页内容，着重了解莱布尼茨发明微积分的方法和过程，之后，请学生提问，将教科书中不理解的问题提出来，师生共同讨论交流。如：
（1）莱布尼茨的特征三角形先进性在哪？
（2）牛顿和莱布尼茨谁才是发明微积分的第一人？
（3）牛顿和莱布尼茨发明微积分的方法有什么异同？
（4）莱布尼茨的微积分有什么不足？
……
对上述问题，教师在课前应充分准备，有些不能三言两语解释的，应告诉学生阅读哪些参考资料。（加龚昇著《话说微积分》，中国科学技术大学出版社，1998；上互联网：www.0-100.com.cn/2/23/104/0541.htm）21·cn·jy·com
2．介绍菜布尼茨的数学方法。
莱布尼茨从几何角度关于特征三角形的研究得到了与牛顿类似的结论与算法。
莱布尼茨做了大量工作，艰难地前进，从一串离散值过渡到任意函数y的增量．在1675年10月29日的一份手稿中，他引入了符号表示积分，显然是“sum”的首字母s的拉长．稍后，在11月11日的手稿中，莱布尼茨又引进了记号表示两相邻的值的差，并探索运算与d 运算的关系。无论如何，到1676年11月，莱布尼茨已经能够给出幂函数的微分与积分公式：www.21-cn-jy.com
和
其中e不一定是正整数
如图，由相似三角形，得

求知：
3．交流思想与体会。主要谈谈对微积分发明的感想及其对自己的启示。
（1）微积分的发明不是一蹴而就的，而是人类集体智慧的结晶，是无数科学家长期奋斗的结果。
（2）数学来源于实践，没有当时大量实际问题的涌现，没有科学家深入实际，将大量实际问题转化为数学问题的研究，是不可能产生微积分理论的。2·1·c·n·j·y
（3）渊博的知识，谦虚的治学作风，是学术上取得成就的必要条件。牛顿说“如果我看得更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上”，牛顿与莱布尼茨的高明之处之一就是善于总结他人的研究成果。提出自己的主张。【来源：21·世纪·教育·网】
……
布置作业
恩格斯说：“在一切理论在就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹和唯一的功绩，那就正是在这里。”请你结合今天上课的内容，谈谈你对恩格斯这段话的理解。