分析的化身—欧拉 学案 (2)

《分析的化身—欧拉》
一、自学目标：通过本专题的学习，了解欧拉的数学成就。
二、自学内容提炼
（一）知识梳理：
1、简介
欧拉（Leonhard Euler公元1707-1783年） ， 数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，在他那不倦的一生中，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。
2、数学成就
①欧拉发现对任何凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有 V-E+F＝2 这个关系。V-E+F 被称为欧拉示性数，成为拓扑学的基础概念。
简单多面体最有趣的定理之一
欧拉公式:V-E+F=2
其中 V(Vertex)是多面体的 ，E(Edge)是 ,F(Face)是
表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做 。简单多面体分类如下图：
②欧拉创设了许多数学符号，例如：
π（1736年）、e（1748年）、i（1777年）、sin和cos（1748年）、tg（1753年）、
△x（1755年）、Σ（1755年）、f(x)（1734年)
③欧拉最先把对数定义为乘方的逆运算，并且最先发现了对数是无穷多值的。他证明了任一非零实数Ｒ有无穷多个对数。欧拉使三角学成为一门系统的科学，他首先用比值来给出三角函数的定义，而在他以前是一直以线段的长作为定义的。欧拉的定义使三角学跳出只研究三角表这个圈子。欧拉对整个三角学作了分析性的研究。
④最优美的数学公式： ，
⑤1774年，欧拉把自己多年来研究变分问题所取得的成果集中发表在一本书《 》中。欧拉从而创立了一个新的数学分支──变分法
3、其它贡献
①欧拉研究了天文学，并与达朗贝尔及拉格朗日一起成为天体力学的创立者 。
②欧拉研究了流体的运动性质，建立了理想流体运动的基本微分方程 ，成为流体力学的创始人。欧拉把自己所建立的理想流体运动的基本方程用于人体血液的流动，从而在生物学上添上了他的贡献，又以流体力学、潮汐理论为基础，丰富和发展了船舶设计制造及航海理论。
（二）典例选讲
用欧拉公式V-E+F=2证明：正多面体只有正四面体、正八面体、正六面体、正十二面何等和正二十面体五种。
证：对于正多面体，假设它的各面都是正n边形，而且每一个顶角处有m 条边相遇。
这样就有：
nF=2E (1)
mV=2E (2)
(1)的右边系数2是因为每边（棱）出现在2个面中，（2）的右边系数2是因为每边通过2个顶角.
把（1）和（2）代入欧拉公式中，就得到：
即：
显然n≥3，m≥3
但n＞3，且m＞3又是不可能的
因为那样就要有
可是E＞0。所以m和n中至少有一个等于3。
设n=3，那么
因此m=3,4,5,所以E=6，12，30，从而F =4，8，20，这就给出了正四面体、正八面体和正二十面体.
设m=3，那么
因此n=3,4,5，所以E=6，12，30，从而F=4，6，12，这就给出了正四面体、正六面体（即立方体）和正十二面体.
（三）提出疑点和解决
为什么欧拉是有史以来贡献最大的思维数学家之一？
答：历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯列为有史以来贡献最大的四位数学家，依据是他们都有一个共同点，就是在创建纯粹理论的同时，还应用这些数学工具去解决大量天文、物理和力学等方面的实际问题，他们的工作是跨学科的，他们不断地从实践中吸取丰富的营养，但又不满足于具体问题的解决，而是把宇宙看作是一个有机的整体，力图揭示它的奥秘和内在规律。