莱布尼茨的“微积分” 教案 (3)

莱布尼茨的“微积分”
教学目标分析：
1、了解莱布尼茨在微积分上的贡献。
2、通过进一步了解微积分思想方法形成的历史过程，学生对数学的本质、数学方法及数学对社会发展的意义和作用有较明晰的认识。21教育网
3、激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养积极进取的精神。
重难点分析：
重点：了解莱布尼茨在微积分上的贡献。
难点：理解莱布尼茨在微积分方法。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一、莱布尼茨的“微积分”
莱布尼茨（德，1646－1716年），德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。
1661年进入莱比锡大学学习法律，开始接触伽利略、开普勒、笛卡儿、帕斯卡以及巴罗等人的科学思想，1664年，莱布尼茨完成了论文《论法学之艰难》，获哲学硕士学位。1665年，莱布尼茨向莱比锡大学提交了博士论文《论身份》，1666年，审查委员会以他太年轻（年仅20岁）而拒绝授予他法学博士学位，1667年，阿尔特多夫大学授予他法学博士学位，还聘请他为法学教授。
1667年，经男爵推荐给选帝候迈因茨，从此莱布尼茨登上了政治舞台，投身于外交界，1672－1676年留居巴黎。在这期间，他深受惠更斯的启发，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费尔马、帕斯卡等人的著作，开始创造性的工作，兴趣越来越明显地表现在数学和自然科学方面。1677年1月，莱布尼茨抵达汉诺威，在布伦兹维克公爵府中任职，此后汉诺威成了他的永久居住地。在1700年世纪转变时期，莱布尼茨热心地从事于科学院的筹划、建设事务。1700年，建立了柏林科学院，他出任首任院长。当时全世界的四大科学院：英国皇家学会、法国科学院、罗马科学与数学科学院、柏林科学院都以莱布尼次作为核心成员。据传，他还曾经通过传教士，建议中国清朝的康熙皇帝（1654－1722年）在北京建立科学院。21世纪教育网版权所有
莱布尼茨微积分思想的产生首先是出于几何的考虑，尤其是特征三角形的研究，如帕斯卡（法，1623－1662年）的特征三角形，在《关于四分之一圆的正弦》中“突然看到了一束光明”，关注自变量的增量Δx与函数的增量Δy为直角边组成的直角三角形。莱布尼茨看到帕斯卡的方法可以推广，对任意给定的曲线都可以作这样的无限小三角形，由此可“迅速地、毫无困难地建立大量的定理”。此外，在1666年《组合艺术》一书中讨论数列求和问题，注意到数列求和运算与求差运算存在着互逆关系。www.21-cn-jy.com
第一篇发表的微分学论文：1684年10月在《教师学报》上发表的论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》，这篇仅有6页的论文，内容并不丰富，说理也颇含糊，但却有着划时代的意义，其中含有求两函数积高阶微分的莱布尼茨公式。对于光的折射定律的推证特别有意义，莱布尼茨在证完这条定律后，夸耀微分学方法的魔力说：“凡熟悉微分学的人都能像本文这样魔术般做到的事情，却曾使其他渊博的学者百思不解。”【来源：21·世纪·教育·网】
第一篇发表的积分学论文：《深奥的几何与不可分量及无限的分析》（1686），给出摆线方程，积分号第一次出现于印刷出版物。21·世纪*教育网
1679年《二进制算术》成为二进制记数的发明人。发现中国古老的六十四卦易图结构可以用二进制数学予以解释，用二进制数学来理解古老的中国文化，收藏了关于中国的书籍50多册，200多封信件中谈到中国。第一位全面认识东方文化尤其是中国文化的西方学者。他还认为他有办法用他创造二进制时的灵感让整个中国信基督教，因为上帝可用1表示，而无可用0表示，以致他写信告诉受到康熙皇帝重用的葡萄牙传教士闵明我（1657－1712年），希望这能够使中国康熙皇帝信基督教，从而使整个中国信基督教。www-2-1-cnjy-com
1697年莱布尼茨著《中国新事萃编》（Novissima Sinica）：“我们从前谁也不信这世界上有比我们的伦理更美满，立身处事之道更进步的民族存在，现在从东方的中国，给我们以一大觉醒！东西双方比较起来，我觉得在工艺技术上，彼此难分高低；关于思想理论方面，我们虽优于东方一筹，而在实践哲学方面，实在不能不承认我们相形见拙。”21*cnjy*com
1859年李善兰和伟烈亚历译《代微积拾级》：“我国康熙（1654－1722年）时，西国来本之、奈瑞创微分、积分二术。”【来源：21cnj*y.co*m】
二、微积分优先权之争
德丢勒（瑞士，1664－1753年）1699年说“牛顿是微积分的第一发明人”，而莱布尼茨作为“第二发明人”，“曾从牛顿那里有所借鉴”。莱布尼茨立即对此作了反驳。1712年，英国皇家学会成立了“牛顿和莱布尼茨发明微积分优先权争论委员会”，1713年，英国皇家学会裁定“确认牛顿为第一发明人”。1713年，莱布尼茨发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。2-1-c-n-j-y
英国与欧洲大陆数学家分道扬镳，科学史上最不幸的一章。
1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家莱布尼茨的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外”。因此，后来人们公认牛顿和莱布尼茨是各自独立地创建微积分的。
1701年莱布尼茨：“综观有史以来的全部数学，牛顿做了一多半的工作”。
微积分的创立，世界进入一个崭新阶段。恰如韦斯特福尔（美，1924－1996）《近代科学的建构》中所说，从17世纪起科学就开始将原来以基督教为中心的文化变革成为现在这样以科学为中心的文化。21cnjy.com
小结反思：
牛顿和莱布尼茨的微积分的异同：
相同点：
①经过两人的努力微积分不再是古希腊几何的附庸 和延伸，而是一门独立的科学，用来处理较前更 为广泛的问题。 21·cn·jy·com
②两人都算术化了微积分，即在代数的概念上建立微积分，其中解析几何成为重要工具。两人使用的代数符号和方法，不仅给他们提供了比几何更为有效的工具，而且还允许许多不同的几何和物理问题用同样方法处理。2·1·c·n·j·y
③两人平分的第三个极端重要的贡献是把面积、体积及其他以前作为和来处理的问题归并到反微分（即定积分）。 【出处：21教育名师】
因此，四个主要问题——速率、切线、最大值和最小值、求和——全部归结为微分和反微分（即定积分）。
不同点：
①牛顿把x和y 的无穷小增量作为求流数或导数的手 段。当增量越来越小的时候，流数（或导数）实际上就是增量的比的极限。莱布尼茨却直接用x和y 的无穷小增量（即微分）求出它们之间的关系。这个差别反映了牛顿的物理方向和莱布尼茨 的哲学方向。
①牛顿以微分作为基础，从考虑变化率出发解决面积和体积问题。莱布尼茨首先想到求和，得到一批求面积的公式，而后才悟出这些和可以用反微分（即定积分）计算。
③牛顿自由地使用级数表示函数，而莱布尼茨宁愿用有限形式。
思考题
1、关于牛顿“站在巨人们肩膀上”的启示。
2、简述莱布尼茨关于微积分的工作。