课件22张PPT。第15章 轴对称图形与等腰三角形15.1 轴对称图形(1)导入新课 人们很欣赏物体的对称性，设计师、艺术家常利用对称性使作品美观大方。 在我们的周围存在着许多具有对称性的平面图形。 上面这些平面图形的对称性有什么特点呢？轴对称图形 以蜻蜓图案为例，在它身体正中间画一条直线 l ，以直线 l 为折痕，将图纸折叠，蜻蜓图中直线 l 一侧的部分与另一侧的部分能够重合。 如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 通过观察上面的图案，可知：蜻蜓的图案是轴对称图形。雪花、枫叶、祈年殿、风筝、剪纸、铁路标志、银行标志、京剧脸谱等都是轴对称图形。它们有的只有一条对称轴，有的有多条对称轴。理解轴对称图形要注意 ① 轴对称图形是对一个图形而言的，是具有特殊性质的图形。 ② 不同的轴对称图形的对称轴数量不一定相同，有的轴对称图形只有一条对称轴，有的轴对称图形有多条对称轴，这要根据具体图形来确定。例题 本题考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的相关知识是解决问题的关键。将 D 中图形上下或左右折叠，图形都能重合，故选 D 。【点评】D操作 使用折纸的方法，很容
易画出或剪成一个轴对称
图形。如图，是制作一片枫叶平面图的过程图。工艺品欣赏 你能找出哪些是轴对称图形吗？ABCDEFGHIJKL 下面是我们学过的一些几何图形，说出下面图形是不是轴对称图形，画一画，并完成下面的表格。
长方形 正方形 三角形 等腰三角形 等边三角形
平行四边形 任意梯形 等腰梯形 圆填表 2 4 1 1 3 1 1 1无数练一练1、指出下列图形各有几条对称轴，画出每个图形的对称轴。22462343、在艺术字中，有些汉字是轴对称图形，下列不是轴对称图形的是【 】
A、田 B、中 C、王 D、上BD4、下列图形中，有且只有三条对称轴的是【 】D6、如图所示的矩形纸片，先沿虚线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图形中的【 】C7、下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是【 】8、下列“表情图”中，属于轴称轴图形的是【 】AD课堂小结1、能画出简单轴对称图形的对称轴。2、轴对称图形和关于直线成轴对称的概念。3、轴对称图形和轴对称的联系与区别。布置作业请同学们画一些关于直线对称的轴对称图形谢谢15.1《轴对称图形》教案(1)
【教学目标】
知识与技能
1、在生活实例中认识轴对称，能画出简单轴对称图形的对称轴。
2、使学生了解轴对称图形和关于直线成轴对称的概念。
3、了解轴对称图形和轴对称的联系与区别。
过程与方法
1、.通过实例认识轴对称，能够识别生活中的轴对称图形及其对称轴。
2、培养学生的观察能力，思维能力，动手能力，总结能力。
情感、态度与价值观
1、让学生体验到数学与生活的密切联系，发展学生的空间观念和审美观。
2、通过对对称的理解和轴对称性质的把握，发展学生发现美和鉴赏美的能力。
【重难点】
重点：认识轴对称图形、轴对称的概念、画对称图形的对称轴。
难点：理解并掌握轴对称图形和两个图形成轴对称之间的关系。
【教学过程】
一、课前准备
1、请同学们收集一些关于轴对称的图案，比比看谁收集的最多，收集的图案最符合要求的。
2、请同学们用手边的纸剪一些关于轴对称的图案，看谁剪得最好。
二、自主探究、小组合作
活动一：
1、欣赏下列图案
思考：上面这些平面图形的对称性有什么特点呢？
2、以蜻蜓图案为例，在它身体正中间画一条直线 l ，以直线 l 为折痕，将图纸折叠，蜻蜓图中直线 l 一侧的部分与另一侧的部分能够重合.
3、如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做＿＿＿＿＿＿，这条直线叫做＿＿＿＿＿＿。
4、通过观察下面的图案，可知：蜻蜓的图案是轴对称图形。雪花、枫叶、祈年殿、风筝、剪纸、铁路标志、银行标志、京剧脸谱等都是轴对称图形。它们有的只有＿＿＿＿条对称轴，有的有＿＿＿＿条对称轴。
活动二：
理解轴对称图形要注意：
① 轴对称图形是对＿＿＿＿＿＿而言的，是具有特殊性质的图形。
② 不同的轴对称图形的对称轴数量不一定相同，有的轴对称图形只有一条对称轴，有的轴对称图形有多条对称轴，这要根据具体图形来确定。
活动三：
下列图形是轴对称图形的是【 】
【点评】
本题考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的相关知识是解决问题的关键。将D中图形上下或左右折叠，图形都能重合，故选D。
活动四：
使用折纸的方法，很容易画出或剪成一个轴对称图形。如图，是制作一片枫叶平面图的过程图。（见课本第119页“操作”）
活动三：工艺品欣赏（多媒体课件展示）
下面是我们学过的一些几何图形，说出下面图形是不是轴对称图形，画一画，并完成下面的表格。
长方形 正方形 三角形 等腰三角形 等边三角形
平行四边形 任意梯形 等腰梯形 圆
图形
长 方 形
正 方 形
三 角 形
等腰 三角 形
等边 三角 形
平行 四边 形
任意 梯形
等腰 梯形
圆
对称轴的条数
三、当堂练习：
1、指出下列图形各有几条对称轴，画出每个图形的对称轴。
2、下列图形中，是轴对称图形的是【 】
3、在艺术字中，有些汉字是轴对称图形，下列不是轴对称图形的是【 】
A、田 B、中 C、王 D、上
4、下列图形中，有且只有三条对称轴的是【 】
5、仔细观察下图中的图形，并按规律在横线上画出合适的图形。
6、如图所示的矩形纸片，先沿虚线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线剪下
一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图形中的【 】
7、如图“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是【 】
8、下图“表情图”中，属于轴称轴图形的是【 】
四、小结
1、能画出简单轴对称图形的对称轴。
2、轴对称图形和关于直线成轴对称的概念。
3、轴对称图形和轴对称的联系与区别。
五、布置作业
请同学们画一些关于直线对称的轴对称图形
课件16张PPT。第15章 轴对称图形与等腰三角形15.1 轴对称图形(3)复 习1、如果一个平面沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够＿＿＿＿＿，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫＿＿＿＿。完全重合对称轴2、经过线段的＿＿＿并且＿＿＿于这条线段的直线叫做线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线。一条＿＿的中垂线是它的对称轴。中点垂直线段3、如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的＿＿＿＿＿＿；反过来，如果两个图形各对对应点的连线被同一条直线＿＿＿＿＿，那么这两个图形关于这条直线对称。4、在平面直角坐标系中，点 P(1，－1)关于 x 轴对称的点的坐标是＿＿＿；点 P1(1，2) 关于 y 轴对称的点的坐标是＿＿＿＿。垂直平分线垂直平分(1，2)(－1，2)平面直角坐标系中的轴对称 分别写出下列各点关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标：A(－2，0)B(－4，－2)C(2，3)D(0，－1)(－2，0)；(2，0)(－4，2)；(4，－2)(2，－3)；(－2，3)(0，1)；(0，－1)思考 如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 四个顶点的坐标分别为 A(1，1)，B(3，1)，C(3，3)，D(1，3)。完成下表：－11－31－13－33－31－11－33－13思考 观察上表，指出已知点与它关于 x 轴对称的点的坐标有什么关系？与它关于 y 轴对称的点的坐标又有什么关系呢？ 一般地，已知点 P (a，b)：
⑴ 点 P 关于x 轴对称的点的坐标为P1(＿＿，＿＿)，
⑵ 点 P 关于 y 轴对称的点的坐标为 P2(＿＿，＿＿)。a －b－ a b归 纳 点 P(a，b) 关于 x 轴对称的点的坐标是 (a，－b) ，关于 y 轴对称的点的坐标是 (－a，b)，即关于 x 轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，关于 y 轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等。 ⑴ 如图，写出四边形 ABCD 的 4 个顶点的坐标；
⑵ 画出四边形 ABCD 关于 y 轴的对称图形 A1B1C1D1;
⑶ 写出点 A1，B1，C1，D1 的坐标。A(－2，4)A1(2，4)B(－3，3)C(－4，1)D(－1，2)B1(3，3)C1(4，1)D1(1，2)例题巩固练习1、分别写出下列各点关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标：
A(－2，4) ， B(3，－2) ，
C(－1，－2) , D(4，0) 。 关于 x 轴对称的点的坐标：(－2，－4)，(3，2)，(－1，2)，(4，0) 。 关于 y 轴对称的点的坐标：(2，4)，(－3，－2)，(1，－2)，(－4，0) 。2、作出图中多边形 ABCD 关于 x 轴、y 轴的对称图形。3、已知长方形 ABCD 的顶点坐标为 A(2，4)，B(6，4)，C(6，2)，D(2，2) 。
⑴ 在图⑴中画出长方形 ABCD 向下平移 6 个单位得到的长方形 A1B1C1D1，写出 A1，B1，C1，D1的坐标；A1(2，－2)B1(6，－2)C1(6，－4)D1(2，－4) ⑵ 在图⑵中画出长方形 ABCD 关于 x 轴对称的长方形 A2B2C2D2，写出 A2，B2，C2，D2 的坐标；
⑶ 你认为上述两题变换所得的结果是否一样？为什么？A2(2，－4)B2(6，－4)C2(6，－2)D2(2，－2) 原长方形 ABCD 经变换后得到的两个长方形虽然能够完全重合，但是对应的顶点顺序不同，因此变换所得的结果不一样。4、△ ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示。
⑴ 作出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1，并写出点 A1，B1，C1，的坐标；
⑵ 将△ABC 向右平移 6 个单位，作出平移后的△A2B2C2，写出点 A2，B2，C2，的坐标；
⑶ 观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴。A1(0，4)B1(2，2)C1(1，1)A2(6，4)B2(4，2)C2(5，1)习 题 1、若点 P 在第三象限，则点 P 关于 y 轴的对称点在第＿＿象限，点 P 关于 x 轴的对称点在第＿＿象限。 2、点 P (－2，3) 关于 x 轴的对称点坐标是＿＿＿＿＿＿。 3、已知点 P (3，－1) 关于 y 轴的对称点 Q 的坐标是 ( a＋b，1－b ) ，则 ab＝＿＿。 4、已知点 A (2，a) 关于 x 轴的对称点是 B ( b，－3 ) ，则 ab＝＿＿。625二( －2，－3 )四 5、若点 (10－a，5＋b) 与点 (2，－5) 关于 y 轴对称，则 a＋b＝＿＿＿。 6、在平面直角坐标系中，若点 P(3，a) 和点 Q(b，－4) 关于 x 轴对称，则 a＋b＝＿＿＿。27 所得图形与原图形关于 y 轴对称谢谢15.1轴对称图形教案(3)
【教学目标】
知识与技能
1、能理解平面直角坐标系中，与已知点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律。
2、能作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形。
过程与方法
1、通过作图提高学生的实践能力。
2、通过现实情境的创设，使学生体验到数学就在我们身边，从而培养审美情趣。
情感、态度与价值观
1、通过贴近生活的素材和问题情境，激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生勇于创新，多方位审视问题的创造技巧。
2、在作图过程中使学生体验数形结合思想，体验学习的乐趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。
【重点难点】
重点：用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标。
难点：找对称点的坐标之间的关系、规律。
【自主学习】
复习：
1、如果一个平面沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够＿＿＿＿＿，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫＿＿＿＿。
2、经过线段的＿＿＿并且＿＿＿于这条线段的直线叫做线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线。一条＿＿的中垂线是它的对称轴。
3、如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的＿＿＿＿＿；反过来，如果两个图形各对对应点的连线被同一条直线＿＿＿＿，那么这两个图形关于这条直线对称。
4、在平面直角坐标系中，点 P(1，－1)关于 x 轴对称的点的坐标是＿＿＿；点 P1(1，2) 关于 y 轴对称的点的坐标是＿＿＿＿。
思考：
分别写出下列各点关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标：
一般地，已知点 P (a，b)：
⑴ 点 P 关于x 轴对称的点的坐标为P1(＿＿，＿＿)，
⑵ 点 P 关于 y 轴对称的点的坐标为 P2(＿＿，＿＿)。
关于 x 轴对称的点，横坐标＿＿＿＿＿＿＿，纵坐标＿＿＿＿＿＿＿，关于 y 轴对称的点，横坐标＿＿＿＿＿＿＿，纵坐标＿＿＿＿＿＿＿。
例题：
⑴ 如上图，写出四边形 ABCD 的 4 个顶点的坐标；
⑵ 画出四边形 ABCD 关于 y 轴的对称图形 A1B1C1D1;
⑶ 写出点 A1，B1，C1，D1 的坐标。
巩固练习：
1、分别写出下列各点关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标：
A(－2，4) ， B(3，－2) ，
C(－1，－2) , D(4，0) 。
2、作出图中多边形 ABCD 关于 x 轴、y 轴的对称图形。 （上图“五-2”图）
3、已知长方形 ABCD 的顶点坐标为 A(2，4)，B(6，4)，C(6，2)，D(2，2) 。
⑴ 在图⑴中画出长方形 ABCD 向下平移 6 个单位得到的长方形 A1B1C1D1，写出点 A1，B1，C1，D1 的坐标；
⑵ 在图⑵中画出长方形 ABCD 关于 x 轴对称的长方形 A2B2C2D2，写出 A2，B2，C2，D2 的坐标；
⑶ 你认为上述两题变换所得的结果是否一样？为什么？
4、△ ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示。
⑴ 作出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1，并写出点 A1，B1，C1，的坐标；
⑵ 将△ABC 向右平移 6 个单位，作出平移后的△A2B2C2，写出点 A2，B2，C2，的坐标；
⑶ 观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴。
六、习题：
1、若点 P 在第三象限，则点 P 关于 y 轴的对称点在第＿＿象限，点 P 关于 x 轴的对称点在第＿＿象限。
2、点 P (－2，3) 关于 x 轴的对称点坐标是＿＿＿＿＿＿。
3、已知点 P (3，－1) 关于 y 轴的对称点 Q 的坐标是 ( a＋b，1－b ) ，则 ab＝＿＿。
4、已知点 A (2，a) 关于 x 轴的对称点是 B ( b，－3 ) ，则 ab＝＿＿。
5、若点 (10－a，5＋b) 与点 (2，－5) 关于 y 轴对称，则 a＋b＝＿＿＿。
6、在平面直角坐标系中，若点P(3，a) 和点Q(b，－4) 关于x轴对称，则a＋b＝＿＿。
课件20张PPT。第15章 轴对称图形与等腰三角形15.1 轴对称图形(2)1、如果一个平面沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够＿＿＿＿＿，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫＿＿＿。完全重合对称轴B 请欣赏下列一组图片，思考它们的共同特点。欣赏 以上这些图片中的景物，可以看着它们在一条直线的两旁，如果沿着这条直线折叠，两个图形重合。思考l ⊥ AA′O1A ＝ O1A′轴对称 平面内两个图形在一条直线的两旁，如果沿着这条直线折叠，这两个图形能够重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。折叠后重合的两点叫做对应点（也叫对称点）O1A＝O1A′∠O2O1A＝∠O2O1A′ ＝90o 对于其他的对应点，如点 B 与 B′ ，点 C 与 C′ 也有同样结论。即对称轴经过连接对应点的线段的中点，并且垂直于这条线段。 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。 经过线段的中点并且垂直于这条线段
的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫
做线段的中垂线。轴对称的性质线段的垂直平分线：注意1、经过这条线段的中点。2、与这条线段垂直。1 、如图，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，已知 AB＝10cm，则 OA＝＿＿＿cm。5A巩固练习1、将一张纸片对折，在折痕上选两点 A，B，从 A 到 B 任意剪去纸片的一部分，打开时，你能看到什么样的图案？请试试看。会得到成轴对称的两个图形。A 和 A′ ，B 和 B′ 分别关于直线 l 对称。3、已知直线 l 和△ABC（如图），画△A′B′C′ ，使得它与△ABC 关于直线 l 对称。4、画出下列以 l 为对称轴的轴对称图形。小 结 1、平面内两个图形在一条直线的两旁，如果沿着这条直线折叠，这两个图形能够重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。折叠后重合的两点叫做对应点（也叫对称点） 2、经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线。 3、如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。练 习1、平面内两点 A、B 的对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。2、点 A、B 关于直线 l 对称，P 是直线 l 上的任意一点，则下列说法不正确的是【 】
A、线段 AB 与直线 l 垂直
B、直线 l 是点 A 和点 B 的对称轴
C、线段 PA 与 线段 PB 相等
D、如 PA＝PB，则点 P 是线段 AB 的中点线段 AB的垂直平分线 D C85、如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，
△A′B′C′ 和△A″B″C″ 关于直线 EF 对称。
⑴ 画出直线 EF；
⑵ 直线 MN 与 EF 相交于点 O，试探究直线 MN，
EF 所夹锐角α 与∠BOB″ 的数量关系。∠BOB″ ＝2α谢谢15.1轴对称图形导学案(2)
【教学目标】
知识与技能
1、知道线段垂直平分线的概念。
2、知道成轴对称的两个图形全等，对称轴是对称点连线的垂直平分线。
过程与方法
1、探索并了解线段垂直平分线的有关性质，通过作对称轴提高学生的作图能力。
2、经历探索轴对称性质的活动，积累数学活动经念，进一步发展空间观念和表达能力。
情感、态度与价值观
1、让学生体验到数学与生活的密切联系，发展学生的空间观念和审美观。
2、通过对对称的理解和轴对称性质的把握，发展学生发现美和鉴赏美的能力。
【重点难点】
重点：会利用轴对称性质作对称点、对称图形等。
难点：据题目要求画出轴对称图形。
【教学过程】
复习引导：
1、如果一个平面沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够＿＿＿＿＿，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫＿＿＿＿。
2、如图所示，六边形 ABCDEF 是轴对称图形，CF所
在的直线是它的对称轴，若∠AFC＋∠BCF＝150o，
则∠AFE＋∠BCD 的大小是【 】
A、150o B、300o C、210o D、330o
导入新课，提示课题
请欣赏下列一组图片，思考它们的共同特点。
以上这些图片中的景物，可以看着它们在一条直线的两旁，如果沿着这条直线折叠，两个图形重合。
轴对称：
1、平面内两个图形在一条直线的两旁，如果沿着这条直线折叠，这两个图形能够重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。折叠后重合的两点叫做对应点（也叫对称点）
2、一个轴对称图形，如果把它沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称。
三、合作探究
问题1：什么叫做线段的垂直平分？
经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线。
问题2：轴对称的性质
如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。
问题3：如图，△ABC与△A′B′C′，关于
直线 l 对称，点 A′、B′、C′ 分别是点 A、B、C
的对应点。连接 AA′，设AA′ 与直线 l 交于点 O1。
⑴ 直线 l 与线段 AA′ 有怎样的位置关系？
⑵ O1A 与 O1A′ 的长度有何关系？
问题4：由于△ABC与△A′B′C′关于直线 l 对称，将△ABC与沿直线 l 折叠后，它与△A′B′C′ 重合，所以有：O1A＿＿O1A′，∠O2O1A＝∠O2O1A′＝＿＿＿o。
问题5：直线CD是线段AB的垂直平分线，已知AB＝10cm，则OA＝＿＿＿cm。
问题6：在折纸活动中，小明制作了一张 △ABC
纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将
△ABC沿着DE折叠压平，A与 A′重合，
若∠A＝75o，则∠1＋∠2等于【 】
A、150o B、210o C、105o D、75o
例题讲解
例 1 ：如图，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，已知 AB＝10cm，则 OA＝＿＿＿cm。
例 2 ：如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张 △ABC 纸片，点 D ，E 分别在边 AB，AC 上，将△ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A′ 重合，若∠A＝75o，则∠1＋∠2等于【 】
A、150o B、210o C、105o D、75o
巩固练习
请同学们做一做教材第122页“练习”。
小组检查学生做的结果如何.
五、课堂小结
1、平面内两个图形在一条直线的两旁，如果沿着这条直线折叠，这两个图形能够重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。折叠后重合的两点叫做对应点（也叫对称点）
2、经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线。
3、如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。
六、课后练习：
1、平面内两点 A、B 的对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
2、点A、B关于直线l对称，P是直线l上的任意一点，则下列说法不正确的是【 】
A、线段 AB 与直线 l 垂直 B、直线l是点A和点B的对称轴
C、线段PA与线段PB相等 D、如PA＝PB，则点P是线段AB的中点
3、如图所示，点P关于 OA，OB的对称点分别为点C，D，连接CD，交OA于点M，交OB于点N，若△PMN的周长等于8cm ，则CD为＿＿＿cm。
4、如图所示，在△ABC 中，∠ACB＝90o，∠A＝20o，若将△ABC 沿 CD 折叠，使 B 点落在 AC 边上的 E 处，则∠ADE 的度数是【 】
A、30o B、40o C、50o D、55o
【思考】
如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称。
⑴ 画出直线EF；
⑵ 直线MN与EF相交于点O，试探究直线MN，EF所夹锐角 α 与∠BOB″的数量关系。
课件16张PPT。第15章 轴对称图形与等腰三角形15.2 线段的垂直平分线(1)活动一：作线段的垂直平分线思考：怎样作出线段的垂直平分线？ 作法一：通过折纸可以作出线段的垂直平分线。在半透明纸上画一条线段 AA′，折纸，使 A 与 A′ 重合，得到的折痕 l 是线段 AA′ 的垂直平分线。 作法二：用刻度尺量出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线的方法作出线段的垂直平分线。 作法三：用尺规作图，作出线段 AB 的垂直平分线。作法：2、过点 E、F 作直线。则直线 EF 就是线段 AB 的垂直平分线。思考 为什么这样作出的直线 EF，就是线段 AB 的垂直平分线呢？ 设所作直线 EF 交 AB 于点 O，你能给出证明吗？ 要证得直线 EF 是 线段 AB 的垂直平分线，应证得∠AOE＝90o，OA＝OB。故应先证得△AEF≌△BEF，再证得△AOE≌△BOE。点评证明：连接 AE、AF，BE、BF。在△AEF 和△BEF 中： ∴ △AOE≌△BOE （作图）（公共边） （作图）（SAS）∴ ∠AEF＝∠BEF（全等三角形的对应角相等） ∴ △AEF≌△BEF （SSS）在△AOE 和△BOE 中： （作图）（公共边） （已证）∴ ∠AOE＝∠BOE，OA＝OB（全等三角形的对应角、对应边相等）∵ ∠AOE＋∠BOE＝180o（邻补角定义）∴ ∠AOE＝∠BOE＝90o∴ EF 是 线段 AB 的垂直平分线活动二：探究性质定理例 1 ：
求证：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。点评 本题为命题证明，故应先明确“条件”和“结论”。条件：线段的垂直平分线；结论：它上面的点到线段两端的距离相等。结合题意画出图形，再由“条件”写出“已知”，由“结论”写出“求证”。已知：（如图）直线 MN 经过线段 AB 的中点 O，且 MN⊥AB，P 是 MN 上任意一点。
求证：PA＝PB。证明：∵ MN⊥AB（已知）∴ ∠AOP＝∠BOP＝90o（垂直定义）在△AOP 和△BOP 中： AO＝BO OP＝OP∠AOP＝∠BOP∴ △AOP≌△BOP∴ PA＝PB即：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等（已知）（已证）（公共边）（SAS）（全等三角形的对应边相等）线段垂直平分线定理 线段垂直平分线上的点到
线段两端的距离相等【注意】 1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。 2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。例 2 ：
如图，在△ABC 中，∠C＝90o，AC＝8cm，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D，连接 BD，若 DC:DB＝3:5，则 DC ＝＿＿。点评 本题主要考察线段垂直平分线定理，由此定理可得 DA＝DB，再由 AC＝8cm，可得 DC 的长度。3cm活动三：性质定理应用练一练1、如图，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，P 为直线 CD 上的一点，已知线段 PA＝5，则线段 PB ＝＿＿＿。52、如图， DE 是线段 AB 的垂直平分线，下列结论一定成立的是【 】
A、ED＝CD B、∠DAC＝∠B
C、∠C＞2∠B D、∠B＋∠ADE＝90oD3、如图，△ABC 中， AB＝AC，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 上于点 D。⑴ 若 AB＝AC＝14，BC＝10，则△BCD 的周长＝＿＿＿；⑵ 若△BCD 的周长为 26，BC＝9，则 AB＝＿＿＿。24174、如图，△ABC 中， EF，MN，分别为 AB，AC 的垂直平分线，若 BC＝12cm，则△FAN 的周长为＿＿＿cm。125、如图，在△ABC 中，∠B＝115o，AC 边的中垂线 DE 与边 AB 交于点 D，∠ACD:∠BCD＝5:3，则∠ACB＝＿＿＿。6、如图所示，在△ABC 中，BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，AC＝8cm，△ABE 的周长是 14cm，则 AB 的长为＿＿＿＿＿。40o6cm7、已知，如图，△ABC 的∠A＞∠ABC， 边 BC 的垂直平分线 DE 分别交 AC、BC 于点 D、E，则 AD＋BD 与 BC 的关系是【 】
A、大于
B、小于
C、等于
D、不能确定B8、如图，在△ABC 中，∠BAC＝100o，DF 、EG 分别为 AB 和 AC 的垂直平分线，则∠DAE＝＿＿＿。20o小 结 线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点
线段两端的距离相等.逆定理：到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂
直平分线上 . 线段垂直平分线的定义：过线段中点并且垂直于这
条线段的直线，也叫中垂线.谢谢15.2《线段的垂直平分线》导学案(1)
【学习目标﹒导思】
1、能用尺规作出线段的垂直平分线。
2、掌握线段垂直平分线的定义。
3、掌握线段垂直平分线的性质定理。
【学习重难点】
重点：理解掌握线段垂直平分线的性质定理。
难点：线段垂直平分线性质定理的应用。
【学法指导】
动手操作画出线段的垂直平分线，感悟线段的垂直平分线的概念。对照图形理解线段的垂直平分的性质定理，从学习过程中学会与别人合作交流，探究问题的实质。
【课前预习﹒导学】
1、线段垂直平分线的作法：
作法一：通过折纸可以作出线段的垂直平分线。在半透明纸上画一条线段AA′，折纸，使A 与A′重合，得到的折痕 l 是线段＿＿＿＿＿的垂直平分线。
作法二：用刻度尺量出＿＿＿＿＿的中点，再用三角尺过中点画＿＿＿＿的方法作出线段的垂直平分线。
作法三：用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线。
已知：（如图）线段AB。
求作：线段AB的垂直平分线。
步骤：
分别以点＿＿＿和点＿＿＿为圆心，以＿＿＿＿＿＿＿长为半径画弧，两弧相交于点E和点F。
（2）作直线EF，则＿＿＿＿＿＿＿就是线段AB的垂直平分线。
2、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离＿＿＿＿。
如上图所示，直线CD是线段MN的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PM＝5，则线段PN的长度为＿＿＿＿。
3、到线段两端距离相等的点在_____________________________.
【课内探讨】
1、探究1：什么叫做线段的垂直平分线（线段的中垂线）？
2、探究2：请同学说说作线段垂直平分线的一般步骤.
3、探究3：线段垂直平分线的性质定理？
___________________________________________________________________________
理解线段垂直平分线需注意哪些问题：
（1）这里的距离指的是＿＿＿＿＿之间的距离，也就是＿＿＿＿＿＿＿的长度。
（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是＿＿＿＿线段，二是＿＿＿这条线段。
求证：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
四、对应练习：
如图，在△ABC中，∠C＝90o，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若 DC:DB＝3:5，则DC的长度是多少？
五、课堂基础达标
1、如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB＝＿＿＿。
2、如图， DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是【 】
A、ED＝CD B、∠DAC＝∠B C、∠C＞2∠B D、∠B＋∠ADE＝90o
3、如图，△ABC中， AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC上于点D。
⑴ 若AB＝AC＝14，BC＝10，则△BCD的周长＝＿＿＿；
⑵ 若△BCD的周长为 26，BC＝9，则AB＝＿＿＿。
4、如图，△ABC中，EF，MN，分别为AB，AC的垂直平分线，若BC＝12cm，则△FAN的周长为＿＿＿cm。
5、如图，在△ABC中，∠B＝115o，AC边的中垂线 DE与边 AB交于点D，∠ACD:∠BCD＝5:3，求∠ACB的度数。
6、如图所示，在△ABC中，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8cm，△ABE的周长是14cm，则AB的长为＿＿＿＿＿。
7、已知，如图，△ABC的∠A＞∠ABC， 边BC
的垂直平分线DE分别交AC、BC于点D、E，
则AD＋BD与BC的关系是【 】
A、大于 B、小于
C、等于 D、不能确定
8、如图，在△ABC中，∠BAC＝100o，DF、EG分别为AB和AC的垂直平分线，求∠DAE的度数。
【学习反思】
你在本节课中有哪些收获？
课件16张PPT。第15章 轴对称图形与等腰三角形15.2 线段的垂直平分线(2)1、线段的垂直平分线定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。2、三角形三边的垂直平分线相交于＿＿，这点到三角形三个顶点的距离＿＿＿＿。3、如图，等腰△ABC 中，AB＝AC，∠A＝20o，线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连接 BE，则∠CBE＝＿＿o。线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等一点相等60活动一：想一想 线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。【思考】 上面定理的逆命题是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。它是＿＿命题。
条件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，结论是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上真点到线段两端的距离相等它在线段的垂直平分线上活动二：线段垂直平分线性质定理逆定理求证：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。已知：（如图） PA＝PB。
求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上证明：（如图）过点 P 作 PC⊥AB 于点 C 。 线段垂直平分线性质定理逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。活动三：考一考 例 1 ：已知：（如图）△ABC 的边 AB、AC 的垂直平分线相交于点 P。
求证：点 P 在 BC 的垂直平分线上证明 ：（如图）连接 PA、PB、PC 。∵ 点 P 在 AB、AC 的垂直平分线上 （已知）
∴ PA＝PB、PA＝PC （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∴ PB＝PC （等量代换）
∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上 （到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）例 2 ：
如图，A、B、C 三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展需要，现三镇联合建造一所变电站，要求变电站到三镇的距离相等。请你作出变电站的位置（用 P 点表示，并说明理由）。点评 本题主要考察线段垂直平分线定理及其逆定理，由此例可得三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。练一练1、下列说法：① 若直线 PE 是线段 AB 的垂直平分线，则 EA＝EB ，PA＝PB；② 若 EA＝EB ，PA＝PB；则直线 PE 垂直平分线段 AB ；③ 若PA＝PB，则点 P 必是线段 AB 的垂直平分线上的点 ；④ 若EA＝EB，则过点 E 的直线垂直平分线段 AB 。其中正确的有【 】
A、1 个 B、2 个
C、3 个 D、4 个C2、给出以下两个定理：
① 线段垂直平分线上的点和这条线段两端距离相等。
② 与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
应用上述定理进行如下推理：
直线 l 是线段 MN 的垂直平分线。
∵ 点 A 在直线上 ∴ AM＝AN （ ）
∵ BM＝BN ∴ 点 B 在直线 l 上 （ ）
∵ CM≠CN ∴ 点 C 不在直线 l 上
这是因为如果点 C 在直线 l 上
那么 CM＝CN （ ）
这与条件 CM≠CN 矛盾。
以上推理中在括号内应注明的理由依次是【 】
A、②①① B、②①②
C、①②② D、①②①D3、如图所示， AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有【 】
A、AB 垂直平分 CD
B、CD 垂直平分 AB
C、AB 与 CD 互相垂直平分
D、CD 平分 ∠ACBA4、如图所示，在△ABC 中AB＝5cm，AC＝3cm，BC 的垂直平分线交 AB、BC于点 D、E ，则△ACD 的周长为＿＿cm。85、如图所示，有 A，B，C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在【 】
A、AC，BC 两边高线的交点处
B、AC，BC 两边中线的交点处
C、AC，BC 两边垂直平分线的交点处
D、∠A，∠B 两内角平分线的交点处C6、如图所示， 某村有一块三角形的空地（即△ABC），其中 A 点处靠近水源，现村长准备将它分给甲、乙两农户耕种，分配方案规定，按每户人口数量来平均分配，且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源（即 A 点），已知甲农户有 1 人，乙农户有 3 人，请你把它按要求分给甲、乙两农户。（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法，不要证明） 将 BC 平分成四份，有两种连接方式。7、如图所示，在△ABC 中，AB的垂直平分线 EF 交 BC 于点 E ，交 AB 于点 F ，点 D 为线段 CE 的中点，∠CAD＝20o，∠ACB 的外角等于 110o。
求证：BE＝AC 。 连接 AE，利用线段的垂直平分线定理及其逆定理。8、如图所示，已知△ABC 中，∠BAC ＝58o ，O 是 AB ，BC的垂直平分线的交点，求∠OBC 的度数。32o小 结 线段垂直平分线性质定理逆定理：
到线段两端距离相等的点在
线段的垂直平分线上。谢谢15.2《线段的垂直平分线》导学案(2)
【学习目标﹒导思】
1、掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定理。
2、掌握三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三个顶点的距离相等。
【学习重难点】
重点：写出线段垂直平分线的性质定理的逆定理。
难点：线段垂直平分线性质定理逆定理的应用。
【学法指导】
通过对定理的理解加强定理的应用，提高自己应用定理的能力，我与同伴合作交流，多注重解题技巧。
【学习过程】
一、课前预习﹒导学
1、线段的垂直平分线定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
2、三角形三边的垂直平分线相交于＿＿＿，这点到三角形三个顶点的距离＿＿＿＿＿。
3、如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20o，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE＝＿＿＿＿o。
定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
二、课内探究
探究1：你能说出线段的垂直平分线的性质定理的逆命题吗？它是真命题吗？若是真命题请写出证明过程。
求证：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
探究2：三角形的三边的垂直平分线相交于一点吗？请画出图形，若相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等吗？
合作探究：
1、已知：（如图）△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P。
求证：点P在BC的垂直平分线上。
2、如图，A、B、C三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展需要，现三镇联合建造一所变电站，要求变电站到三镇的距离相等。请你作出变电站的位置（用P点表示，并说明理由）。
五、课堂基础达标
1、下列说法：① 若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA＝EB，PA＝PB；② 若
EA＝EB，PA＝PB；则直线PE垂直平分线段 AB；③ 若PA＝PB，则点P 必是线段 AB的垂直平分线上的点 ；④ 若EA＝EB，则过点E的直线垂直平分线段AB。其中正确的有【 】
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
2、给出以下两个定理：
① 线段垂直平分线上的点和这条线段两端距离相等。
② 与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
应用上述定理进行如下推理：
直线l是线段MN的垂直平分线。
∵ 点A在直线上 ∴ AM＝AN （ ）
∵ BM＝BN ∴ 点B在直线l上 （ ）
∵ CM≠CN ∴ 点C不在直线l上
这是因为如果点C在直线l上
那么CM＝CN （ ）
这与条件CM≠CN矛盾。
以上推理中在括号内应注明的理由依次是【 】
A、②①① B、②①② C、①②② D、①②①
3、如图所示， AC＝AD，BC＝BD ，则有【 】
A、AB垂直平分CD B、CD垂直平分AB
C、AB与CD互相垂直平分 D、CD平分∠ACB
4、如图所示，在△ABC中AB＝5cm，AC＝3cm，BC的垂直平分线交AB、BC于点D、E，则△ACD的周长为＿＿＿cm。
5、如图所示，有A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在【 】
A、AC，BC两边高线的交点处 B、AC，BC两边中线的交点处
C、AC，BC两边垂直平分线的交点处 D、∠A，∠B两内角平分线的交点处
6、如图所示， 某村有一块三角形的空地（即△ABC），其中A点处靠近水源，现村长准备将它分给甲、乙两农户耕种，分配方案规定，按每户人口数量来平均分配，且甲、乙两农户所分土地都要靠近水源（即A点），已知甲农户有1人，乙农户有3人，请你把它按要求分给甲、乙两农户。（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法，不要证明）
7、如图所示，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为线段CE的中点，∠CAD＝20o，∠ACB的外角等于110o。
求证：BE＝AC 。
8、如图所示，已知△ABC中，∠BAC＝58o ，O是AB，BC的垂直平分线的交点，求∠OBC 的度数。
【学习反思】
你在本节课中有哪些收获？
课件19张PPT。第15章 轴对称图形与等腰三角形15.3 等腰三角形(1)生活中的等腰三角形 已知线段 a，b (如图)。用直尺和圆规作等腰△ABC，使 AB＝AC＝b，BC＝a。第一步：用直尺作线段 BC ＝a；第二步：用圆规以 B 为顶点，以 b 的长度为半径画弧；第三步：用圆规以 C 为顶点，以 b 的长度为半径画弧两弧交点为 A ；第四步：连接 AB、AC，△ABC 即为所求三角形。做一做 将上面所画等腰△ABC，把边 AB 叠合到边 AC 上，这时点 B 与点 C 重合，并出现折痕 AD。（如下图）△ADB＿＿△ADC∠B＝∠＿＿∠BAD＝∠＿＿∠ADB＝∠＿＿＝＿＿oAB＿＿ACBD＝＿＿≌＝CDCCADADC90说一说 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在直线是它的对称轴。等腰三角形的性质定理：定理 1 ：等腰三角形的两底角相等。“等边对等角”验证一下 求 证：
等腰三角形的两底角相等。已知：（如图）△ABC 中，AB＝AC。
求证：∠B＝∠C。 由以上证明可知：
BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90o。等腰三角形的性质定理 2 ： 等腰三角形顶角的平分线垂直平分
底边。简称“三线合一”。 如图是某屋顶框架的示意图，其中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120o，BC＝12，求∠B，∠C，∠BAD的度数和BD的长。试一下 ① 等腰三角形的性质 2 通常称为“三线合一”，可以由三角形全等的证明推出。
② 运用“三线合一”，已知其中的“一线”就可以推出另外两条线段，解题时要注意它的转化作用。等腰三角形的性质定理 1 推论： 等边三角形三个内角相等，每一个
内角都等于60o。【注意】 已知：（如图），在△ABC 中，∠BAC＝120o，点 D ，E 是底边上两点，且 BD＝AD，CE＝AE。求∠DAE 的度数。思 考 已知：（如图），在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120o，点 D ，E 是底边上两点，且 BD＝AD，CE＝AE。求∠DAE 的度数。练一练 1、如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、D，若∠A＝40o，则∠DBC＝＿＿o。30 2、如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝100o，则∠B＝＿＿o。20 3、如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A＝＿＿o。45 4、如图，在 △ABC 中，AB＝AC，CD 平分∠ACB，若∠A＝36o，则∠BDC＝＿＿o。 5、一个非等边的等腰三角形的角平分线、高和中线的总条数是【 】
A、9 B、7 C、6 D、372B 6、如图，在△ABC 中，AB＝AC，O 是△ABC内一点，且OB＝OC。
求证：AO⊥BC 7、如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，交AD于E，连接AF。试判断∠B与∠CAF的大小关系，并说明理由。结论： ∠B＝∠CAF小 结布置作业1、课本第133-134页练习：
第1、2、3题。2、课本第139页习题15.3：
第 1 题。谢谢15.3《等腰三角形》导学案（1）
【学习目标﹒导思】
寻找生活实例中的等腰三角形，给等腰三角形下定义，探求等腰三角形的轴对称性质和它的相关性质。
【学习重难点】
重点：等腰三角形有关性质的探索和应用。
难点：等腰三角形性质的验证。
【学法指导】
通过观察、动手操作领悟等腰三角形的性质，同伴合作能利用等腰三角形的性质解答有关等腰三角形、等边三角形的问题。
【学习过程】
一、课前预习﹒导学
1、回忆生活中见到的利用等腰三角形的实例。
2、自己在草稿纸上用尺规画出一个等腰三角形，然后将它折叠，观察哪些边相等，哪些角相等。
3、等腰三角形的两底角＿＿＿＿。简称“＿＿＿＿＿＿”。
4、等腰三角形顶角的平分线＿＿＿＿底边。等腰三角形的＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿“三线合一”。
5、等边三角形的三个内角＿＿＿，每一个内角都等于＿＿＿。
6、等腰三角形和等边三角形都是＿＿＿图形。等腰三角形有＿＿条对称轴，等边三角形有＿＿条对称轴。
二、课内学习、合作探究：
探究1：通过折纸你发现等腰三角形是轴对称图形吗？若是，那么它的对称轴是什么？
探究2：等腰三角形有哪些性质？为什么？
等腰三角形的性质定理1：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿____________________________________。
等腰三角形的性质定理2：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
练一练：
如图是某屋顶框架的示意图，其中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120o，BC＝12，求∠B，∠C，∠BAD的度数和BD的长。
探究3：等边三角形有哪些性质？为什么？
____________________________________________________________________。
做一做
1.已知：（如图），在△ABC 中，∠BAC＝120o，点D，E是底边上两点，且BD＝AD，
CE＝AE。求∠DAE的度数。
2.已知：（如上2题图），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120o，点 D ，E是底边上两点，且BD＝AD，CE＝AE。求∠DAE的度数。
【达标练习】
1.如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、D，若∠A＝
40o，则∠DBC＝＿＿o。
2.如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝100o，则∠B＝＿＿o。
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A＝＿＿o。
4.如图，在 △ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，若∠A＝36o，则∠BDC＝＿＿o。
5.一个非等边的等腰三角形的角平分线、高和中线的总条数是【 】
A、9 B、7 C、6 D、3
6.如图，在△ABC 中，AB＝AC，O 是△ABC内一点，且OB＝OC. 求证：AO⊥BC
7.如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，交AD于E，连接AF。试判断∠B与∠CAF的大小关系，并说明理由。
【拓展练习】
只利用一把有刻度的直尺，用度量的方法，按下列要求画图：
⑴ 在图甲中用下面的方法画△ABC（AB＝AC）的对称轴；
① 量出底边BC的长度，将线段BC二等分，即画出BC的中点D；
② 画直线AD，即画出△ABC的对称轴。
⑵ 在图乙中画∠AOB的对称轴，并写出画图的方法。
【学习反思】
学习本节之后，你有何收获？
课件20张PPT。第15章 轴对称图形与等腰三角形15.3 等腰三角形(3)想一想1、等腰三角形的两底角＿＿＿＿。简称“＿＿＿＿＿＿”。相等等边对等角3、在△ABC中，若∠A＝80o，∠B＝50o，AC＝5，则AB等于＿＿＿。2、有两个角＿＿＿的三角形是等腰三角形。简称“＿＿＿＿＿＿”。560等腰相等4、三个角都＿＿＿的三角形是等边三角形。相等等角对等边5、有一个角是＿＿＿度的＿＿＿三角形是等边三角形。【思考】 命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿”。它是＿＿（选填“真”或“假”）命题，这个命题的条件是“＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿”，结论是“＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿”。有两个角相等的三角形是等腰三角形真有两个角相等的三角形这个三角形是等腰三角形【验证一下】求证：
有两个角相等的三角形是等腰三角形。已知：（如图）在△ABC中，∠A＝∠B。
求证：AB＝AC。等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边”。 由上述定理可直接得到：推论 1 ：三个角都相等的三角形
是等边三角形。推论 2 ：有一个角是 60° 的等腰
三角形是等边三角形。【观察】 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半。典型题例 例 1 （如图），一艘船从A处出发，以每时 10 n mile(海里)的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西 30° 的方向上。如果这艘船上午 8:00 从A处出发，10:00到达B处，从B处测得礁石C在北偏西 60° 的方向上。
⑴ 画出礁石C的位置；
⑵ 求从B处到礁石C的距离。【点评】 本题是一道应用题，将实际问题转化为数学问题。解题时可考虑用作一个角等于已知角、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及等腰三角形判定定理等。解：
⑴ 以B为顶点，向北偏西 60° 作角，这角一边与AC交于点C，则点C为礁石所在地。 ∵ ∠ACB＝60o－30o＝30o
（三角形的外角性质）
∠BAC＝30o（已知）
∴ ∠ACB＝∠BAC（等量代换）
∴ BC＝BA（等角对等边）
∵ BA＝10 ×﹙10－8﹚＝20（n mile）
∴ BC＝20（n mile）
即：从B处到礁石C的距离是20（n mile） 例 2 已知：如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形。求证：
⑴ △AEF≌△CDE；
⑵ △ABC为等边三角形。【点评】⑴ 利用△DEF为等边三角形可以得出EF＝ED，再根据已知条件可以得到△AEF≌△CDE;⑵ 可以根据有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形加以证明。⑵ ∵ △AEF≌△CDE ∴ ∠FEA＝∠EDC
∵ ∠BCA＝∠EDC＋∠DEC＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF △DEF为等边三角形
∴ ∠DEF＝60o ∴∠BCA＝60o
同理可得：∠BAC＝60o
∴ AB＝AC ∴ △ABC为等边三角形练一练1、如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC，则△ABC为＿＿＿＿三角形。2、如图，在△ABC中，∠DAC＝90o，CD、CE三等分∠ACB，分别交AB于点D，E，CD⊥AB于D，则AB与BC、AB与BD之间的数量关系为＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿。等腰AB＝2BCAB＝4BD做一做1、下列命题不正确的是【 】
A、两个内角分别为 70° 和 40° 的三角形是等腰三角形
B、一个外角的角平分线平行于一边的三角形是等腰三角形
C、有两个顶点不同的外角相等的三角形是等腰三角形
D、有两个内角不等的三角形一定不是等腰三角形D2、在△ABC中，如果只给出条件“∠A＝60o ”，那么还不能判定△ABC是等边三角形。给出下列四种说法：【 】
① 如果再加上条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形
② 如果再加上条件“∠B＝∠C ”，那么△ABC是等边三角形
③ 如果再加上条件“AB，AC边上的高相等”，那么△ABC是等边三角形
④ 如果再加上条件“D是BC的中点，且AD⊥BC”，那么△ABC是等边三角形
其中正确的说法有＿＿＿＿＿（把你认为正确的序号全部填上）。①②③④3、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为＿＿＿。94、如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥AB交BC于E，∠BAC＝120o，AE＝3cm，则BC的长为＿＿＿。9cm5、如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∠BAC＝120o，BC＝10，则DE＋DF＝＿＿＿。56、如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：① ∠EAO＝∠DCO；② ∠BEO＝∠CDO；③ BE＝CD；④ OB＝OC。把其中两个条件作为题设，可推出△ABC是等腰三角形的有＿＿＿＿＿（填序号）。①②③④7、一艘轮船由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西 15° 方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西 30° 方向上，在小岛周围 20 海里内有暗礁。若轮船仍按 18 海里 / 时的速度向前航行，有无触礁的危险？小 结 等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边”。 推论 1 ：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论 2 ：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半。布置作业1、课本第138页练习：
第 1、2、3 题。2、课本第139页习题15.3：
第 6、7、8 题。谢谢15.3《等腰三角形》导学案（3）
【学习目标﹒导思】
掌握等腰三角形的判定定理及推论，并能够灵活应用它进行有关的论证和计算.
【学习重难点】
重点：等腰三角形的判定定理及其应用.
难点：等腰三角形的判定定理的应用.
【学法指导】
通过观察、动手操作领悟等腰三角形和等边三角形的判定定理，同伴合作能利用等腰三角形的性质及判定解答有关等腰三角形、等边三角形的问题.
【学习过程】
一、课前预习、导学
1．等腰三角形的两底角＿＿＿＿。简称“＿＿＿＿＿＿”
2．有两个角＿＿＿的三角形是等腰三角形。简称“＿＿＿＿＿＿”
3．在△ABC中，若∠A＝80o，∠B＝50o，AC＝5，则AB等于＿＿＿.
4．三个角都＿＿＿的三角形是等边三角形.
5．有一个角是＿＿＿度的＿＿＿三角形是等边三角形.
二、课内学习、合作探究：
1．思考：
命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿”。它是＿＿（选填“真”或“假”）命题，这个命题的条件是“＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿”，结论是“＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿”。
2．求证：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
探究：
⑴ 本题的条件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，结论是＿＿＿＿＿＿＿＿。
⑵ 结合题意画出图形：
已知：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
求证：＿＿＿＿＿＿＿。
证明：
3．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于＿＿o，那么它所对的直角边等于斜边的＿。
∵ △ABC中，∠ACB＝90o，∠BAC＝30o
∴ BC＝＿＿＿AB （或AB＝＿＿＿BC）
4．（如图），一艘船从A处出发，以每时 10 n mile(海里)的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西 30°的方向上。如果这艘船上午 8:00 从A处出发，10:00到达B处，从B处测得礁石C在北偏西 60°的方向上。
⑴ 画出礁石C的位置；
⑵ 求从B处到礁石C的距离。
5．已知：如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形。求证：
⑴ △AEF≌△CDE；
⑵ △ABC为等边三角形。
【对应练习】
1.如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC，则△ABC为＿＿＿＿三角形。
2.如图，在△ABC中，∠DAC＝90o，CD、CE三等分∠ACB，分别交AB于点D，E，CD⊥AB于D，则AB与BC、AB与BD之间的数量关系为＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿。
【达标练习】
1．下列命题不正确的是【 】
A、两个内角分别为 70° 和 40° 的三角形是等腰三角形
B、一个外角的角平分线平行于一边的三角形是等腰三角形
C、有两个顶点不同的外角相等的三角形是等腰三角形
D、有两个内角不等的三角形一定不是等腰三角形
2．在△ABC中，如果只给出条件“∠A＝60o ”，那么还不能判定△ABC是等边三角形。给出下列四种说法：【 】
① 如果再加上条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形
② 如果再加上条件“∠B＝∠C ”，那么△ABC是等边三角形
③ 如果再加上条件“AB，AC边上的高相等”，那么△ABC是等边三角形
④ 如果再加上条件“D是BC的中点，且AD⊥BC”，那么△ABC是等边三角形
其中正确的说法有＿＿＿＿＿（把你认为正确的序号全部填上）。
3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为＿＿＿。
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥AB交BC于E，∠BAC＝120o，AE＝3cm，则BC的长为＿＿＿。
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∠BAC＝120o，BC＝10，则DE＋DF＝＿＿＿。
6．如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与EC交于点O，给出下列四个条件：① ∠EAO＝∠DCO；② ∠BEO＝∠CDO；③ BE＝CD；④ OB＝OC。把其中两个条件作为题设，可推出△ABC是等腰三角形的有＿＿＿＿＿（填序号）。
7．一艘轮船由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西 15° 方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西 30°方向上，在小岛周围 20 海里内有暗礁。若轮船仍按 18 海里 / 时的速度向前航行，有无触礁的危险？
【拓展练习】
如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，D是CB延长线上的一点，∠ADB＝60o，E是AD上的一点，且DE＝DB。
求证：AE＝BE＋BC （提示：利用等腰三角形的“三线合一”添加辅助线。）
【学习反思】
学习本节之后，你有何收获？
课件17张PPT。第15章 轴对称图形与等腰三角形15.3 等腰三角形(2)想一想1、等腰三角形的两底角＿＿＿＿。简称“＿＿＿＿＿＿”。顶角平分线相等等边对等角3、等边三角形的三个内角＿＿＿，每一个内角都等于＿＿＿。2、等腰三角形顶角的平分线＿＿＿＿底边。等腰三角形的＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿“三线合一”。垂直平分60o31轴对称底边上的中线底边上的高相等4、等腰三角形和等边三角形都是＿＿＿图形。等腰三角形有＿＿条对称轴，等边三角形有＿＿条对称轴。典型题例例 1 已知：（如图），在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求∠A和∠C的度数。 已知：（如图）△ABC中，AB＝AC，
∠A＝36o，请你设计两种不同的分
法，将△ABC分割成 3 个三角形，使
得每个三角形都是等腰三角形。（作图工具不限，不要求写出画法，不要求证明；要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）例 2 求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 已知：（如图），在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90o，AB＝A′B′，AC＝A′C′。
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。 本题是证明“HL”定理的过程，可使用平移的方法，将AC与A′C′重合，再利用“等边对等角”进行证明。【点评】证明：（如图），在平面内移动Rt△ABC，使点A与点A′、点C与点C′重合。练一练1、在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70o，则∠A的度数为＿＿＿。40o2、在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于点D，则BD＝＿＿＿。33、在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外角∠DAC＝130o，则∠B＝＿＿。65o4、在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36o，则∠BDC的度数为＿＿。72o5、如图所示，已知AB＝AC，AD＝AE。
求证：BD＝CE。 本题旨在复习等腰三角形的性质定理 2 。可采用一题多解的方式求证，加深对等腰三角形性质定理 2 的理解。【点评】做一做1、若等腰三角形的顶角为 80o，则它的底角度数为＿＿＿。2、在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20o。线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为＿＿＿。50o60o4、若等腰三角形的一个角为 50o，则它的顶角度数为＿＿＿＿。3、如图所示，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80o。则∠B的度数为＿＿＿。25o50o 或80o5、在等腰三角形中，小明同学做了如下研究：已知一个角是60o，则另两个角是唯一确定的（60o，60o），已知一个角是90o，则另两个角也是唯一确定的（45o，45o），已知一个角是120o，则另两个角也是唯一确定的（30o，30o）。由此小明同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数也是唯一确定的。小明同学的结论是＿＿＿的（选填“正确”或“错误”）。错误6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50o，则这个等腰三角形的底角度数为＿＿＿＿。20o 或70o7、如图所示，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20o，∠BDC＝100o，则∠CAD的度数是＿＿＿＿。30o8、如图，已知∠AOB＝α，在射线OA，OB上分别取点OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别取点A2，B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2，···，按此规律下去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，∠An＋1BnBn＋1＝θn，则⑴ θ1＝＿＿＿；⑵ θn＝＿＿＿。小 结等腰三角形性质定理 1 、2 的应用。布置作业1、课本第136页练习：
第1、2、3、4题。2、课本第139页习题15.3：
第 5 题。谢谢15.3《等腰三角形》导学案（2）
【学习目标﹒导思】
掌握等腰三角形的性质定理及推论，并能够灵活应用它进行有关的论证和计算。
【学习重难点】
重点：等腰三角形的性质定理及其应用。
难点：等腰三角形的性质定理的应用。
【学法指导】
通过观察、动手操作领悟等腰三角形的性质，同伴合作能利用等腰三角形的性质解答有关等腰三角形、等边三角形的问题。
【学习过程】
一、课前预习﹒导学
1、等腰三角形的两底角＿＿＿＿。简称“＿＿＿＿＿＿”。
2、等腰三角形顶角的平分线＿＿＿＿底边。等腰三角形的＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿“三线合一”。
3、等边三角形的三个内角＿＿＿，每一个内角都等于＿＿＿。
4、等腰三角形和等边三角形都是＿＿＿图形。等腰三角形有＿＿条对称轴，等边三角形有＿＿条对称轴。
二 、课内学习、合作探究：
1、 已知：（如图），在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求∠A和∠C的度数。
2、求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
探究：
⑴ 本题的条件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，结论是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
⑵ 结合题意画出图形：
已知：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
求证：Rt△＿＿＿＿≌Rt△＿＿＿＿。
证明：
【对应练习】
1、已知：△ABC中，AB＝AC，∠A＝36o，请你设计两种不同的分法，将△ABC分割成 3 个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形。（作图工具不限，不要求写出画法，不要求证明；要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）
在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70o，则∠A的度数为＿＿＿。
在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于点D，则BD＝＿＿＿。
在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外角∠DAC＝130o，则∠B＝＿＿。
在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36o，则∠BDC的度数为＿＿。
6、如图所示，已知AB＝AC，AD＝AE。
求证：BD＝CE。
证法一：
证法二：作AF⊥BC于点F。
探讨：
⑴ 证法一中你用到了哪些知识点：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
⑵ 证法二中你用到了哪些知识点：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
【达标练习】
1、若等腰三角形的顶角为 80o，则它的底角度数为＿＿＿。
2、在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20o。线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为＿＿＿。
3、如图所示，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80o。则∠B的度数为＿＿＿。
4、若等腰三角形的一个角为 50o，则它的顶角度数为＿＿＿＿。
5、在等腰三角形中，小明同学做了如下研究：已知一个角是60o，则另两个角是唯一确定的（60o，60o），已知一个角是90o，则另两个角也是唯一确定的（45o，45o），已知一个角是120o，则另两个角也是唯一确定的（30o，30o）。由此小明同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数也是唯一确定的。小明同学的结论是＿＿＿的（选填“正确”或“错误”）。
6、 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50o， 则这个等腰三角形的底角度数为＿＿＿。
7、如图所示，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20o，∠BDC＝100o，则∠CAD的度数是＿＿＿＿。
8、如图，已知∠AOB＝α，在射线OA，OB上分别取点OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别取点A2，B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2，···，按此规律下去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，∠An＋1BnBn＋1＝θn，则⑴ θ1＝＿＿＿；⑵ θn＝＿＿＿。
【拓展练习】
学习本节之后，你有何收获？
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40o，分别以AB，AC为边作两个等于直角三角形ABD和ACE，使∠BAD＝∠CAE＝90o。
⑴ 求∠DBC的度数；
⑵ 求证：BD＝CE。
【学习反思】
学习本节之后，你有何收获？
15.4《角的平分线》导学案（1）
【学习目标﹒导思】
能够利用尺规法作一个已知角的平分线，并能证明它的正确性。
【学习重难点】
重点：角平分线的尺规作法。
难点：角平分线尺规作法的应用。
【学法指导】
通过观察、动手操作领悟用尺规作法作角的平分线，同伴合作能利用角平分线的尺规作法解决实际问题。
【学习过程】
一、课前预习﹒导学
1.通过折纸可以作出一个角的平分线。
动手操作：在半透明的纸上任意画一个角，请你用折叠的方法，找出角的平分线。
【思考】
角是＿＿＿＿＿＿＿＿，角平分线所在的直线是它的＿＿＿＿。
2.可以用＿＿＿＿＿来画一个角的平分线，再折叠观察。
3.用尺规作一个已知角∠AOB的角平分线。
二、课内学习、合作探究：
探究1：根据作图，你能证明所作射线OP，就是∠AOB的平分线吗？
探究2：当∠AOB的两边成一条直线时（即∠AOB＝180o），你会作这个角的平分线吗？这时的角平分线与直线AB是什么关系？
通过作图，你会发现：OP＿＿＿AB，请写出理由：__________________________________
____________________________________________________________.
探究3：通过上面作图，你能用尺规完成“经过一点作已知直线的垂线”吗？
（1） “经过一点作已知直线的垂线”，那么这一点一定在直线上吗？＿＿＿＿＿
（2） 这一点可能在什么位置呢？
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
① 经过已知直线上的一点作这条直线的垂线。
已知：（如下左图）直线AB和AB上一点C。
求作：AB的垂线，使它经过点C。
作法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
② 经过已知直线外的一点作这条直线的垂线。
已知：（如上右图）直线AB和AB外一点C。
求作：AB的垂线，使它经过点C。
作法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
【思考】
为什么这样作出的直线CP就是所求作的垂线？证一证。
练一练：
尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法：
⑴ 已知一直角边和斜边做直角三角形；
⑵ 已知底边及底边上的高作等腰三角形。
【达标练习】
1．尺规作图：请在下图上作出一个∠AOC，使其是已知∠AOB的倍。
（要求：保留作图痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写出作法和结论。）
2、如图，已知∠α、∠β，用直尺和圆规作一个∠γ，使得∠γ＝∠α－∠β。
【拓展练习】
如图，C、D两点在∠AOB的内部。
⑴ 那些点到点C、D的距离相等？请你把符合条件的点画出来；
⑵ 那些点到∠AOB两边的距离相等？请你把符合条件的点画出来；
⑶ 是否存在一点P，既有PC＝PD，又有点P到∠AOB的两边的距离相等？如果存在，请把符合条件的点画出来。
【学习反思】
学习本节之后，你有何收获？
课件17张PPT。第15章 轴对称图形与等腰三角形15.4 角的平分线(1)角的平分线【探究】 通过折纸可以作出一个角的平分线。 角是轴对称图形，角平分线所在的
直线是它的对称轴。 用尺规作角的平分线。证一证证明：（如图）连接PM、PN。思 考 当∠AOB的两边成一条直线时（即∠AOB＝180o），你会作这个角的平分线吗？这时的角平分线与直线AB是什么关系？∵ OP平分∠AOB 且∠AOB＝180o
∴ ∠AOP＝∠BOP＝90o
∴ OP⊥AB探究 通过上面作图，你能用尺规完成“经过一点作已知直线的垂线”吗？ ⑴ “经过一点作已知直线的垂线”，那么这一点一定在直线上吗？＿＿＿＿＿不一定 ⑵ 这一点可能在什么位置呢？
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。① 点在直线上② 点在直线外⑴ 经过直线上的一点作这条直线的垂线已知：（如图）直线AB和AB上一点C。
求作：AB的垂线，使它经过点C。作法：
作平角∠ACB的平分线CP。
直线CP就是所求作的垂线。⑵ 经过直线外的一点作这条直线的垂线已知：（如图）直线AB和AB外一点C。
求作：AB的垂线，使它经过点C。作法：
⑴ 任取一点K，使K和C在AB的两旁；⑵ 以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；⑷ 作直线CP。直线CP就是所求作的垂线。证一证证明：（如图）连接CD、CE、PD、PE。∵ CD＝CE、PD＝PE（作图）
∴ 点C 、点P都在线段DE的垂直平分线上
∴ CP⊥DE即：CP⊥AB练一练 尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法：⑴ 已知一直角边和斜边做直角三角形；Rt△ABC就是所求作的三角形⑵ 已知底边及底边上的高作等腰三角形。△ABC就是所求作的三角形做一做【思考】如图，C、D两点在∠AOB的内部。
⑴ 那些点到点C、D的距离相等？请你把符合条件的点
画出来；
⑵ 那些点到∠AOB两边的距离相等？请你把符合条件
的点画出来；
⑶ 是否存在一点P,既有PC＝PD,又有点P到∠AOB的两边
的距离相等？如果存在,请把符合条件的点画出来.拓展练习小 结1、利用尺规法作一个已知角的平分线，并能正确它的正确性。2、利用尺规法作“经过一点作已知直线的垂线”。布置作业1、课本第143页练习第1、2题。2、课本第146页“习题15.4”第1题。谢谢15.4《角的平分线》导学案（2）
【学习目标﹒导思】
会阐述角平分线的性质定理及其逆定理。
会应用角平分线定理及其逆定理证明两条线段相等或两个角相等。
【学习重难点】
重点：角平分线的性质定理及其逆定理。
难点：理解并能证明角平分线的性质定理及其逆定理。
【学法指导】
通过观察、动手操作领悟角平分线的性质，同伴合作能利用角平分线的性质及逆定理解答有关问题。
【学习过程】
一、课前预习﹒导学
1．通过折纸可以作一个角的角平分线，也可以用＿＿＿＿＿来画一个角的平分线。
2．角是＿＿＿＿＿图形，＿＿＿＿所在的直线是它的对称轴。
3．经过一点作已知直线的垂线分为经过已知＿＿＿＿＿＿＿＿＿作这条直线的垂线和经过已知＿＿＿＿＿＿＿＿＿作这条直线的垂线。
【量一量】
在前面已画好的角平分线上任取一点，量出这点到角两边的距离；再在角内任取一个不在角平分线上的点，量出这点到角两边的距离。
【思考】
1．角平分线上的点到角两边的距离＿＿＿。
2．角的内部到角两边的距离相等的点在角的＿＿＿＿＿。
二、课内学习、合作探究：
探究1：如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D.你能猜想PC，PD长度间有什么关系吗？证明你的猜想.
角平分线的性质定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
角平分线性质定理的逆命题是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
探究2：
求证：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
题设：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
已知：（如图）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
求证：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
角平分线的性质定理的逆定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
【练一练】
1．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。判断下列正确的是：
⑴ DE＝DF ﹙ ﹚
⑵ BD＝CD ﹙ ﹚
⑶ AD上任一点到AB、AC的距离相等 ﹙ ﹚
⑷ AD上任一点到点B、C的距离相等 ﹙ ﹚
2．如图，△ABC中，∠C＝90o，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是＿＿＿＿＿。
3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长度是＿＿＿。
【典型例题】
已知：如图，△ABC中，∠B的平分线BE与∠C的平分线CF相交于点P。
求证：AP平分∠BAC。
三角形的三条角平分线的性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
【练一练】
1．下列各点到三角形各边的距离相等的是【 】
A、三角形三条角平分线的交点 B、三角形三条高线的交点
C、三角形三条垂直平分线的交点 D、三角形三条中线的交点
2．三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都相等，则这个三角形一定是【 】
A、等腰三角形 B、等腰直角三角形 C、非等腰三角形 D、等边三角形
【达标练习】
1．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E。若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为＿＿＿。
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90o，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD:CD＝3:2，则点D到线段AB间的距离为＿＿＿。
3．如图，AB、AC表示两条相交的公路，现要在∠BAC的内部建一个物流中心。设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处A点的距离为1000m。
⑴ 若要以 1:50000 的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处A点的图上距离；
⑵ 在图中画出物流中心的位置P。
【拓展练习】
在学习“角平分线”时，老师画了这样一幅图，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90o，BD是∠ABC的平分线。小明看到这里，忽然想到了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法：在AB上取点E，使BE＝BC，然后画DE⊥AB交AC于点D，那么BD就是∠ABC的平分线。有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢？请说明理由。
【学习反思】
学习本节之后，你有何收获？
课件20张PPT。第15章 轴对称图形与等腰三角形15.4 角的平分线(2)想一想1、通过折纸可以作一个角的角平分线，也可以用＿＿＿＿＿来画一个角的平分线。量角器2、角是＿＿＿＿＿图形，＿＿＿＿所在的直线是它的对称轴。轴对称角平分线3、经过一点作已知直线的垂线分为经过已知＿＿＿＿＿＿＿＿＿作这条直线的垂线和经过已知＿＿＿＿＿＿＿＿＿作这条直线的垂线。直线上的一点直线外的一点量一量 已知OC平分∠AOB，点P为OC上一点，点P′、P″为∠AOB内不在OC上的两点。PD＿＿PE ,P′D′＿＿P′E′ ,P″D″＿＿P″E″ ＝≠≠ 1、角平分线上的点到角两边的距离＿＿＿。 2、角的内部到角两边的距离相等的点在角的＿＿＿＿＿。相等平分线上探 究 如图，OP是∠AOB的平分线，P是OP上的任一点，过点P分别作PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D。你能猜想PC，PD长度间有什么关系吗？证明你的猜想。猜想：PC＝PD角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两
边的距离相等。 角平分线性质定理的逆命题是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上求证：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。题设：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。已知：（如图）点P在∠AOB的内部，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，且PC＝PD。
求证：OP平分∠AOB。角的内部到角两边距离相等的点这个点在角的平分线上 角的内部到角两边距离
相等的点在角的平分线上。练一练1、已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。判断下列正确的是：
⑴ DE＝DF ﹙ ﹚
⑵ BD＝CD ﹙ ﹚
⑶ AD上任一点到AB、
AC的距离相等 ﹙ ﹚
⑷ AD上任一点到点B、
C的距离相等 ﹙ ﹚√√√√2、如图，△ABC中，∠C＝90o，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是＿＿＿＿＿。3、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长度是＿＿＿。53典型例题 已知：如图，△ABC中，∠B的平分线BE与∠C的平分线CF相交于点P。
求证：AP平分∠BAC。三角形的三条角平分线的性质 三角形三条内角平分线
相交于一点，这点到三角形
三边的距离相等。练一练1、下列各点到三角形各边的距离相等的是【 】
A、三角形三条角平分线的交点
B、三角形三条高线的交点
C、三角形三条垂直平分线的交点
D、三角形三条中线的交点2、三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都相等，则这个三角形一定是【 】
A、等腰三角形 B、等腰直角三角形
C、非等腰三角形 D、等边三角形AD做一做1、如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E。若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为＿＿＿。2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90o，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD:CD＝3:2，则点D到线段AB间的距离为＿＿＿。443、如图，AB、AC表示两条相交的公路，现要在∠BAC的内部建一个物流中心。设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处A点的距离为1000m。
⑴ 若要以 1:50000 的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处A点的图上距离；
⑵ 在图中画出物流中心的位置P。4、在学习“角平分线”时，老师画了这样一幅图，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90o，BD是∠ABC的平分线。小明看到这里，忽然想到了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法：在AB上取点E，使BE＝BC，然后画DE⊥AB交AC于点D，那么BD就是∠ABC的平分线。有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢？请说明理由。小 结1、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。2、角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。3、三角形的三条角平分线的性质：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。布置作业1、课本第144-145页练习第2题。
课本第146页练习第1、2题。2、课本第146页“习题15.4”第2、
3、4题。谢谢
