莱布尼茨的“微积分” 课件 (2)

课件29张PPT。莱布尼茨的“微积分” 一、莱布尼茨的“微积分” 戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨，德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一位举世罕见的科学天才，和牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）同为微积分的创建人。
他的研究成果还遍及力学、逻辑学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、历史、外交等等，“世界上没有两片完全相同的树叶”就是出自他之口，他还是最早研究中国文化和中国哲学的德国人，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。然而，由于他创建了微积分，并精心设计了非常巧妙简洁的微积分符号，从而使他以伟大数学家的称号闻名于世。 公元1646年7月1日，莱布尼茨出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，父亲弗里德希·莱布尼茨是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲凯瑟琳娜·施马克出身于教授家庭，虔信路德新教。 莱布尼茨的父亲在他年仅六岁时便去世了，给他留下了比金钱更宝贵的丰富的藏书，知书达理的母亲担负起了儿子的幼年教育。
1664年1月，莱布尼茨完成了论文《论法学之艰难》，获哲学硕士学位。是年2月12日，他母亲不幸去世。18岁的莱布尼茨从此只身一人生活，他—生在思想、性格等方面受母亲影响颇深。
　　 莱布尼茨一生没有结婚，没有在大学当教授。他平时从不进教堂，因此他有一个绰号 Lovenix，即什么也不信的人。他去世时教士以此为借口，不予理睬，曾雇用过他的宫廷也不过问，无人前来吊唁。弥留之际，陪伴他的只有他所信任的大夫和他的秘书艾克哈特。 莱布尼茨的微积分 莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716) 早年在莱比锡大学学习法律，同时开始接触伽利略、开普勒、笛卡儿、帕斯卡以及巴罗等人的科学思想．1667年获阿尔特多夫大学法学博士学位，次年开始为缅因茨选帝侯服务，不久被派往巴黎任大使．莱布尼茨在巴黎居留了四年(1672—1676)，这四年对他整个科学生涯的意义，可以与牛顿在家乡躲避瘟疫的两年类比，莱布尼茨许多重大的成就包括创立微积分都是在这一时期完成或奠定了基础．1、 特征三角形 莱布尼茨在巴黎与荷兰数学家、物理学家惠更斯(C.Huygens)的结识、交往，激发了他对数学的兴趣．他通过卡瓦列里、帕斯卡、巴罗等人的著作了解并开始研究求曲线的切线以及求面积、体积等微积分问题． 与牛顿流数论的运动学背景不同，莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究（1673）．据莱布尼茨后来在《微积分的历史和起源》中自述，他这项发现正是受到了帕斯卡论文《关于四分之一圆的正弦》的启发，他从这篇短文的一个例子中“突然看到一束光明”． 莱布尼茨应用特征三角形很快发现了他后来才“在巴罗和格里高里的著作中见到的几乎所有定理”．但是如果莱布尼茨就此而止，那么他也不会成为微积分的创立者.实际上，他在关于特征三角形的研究中认识到： 求曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值当这些差值变成无限小时之比；而求曲线下的面积则依赖于无限小区间上的纵坐标之和(纵坐标之和在这里是指纵坐标乘以无限小区间的长度再相加，因而也相当于宽度为无限小的矩形面积之和)． 莱布尼茨还看出了这两类问题的互逆关系．2、 分析微积分的建立 早在1666年，莱布尼茨在《组合艺术》一书中讨论过数列问题并得到许多重要结论 平方数序列 ：0,1,4,9,16,25,36，… 及其一阶差（相继两项之差）： 1,3,5,7,9,11,…与二阶差 2,2,2,2,2,…当时他注意到如果原来的序列是从0开始，那么一阶差的和就是原序列的最后一项，并且这里序列的求和运算与求差运算存在着互逆的关系． 大约从1672年开始，莱布尼茨将他对数列研究的结果与微积分运算联系起来．莱布尼茨后来在致洛必达(L’Hospital)的一封信中总结说：这使他发现，“求切线不过是求差，求积不过是求和!” 莱布尼茨后来做了大量工作，艰难地前进，从一串离散值过渡到任意函数 的增量．在1675年10月29日的一份手稿中，他引入了符号 表示积分，显然 是“sum”的首字母 的拉长．稍后，在11月11日的手稿中，莱布尼茨又引进了记号 表示两相邻 的值的差，并探索运算 与d 运算的关系。无论如何，到1676年11月，莱布尼茨已经能够给出幂函数的微分与积分公式： 和 其中 不一定是正整数． 如图，由相似三角形，得
则
求和： 1684年莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》(简称《新方法》)，刊登在《教师学报》(Acta Eruditorum)上，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献．该文是莱布尼茨对自己1673年以来微分学研究的概括，其中◆定义了微分并广泛采用了微分记号dx,dy; ◆明确陈述了莱布尼茨1677年已得到的函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式;3、 莱布尼茨微积分的发表 我们知道，莱布尼茨还得出了复合函数的链式微分法则，以及后来又将 乘积微分的“莱布尼茨法则”推广到了高阶情形．这些都表明莱布尼茨非常重视微积分的形式运算法则和公式系统。 《新方法》还包含了微分法在求极大、极小值、求拐点以及光学等方面的广泛应用． 1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》．这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系．莱布尼茨分析道： “研究不定求积或其不可能性的方法，对我来说不过是我称之为反切线方法的更广泛的问题的特殊情形(并且事实上是比较容易的情形)，而这种反切线方法包括了整个超越几何的绝大部分。” 在这篇积分学论文中，莱布尼茨给出了摆线方程为： 目的是要说明他的方法和符号，可以将一些被其他方法排斥的超越曲线表为方程．而正是在这篇论文中，积分号第一次出现于印刷出版物上． 莱布尼茨在引入摆线方程以前还特别对他的微分符号 作了一段说明：“我选用 和类似的符号而不用特殊字母，因为 是 的某种变化，……并可表示 与另一变量之间的超越关系”．这种对符号的精心选择，是莱布尼茨微积分的又一特点．他引进的符号d和 体现了微分与积分的“差”与“和”的实质，后来获得普遍接受并沿用至今． 4、 其他数学贡献 莱布尼茨的博学多才在科学史上罕有所比，其著作涉及数学、力学、机械、地质、逻辑、哲学、法律、外交、神学和语言学等．在数学上，他的贡献也远不止微积分． 莱布尼茨◆在1666年发表的《组合艺术》(De Arte Combinatoria)和一些相关的文稿中，提出了符号逻辑的思想，引导了布尔、罗素等人的数理逻辑． ◆1679年撰写的《二进制算术》，使他成为二进记数制的发明人． ◆1674年在巴黎科学院当众演示了他制成的“算术计算机”，这是第一台能做四则运算的计算机． ◆在1693年4月28日写给洛必达的一封信中发明了行列式． 莱布尼茨是一位科学活动家，他的一些创举使科学受益匪浅．他是柏林科学院的创建者和首任院长，彼得堡科学院、维也纳科学院也是在他的倡议下成立的．莱布尼茨甚至曾写信给中国康熙皇帝建议成立北京科学院. 中西文化交流之倡导者 莱布尼茨对中国的科学、文化和哲学思想十分关注，他是最早研究中国文化和中国哲学的德国人。他向耶稣会来华传教士格里马尔迪了解到了许多有关中国的情况，包括养蚕纺织、造纸印染、冶金矿产、天文地理、数学文字等等，并将这些资料编辑成册出版。
在《中国近况》一书的绪论中，莱布尼茨写道：“全人类最伟大的文化和最发达的文明仿佛今天汇集在我们大陆的两端，即汇集在欧洲和位于地球另一端的东方的欧洲——中国。”
1698年，在经受了胆结石与痛风症的折磨之后，莱布尼茨离开了人世，据说只有忠实的秘书参加了他的葬礼 。
二、牛顿与莱布尼茨 牛顿和莱布尼茨都是他们时代的巨人．就微积分的创立而言，尽管在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的．他们都使微积分成为能普遍适用的算法，同时又都将面积、体积及相当的问题归结为反切线(微分)运算．应该说，微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿与莱布尼茨的工作． 牛顿在1687年以前没有公开发表过任何微积分的文章，而莱布尼茨则在1684和1686年分别发表了微分学与积分学的论文． 1687年当牛顿在《原理》中首次发布他的流数方法时，他在前言中作了这样一段说明： “十年前，我在给学问渊博的数学家莱布尼茨的信中曾指出：我发现了一种方法，可用以求极大值、极小值、作切线以及解决其他类似的问题，而且这种方法也适用于无理数，…．这位名人回信说他也发现了类似的方法，并把他的方法给我看了．他的方法与我的大同小异，除了用语、符号、算式和量的产生方式外，没有实质性区别．” 这可以说是对微积分发明权问题的客观评述，遗憾的是，它在《原 理》第3版时被删去了，原因是期间牛顿与莱布尼茨之间发生了优先权问题的争执． 争端是由局外人挑起的．一位瑞士数学家(N.F.德丢勒)1699年在一本小册子中提出“牛顿是微积分的第一发明人”，而莱布尼茨作为“第二发明人”，“曾从牛顿那里有所借鉴”．莱布尼茨立即对此作了反驳．争论在双方的追随者之间越演越烈，直到莱布尼茨和牛顿都去世以后，才逐渐平息并得到解决．经过调查，特别是对莱布尼茨手稿的分析，证实两人确实是相互独立地完成了微积分的发明．就发明时间而言，牛顿早于莱布尼茨；就发表时间而言，莱布尼茨则先于牛顿．牛顿与莱布尼茨的微积分比较 相同点
经过两人的努力微积分不再是古希腊几何的附庸 和延伸，而是一门独立的科学，用来处理较前更 为广泛的问题。
两人都算术化了微积分，即在代数的概念上建立微积分，其中解析几何成为重要工具。两人使用的代数符号和方法，不仅给他们提供了比几何更为有效的工具，而且还允许许多不同的几何和物理问题用同样方法处理。 相同点 两人平分的第三个极端重要的贡献是把面积、体积及其他以前作为和来处理的问题归并到反微分（即定积分）。
因此，四个主要问题——速率、切线、最大值和最小值、求和——全部归结为微分和反微分（即定积分）。
牛顿与莱布尼茨的微积分比较? 不同点
牛顿把x和y 的无穷小增量作为求流数或导数的手 段。当增量越来越小的时候，流数（或导数）实际上就是增量的比的极限。莱布尼茨却直接用x和y 的无穷小增量（即微分）求出它们之间的关系。
这个差别反映了牛顿的物理方向和莱布尼茨 的哲学方向。
? 不同点
牛顿以微分作为基础，从考虑变化率出发解决面积和体积问题。莱布尼茨首先想到求和，得到一批求面积的公式，而后才悟出这些和可以用反微分（即定积分）计算。
牛顿自由地使用级数表示函数，而莱布尼茨宁愿用有限形式。
牛顿与莱布尼茨的微积分比较牛顿比莱布尼茨更重视微积分的应用，但对于采用什么符号不大关心。莱布尼茨的工作则偏重于纯粹数学，对于符号却是精 心设计。牛顿的微积分理论对科学技术影响要大一些，但他那套以点为特征的微积分符号已基本上被淘汰，而莱布尼茨的符号沿用至今。
两人学风不相同。牛顿比较谨慎，注意经验，迟迟不愿发表自己的微积分，担心自己的理论还不够完善。莱布尼茨比较大胆，一旦取得理论上的进展就大胆推广，毫不犹豫地宣布新科学的诞生。
谢 谢！