微积分的诞生 教案 (7)

微积分的诞生
教学目标分析：
1、了解牛顿和莱布尼茨在微积分上的贡献。
2、理解微积分的内涵并能尝试进行数学解题。
3、激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养积极进取的精神。
重难点分析：
重点：了解牛顿和莱布尼茨在微积分上的贡献。
难点：理解微积分的内涵。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一、微积分产生的历史背景
微积分的产生，主要是因为当时有四种主要类型的问题有待用微积分去解决。
第一类：已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数的公式，求速度和距离。
第二类：问题是求曲线的切线，这是一个几何问题，但对科学的应用有巨大的影响。
第三类：问题是求函数的极大极小值。
第四类：问题包括求曲线的长度,曲线围成的面积等等。
在17世纪，至少有10多位大数学家探索过微积分，而牛顿(Newton)、莱布尼茨(Laeibniz)，则处于当时的顶峰。牛顿、莱布尼茨的最大功绩在于能敏锐的从孕育微积分的各种"个例形态中"洞察和清理出潜藏着的共性的东西——无穷小分析，并把它提升和确立为数学理论。21世纪教育网版权所有
二、两位微积分建立者的生平
牛顿（1642-1727）出生在一个农民的家庭，是早产的遗腹子，勉强存活。17岁母亲召他从中学回田庄务农，由他舅父及中学校长劝说，他母亲在9个月之后才允许他返校学习。中学校长对他母亲说：“在繁杂的农务中埋没这样的天才，对世界来说将是多么巨大的损失“成了伟大的预言。1661年入剑桥大学，受教于barrow（第一任卢卡斯教授）。1665年8月因瘟疫剑桥关闭，回家2年，这期间，他制定了研究与发现微积分、万有引力及光学的蓝图。他的这三项伟大贡献中的任何一项，都足以使他名垂青史。牛顿研究微积分与1664年，1665年5月发明了微分，1666年5月发明积分，1666年10月写了《流数简论》文未发表，是历史上第一篇系统的微积分文献。微积分诞生，当然还不成熟。又花了20多年的时间不断改进与完善他的学说。他的成果发表于1687年，1704年及1736。
莱布尼茨（1646-1716）出生在德国的一个教授家庭，在莱比锡大学学习法律，1667年获阿尔特多夫大学法学博士学位，之后一生从政。1673-1676年，其成果发表于1684及1686年。21教育网
二、牛顿和莱布尼茨的微积分
牛顿（1642-1727）从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼茨。莱布尼茨则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。21cnjy.com
莱布尼茨认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大影响。1713年，莱布尼茨发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。21·cn·jy·com
三、牛顿和莱布尼茨的其它贡献
牛顿和莱布尼兹都是科学巨人。除了微积分，牛顿还在代数方程论、几何、数值分析、几何概率等都有杰出的贡献。莱布尼兹对数学、力学、机械、地质逻辑甚至哲学、法律、外交、神学和语言都做出了杰出的贡献。在数学上，除微积分外，他还是数理逻辑的奠基人，二进记数制的发明人，制造计算机的先驱，行列式发现者之一等等。
他们是他们所处时代的伟大科学家，尽管在背景、方法、与形式有所不同，各有特色，但他们给出的微积分基本定理等一整套理论，并将它应用于天文、力学、物理等学科，获得了巨大成功，使整个科学带来了革命性影响。www.21-cn-jy.com
小结反思：
牛顿和莱布尼兹的微积分的基础是不牢固的，是不严格的，尤其是在使用无穷小的概念上的随意与混乱，一会儿说不是零，一会儿说是零，这引起了人们对他们理论的怀疑与批评。引起了人们对微积分基础严格化努力的第二阶段。从微积分建立到分析算术化于1872年完成，使微积分建立在一个牢固的基础之上，平息了对微积分基础的争论，历时200余年。