伽罗瓦与群论 教案 (1)

《伽罗瓦与群论》
教学目标：
1、了解伽罗瓦生平和群论的内容。
2、培养自身的创造性思维
3、熟悉群论的起源，关注数学的发展进程，提高创新意识
重难点分析：
重点：了解伽罗瓦生平和群论的内容。
难点：理解群论的实质
教学准备：多媒体课件
教学过程：
在群论、方程根的置换等问题的研究中，伽罗瓦也取得了重要成就．他试图解决这样的问题：虽然高于四次的方程一般不能用根式求解，但有些特殊的方程如阿贝尔方程却可用根式求解，那么哪些方程可用根式求解呢？21世纪教育网版权所有
为了解决这个问题，他利用了拉格朗日关于根的置换、排列的概念．如设x1，x2，x3，x4是一个四次方程的根，则在这四个根的排列中交换xi和xj就是一个置换，这样总共就有4！＝24种可能的置换．经过任何两个置换后仍是其中的一个置换，所置换的集合形成一个群，这样伽罗瓦就给出了关于抽象群的一个早期定义．21教育网
这样，方程的群就成了它的可解性的关键．然后再这样进行探讨：给了一个方程，按照某种方法找到方程在系数域中的群G——根的置换群，这些置换使根之间的系数在该域中的全部关系保持不变．找到G后，再找G的最大子群H，然后可以用一套仅含有理运算的手续来找到根的对于G的所有T≠R，它的值发生改变．存在一种方法构造R中的一个．这个方程称为一个部分预解式．经过一系列工作，伽罗瓦给出了找给定方程的群，逐次预解式以及方程关于逐次扩大了的系数域的群——原来群的逐次子群的一系列方法，在这些工作中，群论的基本理论有了一些框架．
然后伽罗瓦引入了正规子群(或称自共轭子群，不变子群)的概念．他证明了当作为约化方程的群的预解或是一个素数次p的二项方程xp-A＝0时，则H是G的一个具有指数p的正规子群；反之，如果H是G的一个正规子群，且具有素指数p，则相应的预解式是p次二项方程，或能化简到这样的方程．
伽罗瓦引入了合成序列的概念：在子群序列G，H，K，L，…，E中，每一个都是前一个群中的极大正规子群．H对G的指数，K对H的指数等等，称为合成序列的指数．他得出了如下的重要结论：若一个方程的置换群的逐次子群所成的合成序列的指数都是素数，则这方程就能用根式求解；否则，该方程就不能用根式求解．21cnjy.com
利用这个结论，伽罗瓦证明，对于一般的n次方程，方程的置换群由n个根的全部n！个置换组成，置换群称为n级对称群．它的阶是n！．2·1·c·n·j·y
　 而n＝2时，合成序列的指数是2，n=3时合成序列的指数是2和3，n=4时合成序列的指数是2，3，2，2，因此当n≤4时方程能用根式求解．【来源：21·世纪·教育·网】
小结：
伽罗瓦于1830年彻底解决了方程能用根式求解的问题．他证明一个素数次的不可约方程能用根式求解的充分必要条件是，这个方程的每个根都是其中两个根的带有R中系数的有理系数．满足这种条件的方程称为伽罗瓦方程．最简单的伽罗瓦方程是xp-A＝0(p为素数)．阿贝尔方程也是一种伽罗瓦方程．
伽罗瓦的工作一部分是关于方程的伽罗瓦理论，另一部分本身就是他所开创的一个新领域——群论．他是在严格的意义上使用“群(Group)”的第一个人，他引进了置换群、不变子群等概念，并且把群和域的扩张对应起来．21·cn·jy·com
群论的产生深刻地改变了代数学的内容，使代数学从主要研究方程开始转向研究各种代数结构，并且使代数学开始向更严密的方向迈进．www.21-cn-jy.com
伽罗瓦理论不仅回答了方程的求解问题，而且解决了古希腊“三大几何问题”中的“三等分任意角”和“倍立方体”问题．他的工作提供了可作图的一个判别法：对于一个作图问题首先要建立一个代数方程，它的解就是所要求的量．可作图的条件是这个量必须属于给定量的域的某个二次扩张域．利用这个判别法就可以解决上述两个问题，判明这两个问题都是不可解的．实际上，1837年旺策尔(P．L．Wantzel，1814—1848)用其它的方法曾独立地证明了这两个问题的不可能性．21·世纪*教育网