分析的化身—欧拉 教案 (1)

《分析的化身—欧拉》
教学目标分析：
1、了解欧拉的生平和数学成就。
2、进一步了解数学发展的历史过程，学生对数学的本质、数学方法及数学对社会发展的意义和作用有较明晰的认识，激发学习数学的热情。2-1-c-n-j-y
3、激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度。
重难点分析：
重点：了解欧拉的数学成就。
难点：理解五种正多面体的证明。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一、导入：
在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？21·cn·jy·com
欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
二、新课讲授
（一）简介
欧拉（Leonhard Euler公元1707-1783年） ，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，在他那不倦的一生中，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。21cnjy.com
（二）数学成就
1、欧拉发现对任何凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有 V-E+F＝2 这个关系。V-E+F 被称为欧拉示性数，成为拓扑学的基础概念。21教育网
简单多面体最有趣的定理之一
欧拉公式:V-E+F=2
其中 V(Vertex)是多面体的顶点数，E(Edge)是棱数,F(Face)是面数
表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。简单多面体分类如下图：
用欧拉公式V-E+F=2证明：
正多面体只有正四面体、正八面体、正六面体、正十二面何等和正二十面体五种。
证：对于正多面体，假设它的各面都是正n边形，而且每一个顶角处有m 条边相遇。
这样就有：
nF=2E (1)
mV=2E (2)
(1)的右边系数2是因为每边（棱）出现在2个面中，（2）的右边系数2是因为每边通过2个顶角.
把（1）和（2）代入欧拉公式中，就得到：
即：
显然n≥3，m≥3
但n＞3，且m＞3又是不可能的
因为那样就要有
可是E＞0。所以m和n中至少有一个等于3。
设n=3，那么
因此m=3,4,5,所以E=6，12，30，从而F =4，8，20，这就给出了正四面体、正八面体和正二十面体.21·世纪*教育网
设m=3，那么
因此n=3,4,5，所以E=6，12，30，从而F=4，6，12，这就给出了正四面体、正六面体（即立方体）和正十二面体.www-2-1-cnjy-com
2、欧拉创设了许多数学符号，例如：
π（1736年）、e（1748年）、i（1777年）、sin和cos（1748年）、tg（1753年）、
△x（1755年）、Σ（1755年）、f(x)（1734年)
3、欧拉最先把对数定义为乘方的逆运算，并且最先发现了对数是无穷多值的。他证明了任一非零实数Ｒ有无穷多个对数。欧拉使三角学成为一门系统的科学，他首先用比值来给出三角函数的定义，而在他以前是一直以线段的长作为定义的。欧拉的定义使三角学跳出只研究三角表这个圈子。欧拉对整个三角学作了分析性的研究。21世纪教育网版权所有
4、最优美的数学公式
5、1774年，欧拉把自己多年来研究变分问题所取得的成果集中发表在一本书《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》中。欧拉从而创立了一个新的数学分支──变分法www.21-cn-jy.com
（三）其它贡献
1、欧拉研究了天文学，并与达朗贝尔及拉格朗日一起成为天体力学的创立者 。
2、欧拉研究了流体的运动性质，建立了理想流体运动的基本微分方程 ，成为流体力学的创始人。欧拉把自己所建立的理想流体运动的基本方程用于人体血液的流动，从而在生物学上添上了他的贡献，又以流体力学、潮汐理论为基础，丰富和发展了船舶设计制造及航海理论。2·1·c·n·j·y
小结：
历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯列为有史以来贡献最大的四位数学家，依据是他们都有一个共同点，就是在创建纯粹理论的同时，还应用这些数学工具去解决大量天文、物理和力学等方面的实际问题，他们的工作是跨学科的，他们不断地从实践中吸取丰富的营养，但又不满足于具体问题的解决，而是把宇宙看作是一个有机的整体，力图揭示它的奥秘和内在规律。【来源：21·世纪·教育·网】