数学王子—高斯 同步练习 (1)

知识概要
定义：设，用表示不超过的最大整数。则称为高斯函数，也叫取整函数。显然，的定义域是R，值域是Z。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即，因此，，这里，为的整数部分，而为的小数部分。21教育网
2，性质
1，函数是一个分段表达的不减的无界函数，即当时，有；
2，，其中；
3，；
4，若，则其中；
5，对于一切实数有；
6，若，则；
7，
8，若，则；当时，；
9，若整数适合（是整数，），则；
10，是正实数，是正整数，则在不超过的正整数中，的倍数共有个；
11，设为任一素数，在中含的最高乘方次数记为，则有：
。
证明：由于是素数，所有中所含的方次数等于的各个因数所含的方次数之总和。由性质10可知，在中，有个的倍数，有个的倍数，有个的倍数，，当时，，所以命题成立。21cnjy.com
高斯函数是非常重要的数学概念。它的定义域是连续的，值域却是离散的，高斯函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用。21·cn·jy·com
解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等等。www.21-cn-jy.com
解题示例
例1，若实数使得，求。
解：等式左边共73项，且因都小于1，则每一项为或，注意到
，故必有。进一步有：，所以原式左边从第1项至第38 项其值为7，自第39项以后各项值为8。即：2·1·c·n·j·y
例2，计算：的值。
解：由题意得：对于任意的，
说明：本例采用了分组凑整的思想。
例3，对自然数及一切实数，求证：
。 （厄尔密特等式）
证明：对任意的自然数，构造函数，则：，所以，函数为周期函数，其周期，因此，原命题只需证在区间内成立即可。而这一结论显然是成立的。
例4，对任意的，证明：。
证明：首先证明。令，则。
当时，，于是，那么
；
当时，，即，那么。
所以命题成立，也就是：。故：
。
又：

注：本例的证明采用了“两边夹”法则。
例5，解方程。
解：令 ，则，带入原方程整理得：，由高斯函数的定义有，解得：，则。
若，则；若，则。
注：本例中方程为型的，通常运用高斯函数的定义和性质并结合换元法求解。
例6，解方程。
解：由高斯函数的性质，得：，即，令，在同一坐标系中画出二者的图象：
分析两者在区间内的图象，
显然，当时，
而，方程不成立；当
时， ；当时， ；当 时， 而，方程不成立。
综上所述，原方程的解是：。
注：本例为型方程。首先由，求出的取值区间。但此条件为原方程成立的充分但不必要条件，故还须利用和的图象进行分析才能得到正确结果。21世纪教育网版权所有
例7，解方程。
解：对于次数较高的含的方程，分区间讨论不失为一种有效的方法。
若，则原方程不成立；
若，则。原方程不成立；
若，则原方程不成立；
若，则原方程即为；解得：；
若，则原方程不成立；
所以，原方程的解为：。
例8，证明：若是大于2的质数，则被整除。
证明：本例采用“构造法”。
由二项式定理知：对于任意的是一个整数，又因为
， 于是有：
,其中是质数。因为
都能被质数整除，所以原命题成立。
巩固练习
1，计算的值。（76304）
2，求函数的值域。
3，求方程的实数解。
4，求方程的整数解。
5，是互质的正整数，求证：。
（利用）
6,在1至1996中有多少个整数，使得不是既约分数？（86）
7，试证明：对任意实数，等式成立。（利用）