近代数学两巨星 课件

课件14张PPT。第六讲 近代数学两巨星推广莱布尼茨学说的任务，在从17世纪到18世纪的过渡时期，主要是由雅各布．伯努利（Jacob Bernoulli，1654-1705）和约翰．伯努利（John Bernoulli，，1667-1748）两兄弟担当。这个来自瑞士的伯努利家族，在17、18世纪先后产生了十几位著名的数学家。雅各布和约翰是其中最有影响的两位，他们的工作构成了现今所谓初等微积分的大部分内容。
欧拉对微积分的贡献18世纪微积分最重大的进步是由欧拉（Leonard Euler，1707-1783）作出的。欧拉在1748年出版的《无限小分析引论》、1755年发表的《微分学》、1770年发表的《积分学》是微积分史上里程碑式的著作。他们在很长的时间里被当作分析课本的典范普遍使用着。这三部著作包含了欧拉本人在分析领域的大量创造，同时引进了一批标准的符号如：函数符号f（x）、求和符号、自然对数底、虚数单位i等，对分析表述的规范化起到了重要作用。欧拉在数学上的贡献 引进函数定义，并提出了代数函数与超越函数、三角函数、指数函数、对数函数、Г函数、 函数 。
解决了下列和式当p为偶数时的和
发展了棣莫弗公式，得到等式
欧拉在数学上的贡献最早将微积分用于研究曲线和曲面，从而创立了微分几何。
第一次将分析工具用于数论研究，从而创立了解析数论。
解决了哥尼斯堡七桥问题，从而创立了图论。
著作中有大量分析的应用，如月球运动理论等。
初等几何中：三角形中的欧拉线、欧拉圆、多面体欧拉公式等。欧拉在三角形中发现的结论三角形的垂心H，重心G，外心U三点共线，且HG=2GH。（1765年）
三角形三边的中点、三条高线的垂足、垂心至三顶点连线段的中点在同一个圆周上。（九点圆、欧拉圆）
三角形外接圆、内切圆半径分别为R，r，两圆圆心距为d，则 。（IMO4-6）
欧拉常数18世纪通过研究发散级数而获得的另一个重要常数是“欧拉常数”γ，这是欧拉在讨论如何用对数函数来逼近调和级数的和时得到的，它最简单的表示形式为

欧拉曾计算出γ的近似值为0.577218，但到现在也没有能够判断γ是有理数还是无理数。第五公设（平行公设）第五公设：若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。
在欧氏几何的所有公设中，唯独这条公设显得比较特殊，它的叙述不像其它公设那样简洁、明了，当时就有人怀疑它不像是一个公设而更像是一个定理，并产生了从其它公设和定理推出这条公设的想法。欧几里得本人对这条公设似乎也心存犹豫，并竭力推迟它的应用，一直到卷Ⅰ命题29才不得不使用它。对第五公设的证明历史上第一个宣称证明了第五公设的是古希腊天文学家托勒密（约公元150），后来普洛克鲁斯指出托勒密的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行。
替代公设：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。几何原理中的家丑从公元前3世纪到18世纪，证明第五公设的努力始终没有中断。但每一种“证明”要么隐含了另一个与第五公设等价的假定，要么存在其它形式的错误。而且，这类工作中的大多数对数学思想的进展没有多大现实意义。18世纪中叶，达朗贝尔把平行公设的证明问题称为“几何原理中的家丑”。有意义的进展意大利数学家萨凯里（G.Saccheri）在《欧几里得无懈可击》（1733）一书中，从著名的“萨凯里四边形”出发来证明平行公设。
四边形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B且为直角。不用平行公设易证∠C=∠D。
（1）直角假设：∠C和∠D是直角
（2）钝角假设： ∠C和∠D是钝角
（3）锐角假设： ∠C和∠D是锐角ABCD萨凯里首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中获得了一系列新奇的结论：如三角形内角和小于两直角；过直线外一点有无数条直线与已知直线平行等。萨凯里认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾而判断锐角假设是不真实的。而直角假设则是与平行公设等价的。
1763年，德国数学家克吕格尔（G.S.Klugel）在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的结论。克吕格尔是第一位对平行公设是否可以由其它公设加以证明表示怀疑的数学家。高斯建立非欧几何最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容、而且可以用来描述物质空间的是高斯。他从1799年开始意识到平行公设不能从其它公设推导出来，并从1813年起建立了一种使第五公设在其中不成立的新几何学。他起先称之为“反欧几里得几何”，最后改称为“非欧几里得几何”。但高斯没有发表过任何有关非欧几何的文章，只在跟朋友的一些通信中提及，他在给一位朋友的信中说：“如果公布自己的这些发现，‘黄蜂就会围着耳朵飞’，并会‘引起波哀提亚人的叫嚣’”。