伽罗瓦与群论 学案 (2)

《伽罗瓦与群论》
一、自学目标：通过本专题的学习，了解伽罗瓦生平和群论的内容。
二、自学内容提炼
（一）知识梳理：
1、传奇人生
伽罗瓦（1811-1832）出生于巴黎近郊的一个小村.自幼聪颖好学,思维敏捷，擅长数
学.
12岁时，进入巴黎的一所公立学校，自学当时了不起的数学家们的经典著作和论文 .
15岁研究高等数学如勒让德的《几何原理》和拉格朗日的《代数方程的解法》、《解析函数论》、《微积分学教程》.21世纪教育网版权所有
17岁在法国第一个专业数学杂志发论文.
18岁，把他研究的初步结果的论文提交给法国科学院 .
18岁，报考巴黎综合技术落选. 二次把《 》交给法国科学院，分别被柯西、傅立叶遗失，第三次上交被泊松所拒绝.21教育网
1830年，在著名的数学杂志《数学科学通报》上先后两次发表了三篇论文.
1831年，伽罗瓦因率众上街游行而被捕.在监狱中，他仍然顽强的进行研究.
父亲自杀，开除出大学，多次由于政治原因被捕入狱，20岁悲惨的死于与无赖的决斗中.
1831年7月伽罗瓦被关进监狱.1832年3月法国霍乱病流行，伽罗瓦被假释.出狱后不久，伽罗瓦便死于一场决斗.21·cn·jy·com
他通宵达旦地奋笔疾书自己的数学成果. “我在解析学中，创造出了许多新成果……我想把这些没有解决的问题全部解决，展现在人们的面前.”21cnjy.com
遗书的主要内容，从数学方面看都是重要成果.他提出了 的概念，用 的理论彻底解决了根式求解 方程的问题。www.21-cn-jy.com
伽罗瓦去世后14年（1846年），法国数学家刘维尔在其主编的《数学杂志》上首次发表了伽罗瓦的两篇遗作，伽罗瓦工作的意义才逐渐被人们所认识.2·1·c·n·j·y
2、伽罗瓦群论
伽罗瓦最主要的贡献是提出了“群（group）”的概念，用群彻底解决了 的问题.现在把这一理论称为伽罗瓦理论.【来源：21·世纪·教育·网】
（二）典例选讲
群的概念
设G是一个集合，集合内的元素之间可以定义一个二元运算﹡.如果G满足如下的四条性质：
（1）（封闭性）集合中任意两个元素的积仍属于该集合
（2）（结合性）运算满足结合律，即
（4）（存在逆元） 对集合中任一元素a,存在唯一元素a-1,
使得
则G连同它的运算﹡称为一个群，记做（G, ﹡）
（三）提出疑点和解决
1、伽罗瓦最主要的成就是什么？
答：① 提出了群的概念并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题.
②“群论”是近代数学中最重要的概念，影响多个学科.
2、问题：判断下列集合对于它的运算能否构成群：
（1）偶数集与数的加法运算
能
（2）实数集与数的乘法运算
不能
（3）G={向右转R，向左转L，向后转H，不动I}
能