分析的化身—欧拉 学案 (1)

《分析的化身—欧拉》
一、自学目标：通过本专题的学习，了解欧拉的数学成就。
二、自学内容提炼
（一）知识梳理：
1、简介
欧拉， 数学家，欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他一生共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家 曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的好方法”。欧拉还是 发明者，他创设的许多数学符号，例如 ，i，e，sin， ， ， ， 等等，至今沿用。
2、多面体欧拉定理的发现：
什么样的多面体符合欧拉公式?
考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果向内部充以气体，那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。
简单多面体概念：
表面经过连续变形可变为 的多面体，叫做简单多面体。我们所学的几何体，如棱柱、 、 等一切凸多面体都是简单多面体。
欧拉定理:
简单多面体的 数V、 数F及 E间有关系:V+F-E=2
这个公式叫欧拉公式。（要Face,不要Edge）
欧拉定理的应用
利用欧拉定理可解决一些实际问题
（二）典例选讲
一个简单多面体的棱数可能是6吗？
分析：设有简单多面体棱数E=6，
由欧拉公式V+F-E=2得V+F=8
又V≥4，F≥4，所以V+F≥8
所以V=4、F=4，即有4个顶点、4个面。
由于四面体有且只有4个顶点，从面有且只有4个面
所以符合条件的多面体只有一种类型：四面体即三棱锥。
（三）提出疑点和解决
为什么欧拉是有史以来贡献最大的思维数学家之一？
答：历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯列为有史以来贡献最大的四位数学家，依据是他们都有一个共同点，就是在创建纯粹理论的同时，还应用这些数学工具去解决大量天文、物理和力学等方面的实际问题，他们的工作是跨学科的，他们不断地从实践中吸取丰富的营养，但又不满足于具体问题的解决，而是把宇宙看作是一个有机的整体，力图揭示它的奥秘和内在规律。