微积分的诞生 教案 (4)

第五讲 微积分的诞生
教学目标分析：
1、了解微积分的产生的历史背景，以及牛顿和莱布尼茨在微积分上的贡献。
2、理解微积分的内涵并能灵活运用
3、激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度
重难点分析：
重点：了解微积分产生的历史背景，以及牛顿和莱布尼茨在微积分上的贡献。
难点：理解微积分的内涵。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
第一节 微积分产生的历史背景
众所周知，微积分是牛顿(I．Newton， 1643—1727)和莱布尼茨(G．W．Leibniz， 1646—1716)创立的．但如果把人类文明史上这一伟大成果仅仅归功于他们二人，就有失公允了．正如牛顿所说：“我所以有这样的成就，是因为我站在巨人们的肩上．”仅就发明微积分而言，属于他所谓“巨人”之列的，至少可以举出斯蒂文(S．Stevin， 1548—1620)、开普勒(J．Kep－ler，1571—1630)、伽利略(G．Galilei，1564—1642)、卡瓦列里(B．Cavalieri，1598—1647)、费马(P．de Fermat，1601—1665)、帕斯卡(B．Pascal， 1623—1662)、沃利斯(J．Wallis，1616—1703)、巴罗(I．Barrow，1630—1677)等光辉的名字．如果追根溯源，作为微积分基础的极限思想，甚至与古希腊的阿基米德(Archimedes)及中国三国时代的刘徽相联系，他们各自在自己的国土上，提出了计算圆周率的科学方法——割圆术，从而跨入极限领域．当然，微积分的直接准备工作还是从16世纪开始的，体现在微分和求积两个方面．
一、求积理论的发展
在16世纪，积分思想是围绕求积问题发展的，而计算物体重心是与求积有关的一个重要问题．微积分的先驱之一——斯蒂文，首先在这方面有了突破．他在1586年出版的《平衡的原理》(De Beghinselen der weeghconst)一书中，用极限思想证明了三角形的重心落在中线上．
如图11．1，AD是△ABC的一条中线．斯蒂文在△ABC内作一系列平行四边形，根据阿基米德证明过的对称原理，内接图形的重心应在中线上．当平行四边形的个数无限增加时，内接图形便无限接近△ABC，假定△ABD与△ACD的“重量”不等，其差必为一常数．当平行四边形的个数增加到某一数值时，必使内接图形与△ABC的差小于任意给定常数，从而使△ABD与△ACD之差小于所给常数．这就证明了△ABD与△ACD“重量”相等，即△ABC的重心落在中线上．显然，斯蒂文把三角形看成平行四边形和的极限，其中蕴含着积分思想的萌芽．
开普勒进一步发展了求积中的极限方法，他把球看成是由无穷多个棱锥组成的，每个棱锥的顶点都在球心，底面在球的表面上，高等于球半径r．把这些棱锥的体积加起来，由棱锥体积公式立即得到

开普勒的这一杰出思想，还体现在1615年发表的《测定酒桶体积的新方法》(Nova Stereometria doliorum vinariorum)一书中．据说他对求积问题的兴趣，起源于对啤酒商的酒桶体积的怀疑．他在该书中讨论了许多旋转体的体积，其基本思想是化曲为直，即把曲线形看作边数无限多的直线形．例如，他把圆看作边数为无限的多边形，因此圆面积等于无穷多个等腰三角形面积之和，这些三角形的顶点在圆心，底在圆上，而高为半径r．显然，圆面积等于圆周长与半径的乘积之半．他对球体积公式的推导就是在此基础上发展而来的，著名的开普勒行星三定律中的第二定律——由太阳到行星的向径扫过的面积与经过的时间成正比，其推导过程也应用了这种求积方法．用无穷多个同维的无限小元素之和来确定曲边形面积和体积，这是开普勒求积术的核心，是他对积分学的最大贡献．他的许多后继者都吸取了这一精华．
在《两种新科学》(全名是《关于两种新科学的论述与数学证明》，Discourses and Mathematical Demonstrations Concerning Two New Sciences，1634)一书中，伽利略的求积方法与开普勒一脉相承．在处理匀加速运动问题时，他证明了在时间一速度曲线下的面积就是距离．如图11．2，假定物体以变速v=32t运动，则在时间OA内通过的距离就是面积OAB．伽利略所以得到这个结论，是因为他不仅把A′B′当作某个时刻的速度，而且把A′B′当作无穷小距离(即把A′B′看作速度与无穷短时间之积)．他认为由动直线A′B′组成的面积OAB必定是总的距离．因为AB是32t，OA是t，所以OAB的面积为16t2，即在时间t内走过的距离为16t2．结论显然是正确的，但推理不够严格．
系统运用无限小元素来计算面积和体积，是通过伽利略的学生卡瓦列里实现的．从1635年发表的《不可分连续量的几何学》(Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota)一书可以看出，他不仅继承了开普勒与伽利略的思想，而且有明显的变革．第一，他不再把几何图形看作同维无穷小元素所组成，而是看作由维数较低的无穷小元素所组成，并把这些无穷小元素称为“不可分量”．例如，体积的不可分量是无数个平行的平面．第二，他建立起两个给定几何图形的不可分量之间的一一对应关系，若每对量的比都等于同一个常数，则他断定两个图形的面积或体积也具有同样比例．所谓卡瓦列里原理便是在此基础上提出的，下面，我们以他对球体积的推导为例，说明他是怎样通过不可分量的比较来求积的．
如图11．3，设DHC是以O为圆心的半圆，ABCD是它的外切矩形．以OH为旋转轴，则正方形OHBC画出圆柱，三角形OHB画出圆锥，而弧HC画出半球面．用平行于底面的任意平面去截这些图形，则产生以G为圆心的半径分别为RG、FG和EG的圆，它们分别为圆柱、圆锥和半球的不可分量，这些不可分量存在如下关系：
OE2=GO2＋EG2
即 RG2＝FG2+EG2．
所以 πRG2＝πFG2＋πEG2．
由于截面的任意性，所以圆柱体积等于半球与圆锥体积之和，设球半径为r，则

大约在1636年，费马提出一种新的求积方法．他吸收了开普勒的同维无限小元素思想，又保留了卡瓦列里不可分量法在求积问题上的有效
坐标为a，αa，α2a…的点(比例常数α＜1)，然后在这些点上作纵坐标，于是整个图形被分割成无数个小矩形(图11．4)，这些矩形的底边分别为
(1-α)a，α(1-α)a，
α2(1-α)a…
　
于是，各矩形面积构成一个几何级数：
为使矩形和充分接近抛物线所围面积，须将矩形的宽无限缩小，即令α→1．为此，费马先令α=βq，则

若α→1，则β→1，上式分子为q个1之和而分母为p＋q个1之和，
　
显然，在费马辛勤耕耘的数学园地里，已经看得见定积分的曙光了．费马的思想与定积分的差距仅仅在于：第一，尚未抽象出定积分的概念；第二，还未建立一般的积分公式．
与费马相比，帕斯卡的求积方法更为有效，因为他采取了略去无穷序列之和的高次项的方法(1654年)，这种思想对莱布尼茨和牛顿有很大影响．例如，帕斯卡在计算以曲线y=x2为一边的曲边三角形面积时，把由曲线y＝x2，x轴和直线x＝a围成图形的底分成n等分，于是得到n个矩形(图11．5)，他称这些矩形为“无穷小矩形”，用它们取
d·d2+d·(2d)2+d·(3d)2＋…＋ d(nd)2
　
法证明了由一般曲线y＝xn，x轴和直线x＝a所围成的曲边梯形面积
在牛顿和莱布尼茨之前，为发明微积分作准备工作最多的是英国的沃利斯．他的《无限算术》(Arithmetica Infinitorium，1655)一书，把不可分量法译成了数的语言，从而把几何方法算术化．他把几何中的极限方法转移到数的世界，首次引入变量极限的概念，他说：“变量的极限——这是变量所能如此逼近的一个常数，使得它们之间的差能够小于任何给定的量．”他使无限的概念以解析形式出现在数学中，从而把有限算术变成无限算术，为微积分的确立准备了必要的条件．牛顿便曾直接得益于《无穷算术》．我们从下面的例子可以清楚地看出沃利斯的思想特点．
在求曲线y＝xn下的面积时，沃利斯不是直接去求，而是考虑该面积与横轴及过端点的纵线为边而成的矩形OABC(图11．6)之比，即
　
把横轴从0到a分为m等分，则曲线y=xn下的面积近似为：
0n+1n+2n+…＋an，
而与此相比较的矩形面积为
an+an+an+……＋an．
它们的比为

当m→∞时，上式的极限便是曲线下的面积与矩形面积之比．
沃利斯分别考虑了n＝1，2，3，4，5，6的情况．当n＝2时，有

任意给定的量．”如果项数趋于无限，则这个差将“趋于消失”，因此
显然，沃利斯已经接近现代意义的定积分了．
二、微分方法的形成
微分方法形成于对速度、切线和极值的研究．
关于切线的新观点是伽利略首先提出的，他认为作斜抛运动的物体具有两个方向的速度——水平速度PQ和垂直速度PR，它们的合速度是以PQ和PR为边的平行四边形的对角线PC(图11．7)，它代表了物体在P点运动的方向，即运动轨迹在P点的切线．在这一认识的基础上，伽利略的学生、意大利数学家托里切利(E．Torricelli，1608—1647)对切线作了进一步的研究．
托里切利的方法可用现代数学语言叙述如下：设O是抛射体M的初始位置(图11．8)，M具有垂直下落的速度gt(g是重力加速度)及水平速度u，于是在瞬间t有
　
可见动点M(即抛射体)的轨迹是抛物线．由于垂直速度与水平速度之比为

再应用相似三角形的性质，可知M点的切线同抛物线对称轴的交点与顶点的距离为y．所以，只要由o点向上量出y，就很容易作出M点的切线了．不过这种方法只局限于力学范畴，不能适用于一般的曲线切线．
同托里切利相比，费马的方法就普遍多了．在“求最大值和最小值的方法”(Methodus ad Disquirendam Maximamet Minimam， 1637)一文中，费马求切线的方法大致如下：
设PT是曲线在P点的切线(图11．9)，PQ⊥TQ．费马称TQ为次切线，只要知其长，便可确定T点，从而作出切线TP．
为确定TQ，设QQ1为TQ的微小增量，其长为E(相当于今天的Δx)．
∵△TQP∽△PRT1，
费马认为，当E很小时，RT1同RP1几乎相等，因此有

若改写成现在的符号，以f(x)代替QP，则上式变为

这时，费马先用E同除分子和分母，然后再让E＝0，便得到TQ的数值．显然，他的方法已接近微分了，只是还未提炼出E→0的极限概念．数学史家伊夫斯(H．Eves)称费马的工作是“微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作．”①
在同一篇论文中，费马还用类似的方法处理了如下的极值问题：分一个量为两部分，使它们的乘积最大．费马令B为给定的量，以A和B－A表示所求的两部分．他认为在E很小时，A－E与A几乎相等，所以他写成
A(B-A)＝(A-E)[B-(A－E)]，
即 2AE-BE-E2=0．
除以E后得 2A-B-E=0．
令E=0，得2A＝B，这便是所求的划分．从本质上来说，费马的方法等价于

如果我们注意一下图11．9，就会发现一个含微小增量的三角形PRT1，它被莱布尼茨称为“微分三角形”，沿用至今．帕斯卡认真研究了这种三角形．在他的《戴东维尔的某些几何发现的信件》(Lettres de A．Dettonville contenant quelquesunes de ses inventions de gēomētrie， 1659)①中正确指出，当区间(即PR)很小时，“弧可以代替切线”，因此可由微分三角形来决定切线．从微积分的观点来看，微分三角形即是由自变量增量Δx与函数增量Δy为直角边所组成
十分重要的．实际上，揭示微分三角形的实质就等于掌握微分概念．不过帕斯卡却忽视了微分三角形两边的商对于决定切线的重要性，所以没有击中微积分的要害．
认识微分三角形两边之商对于决定切线的重要性的是英国的巴罗．在《几何讲义》(Lectiones geometricae， 1670)一书中，巴罗叙述的方法大致如下：
如图11．10，欲求给定曲线上P点的切线，令Q为曲线上点P的邻点，则△PTM与△PQR接近于相似．巴罗认为，当小三角形变得无限小时，则

　
令QR＝e，RP＝a，若P的坐标是x和y，则Q的坐标是x－e和y-a．将这些值代入曲线方程，并略去e和a的二次以上的项，即可求出比值
(x-e)3＋(y－a)3=r3，
即 x3－3x2e＋3xe2－e3＋y3－3y2a+3ya2-a3=r3．
略去e和a的二次以上的项，得
x3－3x2e+y3－3y2a=r3，
即 3x2e＝－3y2a．

几何与微积分的关系，如果没有解析几何中的坐标观念和以方程表示曲线的理论，是不会产生微分概念的．
巴罗的贡献不仅在于微分，还在于他首次认识到作切线与求积的互逆关系，这说明他已对微积分基本定理有了局部的认识．他的这项成果反映在《几何讲义》第十讲中．
为方便起见，设y轴和z轴方向相反，并设f(x)为增函数．如图11．11，以曲线y＝f(x)为一边的曲边梯形面积用z＝A(x)表示．给定x轴上的一点D(x0，0)，设T是x轴上一点，使得
　
　
巴罗断言：直线TF与曲线z=A(x)只在点F(x0，A(x0))相接触，即TF是z=A(x)的切线．从微积分的观点看，这相当于由z＝
标．这显然与微积分基本定理相符．不过，巴罗并没有用分析的方法定义斜率，也没有从理论上总结出微分与积分的互逆关系．他只用如下方法证明了他的结论．
设x1＜x0，由I(x1，A(x1))作IL∥x轴，交TF于K．
　
∴ LF＝LK·DE．
但LF＝DF－PI＝A(x0)－A(x1)＜DP·DE(考虑到f(x)是增函数)，
∴ LK·DE＜DP·DE，
∴ LK＜DP=LI．
即K在I的右边．
同理可证x1＞x0时K亦在I的右边，所以直线TF与曲线A(x)只有一个接触点F．
显然，巴罗的思想完全是以几何面貌出现的，所以还不能看作微积分的真正创始．
综上所述，数学家们已经作了大量属于微积分范畴的工作．但如果说他们已经发明微积分，那就不合适了．因为微积分的产生需要三个不可或缺的条件：一是引入变化率的概念；二是建立具有普遍意义的微分和积分方法；三是确认微分与积分的互逆关系．但上述数学家的兴趣都在于今天说来应该算是微积分应用的那些方面——作切线、求面积、求体积等等．尽管在具体工作中一步步接近微积分，但谁也没有抽象出变化率这个微积分的基本概念，谁也没有建立起普遍适用的方法．巴罗虽然在几何问题中注意到作切线与求积的互逆关系，但并没有从理论上概括出微积分基本定理．至于其他数学家，则从未考虑过这种互逆关系．
实际上，数学中的重大突破总是与许多人的辛勤工作分不开的．在此基础上需要一位杰出人物走那最后的，也是最关键的一步，这个人要能够从大量材料中清理出前人的有价值的思想，能够洞察问题的本质，给予理论上的概括和提高．在微积分方面，这个人就是牛顿．
第二节 科学巨人牛顿的工作
一、牛顿传
1643年1月4日牛顿生于英国林肯郡的沃尔索普(Woolsthorpe)村，父亲是一个农民，在牛顿出生前就死了．虽然母亲也希望他务农，但幼年的牛顿却在做机械模型和实验上显示了他的爱好和才能．例如，他做了一个玩具式的以老鼠为动力的磨和一架靠水推动的木钟．14岁时，由于生活所迫，牛顿停学务农，以后在舅父的帮助下又入学读书．1661年，不满19岁的牛顿考入剑桥大学的三一学院．1665年初，他在毕业前夕发现了二项式定理，同年获文学学士学位，并当了研究生．但不久便由于在伦敦流行鼠疫，剑桥大学关闭，牛顿只好回农村居住．在沃尔索普村的18个月里，牛顿发明了微积分，提出了万有引力定律，还研究了光的性质．牛顿一生的重大成就大都发韧于这期间．后来，他在追忆这段峥嵘的青春岁月时说：“当年我正值发明创造能力最强的年华，比以后任何时期更专心致志于数学和哲学(科学)．”我们特别注意到，他于1666年10月写成的《流数后人加的)是世界上第一篇微积分论文，它标志着这一学科的诞生．虽然论文直到本世纪才公开发表，但当时有抄本流传，牛顿的不少朋友和同事都看到过．
1667年，瘟疫过去，牛顿又回到剑桥大学．第二年，他制成世界上第一架反射望远镜．由于他在科学上的出色成就，他的老师巴罗认为他的学识已超过自己，便于1669年10月主动把数学教授的职位让给他，于是牛顿开始了他三十年的大学教授生活．
他在1669年写成《运用无穷多项方程的分析学》(De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas，1711年发表)，又于1671年写成《流数法和无穷级数(De Me－thodis Serierum et Fluxionum，1736年发表)．这两篇论文同《流数简论》一起，奠定了微积分的理论基础．1672年，他当选为皇家学会会员，并第一次发表论文，内容是关于白色光的组成，引起广泛的兴趣和讨论．1675年，他将关于光的粒子说的论文送交皇家学会．1685年，他开始撰写《自然哲学的数学原理》(Philosophiae Naturalis Principia Mathematiˉca)．1687年，这部伟大著作刚刚写完，便由哈雷(E．Halley，1656—1742)出资发表，立即对整个欧洲产生了巨大影响．著名的牛顿力学三定律、万有引力定律及牛顿的微积分成果都载于此书．它成为科学史上的一个里程碑．
1689年，牛顿代表剑桥大学进入议会．不久，牛顿的母亲病重，他彻夜不眠地守着她，但并没有能挽留母亲的生命．由于长简论》(The October 1666 Tract on Fluxions，题目是期的紧张工作及母亲病逝的精神打击，牛顿得了精神衰竭症，大约一年后才复原．1693年，牛顿写成他的最后一部微积分专著《曲线求积术》(De Ouadratura Curvarum)．1696年，牛顿被任命为造币厂督办，三年后当了厂长．
从1665年到1696年，牛顿纯粹是一个科学家，为科学事业做出了许多卓越贡献．这以后的三十一年中，他一方面在官场服务，另一方面作为英国科学界的领袖而发挥作用．1703年，牛顿开始担任皇家学会会长，1704年发表了他的名著《光学》(Op－ticks，《曲线求积术》作为《光学》的附录同时发表，获得巨大成功．1705年被女皇封为爵士，得到了一生的最高荣誉．但他的研究重心却逐渐由科学转移到神学，晚年写了大量关于神学的文字．1727年3月31日，牛顿病逝于英国的肯辛顿．
纵观牛顿的一生，他在科学上的最重要成就有三个：发明微积分、建立经典力学体系、提出光的性质的理论．其中任何一项成就都足以使他列入世界上的大科学家行列．但牛顿并不认为自己发现了真理的海洋，他在逝世前不久给朋友写的信中说：“我不知道世人怎样看待我；但我自己觉得，我不过像在一个海滨玩耍的小孩，为时而拾到一片比寻常更为莹洁的卵石，时而拾到一片更为美丽的贝壳而雀跃欢欣，而对于我面前的真理的海洋，却茫然无知．”
二、《流数简论》
《流数简论》表明，牛顿微积分的来源是运动学．1666年，他在坐标系中通过速度分量来研究切线，既促使了流数法的产生，又提供了它的几何应用的关键．
牛顿把曲线f(x，y)＝0看作动点的轨迹，动点的坐标x，y是时间的函数，而动点的水平速度分量和垂直速度和垂直速度为边的矩形对角线，所以曲线f(x，y)＝0的切线斜率
所以牛顿便在后来称它们为流数，实际上就是x和y对t的导数：

而它们的比就是y对x的导数
　
布尼茨发明的，我们这里采用它们是为了叙述方便．
牛顿考虑的第一个问题是：给定x和y的关系f(x，y)＝0，求
　
的次数……令这些乘积的总和等于零．这个方程就给出速度(流数)之间的关系．若用子表示，则为

它是牛顿用来计算流数之比(即求导)的基本法则．实际上，这个式子
　
牛顿是用“无穷小”概念和他一年前发明的二项式定理来证明(1)式的．他认为，作非匀速运动的物体在无穷小时间间隔o中的运动情况同作匀速运动的物体在有限时间间隔中的情况相同，“因此，如果到某一时刻，它们已描绘的线段为x和y，那么到下一时刻所描绘的线段就是x＋xo和y＋yo．”牛顿用x＋xo和y＋yo代替f(x，y)＝0中的x和y，于是有

按二项式展开并略去o的二次以上(含二次)的项，得

除以o后便得到(1)式．作为一个实例，可把y＝xn写成f(x，y)＝y－xn的形式，由(1)式推出　

的代数式)．他对这一问题的研究导致了微积分基本定理的发现，即：

其中A表示曲线y=f(x)下的面积．从《流数简论》可以看出，他是用如下方法推导这一重要定理的：
设y表示曲线f(x)下的面积abc(图11．13)，并把它看作垂
平行移动，描绘出面积x和y，它们随时间而增加的速度是be和bc，”显然，be＝1而bc=f(x)．因此，牛顿认为面积y随时间的变化率是

这显然等价于(2)式，就是说函数曲线下的面积的变化率等于曲线的纵坐标．他把求积问题看作求变化率的逆过程，即把y看作f(x)的积分(不定积分)．
牛顿的工作可以清楚地说明切线及面积的互逆关系．如果面积y＝
　
在解决了基本的微积分问题后，牛顿又进一步提出变量代换法，它变量z＝1＋xn，其流数比为

这便是我们熟知的幂函数微分公式，它的现代形式为

类似地，牛顿在积分中也采用了代换法，并在稍后的著作中总结出代换积分公式．这个问题将在下面讨论．
《流数简论》中，牛顿还导出函数的积和商的微分法则．设y=u(x)·v(x)，则由计算流数之比的基本法则得到

至于函数和的微分，牛顿认为是显然的，没有作为公式列出．
由于牛顿首次引入“流数”和“变化率”的概念，明确提出一般性的微积分算法，特别是提出微积分基本定理，所以说他“发明”了微积分．不过，他当时只是观察到这一重要定理，至于定理的证明则是在他的第二本微积分著作中才出现的．
三、《运用无穷多项方程的分析学》
(下简称《分析学》)
在这本书中，牛顿假定曲线下的面积为
z＝axm，
其中m是有理数．他把x的无穷小增量叫x的瞬，用o表示．由曲线、x轴、y轴及x＋o处纵坐标所围成的面积用z＋oy表示(图11．14)，其中oy是面积的瞬，于是有
z+oy＝a(x＋o)m．
根据二项式定理

考虑到z＝axm，并用o去除等式两边，得

略去仍然含o的项，得x
y=maxm-1．
这就是相应于面积z的纵坐标y的表达式，或者说是面积z在点的变化率 线为y=maxm-1；反之，若曲线是y＝maxm-1，则它下面的面积是z=axm．在这里，牛顿不仅给出了求变化率的普遍方法，而且证明了微积分基本定理．从计算角度来说，他实际上给出了两个基本的求导和积分公式(用现代符号表出)
(axm)′＝maxm-1；
在证明了面积的导数是y值，并断言逆过程是正确的以后，牛顿给出下面的法则：若y值是若干项的和，则面积是由每一项得到的面积的和，用现在的话来说，就是函数之和的积分等于各函数的积分的和：
∫[f1(x)+f2(x)＋…+fn(x)]dx=∫f1(x)dx
＋∫f2(x)dx+…+∫fn(x)dx．
他对如下的积分性质也有明确认识：
∫af(x)dx ＝a∫f(x)dx．
他利用上述知识得到各种曲线下的面积，解决了许多能表成和式的问题．
在此基础上，牛顿提出了利用无穷级数进行逐项积分的方法．例如　
然后对这个无穷级数逐项积分，得

他说，只要b是x的倍数，取最初几项就可以了．

y＝1-x2＋x4－x6＋x8－… (1)

y＝x-2－x-4＋x-6-x-8＋… (2)
他说，当x很小时，应该用(1)式，若x较大就必须用(2)式了．可见他已意识到级数收敛和发散的区别，不过还没有提出收敛的概念．
同《流数简论》相比，《分析学》的另一项理论进展表现在定积分上．牛顿把曲线下的面积看作无穷多个面积为无限小的面积之和，这种观念与现代是接近的．为了求某一个区间的确定的面积即定积分，牛顿提出如下方法：先求出原函数，再将上下限分别代入原函数而取其差．这就是著名的牛顿—莱布尼茨公式，是他与莱布尼茨各自独立发明的．若采用现代数学符号，该公式可表述为：若F(x)是f(x)在区间[a，b]

中应用极广的定积分计算问题便转化为求原函数问题，所以它是十分重要的．
《分析学》中还有其他一些出色的成果，例如，书中给出求高次方程近似根的方法(即牛顿法)，导出正弦级数及余弦级数，等等．
到此为止，牛顿已经建立起比较系统的微积分理论及算法．不过他在概念上仍有不清楚的地方．第一，他的无穷小增量o是不是0？牛顿认为不是．既然这样，运算中为什么可以略去含o的项呢？牛顿没有给出合乎逻辑的论证．第二，牛顿虽然提出变化率的概念，但没有提出一个普遍适用的定义，只是把它想象成“流动的”速度．牛顿自己也认为，他的工作主要是建立有效的计算方法，而不是澄清概念，他对这些方法仅仅作了“简略的说明而不是准确的论证．”牛顿的态度是实事求是的．
四、《流数法和无穷级数》(下简称《流数法》)
这是一部内容广泛的微积分专著，是牛顿在数学方面的代表作．在前两部书的基础上，牛顿提出了更加完整的理论．
从书中可以看出，牛顿的流数概念已发展到成熟的阶段．他把随时间变化的量，即以时间为自变量的函数称为流量，以字母表的后几个字母v，x，y，z来表示；把流量的变化速度，即变化率称为流数，以表保留，并且仍用o表示．
他在书中明确表述了他的流数法的理论依据，说：“流数法赖以建立的主要原理，乃是取自理论力学中的一个非常简单的原理，这就是：数学量，特别是外延量，都可以看成是由连续轨迹运动产生的；而且所有不管什么量，都可以认为是在同样方式下产生的．”又说：“本人是靠另一个同样清楚的原理来解决这个问题的，这就是假定一个量可以无限分割，或者可以(至少在理论上说)使之连续减小，直至……比任何一个指定的量都小．”牛顿在这里提出的“连续”思想及使一个量小到“比任何一个指定的量都小”的思想是极其深刻的，他正是在这种思想的主导下解决了如下两类基本问题．
第一类：已知流量的关系求它们的流数之比，即已知y＝f(x)或

例如书中的问题1：如果流量x和y之间的关系是x3－ax2+axy－y3=0，求它们的流数之比．

程中的x和y，得

展开后利用x3－ax2＋axy－y3＝0这一事实再把余下的项除以o，得

至此牛顿说：“我们已假定o是无限微小，它可以代表流动量的瞬，所以与它相乘的诸项相对于其他诸项来说等于没有．因此我把它们丢掉，而剩下
　
从表面看，这种方法与《流数简论》中的方法一致．所不同的是， 数．《简论》中求流数之比的基本法则也被牛顿赋予一般的意义．

例如，假定y=xn，牛顿首先建立

然后用二项式定理展开右边，消去y＝xn，用o除两边，略去仍含o的项，结果得

当然，在对具体函数微分时，不必采用无穷小而可直接代入公式．
第二类：已知一个含流数的方程，求流量，即积分．
　
(x)，则
数简论》中，牛顿在具体积分中已经采用了这种方法，只是到这时才明确总结出公式．从《简论》及《流数法》两书来看，他推导此式的思路大致如下：

由(2)，(3)得

由微积分基本定理，得

牛顿在书中还推出分部积分公式，即
∫uv′dx=uv-∫vu′dx．
　 其中u和v都是x的函数．若求∫uv′dx有困难而求∫vu′dx 比较容易时，就可利用分部积分公式求积分．
牛顿总结了他的积分研究成果，列成两个积分表，一个是“与直线图形有关的曲线一览表”，另一个是“与圆锥曲线有关的曲线一览表”．这两个表为积分工作提供了许多方便．
至此，牛顿已建立起比较完整的微分和积分算法，他当时统称为流数法．他充分认识到这种方法的意义，说流数法(即微积分)是一种“普遍方法”，它“不仅可以用来画出任何曲线的切线……而且还可以用来解决其他关于曲度、面积、曲线的长度、重心的各种深奥问题．”《流数法》一书便充分体现了微积分的用途，下面略举几例．
例1，在“问题3——极大值和极小值的确定”中，牛顿给出了通过解方程f′(x)＝0来求f(x)极值的方法．他写道：“当一个量取极大值或极小值时，它的流数既不增加也不减少，因为如果增加，就说明它的流数还是较小的，并且即将变大；反之，如果减少，则情况恰好相反．所以求出它的流数，并且令这个流数等于0．”他用这种方法解出了九个问题．其中之一是求方程x3－ax2＋axy－y3=0中x的最大值．他先求出x和y的流数之比，得

即 3y2＝ax．
把上式代入原方程后，就很容易求得相应的x值和y值了．
例2，已知曲线方程为x3－ax2＋axy y3＝0，AB和BD分别为曲线上D点的横、纵坐标，求作过D点的切线(图11．15)．牛顿先求得流数之间的关系
由此得出

因BD＝y，所以

牛顿说：“给定D点后，便可得出DB和AB，即y和x，BT的长度也就给定，由此可确定切线TD．”
例3，在“问题12——曲线长度的确定”中，牛顿采用流数法计算弧长．设QR是给定曲线，RN⊥MN，牛顿分别记MN＝s．NR＝t，QR＝v(图11．16)，它们的流数分别为s，t，v，然后“想象直线NR向右移动到最接近的可能位置nr，由R向nr引垂线RS，则MN，NR和QR分别增加RS，Sr和Rr．”牛顿说：“因为RS，Sr和Rr相互之比是这些线段的流数之间的
若换成现在通用的坐标x，y和弧长s，则牛顿的结果为
只要对t积分，就可求出弧长s了．
综上所述，《流数法》不仅在基本思想上比《分析学》有了发展，而且提供了更加有效的计算方法．但牛顿的基本方法仍是弃去无穷小，因而同《分析学》一样出现逻辑困难．他尝试建立没有无穷小的微积分，于是有《曲线求积术》(下简称《求积术》)之作．
五、牛顿的极限理论
牛顿的四部微积分专著中，《曲线求积术》是最后写成(1693)但最早出版(1704)的一部．在书中，导数概念已被引出，而且把考察对象由二个变量构成的方程转向关于一个变量的函数．牛顿的流数演算已相当熟练和灵活了，他算出许多复杂图形的面积．阿达玛(J．Hadamard，1865—1963)称赞说，该书“论述的有理函数积分法，几乎不亚于目前的水平．”
值得注意的是，在《求积术》中，牛顿认为没有必要把无穷小量引入微积分．他在序言中明确指出：“数学的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的．直线不是一部分一部分的连接，而是由点的连续运动画出的，因而是这样生成的；面是由线的运动，体是由面的运动，角是由边的旋转，时间段落是由连续的流动生成的．”在这种思想指导下，他放弃了无穷小的概念，代之以最初比和最后比的新概念．为了求函数y=xn的导数，牛顿让x“由流动”而成为x＋o，于是xn变为

的最后比等于1比nxn-1．所以量x的流数与量xn的流数之比等于1比nxn-1．”牛顿认为这个比即增量的最初比，可见最初比与最后比的实质是一样的，都表示y关于x的导数，或者说是y对于x的变化率．用现在的符号可写成y′=nxn-1．
牛顿还对他的最后比作出下面的几何解释：如图11．17，假定bc移向BC，使得c和C重合，那么增量CE、Ec、Cc的最后比等于△CET的各边之比，即把这些增量看作初生量的最初比．”他说，“只有点C与c完全重合了，直线CK才会与切线(CH)重合，而CE、Ec、Cc的最后比才能求出．”显然，他是把切线CH当作割线CK的极限位置．
实际上，早在《自然哲学的数学原理》(下简称《原理》)一书中，牛顿就表述了明确的极限思想．他说：“消失量的最后比严格地说并不是最后量的比，而是这些量无限减小时它们的比所趋近的极限．它们与这个极限之差虽然可以比任何给定的差更小，但这些量在无限缩小之前既不能超过也不能达到它．”在这部最早发表的包含微积分成果的书(当然不是最早写成的)中，牛顿已经把微积分的大厦建筑在极限的基础之上，他用极限观点解释了微积分中的许多概念．例如，他认为表示定积分的曲边图形与“消失的平行四边形的终极和”相重合．牛顿指出，当这些平行四边形(相当于今天讲定积分几何意义时的长条矩形)的最大宽度无限减小时，就成为“消失的平行四边形”，而曲边图形就是所有这些消失图形的终极和了．牛顿在《原理》中阐发的极限思想，成为他撰写《求积术》的理论基础．当然，他还没有提出如同我们现在使用的严格的极限定义．
第三节 莱布尼茨的“微积分”
一、莱布尼茨传
1646年7月1日，莱布尼茨生于德国的莱比锡(Leipzig)．父亲是莱比锡大学的哲学教授，在他六岁时便去世了，留给他的是十分丰富的藏书．
1661年，莱布尼茨进入莱比锡大学学习法律，1663年获学士学位，同年转入耶拿(Jena)大学．
他在耶拿大学一边学哲学，一边在魏格尔(E．Weigel)指导下系统学习了欧氏几何．魏格尔使他开始确信毕达哥拉斯—柏拉图宇宙观：宇宙是一个由数学和逻辑原则所统率的和谐的整体．1664年，他获得哲学硕士学位，三年后又获得法学博士学位．二十一岁的莱布尼茨被一位男爵推荐给美因茨(Mainz)选帝侯逊勃伦(VonSchnborn)，从此登上了政治舞台，开始在美因茨宫廷任职．
1672年，莱布尼茨作为外交官出使巴黎，结识了许多科学家，包括从荷兰去的惠更斯(C．Huygens，1629—1695)．在惠更斯等人的影响下，他对自然科学特别是数学产生了浓厚的兴趣，真正开始了他的学术生涯．1673年初，他又出使伦敦，结识了胡克(R．Hooke，1635—1703)、波义耳(R．Boyle，1627—1691)等人，3月回到巴黎，4月即被推荐为英国皇家学会的外籍会员．莱布尼茨滞留巴黎的四年时间，是他在数学方面的发明创造的黄金时代．在这期间，他研究了费马、帕斯卡、笛卡儿和巴罗等人的数学著作，写了大约100页的《数学笔记》．这些笔记虽不系统，且没有公开发表，但其中却包含着莱布尼茨的微积分思想、方法和符号，是他发明微积分的标志，他还于1674年发明了能作四则运算的手摇计算机．
1676年，莱布尼茨返回德国．在此后的四十年中，他一直担任汉诺威(Hanover)公爵弗里德里希(Johann Friedrich)的枢密顾问和图书馆长，汉诺威成了他的永久居住地．1682年，他与门克(O．Mencke，？—1707)创办了拉丁文杂志《博学学报》(Acta Eruditorum)．1684年，他在该杂志上首次发表了微积分论文《对有理量和无理量都适用的，求极大值和极小值以及切线的新方法，一种值得注意的演算》(Nova Meth－odus Pro Maximis et Minimis，Itemepue Tangeu－tibus，quae nec fractas nec irrationales quantita-tes Moratur，et singulare)(下简称《新方法》)，这是他在微积分方面的代表作．
从17世纪九十年代起，莱布尼茨就热心从事于科学院的筹划和建设．1700年，他终于促成柏林科学院成立，并出任第一任院长．同年被选为法国科学院的外籍院士．他还建议成立彼得堡科学院和维也纳科学院，这些建设都被采纳了．他的科学远见和组织才能，有力地推动了欧洲科学的发展．他甚至写信给中国的康熙皇帝，建议成立科学院．
除了数学以外，莱布尼茨在哲学、法学、历史学、逻辑学、力学、光学等方面也都做出了卓越贡献．1716年11月14日，莱布尼茨平静地离开人世，享年70岁．
二、《数学笔记》
从莱布尼茨的《数学笔记》可以看出，他的微积分思想来源于对和、差可逆性的研究．实际上，这一问题可追溯到他于1666年发表的论文《论组合的艺术》(De Art Combinatoria)．他在这篇文章中对数列问题进行了研究，例如，他给出自然数的平方数列
0，1，4，9，16，25，36，… (1)
又给出它的一阶差序列
1，3，5，7，9，11，… (2)
及二阶差序列
2，2，2，2，2，… (3)
莱布尼茨注意到如下几个事实：自然数列的二阶差消失而平方序列的三阶差消失；如果原数列从0开始，则一阶差的和等于原数列的最后一项；数列(2)中每项是(1)中相邻两项之差而(1)中每项是(2)中左边各项之和．这些事实对他后来发明微积分是有启发的．
1673年初，莱布尼茨已经熟悉了费马、巴罗等人的数学著作，他本人对切线问题及求积问题也有了某些研究．他在惠更斯的劝告下，开始攻读帕斯卡的著作．他发现在帕斯卡三角形(见下表)中，任何元素是上面一行左边各项之和，也是下面一行相邻两项之差．他立即同自己在1666年的工作联系起来，洞察到这种和与差之间的互逆性，正和依赖于坐标之差的切线问题及依赖于坐标之和的求积问题的互逆性相一致．所不同的只是，帕斯卡三角形和平方序列中的两元素之差是有限值，而曲线的纵坐标之差则是无穷小量．
当然，要把一个数列的求和运算与求差运算的互逆关系同微积分联系起来，必须把数列看作函数的y值，而把任何两项的差看作两个y值的差．莱布尼茨正是这样做的，他用x表示数列的项数而y表示这一项的值，用dx表示数列的相邻项的序数差而用dy表示相邻项的值的差．这时，dx显然为1．借助于数学直观，莱布尼茨把在有限序列表现出来的和与差之间的可逆关系表示成y=∫dg，符号∫表示和．例如，在莱布尼茨的平方序列中，若x＝4，则y＝(9－4)＋(4-1)＋(1-0)．莱布尼茨进一步用dx表示一般函数的相邻自变量的差，用dy表示相邻函数值的差，发者说表示曲线上相邻两点的纵坐标之差．于是，∫dy便表示所有这些差的和．这说明莱布尼茨已经把求和问题与积分联系起来了．
图11．18清楚地说明了y=∫dy的几何含义，该图出现在莱布尼茨的1673年笔记中．不过他在当时还未发明dx，dy和∫等符号，图中的l相当于dy，至于dx和∫，他当时写作a和omn(即拉丁文omnia的头三个字母)．在y＝x的条件下，莱布尼茨得到omn．l=y(即∫dy=y)．若以omn．l表示首项为0的序列的一阶差的和，则上式给出序列的最　 到1675年10月，莱布尼茨已经推导出分部积分公式，即
∫xdy=xy-∫ydx．
10月29日的笔记中，他以原来的符号(即omn，l等)记录了这一公式，但他接着便改用符号∫(sum的头一个字母s的变形)代替了omn．他明确指出：“∫意味着和，d意味着差．”11月11日，他开始采用dx表示两个相邻x值的差，用dy表示相邻y值的差，即曲线上相邻两点的纵坐标之差，莱布尼茨称其为“微差”．从此，他一直采用符号∫和dx，dy来表示积分与微分(微差)．由于这些符号十分简明，逐渐流行于世界，沿用至今．
莱布尼茨深刻认识到∫同d的互逆关系，他在10—11月的笔记中断言：作为求和过程的积分是微分的逆．这一思想的产生是莱布尼茨创立微积分的标志．实际上，他的微积分理论就是以这个被称为微积分基本定理的重要结论为出发点的．在定积分中，这一定理直接导致了牛顿—莱布尼茨公式(如前所述)的发现．
从11月11日的笔记可以看出，莱布尼茨认为dy和dx可以任意小，他在帕斯卡和巴罗工作的基础上构造出一个包含dx，dy的“特征三角形”，借以表述他的微积分理论．
如图11．19，P，Q是曲线上相邻两点，PR=dx，QR=dy，所谓特征三角形即由dx，dy和弦PQ组成的无穷小三角形PRQ．莱布尼茨认为，在这个三角形中，弦PQ也是P和Q之间的曲线及过T点的切线的一部分．他进一步认为：三角形PRQ相似于由次切线SU，T点的纵坐标及切线ST组成的三角形SUT．所以dy与dx之比有确定的意义，即： 尼茨利用上述理论解决了一个确定的问题，即寻求次法线与纵坐标成反比的曲线．
在图11．19中，法线是TV而次法线是UV，设UV=p，则由三角形PRQ及TUV的相似性得到

即 pdx＝ydy． (4)

1676年11月左右，莱布尼茨在微积分基本定理的基础上给出一般的分数．从莱布尼茨的笔记可以看出，他和牛顿一样，在微积分中常常采用略去无穷小的方法．例如，为了求出曲线下的面(图11．20)，需要计算曲线下各矩形之和．他说可以忽略剩余的三角形，“因为它们同矩形相比是无穷小……，所以在我的微积分中，我用∫ydx表示面积．”
1676—1677年的数学笔记中还提出如下的微积分法则：
(1)微分中的变量代换法即链式法则(1676年)；
(2)函数的和、差、积、商的微分法则(1677年)，即
d(x±y)＝dx±dy，
d(xy)＝xdy+ydx，

(4)曲线绕x轴旋转而得到的旋转体体积公式
V=π∫y2dx(1677年)．
综上所述，莱布尼茨在发现微积分基本定理的基础上，建立起一套相当系统的微分和积分方法．他成为与牛顿同时代的另一个微积分发明者．当然，他们的成果都是独立取得的，当他们开始联系时，已经各自建立起一套具有特色的微积分理论了．
三、《新方法》
这是莱布尼茨公开发表的第一篇微积分论文，是对他的微分成果的概括．
莱布尼茨在论文中对微分给出如下定义：“横坐标x的微分dx是一个任意量，而纵坐标y的微分dy则可定义为它与dx之比等于纵坐标与次切线之比的那个量．”即
用现代标准来衡量，这个定义是相当好的，因为y与次切线之比就是切线的斜率，所以该定义与我们的导数定义一致．不过莱布尼茨没有给出严格的切线定义，他只是说“求切线就是画一条连接曲线上距离为无穷小的两点的直线．”
莱布尼茨还给出微分法则d(xn)＝nxn-1dx的证明及函数的和、差、积、商的微分法则的证明．例如，为求d(uv)(其中u，v是x的函数)，先让u变为u＋du，v变为v＋dv，于是
d(uv)＝(u＋du)(v＋dv)-uv．
而 (u＋du)(v＋dv)＝uv＋udv＋vdu＋dudv，
所以 d(uv)＝udv＋vdu+dudv．
莱布尼茨认为dudv对于udv+vdu来说是无穷小，可以舍去，从而得出
d(uv)=udv+vdu．
莱布尼茨十分注意微分法的应用，他在文章中讨论了用微分法求切线、求极大值、极小值以及求拐点的方法．他指出，当纵坐标v随x增加而增加时，dv是正的；当v减少时，dv是负的；“当v既不增加也不减少时，就不会出现这两种情况，这时v是平稳的．”所以v取得极大值或极小值的必要条件是dv＝0，这对应于水平切线．他还说明了拐点的必要条件是d(dv)＝0，即二阶微分为0．
在文章的末尾，莱布尼茨解决了一个笛卡儿未能解决的问题：求纵坐标为w的曲线，使其次切距为常数a．对于这样的曲线，有
　
莱布尼茨考虑x值的一个等差数列，其公差为dx＝b，代入(1)，得

显然，w的序列与其差的序列成正比，这正是几何级数特有的性质，所以莱布尼茨断言：如果x值构成算术序列，则w值构成几何序列．换句话说，如果w是一些数，则x是它们的对数．因此，所求的曲线是对数曲线．”
莱布尼茨充分认识到微分法的威力，他说：这种方法“可以用来解决一些最困难的、最奇妙的数学问题，如果没有我们的微分学或者类似的方法，这些问题处理起来决不会这样容易．”
1686年，莱布尼茨又在《博学学报》上发表了一篇题为“论一种深刻的几何学与不可分元分析”(De Geometria recon－dita et Analysi Indivisibilium atque Infinitorum)的论文，它与《新方法》是姊妹篇，前者以讨论微分为主而本文以讨论积分为主．文中的积分号∫是在出版物中首次出现的．莱布尼茨强调说，不能在∫下忽略乘以dx，因为积分是无穷小矩形ydx之和．他在文中用积分方法导出了摆线方程，即

他说：“这个方程完全表示出纵坐标y同横坐标x间的关系，并能由此推出摆线的一切性质．”他还通过积分来计算圆在第一象限的面积，从而得到π的一个十分漂亮的表达式(图11．22)．由分部积分公式
　
　
　
1686年以后，莱布尼茨继续研究微积分．在求曲线曲率、曲线族包络、判断级数收敛和求解微分方程方面都取得出色成果．
小结：
在创立微积分方面，莱布尼茨与牛顿功绩相当．他们各自独立地发现了微积分基本定理，并建立起一套有效的微分和积分算法；他们都把微积分作为一种适用于一般函数的普遍方法；都把微积分从几何形式中解脱出来，采用了代数方法和记号，从而扩展了它的应用范围；都把面积、体积及以前作为和来处理的问题归结到反微分(积分)．这样，四个主要问题——速度、切线、极值、求和，便全部归结为微分和积分．
小的矩形之和．
但是，如果我们认真比较一下牛顿和莱布尼茨的工作，仍会发现一些明显的不同之处．
第一，牛顿微积分的出发点是力学，他以速度为模型建立起最初的微分学；而莱布尼茨的微积分工作则是从研究和、差可逆性开始的．
第二，在积分方面，牛顿偏重于不定积分，即由给定的流数来确定流量．他把面积和体积问题当作变化率的反问题来解决．而莱布尼茨则偏重于把积分看作微分的无穷和，他把这种算法叫做“求和计算”．所以，莱布尼茨的积分主要是定积分．
第三，尽管牛顿和莱布尼茨的微积分基础都是无穷小量，但他们对无穷小的理解是不同的．莱布尼茨把无穷小理解为离散的，可分为不同层次，因此他给出高阶微分的概念及符号；实际上，他认为一阶微分是横坐标x或纵坐标y的序列的差的序列，二阶微分则是这些差的差所组成的序列．反复取差，便可得到k阶微分dkx或dky．而牛顿则认为无穷小量无层次可言，他把导数定义为增量比的极限．其结果，牛顿的极限概念比莱布尼茨清楚，但却未能进入高阶微分领域．
第四，牛顿比莱布尼茨更重视微积分的应用，但对于采用什么样的微积分符号却不大关心．莱布尼茨对于符号却是精心设计，反复改进，尽量选用能反映微积分实质的、既方便又醒目的符号．其结果，牛顿的微积分理论对科学技术的影响要大一些，但他那套以点为特征的微积分至今盛行不衰．
第五，两人的学风也不相同．牛顿比较谨慎而莱布尼茨比较大胆；牛顿注重经验而莱布尼茨富于想象．牛顿之所以迟迟不愿发表他的微积分成果，就是担心自己的理论不完善，受到别人反对；而莱布尼茨一旦取得理论上的进展就大胆推广，例如他在n是整数时得到d(xn)＝nxn－1dx后，便宣布n为分数时也适用．在发表自己的著作方面，他也比牛顿大胆．他说：“我不赞成因过分的细密而阻碍了创造的技巧．”这种学风上的差异似与两人的哲学倾向有关——牛顿强调经验而莱布尼茨强调理性．
综上所述，牛顿与莱布尼茨应该分享发明微积分的荣誉．但不幸的是在他们生前发表了一场旷日持久的关于微积分发明权的争论．我们知道，莱布尼茨发生第一篇微积分论文的时间是1684年，比牛顿早三年(牛顿的《原理》发表于1687年)，但牛顿早在六十年代就发明了微积分，而莱布尼茨曾于1673年访问过伦敦，并和牛顿及一些知道牛顿工作的人通过信．于是就发生了莱布尼茨是否独立取得微积分成果的问题．牛顿的拥护者们认为只有牛顿才是真正的微积分发明者，公开指责莱布尼茨剽窃牛顿成果．莱布尼茨于1711年为此向英国皇家学会提出申诉(当时他是会员，牛顿是会长)，结果遭到学会的驳斥．这场争论把欧洲数学家分成两派——英国派和大陆派．争论双方停止了学术交流，互相攻击，以致影响了数学的正常发展．直到19世纪初，两派的隔阂才消除．当然，这场争论的性质不纯粹是数学的，其中包含着两派的民族主义情绪，对这方面的问题就不详细讨论了．
牛顿和莱布尼茨死后很久，学者们经过认真的调查研究，逐渐取得一致意见：牛顿和莱布尼茨几乎同时发明了微积分，他们的工作也是互相独立的．在创作时间上，牛顿略早于莱布尼茨(牛顿创立微积分的主要时间是1665—1667年，莱布尼茨是1673—1676年)，但在发表时间上，莱布尼茨又略早于牛顿．所以发明微积分的荣誉属于牛顿和莱布尼茨两人．