近代数学两巨星 教案

近代数学两巨星
教学目标分析：
1、了解欧拉和高斯的数学成就。
2、激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神
重难点分析：
重点：了解欧拉和高斯对数学发展的贡献。
难点：理解18世纪数学发展的特点。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一、时代背景
十八世纪的数学
17世纪最伟大的数学成就是微积分，18世纪的大部分数学工作则是多方面利用微积分方法所进行的新的创造．产生了现在仍在研究的许多数学新领域：微分方程、微分几何、变分法，等等．18世纪数学研究的特点是，取得的成果相当丰富，涉猎的领域十分广泛，但其中有些内容却经不起严格的推敲．21世纪教育网版权所有
18世纪数学界的中心人物、在数学史上，阿基米德、牛顿、欧拉和高斯一起被称为“四个最伟大的数学家”．
18世纪数学工作的推动力是解决物理——自然科学的问题，工作的目标不是数学，而是解决物理问题．．
二、分析的化身──欧拉
欧拉于1707年4月15日诞生于瑞士巴塞尔．小时由父亲任启蒙教师，12岁入当地中学，16岁毕业后遵从父愿，入巴塞尔大学神学系学习．在神学课程之余，他被约翰·贝努利(JohannBernoulli)的数学讲座深深吸引了，在贝努利兄弟的影响下，数学逐渐挤走了神学，占据了他的学习日程表，而且贝努利也开始对他刮目相看，热情地指点他．欧拉回忆约翰·贝努利时曾深情地说，贝努利让他每星期六下午到晚上自由地去他的住处，他让欧拉每解决一个问题，欧拉就能很顺利地解决10个问题．的确，在贝努利兄弟的指导下，欧拉已经具备了优秀数学家的素质，并开始从事数学研究．18岁时他就发表了数学论文．21教育网
1726年，年仅19岁的欧拉由于在船的立桅方面的研究论文而获得巴黎科学院的奖金，从而在欧洲数学界崭露头角．这一年他正好大学毕业．在瑞士，年轻的欧拉未能获得自己所谋求的职位，恰巧这时约翰·贝努利在俄国彼得堡科学院任教授的儿子尼古拉·贝努利(Nicolaus Bernoulli)和丹尼尔·贝努利(Daniel Bernoulli)来信说，俄国欢迎欧拉．1727年5月17日欧拉来到彼得堡科学院任丹尼尔·贝努利的副手，1731年被任命为副教授，1733年他接替丹尼尔·贝努利担任彼得堡科学院的数学教授．他为俄国的数学发展、科学进步做了大量的工作，他的许多成果出现在彼得堡科学院的刊物上，帮助俄国政府解决了大量的物理学、工程学方面的难题．过度的案头工作使得这位数学大师得了眼病，不幸于1735年右眼失明，这一年他还只有28岁．21cnjy.com
1741年，欧拉应腓特烈大帝之邀担任柏林科学院物理数学研究所所长．除此之外，他还在宫廷为公主们讲授数学、物理、天文、哲学乃至宗教方面课程．讲述的内容曾以《给一位德国公主的信》，(Letters to a German Princess)发表，是一部风趣、文笔优雅的科普作品．他为普鲁士研究了保险、河运等方面的一系列问题．
1766年，俄国沙皇诚挚的邀请终于使欧拉又回到了彼得堡科学院．实际上，他时刻也没忘记俄国．在1741—1766年的25年时间里，身在柏林的欧拉，却仍为彼得堡科学院写了上百篇论文，时刻关注着俄国的事务．的确，俄国、彼得堡科学院是他的第二故乡，是他施展聪明才智的地方．俄国人民也深深地热爱他，以致于俄国数学史家差不多总是将欧拉当作俄国数学家、俄国数学的创始人和彼得堡数学学派的奠基人．
回到俄国后不久，严寒的气候对欧拉微弱的视力如雪上加霜，很快左眼视力衰退，最后于1766年底双目失明．这对于一位以案头工作为主的数学家的打击可想而知．此时他已59岁，年近花甲．然而，在他生命的最后17年，尽管双目失明，在全盲中他的成果却丝毫不减往年．1771年，圣彼得堡突起大火，殃及他的住宅，双目失明而又身染疾病的欧拉被围困在大火中．虽然一位工人冒着生命危险将这位大师从大火中抢救了出来，然而他的书库、大量研究成果却全部化为灰烬．21·cn·jy·com
沉重的打击，并没有使天性乐观的欧拉屈服，而是更加勤奋的工作．他以惊人的毅力与黑暗作斗争，以超常的记忆力和心算从事数学研究．人们发现，对不少有才能的数学家在纸上做起来也很困难的数学证明与计算，他却能心算出来！www.21-cn-jy.com
在数学史上，欧拉与阿基米德、牛顿、高斯一起被称为四位最伟大的数学家．而欧拉又是数学史上成果最多、数学著作最多的数学家．研究的数学领域遍历微积分、微分方程、解析几何与微分几何、数论、级数与变分法，他还是卓越的理论物理学家，通过将数学应用到整个物理学领域，创立了分析力学及刚体力学学科．他写了数学分析、解析几何与微分几何、代数、变分法、力学方面的许多课本，并且在百余年的时间里被用作标准教材．除课本外，从20岁开始，他以每年约800页左右的速度发表高质量的研究性论文，论文所获得的奖金成了他的生活收入主要来源．双目失明后，他还写了好几本书和400余篇研究论文．欧拉全集达厚厚的74卷．
今天，我们几乎可以在数学的任何分支中看到欧拉的名字：初等几何中的欧拉线，立体几何中的欧拉定理，解析几何中的欧拉变换，方程中的欧拉解法，微积分中的欧拉积分，数论中的欧拉函数，微分方程中的欧拉方程，级数论中的欧拉常数，以及欧拉线、众多的欧拉方程、欧拉公式……，令人目不暇接．【来源：21·世纪·教育·网】
然而，欧拉并不像牛顿、莱布尼茨那样终身一人．大量的数学、科学创造并未牺牲他所有的天伦之乐．他是一位称职的丈夫，13个孩子喜爱的父亲．与妻子一同安排家务，给孩子们做科学游戏，一起念诵《圣经》，在黄昏的林荫道上留下了幸福家庭的串串脚印．欧拉爱好思考哲学问题，曾数次与启蒙思想家伏尔泰(F．M．A．Voltaire)切磋，甚至欣赏伏尔泰对他的哲学观点的尖锐批评．可见其生性是多么豁达乐观．1783年9月18日傍晚，为庆祝计算气球上升定律的成功，他请朋友们吃饭，席间他兴致勃勃地讲述了计算要领，然后喝茶、逗孙子玩，突然疾病发作，烟斗落地，口中喃喃：“我死了．”于是“他停止了计算，也停止了生命”．
三、数学王子──高斯
如果在人类历史上有天才的话，那么高斯可以称为天才之冠．高斯是早慧的天才，他自己曾幽默地宣称在会说话之前就能计算了，他十岁时就求出了81297＋81495＋81693＋…＋100899的和，而不是流传很广地求出了简单的1＋2＋3＋…＋98＋99＋100＝5050；高斯一辈子都有着极端聪颖的灵敏和智慧，他在数论的抽象化、非欧几何的革命性、天文学繁浩的计算、应用物理学的实际应用等方面造诣极深．在复变函数论、微分几何、微积分、代数学，在“数学世界里，高斯处处留芳”．他的贡献从最纯粹抽象的理论扩展到一系列实际问题，在所研究过的各个分支中他都有深刻的发现，为后来的研究奠定了基础．21·世纪*教育网
高斯生活的年代跨越18—19两个世纪，他的数学成就同样跨越了18—19两个世纪，具有18世纪注重应用、成果的广泛性与19世纪注重理论、成果的严谨性等一系列特点．高斯建筑了一座沟通新与旧的桥梁，使得18世纪的成果得到了完满的总结，同时又开创了19世纪的数学，他的思想中包含着广泛的理论和重要的结果的种子．18世纪需要他，他结束了数学作为工具，为了物理学的实际应用而进行数学创造的时代；19世纪需要他，他用自己无与伦比的智慧，靠“能从九霄云外的高度按照某种观点掌握星空和深奥数学的天才”，开创了严密化占据主导地位的数学时代．www-2-1-cnjy-com
高斯坚信数学要有灵感，必须接触现实世界，同时又宣称“数学是科学之王，数论是数学之王”．这二者并不矛盾，而是世纪之交数学研究风格转变的真实写照；高斯坚持：“宁肯少些，但要好些”，主张“瑰丽的大厦建成以后，应该拆除杂乱无章的脚手架．”他拒绝发表任何未经推敲修改得完美无缺的论文，他的论文精练、严谨、无懈可击，堪称世代楷模，为此他对许多重要发现秘而不宣，如非欧几何、椭圆函数等等；他具有哲学家的洞察力和冲破传统思想的勇气，这种勇气来源于对数学的深刻理解．他率先怀疑“欧氏几何是自然和人类思想所固有”的信条，开创了近代数学革命；他把这样的格言做为座右铭：你，自然，我的女神，我要为你的规律而献身．因此当有人询问他牛顿看见苹果落地而发现万有引力定律的故事是否真实时，他肯定地说：有一天，一个傻瓜问牛顿怎么发现万有引力定律的，牛顿被这个傻瓜问得哭笑不得，就对他说了这个故事．只有与牛顿同样伟大的高斯，才能真正理解牛顿的创造．2-1-c-n-j-y
小结：
18世纪微积分最重大的进步是由欧拉作出的。欧拉在1748年出版的《无限小分析引论》、1755年发表的《微分学》、1770年发表的《积分学》是微积分史上里程碑式的著作。他们在很长的时间里被当作分析课本的典范普遍使用着。18世纪的数学中心在法国，正是由于有了高斯，德国才在19世纪成了世界数学中心．虽然他不善于培养学生，而且在自己周围没形成什么学派，但他却为德国数学的兴起注入了精神力量．带着一系列急待解决的问题，数学的发展进入了19世纪，由于有了高斯，使得数学在未来世纪中充满了希望．正如F·克莱因在《十九世纪数学的发展》一书序言中所指出的那样，高斯之所以居于19世纪前列，不仅因为按年代是如此，而且因为他开辟了各种科学发展的新纪元．2·1·c·n·j·y