莱布尼茨的“微积分” 学案 (2)

莱布尼茨的“微积分”
一、自学目标：通过本专题的学习，了解莱布尼茨在微积分上的贡献。
二、自学内容提炼
（一）知识梳理：
一、简介：
戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨，德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一位举世罕见的科学天才，和 （1643年1月4日—1727年3月31日）同为微积分的创建人。
他的研究成果还遍及力学、逻辑学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、历史、外交等等，“世界上没有两片完全相同的树叶”就是出自他之口，他还是最早研究中国文化和中国哲学的德国人，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。然而，由于他创建了微积分，并精心设计了非常巧妙简洁的 符号，从而使他以伟大数学家的称号闻名于世。
二、数学成就
1684年，莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大极小和切线的新方法》（简称《 》），刊登在《教师学报》上，这也是数学史上第 篇正式发表的微积分文献。该文是莱布尼茨对自己1673年以来微分学研究的概括，其中定义了微分并广泛采用了微分记号 。莱布尼茨假设横坐标的微分是任意的量，纵坐标的微分就定义为它与之比等于纵坐标与次切距之比的那个量。若记 为，莱布尼茨就是用等式来定义微分。这个定义在逻辑上假定切线已先有定义，而莱布尼茨将切线定义为连接曲线上无限接近的两点的直线。由于缺乏极限概念，这个定义是不能令人满意的。莱布尼茨后来还努力要给出高阶微分的合适定义，但并不成功。
1686年，莱布尼茨发表了他的第一篇积分学的论文《 》。这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的 关系。正式在这篇论文中，积分号 第一次出现于印刷出版物上。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的 符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。
（二）典例选讲
莱布尼茨从几何角度关于特征三角形的研究得到了与牛顿类似的结论与算法。
莱布尼茨做了大量工作，艰难地前进，从一串离散值过渡到任意函数y的增量．在1675年10月29日的一份手稿中，他引入了符号表示积分，显然是“sum”的首字母s的拉长．稍后，在11月11日的手稿中，莱布尼茨又引进了记号表示两相邻的值的差，并探索运算与d 运算的关系。无论如何，到1676年11月，莱布尼茨已经能够给出幂函数的微分与积分公式：
和
其中e不一定是正整数
如图，由相似三角形，得

求知：
（三）提出疑点和解决
牛顿和莱布尼茨的微积分有什么异同？
答：
相同点：
①经过两人的努力微积分不再是古希腊几何的附庸 和延伸，而是一门独立的科学，用来处理较前更 为广泛的问题。
②两人都算术化了微积分，即在代数的概念上建立微积分，其中解析几何成为重要工具。两人使用的代数符号和方法，不仅给他们提供了比几何更为有效的工具，而且还允许许多不同的几何和物理问题用同样方法处理。
③两人平分的第三个极端重要的贡献是把面积、体积及其他以前作为和来处理的问题归并到反微分（即定积分）。
因此，四个主要问题——速率、切线、最大值和最小值、求和——全部归结为微分和反微分（即定积分）。
不同点：
①牛顿把x和y 的无穷小增量作为求流数或导数的手 段。当增量越来越小的时候，流数（或导数）实际上就是增量的比的极限。莱布尼茨却直接用x和y 的无穷小增量（即微分）求出它们之间的关系。这个差别反映了牛顿的物理方向和莱布尼茨 的哲学方向。
①牛顿以微分作为基础，从考虑变化率出发解决面积和体积问题。莱布尼茨首先想到求和，得到一批求面积的公式，而后才悟出这些和可以用反微分（即定积分）计算。
③牛顿自由地使用级数表示函数，而莱布尼茨宁愿用有限形式。