莱布尼茨的“微积分” 学案 (1)

莱布尼茨的“微积分”
一、自学目标：通过本专题的学习，了解莱布尼茨在微积分上的贡献。
二、自学内容提炼
（一）知识梳理：
1、简介
1661年进入莱比锡大学学习法律，1667年获阿尔特多夫大学法学博士学位，1672－1676年留居巴黎，1677年抵达汉诺威，在布伦兹维克公爵府中任职，此后汉诺威成了他的永久居住地。21世纪教育网版权所有
莱布尼茨的博学多才在科学史上罕有所比，他的研究领域及其成果遍及数学、物理学、力学、逻辑学、生物学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、神学、历史和外交等等。21·cn·jy·com
第一篇发表的微分学论文：1684年《 》。第一篇发表的积分学论文：《 》（1686）。2·1·c·n·j·y
2、微积分优先权之争
1713年，英国皇家学会裁定“确认 为第一发明人”，莱布尼茨发表了《微积分的历史和起源》。英国与欧洲大陆数学家分道扬镳，科学史上最不幸的一章。
（二）典例选讲
莱布尼茨从几何角度关于特征三角形的研究得到了与牛顿类似的结论与算法。
莱布尼茨做了大量工作，艰难地前进，从一串离散值过渡到任意函数y的增量．在1675年10月29日的一份手稿中，他引入了符号表示积分，显然是“sum”的首字母s的拉长．稍后，在11月11日的手稿中，莱布尼茨又引进了记号表示两相邻的值的差，并探索运算与d 运算的关系。无论如何，到1676年11月，莱布尼茨已经能够给出幂函数的微分与积分公式：【来源：21·世纪·教育·网】
和
其中e不一定是正整数
如图，由相似三角形，得

求知：
（三）提出疑点和解决
牛顿和莱布尼茨的微积分有什么异同？
答：
相同点：
①经过两人的努力微积分不再是古希腊几何的附庸 和延伸，而是一门独立的科学，用来处理较前更 为广泛的问题。 21教育网
②两人都算术化了微积分，即在代数的概念上建立微积分，其中解析几何成为重要工具。两人使用的代数符号和方法，不仅给他们提供了比几何更为有效的工具，而且还允许许多不同的几何和物理问题用同样方法处理。21cnjy.com
③两人平分的第三个极端重要的贡献是把面积、体积及其他以前作为和来处理的问题归并到反微分（即定积分）。 www.21-cn-jy.com
因此，四个主要问题——速率、切线、最大值和最小值、求和——全部归结为微分和反微分（即定积分）。
不同点：
①牛顿把x和y 的无穷小增量作为求流数或导数的手 段。当增量越来越小的时候，流数（或导数）实际上就是增量的比的极限。莱布尼茨却直接用x和y 的无穷小增量（即微分）求出它们之间的关系。这个差别反映了牛顿的物理方向和莱布尼茨 的哲学方向。
①牛顿以微分作为基础，从考虑变化率出发解决面积和体积问题。莱布尼茨首先想到求和，得到一批求面积的公式，而后才悟出这些和可以用反微分（即定积分）计算。
③牛顿自由地使用级数表示函数，而莱布尼茨宁愿用有限形式。