微积分的诞生 教案 (6)

微积分的诞生
教学目标分析：
1、了解微积分的诞生的历史背景、以及牛顿和莱布尼茨在微积分上的贡献。
2、理解微积分的内涵并能尝试进行数学解题。
3、激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养积极进取的精神。
重难点分析：
重点：了解微积分产生的历史背景、以及牛顿和莱布尼茨在微积分上的贡献。
难点：理解微积分的内涵。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一、微积分产生的历史背景
微积分思想真正的迅速发展与成熟是在16世纪以后。1400年至1600年的欧洲文艺复兴，使得整个欧洲全面觉醒。一方面，社会生产力迅速提高，科学和技术得到迅猛发展；另一方面，社会需求的急需增长，也为科学研究提出了大量的问题。这一时期，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，以常量为主要研究对象的古典数学已不能满足要求，科学家们开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变量为主要研究对象的研究上来，自然科学开始迈入综合与突破的阶段。 微积分的产生，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。有四种主要类型的科学问题：
第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；21世纪教育网版权所有
第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；
第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；21cnjy.com
第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。21·cn·jy·com
在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具。这里我们只简单介绍在微积分酝酿阶段最具代表性的几位科学大师的工作。www.21-cn-jy.com
①开普勒(J.Kepler,1571-1630)与无限小元法。德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表的《测量酒桶的新立体几何》中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法。他的无限小元法的要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积，如他认为球的体积是无数个顶点在球心底面在球上的小圆锥的体积的和。②卡瓦列里(B.Cavalieri,1598-1647)与不可分量法。意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方法推进的连续的不可分量的几何学》(1635)中系统地发展了不可分量法。他认为点运动形成线，线运动形成面，体则是由无穷多个平行平面组成，并分别把这些元素叫做线、面和体的不可分量。他建立了一条关于这些不可分量的一般原理（后称卡瓦列里原理，既是我国的祖原理）：如果在等高处的横截面有相同的面积，两个有同高的立体有相同的体积。③巴罗(I.Barrow,1630-1677)与“微分三角形”。巴罗是英国的数学家，在1669年出版的著作《几何讲义》中，他利用微分三角形（也称特征三角形）求出了曲线的斜率。他的方法的实质是把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无限小来取极限。巴罗是牛顿的老师，英国剑桥大学的第一任“卢卡斯数学教授”，也是英国皇家学会的首批会员。当他发现和认识到牛顿的杰出才能时，便于1669年辞去卢卡斯教授的职位，举荐自己的学生—当时才27岁的牛顿来担任。巴罗让贤已成为科学史上的佳话。④笛卡儿(R.Descartes,1596-1650)、费马(P.deFermat,1601-1665)和坐标方法。笛卡儿和费马是将坐标方法引进微分学问题研究的前锋。笛卡儿在《几何学》中提出的求切线的“圆法”以及费马手稿中给出的求极大值与极小值的方法，实质上都是代数的方法。代数方法对推动微积分的早期发展起了很大的作用，牛顿就是以笛卡儿的圆法为起点而踏上微积分的研究道路。⑤沃利斯(J.Wallis,1616-1703)的“无穷算术”。沃利斯是在牛顿和莱布尼茨之前，将分析方法引入微积分贡献最突出的数学家。在其著作《无穷算术》中，他利用算术不可分量方法获得了一系列重要结果。其中就有将卡瓦列里的幂函数积分公式推广到分数幂情形，以及计算四分之一圆的面积等。
17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近，但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。前驱者对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵的贡献，但他们的方法仍缺乏足够的一般性。虽然有人注意到这些问题之间的某些联系，但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来，作为微积分基本特征的积分和微分的互逆关系也没有引起足够的重视。因此，在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论，成为17世纪中叶数学家面临的艰巨任务。
二、微积分的创立—牛顿和莱布尼茨的工作（一）科学巨人牛顿的工作 牛顿(I.Newton,1642-1727)1642年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭，少年时成绩并不突出，但却酷爱读书。17岁时，牛顿被他的母亲从中学召回务农，后来，牛顿的母亲在牛顿就读的格兰瑟姆中学校长史托克斯和牛顿的舅父埃斯库的竭力劝说下，又允许牛顿重返学校。史托克斯的劝说词中的一句话：“在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失”，可以说是科学史上最幸运的预言。1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗。对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。1665年，牛顿刚结束他的大学课程，学校就因为流行瘟疫而关闭，牛顿离校返乡。在家乡躲避瘟疫的两年，成为牛顿科学生涯中的黄金岁月，微积分的创立、万有引力以及颜色理论的发现等都是牛顿在这两年完成的。 牛顿于1664年秋开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展。1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文—《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”。“微积分基本定理”也称为牛顿—莱布尼茨定理，牛顿和莱布尼茨各自独立地发现了这一定理。2·1·c·n·j·y
微积分基本定理是微积分中最重要的定理，它建立了微分和积分之间的联系，指出微分和积分互为逆运算。这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来。正是在这种意义下，我们说牛顿创立了微积分。 《流数简论》标志着微积分的诞生，但它有许多不成熟的地方。1667年，牛顿回到剑桥，并未发表他的《流数简论》。在以后20余年的时间里，牛顿始终不渝地努力改进、完善自己的微积分学说，先后完成三篇微积分论文：《运用无穷多项方程的分析学》（简称《分析学》，1669）；《流数法与无穷级数》（简称《流数法》，1671）；《曲线求积术》（1691），它们反映了牛顿微积分学说的发展过程。在《分析学》中，牛顿回避了《流数简论》中的运动学背景，将变量的无穷小增量叫做该变量的“瞬”，记作，看成是静止的无限小量，有时直接令其为零，带有浓厚的不可分量色彩。在论文《流数法》中，牛顿又恢复了运动学观点。他把变量叫做“流”，变量的变化率叫做“流数”，变量的瞬是随时间的瞬而连续变化的。在《流数法》中，牛顿更清楚地表述了微积分的基本问题：“已知两个流之间的关系，求他们的流数之间的关系”；以及反过来“已知表示量的流数间的关系的方程，求流之间的关系”。在《流数法》和《分析学》中，牛顿所使用的方法并无本质的区别，都是以无限小量作为微积分算法的论证基础，所不同的是：《流数法》以动力学连续变化的观点代替了《分析学》的静力学不可分量法。 牛顿最成熟的微积分著述《曲线求积术》，对于微积分的基础在观念上发生了新的变革，它提出了“首末比方法”。牛顿批评自己过去随意扔掉无限小瞬的做法，他说“在数学中，最微小的误差也不能忽略…。在这里，我认为数学的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的”。在此基础上牛顿定义了流数概念，继而认为：“流数之比非常接近于尽可能小的等时间间隔内产生的流量的增量比，确切地说，它们构成增量的最初比”，并借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比。可以看出，牛顿的所谓“首末比方法”相当于求函数自变量与因变量变化之比的极限，它成为极限方法的先导。牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度。1687年，牛顿出版了他的力学巨著《自然哲学的数学原理》，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作。而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表。（二）莱布尼茨的“微积分”【来源：21·世纪·教育·网】
莱布尼茨(W.Leibniz,1646-1716)出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育。1672年至1676年，莱布尼茨作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作。这四年成为莱布尼茨科学生涯的最宝贵时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础。然而，这位博学多才的时代巨人，由于官场的失意、与牛顿关于微积分优先权争论的困绕以及多种病痛的折磨，晚年生活颇为凄凉。据说莱布尼茨的葬礼只有他忠实的秘书参加。 在巴黎期间，莱布尼茨结识了荷兰数学家、物理学家惠更斯(C.Huygens,1629-1695)，在惠更斯的私人影响下，开始更深入地研究数学，研究笛卡儿和帕斯卡(B.Pascal,1623-1662)等人的著作。与牛顿的切入点不同，莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究。特征三角形在帕斯卡和巴罗等人的著作中都曾出现过。1684年，莱布尼茨整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果，在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法》（简称《新方法》），它包含了微分记号以及函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含积分符号并给出了摆线方程：
莱布尼茨对微积分学基础的解释和牛顿一样也是含混不清的，有时他的是有穷量，有时又是小于任何指定的量然而不是零。 21·世纪*教育网
小结反思：
牛顿和莱布尼茨都是他们时代的巨人，两位学者也从未怀疑过对方的科学才能。就微积分的创立而言，尽管二者在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的。虽然牛顿在微积分应用方面的辉煌成就极大地促进了科学的发展，但由于英国数学家固守牛顿的传统近一个世纪，从而使自己逐渐远离分析的主流，落在欧陆数学家的后面。21教育网