11.1平方根与立方根
2.立方根
一、教学目标
知识与技能：
了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根
了解立方与开立方运算互为逆运算
3、能利用开立方运算求某些数的立方根
过程与方法：
深入问题情景，激发求知欲。
积极思维，体会类比的数学方法。
情感态度与价值观：
积极思维，动口、动手。
发扬团结协作的团队合作精神。
二、教学重点：
会用根号表示一个数的立方根，能通过立方运算求某些数的立方根
教学难点：
立方根与平方根性质的区分
四、教学过程
（一）知识回顾
1.什么叫平方根？
2.什么叫算术平方根？
3.正数有几个平方根?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0的平方根是什么?
（二）问题引入
问题：现有一个体积为216立方厘米的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？
（三）探索发现
问题：
1、这个实际问题，是个怎样的计算问题？
2、你能找一个数，使这个数的立方等于216吗？
3、如果，正方体的体积依次为：64，125，343，那么相应的正方体的棱长为多少？
4、从这里可以抽象出一个什么数学概念？
概括：立方根的概念
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。
（四）试一试
（1） 27的立方根是什么?
（2） －２７的立方根是什么?
（3） 0的立方根是什么?
思考：通过计算你发现了什么？（和平方根的性质比较。）
概括：立方根的性质和表示方法。
正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0.
为了计算方便，数a的立方根，记作，读作“三次根号a”．a称为被开方数。
（五）新知应用
例1求下列各数的立方根：
（1）； （2） －125； （3） －0.008．
解（1） 因为（1），所以
（2） （3）略
例2用计算器求下列各数的立方根：
（1） 1331；（2） －343；（3） 9.263
解（1） 在计算器上依次键入
() ，
显示结果为11，所以＝11．
（2）、（3）略
五、课堂练习
1.判断下列说法是否正确,并说明理由。
(1)的立方根为 ( ) (2) 25的平方根是5 ( )
(3) -64没有立方根 ( ) (4) -4的平方根是 -2 ( )
(5) 0的平方根和立方根都是0 ( )
2、求下列各式的值。
(1) (2) （3） （4）
六、课堂小结
1、什么是立方根？ 2、正数、0、负数的立方根有何特点？
3、通过本节课的学习，有何体会？
七、课堂作业
1、求下列各数的立方根：
（1） 0.125；（2） －；（3） 1728．
2、求下列各式的值。
（1） （2）
3、在哪两个整数之间?
八、课后反思：
1、平方根与立方根的性质
2、平方根与立方根是两个不同的概念，具有不同的性质。它们有如下区别：只有非负数有平方根，而任何数都有立方根。
课件17张PPT。11.1平方根与立方根2.立方根 2.什么叫算术平方根？
如何用符号表示数a(≥0)的算术平方根? 正数有两个平方根，它们互为相反数;
负数没有平方根； 0的平方根是0 。 3.正数有几个平方根?它们之间的关系是什么?
负数有没有平方根?0的平方根是什么?1.什么叫平方根？
如何用符号表示数a(≥0)的平方根? 知识回顾 1、要做一个体积为216cm3的正方体盒子，它的棱长应取多少cm？你是怎么想的？ 思考：上面的问题，实质就是一个数的立方等于216，我们知道63=216，所以正方体的棱长为6cm3。问题引入1.立方根定：
一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。用式子表示，如果X3 =a，那么X叫做a的立方根。2.开立方
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
根指数被开方数3新知讲授例 求下列各数的立方根
（1） 64； （2） －64； （3） ；
（4） －0.064；（5）0 (6) 1 (8)-1解：（1）∵ 43＝64
∴ 64的立方根是4，即其余题目同桌互助完成根指数不能少！典例分析你们发现了什么？ 1、一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 2、如果两个数互为相反数（或者倒数），则它们的立方根仍互为相反数（或者倒数）。即每一个数a都只有一个立方根，记为：2-22新知归纳 x√√xxx课堂练习2.填空： (2) ( )3-5-5课堂
练习-1、1、001、0新
知
拓展 1、分别求下列各式的值： 2、你能求出下列各式中的未知数x吗？
（1） x3＝343
（2）（x－1）3＝125新
知
应用n次方根的定义如果一个数的n（n是大于1的整数）次方等于a，那么这个数就叫做a的n次方根。拓展延伸1、讨论:你能归纳出平方根和立方根的异同点吗?
2、请从他们的定义、性质和求法这三个方面加以归纳知识归纳1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。a的平方根用
±2、平方根的性质
（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数
（2）0的平方根还是0
（3）负数没有平方根3、平方根的求法：
如求4的平方根：∵ (±2)2 = 4
∴4的平方根是±2 1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根。a的立方根用 表示2、立方根的性质
（1）正数的立方根还是正数
（2）0的立方根还是0
（3）负数的立方根还是负数3、立方根的求法：
如求8的立方根：
∵ 23 = 8
∴8的立方根是2 知识归纳－8规律：对于任何数a都有2-2-34规律：对于任何数a都有 0 8 27 -27 0 5知识升华相同点:
①0的平方根、立方根都有一个是0
②平方根、立方根都是开方的结果。
不同点：
①定义不同
②个数不同
③表示方法不同
④被开方数的取值范围不同1.立方根的定义,性质(唯一性，同号性),计算.2.立方根与平方根的异同课堂总结1.求下列各数的平方根和算术平方根.2.求下列各数的立方根.3.求下列各式的值.课堂作业4.填表：（1）由此你发现了什么规律？用语言叙述这个规律为________
（2）根据你发现的规律填空：
0.010.11101000
11.1平方根与立方根
1.平方根
一、教学目标
知识与技能：
1、了解平方根的概念、开平方的概念。会用根号表示一个数的平方根。
2、了解平方运算与开平方运算是互为逆运算。
3、会用平方根的概念求某些非负数的平方根。
过程与方法：
1、经历概念形成过程，提高思维水平。
2、培养求同和求异思维，能从相似的事物中观察到他们的共同点和不同点。
情感态度与价值观：
1、通过熟悉的问题情景，养成对数学的好奇心和求知欲。
2、在已有数学经验的基础上，探求新知，获得成功的快乐。
3、提高自己“用数学”的意识。
二、教学重点和难点
教学重点：平方根和算术平方根的概念及求法。
教学难点：平方根与算术平方根联系与区别。
三、教学准备：25cm2的正方形纸片。
四、教学过程
（一）问题引入
学校要举行美术作品比赛，小明想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？这个问题就是求一个数的平方等于25。这就是本节内容所要学习的。
（二）探索归纳
(1) 平方根的概念
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(二次方根)。用数学语言表达即为：若x2=a，则x叫做a的平方根。 举例：∵，∴5是25的一个平方根。
思考：25的平方根只有一个吗？还有哪些数的平方也等于25？
(2)讨论总结：求一个数平方根的方法。
（三）举例应用
例1 求100的平方根．
解 因为10＝100， （－１０）＝１００，除了10和－１０以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－１０，也可以说，100的平方根是±１０。
(四)试一试
（1） 144的平方根是什么? （2） 0的平方根是什么?
（3）的平方根是什么? （4）的平方根是什么？
（5）0.81的平方根是 什么？ （6） －４有没有平方根?为什么?
通过以上题目的解答，你发现了什么？
五、知识归纳
1、平方根性质
1．一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
2．0有一个平方根，它是0本身。
3．负数没有平方根。
2、开平方
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方的运算。
由练习我们看到+3与-3的平方是9，9的平方根是+3和-3，可见平方运算与开平方运算互为逆运算．根据这种关系，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根．与其他运算法则不同之处在于只能对非负数进行运算，而且正数的运算结果是两个。
3、平方根的表示方法
一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“ ”表示，a的平方根合起来记作 ，其中“”读作“二次根号”， 读作“二次根号下a”．根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“ ”读作“正、负根号a”。
六、巩固练习
1、求下列各数平方根与算术平方根：
64； 0.25； ； 0.0196； 5
2、下列说法正确吗？为什么？如果不正确，那么请你写出正确答案。
（1）0.09的平方根是0.3；
（2）
七、课堂小结
1、本课主要学习了哪些重要概念，它们有何区别与联系？
2、求一个数的平方根或算术平方根，方法是什么？
3、平方根的性质。
八、作业设计
1、361的平方根是 ；
的算术平方根是 ；
的平方根是 ；
2、若a>0，且，则a= ；
3、若a< 4、已知２a-1的一个平方根是+３,求２a-1的另一个平方根及a的值。
九、回顾反思
易错点：对平方根的意义不理解；对平方与开平方两种运算之间的互逆关系不理解。
（1）在求一个正数的平方根时，容易只写正的平方根，丢掉负的平方根。
（2）如果已知一个数的一个平方根，求这个数。不知道该怎么做。
课件18张PPT。11.1平方根与立方根1.平方根如图中, 设面积为25cm2的正方形, 其边长为多少呢？ 5cmx应该是, 边长2 = 25 又：面积为16，则边长为 4 ； a5所以, 其边长为 5cm 4 面积为9，则边长为 3 ； 3 面积为5，则边长为多少呢？ 面积为a，则边长又如何呢？ 根据正方形的面积公式， 这时，可设其边长为 x ， 得到 x2 = a . 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即：若x2=a，那么x叫做a的平方根。记作：x=
读作：正、负根号a±0.8±3 我们知道，一个正数x的平方等于a，那么x就叫做a的算术平方根。比如：上面的3是9的算术平方根，2/5是4/25的算术平方根，0.8是0.64的算术平方根；那么另一个负数又该怎样称呼它呢？（1）一个正数有几个平方根？
（2）0 有几个平方根？
（3）负数呢？
1、一个正数有2个平方根，它们互为相反数
2、0只有1个平方根，它是0本身；
3. 负数没有平方根
表示7的算术平方根表示5的算术平方根的相反数表示9的平方根 例1求下列各数的平方根(1) 64；(3) 0.0004(4) (-25)2(5)11解: (1)∵(±8)2=64,∴64的平方根是±8,
其它题目同学们合作探究完成(6) 1例题分析解：据题意有： 3a-22 与2a-3互为相反数
则：(3a-22)+(2a-3)=0
所以：5a=25
a=5
3a-22＝3×5-22＝-7
故m＝（-7）2＝49本题考查了
“一个正数的平方根有两个，
它们互为相反数”你会了吗？
本题从先求a，再求m有许多
陷阱的哦！再看一遍答案吧！1、求下列各式的值：（3）解：跟踪例练 1、判断下列说法是否正确：
（1）－9的平方根是－3; ( )
（2）49的平方根是7 ； ( )
（3）（－2）2的平方根是±2 ； （ ）
（4）1 的平方根是 1 ； （ ）
（5）－1 是 1的平方根; （ ）
（6）7的平方根是±49. ( )
（7）若X2 = 16 则X = 4 （ ） ××√×√××课堂练习1. 下列表述正确的是( )A. 9的平方根是-3 B. -7是-49的平方根C. -15是225的平方根 D. (-4)2的平方根是-4CD√√√√B±8 36 ±9 课堂训练1、下列各式计算正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、C （2）若一个正数的平方根为a＋5和a＋1，求a的值和这个正数。达标训练±63±2达标训练645a,,,,,,,..,, 2.试问：51、平方根的概念:当x2=a(a≥0) 时, 就称x是a的平方根.2、相关概念:而a称为x的平方数.即平方根是利用平方数来说的. 任何数都有平方数, 且只有一个; 都有平方根, 根, 3、求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.但并不是任何数只有非负数才有平方根, 负数没有平方且正数的平方根是互为相反数的两个数.1、一个正数有两个平方根，它们互为相反数。其中那个正的平方根叫做这个数的算术平方根。
2.平方根和算术平方根是它本身的数只有0。
3、一个负数没有平方根。
4、对于正数a，公式：课件14张PPT。12.1幂的运算1.同底数幂的乘法an 表示的意义是什么？其中a、n、an分别叫做什么? an底数幂指数复习引入(1)(2)(3)知识回顾 25×22 = ( ) ×( )
= ________________ =2( ) ；
(2)a3×a2 = ( ) ×( )
=_______________= a( ) ；
(3) 5m · 5n =( ) ×( ) = 5( ).2 × 2 ×2×2× 22 × 22×2 ×2 × 2×2×2×27a×a×aa×aa×a×a×a×a5m+n请同学们根据乘方的意义理解，完成下列填空. 思考：观察上面各题左右两边，
底数、指数有什么关系？5×···×5m个5n个55×···×5合作探究猜想: am · an= (当m、n都是正整数) am · an =m个an个a= a · a · · · · · a=a(m+n)个a即am · an = am+n (当m、n都是正整数)（a · a · · · · · a）（a · a · · · · · a）am+n同底数幂相乘，底数不变，指数相加。m+nam+n =?探索发现继续探究例1 计算下列各式,结果用幂的形式表示.(2) a · a6 ； 21+4 +3 a1+6 xm+3m+1 (1) x2 · x5 ； (4) xm · x3m+1 ； x2+5 = x7 (3) 2× 24× 23 == 28 (2) a · a6 = = a7 (3) 2× 24× 23 ；(4) xm · x3m+1 = = x4m+1 解(1) x2 · x5 = 例题讲授计算下列各式,结果用幂的形式表示. (1) b5 × b ； 解:(1) b5 × b = 101+2 +3 - a2+6 y2n+n+1 (3) -a2 · a6 ； (4) y2n · yn+1 ； b5+1 = b6 (2) 10× 102× 103 == 106 (3) -a2 · a6 = = - a8 (2) 10× 102× 103 ；(4) y2n · yn+1 = = y3n+1 课堂练习选择题, 下列计算正确的是( ) a · a2＝ a3
A. a · a2＝ a2
B. a＋a2 ＝ a3
C. a3 · a3＝ a9
D. a3＋a3 ＝ 2a3 D a3 · a3＝ a6 课堂练习中国奥委会为了把2008年北京奥运会办成 一个环保的奥运会，做了一个统计： 1平方千米的土地上，一年内从太阳得到的 能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量。那么105平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤？解:新知应用计算下列各题 解:（1） (a－b)2 (a－b) = (a－b)2+1 = (a－b)3 (1) (a－b)2 (a－b) (3) 2－22－23－24－25－26－27－28－29+210 (3)原式=210－29－28－27－26－25－24－23－22+2
=2·29－29－28－27－26－25－24－23－22+2
=29－28－27－26－25－24－23－22+2
=…
=22+2=6 .(2) (x+y) 3× (x+y)(2) (x+y)3×(x+y)= (x+y) 3+1= (x+y)4 巩固提高解:新知拓展同底数幂的乘法性质：底数 ，指数 .不变相加幂的意义:注意：同底数幂相乘时你在知识上有哪些收获，你学到了哪些方法？课堂小结103×104
a · a3
a · a3 · a5
x · x2 + x31 、计算下面各题作业布置 12.1幂的运算
1.同底数幂的乘法
教学目标：
知识技能：1、理解同底数幂的乘法法则。
2、运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题。
数学思考：1、在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力。
2、通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，使学生初步理解特殊──一般──特殊的认知规律。
解决问题：通过活动让学生自己发现问题、提出问题，然后解决问题。
情感态度：体会科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神。
教学重点：正确理解同底数幂的乘法法则。
教学难点：正确理解和灵活运用同底数幂的乘法法则。
教学过程：
一、创设情景，提出问题
“神州九号”宇宙飞船载人航天飞行是我国航天事业的伟大壮举.它飞行的速度约为104米/秒，每天飞行时间约为105秒.它每天约飞行了多少米?（用式子表示）
欣赏神州九号升空的短片，学生独立思考抽象出的数学问题，学生代表将列出的式子在全班进行交流。
学生得出式子104×105后，结合这个式子，教师引导学生复习底数、指数、幂的概念，分析乘法算式中两个因数的特点，顺利引出课题。 由现实中的实际问题入手，设置情景问题，激发学生的爱国激情和学习兴趣。
底数、指数、幂的概念是理解同底数幂乘法的基础。而这些概念是在学习有理数的乘法时学过的，储存知识太长，学生可能遗忘。所以在此作适当的复习，为后续的找规律作好铺垫。
二、探索，概括
1．填空.
(1)2×2×2×2×2＝（ ），a·a·…·a＝( )
m个2
先完成下列题目，要求学生说出每一步变形的根据。
(1)23×22＝( )×( )＝2( )
(2)53×52＝ ( )×( )＝5( )
a3a4＝( )×( )＝a( )
再提问让学生直接说出23×25＝( )，36×37＝( )，由此可发现什么规律?
4．如果把a3×a4中指数3和4分别换成字母m和n (m、n为正整数)，你能写出am.an的结果吗?你写的是否正确?
即am·an＝am＋n(m、n为正整数)这就是同底数幂的乘法法则。
二、新知应用
例1计算：
（1）103×104 （2）a·a3 （3）a·a3·a5
三、拓展延伸（公式的逆用）.
由am·an＝am＋n可得am＋n＝aman（m、n为正整数）
例2已知am＝3，am＝8，则am＋n＝( )
提问：通过以上练习，你对同底数是如何理解的？在应用同底数幂的运算法则中，应注意什么？让学生猜想，并验证。
让学生用文字语言表述法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
四、课堂练习
计算下列各式,结果用幂的形式表示
(1) b5 ×b (2)10×102×103
(3) -a2·a6 (4)(x+y)3×(x+y)
（5）x.x2+x3
课堂小结
1．在运用同底数幂的乘法法则解题时，必须知道运算依据。
2．“同底数”可以是单项式，也可以是多项式。
3．不是同底数时，首先要化成同底数。
课件15张PPT。12.1幂的运算2.幂的乘方同底数幂的乘法法则：am·an=am+n
其中m , n都是正整数 同底数幂相乘，底数不变，指数相加语言叙述：知识回顾根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空。
(1) (23)2＝23×23＝2( )；
(2) (32)3＝( )×( )×( )＝3( )；
(3) (a3)5＝a3×( )×( )×( )×( )=a( )。 (观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数，猜想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?) 63232326 a3 a3 a3 a315探究发现想一想：幂的乘方，底数变不变？指数应怎样计算？(24)3=24×3
=212试计算：(am)n == am +m+…m=amn幂的乘方的法则 (am · am · … · am)幂的乘方法则：（am）n=amn
其中m , n都是正整数语言叙述： 幂的乘方，底数不变，指数相乘新知归纳底数不变指数相乘指数相加其中m , n都是正整数同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则区别与联系解:原式=例题讲授解:原式=例题分析Ⅰ.幂的乘方法则：底数不变，
指数相乘。 Ⅱ. 请特别注意同底数幂的
乘法法则与幂的乘方的区别.课堂小结计算:课堂作业巩固提高2、在括号内填上指数或底数巩固提高巩固提高 12.1幂的运算
2.幂的乘方
教学目标
知识与技能：掌握幂的乘方法则；会运用法则进行有关计算。
过程与方法：培养学生观察探究能力，解决问题的能力；体会转化的数学思想。
情感、态度与价值观：体验用数学知识解决问题的乐趣，培养学生热爱数学的情感。
教学重、难点
重点：幂的乘方法则的生成及应用。
难点：幂的乘方法则的推导过程及灵活应用。
教学过程
1.回顾同底数幂的乘法的相关知识
2.合作探究：
揭示课题：（32）3、（a2）3和（am）3都表示一种什么运算？（乘方运算，而且是幂的乘方运算）；计算结果有什么规律吗？
观察，类比，归纳，猜想：
4.证明: (m,n都是正整数)
对于任意底数a与任意正整数m、n，
n个am
（am）n =am . am . … . am （乘方的意义）
n个m
= am+m+ … +m （同底数幂的乘法法则）
=amn （ 乘法的定义）
5．得出幂的乘方性质： (m,n都是正整数)
即，幂的乘方，底数不变，指数相乘。
6.新知应用
例1，计算
注意：（4）中注意符号，计算时先定符号
（5）中注意整体的思想，把当整体
课堂互动练习：
注意：（5）多重乘方你是怎样算的？
由（5）可得多重乘方也具有这一性质：
7.幂的乘方的性质的灵活运用
因为：，所以我们有时可以逆用例：已知，求的值
课堂互动练习：
已知求的值。
思考：在这四个幂中，数值最大的一个是________。
思考同步练习：
比较的大小。
比较1625,833的大小
8.课后练习：
9.课堂小结：
幂的乘方运算法则。
幂的乘方运算法则时注意与同底数幂的乘法法则相区别。
幂的乘方法则的灵活运用，有符号时要先定符号，法则的逆用。
课件17张PPT。11.1平方根与立方根2.立方根 2.什么叫算术平方根？
如何用符号表示数a(≥0)的算术平方根? 正数有两个平方根，它们互为相反数;
负数没有平方根； 0的平方根是0 。 3.正数有几个平方根?它们之间的关系是什么?
负数有没有平方根?0的平方根是什么?1.什么叫平方根？
如何用符号表示数a(≥0)的平方根? 知识回顾 1、要做一个体积为216cm3的正方体盒子，它的棱长应取多少cm？你是怎么想的？ 思考：上面的问题，实质就是一个数的立方等于216，我们知道63=216，所以正方体的棱长为6cm3。问题引入1.立方根定：
一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。用式子表示，如果X3 =a，那么X叫做a的立方根。2.开立方
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
根指数被开方数3新知讲授例 求下列各数的立方根
（1） 64； （2） －64； （3） ；
（4） －0.064；（5）0 (6) 1 (8)-1解：（1）∵ 43＝64
∴ 64的立方根是4，即其余题目同桌互助完成根指数不能少！典例分析你们发现了什么？ 1、一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 2、如果两个数互为相反数（或者倒数），则它们的立方根仍互为相反数（或者倒数）。即每一个数a都只有一个立方根，记为：2-22新知归纳 x√√xxx课堂练习2.填空： (2) ( )3-5-5课堂
练习-1、1、001、0新
知
拓展 1、分别求下列各式的值： 2、你能求出下列各式中的未知数x吗？
（1） x3＝343
（2）（x－1）3＝125新
知
应用n次方根的定义如果一个数的n（n是大于1的整数）次方等于a，那么这个数就叫做a的n次方根。拓展延伸1、讨论:你能归纳出平方根和立方根的异同点吗?
2、请从他们的定义、性质和求法这三个方面加以归纳知识归纳1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。a的平方根用
±2、平方根的性质
（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数
（2）0的平方根还是0
（3）负数没有平方根3、平方根的求法：
如求4的平方根：∵ (±2)2 = 4
∴4的平方根是±2 1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根。a的立方根用 表示2、立方根的性质
（1）正数的立方根还是正数
（2）0的立方根还是0
（3）负数的立方根还是负数3、立方根的求法：
如求8的立方根：
∵ 23 = 8
∴8的立方根是2 知识归纳－8规律：对于任何数a都有2-2-34规律：对于任何数a都有 0 8 27 -27 0 5知识升华相同点:
①0的平方根、立方根都有一个是0
②平方根、立方根都是开方的结果。
不同点：
①定义不同
②个数不同
③表示方法不同
④被开方数的取值范围不同1.立方根的定义,性质(唯一性，同号性),计算.2.立方根与平方根的异同课堂总结1.求下列各数的平方根和算术平方根.2.求下列各数的立方根.3.求下列各式的值.课堂作业4.填表：（1）由此你发现了什么规律？用语言叙述这个规律为________
（2）根据你发现的规律填空：
0.010.11101000课件19张PPT。12.1幂的运算3.积的乘方2、回忆：
（1）同底数幂乘法法则并用字母表示。 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。字母表示：am·an=am+n ( m、n都是正整数)109x10 1、计算:
102×103× 104 = (x5 )2=知识回顾（2）幂的乘方法则 并用字母表示。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
字母表示：(am)n=amn(m,n都是正整数）1、 引例：
已知一个正方体的棱长为2×103 cm ，你能计算出它的体积是多少吗？ V=(2×103)3 (cm3)新课引入你知道结果
是多少吗？ 2、计算:
(3×4)2与32 × 42，你会发现什么？填空:122 144 9×16144 =∵ (3×4)2= = 32 ×42= = ∴ (3×4)2 32 × 42结论:(3×4)2与32 × 42相等探索发现3、类比与猜想:
(ab)3与a3b3 是什么关系呢？（ab)3=(ab)·(ab)·(ab)=(aaa) ·(bbb)= a3b3 探索发现 (ab)n=anbn (n为正整数) =anbn证明：积的乘方(ab)n =?猜想结论： 因此可得：(ab)n=anbn (n为正整数) 问题思考推广：1.三个或三个以上的积的乘方等于什么？(abc)n = anbncn （n为正整数）(ab)n = anbn （n为正整数）2.积的乘方运算法则逆用anbn = (ab)n （n为正整数）积的乘方的运算法则： 积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 新知归纳(1) (-2a)2 (2) (-5ab)3
(3) (xy2)2 (4) (-2xy3z2)4 解：(1)原式= (2)原式= (3)原式= (4)原式== 4a2=-125a3b3 =x2y4=16x4y12z8(-2)2a2(-5)3a3b3x2(y2)2(-2)4x4(y3)4(z2)4典例讲授 计算：
2(x3)2 · x3－(3x3)3＋(5x)2 ·x7解：原式=2x6 · x3－27x9+25x2 ·x7 注意：运算顺序是先乘方，再乘除， 最后算加减。=2x9－27x9+25x9=0典例分析(1)（ab2)3=ab6 ( ) ×××(2) (3xy)3=9x3y3 ( ) ×(3) (-2a2)2=-4a4 ( )(4) -(-ab2)2=a2b4 ( )判断 √随堂练习(1) (ab)8 (2) (2m)3 (3) (-xy)5 (4) (5ab2)3 (5) (2×102)2 (6) (-3×103)3计算 解：(1)原式=a8·b8(2)原式= 23 ·m3=8m3(3)原式=(-x)5 ·y5=-x5y5
(4)原式=53 ·a3 ·(b2)3=125 a3 b6(5)原式=22 ×(102)2=4 ×104(6)原式=(-3)3 ×(103)3=-27 ×109=-2.7 ×1010
随堂练习(0.04)2004×[(-5)2004]2=?=(0.22)2004 × 54008=(0.2)4008 × 54008=(0.2 ×5)4008=14008解法一： (0.04)2004×[(-5)2004]2=1思考：如何计算简便？能力提高=(0.04)2004 × [(-5)2]2004=(0.04×25)2004=12004=1= (0.04)2004 ×(25)2004 解法二： (0.04)2004×[(-5)2004]2(1)（-2x2y3)3 (2) (-3a3b2c)4 解：(1)原式=(-2)3 ·(x2)3 ·(y3)3(2)原式=(-3)4 ·(a3)4 ·(b2)4 · c4
=-8x6y9= 81 a12b8c4课堂练习如果（an?bm?b)3=a9b15,求m, n的值? （an）3?（bm）3?b3=a9b15 ? a 3n ?b 3m?b3=a9b15 ? a 3n ?b 3m+3=a9b15? 3n=9 3m+3=15?n=3,m=4.课堂练习 计算：
2(x3)2 · x3－(3x3)3＋(5x)2 ·x7解：原式=2x6 · x3－27x9+25x2 ·x7 注意：运算顺序是先乘方，再乘除， 最后算加减。=2x9－27x9+25x9=0课堂练习1、本节课的主要内容：积的乘方
am·an=am+n (am)n=amn
(ab)n=anbn ( m、n都是正整数)2、 运用积的乘方法则时要注意什么？ 公式中的a、b代表任何代数式；每一个因式 都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆向运用。（混合运算要注意运算顺序）幂的运算的三条重要性质：课堂小结1、填空：
2、选择： 可以写成_____
A、 B、 C、 D、
3、填空：如果 ，那么
4、计算：?课后作业课后作业 12.1.幂的乘方
3 .积的乘方
教学目标：
知识与技能：
1.会进行积的乘方运算，进而会进行混合运算。
2.理解积的乘方的运算法则，进一步体会幂的意义。
过程与方法：
1.经历探索积的乘方运算法则的过程。
2.明确积的乘方是通过乘方的意义和乘法的交换律以及同底数幂的运算法则推导而得来的。
情感态度与价值观：
1.发展推理能力和语言、符号表达能力。
2.进一步体会学习数学的兴趣，提高学习数学的信心，感受数学的简洁美．
教学重点：
积的乘方运算法则及其应用。
教学难点：
幂的运算法则的灵活运用。
教学方法
自学─引导相结合的方法。
教学过程：
一、回顾思考
口述同底数幂的运算法则。
口述幂的乘方运算法则。
二、创设情境
[师]还是就上节课开课提出的问题：若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？
[生]它的体积应是V=（1.1×103）3cm3．
[师]这个结果是幂的乘方形式吗？
[生]不是，底数是1.1和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理。
[师]你分析得很有道理，积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？有前两节课的探究经验，老师想请同学们自己探索，发现其中的奥秒。
三、探索发现
做一做：（1）=(ab)·(ab)=(aa)·(bb)=
(2) = = =
(3) = = =
提出问题：
（1）同学们通过上述这几道题的计算 、观察一下，你能得到什么规律？
（2）如果设n为正整数，将上述的指数改成n即：,其结果是什么呢？
教师活动：提出问题，引导，启发。
学生活动：计算、观察、讨论、回答。
教学方法与媒体：学生自主探索，讨论交流。
点评：积的乘方是幂的第三个运算法则，也是整式乘法的基础，在内空处理上仍然先通过数字的指数为例让学生计算，而后引导学生自主探索，讨论交流，归纳出一般指数情形的性质，即，概括出：
（ab）n ＝ a nbn （n为正整数）ab）n＝＝?＝ a nbn 有 （ab）n ＝ a nbn （n为正整数）
尽可能地让学生主动建构，获得新知，通过脑筋，动口，动手提高自我总结能力。教学时引导教学关注每一步的根据。
三、例题分析
（1）（2b）3； （2）（2×a3）2
（3）（－a）3； （4）（－3x）4
解：（1）（2b）3＝23b3＝8b3；
（2）（2×a3）2＝22×（a3）2＝4×a6
（3）（－a）3＝（－1）3?a3＝－a3
（4）（－3x）4＝（－3）4 ? x4＝81 x4
教师活动：组织、讲例、提问
学生要求：口答、板演。
教学方法：讲议结合，讨论交流。
思路点拨：讲例时，可要求学生口答，要迅速准确。可提问学生每一步运算过程的依据，同时，防止可能发生的错误。
随堂练习
（1）（2a）3=23·a3=8a3．
（2）（-5b）3=（-5）3·b3=-125b3．
（3）（xy2）2=x2·（y2）2=x2·y2×2=x2·y4=x2y4．
（4）（-2x3）4=（-2）4·（x3）4=16·x3×4=16x12．
教师活动：巡视、关注中等水平学生和中下水平学生。
点评：对学生的练习，一定要把好过程关，对过程中的每一个依据都必须认识清楚，明确意义。注意正确处理符号问题，对判断题应组织学生讨论，甚至争，弄清是非。
巩固提高
1、计算
(ab)8 (2) (2m)3 (3) (-xy)5
(4) (5ab2)3 (5) (2×102)2 (6) (-3×103)3
（7）(-3a3b2c)4
2、如果（an?bm?b)3=a9b15,求m, n的值。
六、课堂小结
本节课的主要内容：积的乘方
幂的运算的三条重要性质
am·an=am+n (am)n=amn）
(ab)n=anbn ( m、n都是正整数)
2、运用积的乘方法则时要注意什么？
公式中的a、b代表任何代数式；每一个因式 都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆向运用。（混合运算要注意运算顺序）
七、课后作业
课件15张PPT。12.1幂的运算4.同底数幂的除法1、同底数幂的乘法：am · an=am+n
(m、n都是正整数）
即：同底幂相乘，底数不变，指数相加。2、幂的乘方：（am）n=amn(m、n都是正整数）
即：幂的乘方，底数不变，指数相乘。3、积的乘方：（ab）n=anbn(n是正整数）
即：积的乘方，等于积中各个因式分别乘方的积。知识回顾
在上节课我们计算过地球和太阳的体
积，如果地球的体积大约是
太阳的体积大约为 。请问太阳的体积是地球体积的多少倍？
问题引入
根据除法的意义填空，看看计算结果有什么规律:
55÷53=5( );
107÷105=10( );
a6÷a3=a( ).5-37-56-3新知探究再利用am÷an=am-n计算，发现了什么？
同底数幂的除法法则： am÷ an=am-n (a≠0，m、n都是正整数， ）
即同底数幂相除，底数不变，指数相减.
如果 用同底幂的除法性质:
23 ÷23=23-3=20
我们知道:
23 ÷23=8 ÷8=1
这里:20应该等于 1且m>n新知归纳规定a0=1 (a≠0).即任何不等于0的数的0次幂都等于1a0=1 (a≠0).即任何不等于0的数的0次幂都等于1规定am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数，并且m>n).例1 计算:
（1）x8÷x2 ； （2） a4 ÷a ；
（3）(ab) 5÷(ab)2；（4）（-a）7÷（-a）5
（5） (-b) 5÷(-b)2解: (1) x8 ÷x2=x 8-2=x6.
(2)a4 ÷a =a 4-1=a3.
(3) (ab) 5÷(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3.
（4）(-a)7÷(-a)5=(-a)7-5=(-a)2=a2
(5)(-b)5÷(-b)2=(-b)5-2=(-b)3=-b3例题讲解1.填空:
(1)a5?( )=a7; (2) m3?( ) =m8;
(3) x3?x5?( ) =x12 ; (4) (-6)3( ) = (-6)5.
2.计算:
(1) x7÷x5; (2) m8÷m8;
(3) (-a)10÷(-a)7; (4) (xy)5÷(xy)3.
3.下面的计算对不对?如果不对,应当怎样改正?
x6÷x2=x3; (2) 64÷64=6;
(3)a3÷a=a3; (4)(-c)4÷(-c)2=-c2.a2m5x4(-6)2x21-a3x2y2x41a2(-c)2=c2课堂练习（1）311÷ 27； （2）516 ÷ 125.
（3）(m-n)5÷(n-m)；
（4）(a-b)8 ÷(b-a) ÷(b-a).
=-(m-n)4
=(a-b)6
=38=513=311 ÷33解：311÷ 27解：(m-n)5÷(n-m)=(m-n)5 ÷【 (-1)(m-n) 】解：原式=(b-a)8 ÷(b-a) ÷(b-a).知识延伸已知:xa=4，xb=9，求(1)x a-b；(2)x 3a-2bam÷an=am-n则am-n=am÷an这种思维叫做逆向思维！解(1)xa-b=xa÷xb=4÷9=(2)x3a-2b=x3a÷x2b=(xa)3÷(xb)2
=43÷92
=思维拓展(1)如果x2m-1 ÷ x2 =xm+1，求m的值.
(2)若10m=16，10n=20，求10m-n的值.解：∵ x2m-1 ÷ x2 =xm+1 ，解：∵ 10m =16，10n=20，
∴ 10m-n =
10m ÷ 10n =16 ÷20=0.8∴2m-1-2=m+1，解得：m=4.拓展练习3. 如果x2m-1 ÷ x2 =xm+1，求m的值.
4. 若10m=16，10n=20，求10m-n的值. 解：∵ x2m-1 ÷ x2 =xm+1 ，
∴2m-1-2=m+1，
解得：m=4.
解：∵ 10m =16，10n=20，
∴ 10m-n =10m ÷ 10n =16 ÷ 20=0.8谈谈你今天这节课的收获
同底数幂相除法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
a0=1(a≠0)
即am÷an=am－n（a≠0，m，n都是正整数，且m＞n）课堂小结1、计算
课后作业2、若10m=20，10n= ，求9m÷32n 的值。 12.1幂的运算
4.同底数幂的除法
教学目标：
1、使学生经历同底数幂的除法性质的探索过程。
1、使学生掌握同底数幂的除法性质，会用同底数幂除法法则进行计算。
重点难点：
1、难点：同底数幂除法法则及应用
2、重点：同底数幂的除法法则的概括。
教学过程：
一、知识回顾
1、同底数幂的乘法：am · an=am+n(m、n都是正整数）
即：同底幂相乘，底数不变，指数相加。
2、幂的乘方：（am）n=amn(m、n都是正整数）
即：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3、积的乘方：（ab）n=anbn(n是正整数）
即：积的乘方，等于积中各个因式分别乘方的积。
问题引入
问题：在上节课我们计算过地球和太阳的体
积，如果地球的体积大约是9.05*1011 千米3 太阳的体积大约为9.05*1017千米3请问太阳的体积是地球体积的多少倍？
三、新知探索
1、试一试
用你熟悉的方法计算：
（1）___________；（2）___________；（3）___________（a≠0）
2、概 括
由上面的计算，我们发现:
23= ; 104= ; .
在学生讨论、计算的基础上，教师可提问，你能发现什么？
由学生回答，教师板书，发现
23=25-2
104=107-3;
a4=a7-3.
你能根据除法的意义来说明这些运算结果是怎么得到的吗？
3.分组讨论：
各组选出一个代表来回答问题，师生达成共知识，除法与乘法是逆运算，所以除法的问题实际上“已知乘积和一个乘数，去求另一个乘数”的问题，于是上面的问题可以转化为乘法问题加以解决。
即（ ）×= （ ）×= （ ）×=
一般地，设m、n为正整数，m>n，a≠0，有.
这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减。
4、利用除法的意义来说明这个法则的道理。（让学生仿照问题3的解决过程，讲清道理，并请几位同学业回答问题，教师加以评析）
因为除法是乘法的逆运算，am÷an=am-n实际上是要求一个式子（ ），使 an·（ ）= am
而由同底数幂的乘法法则，可知 an·am-n＝an+(m-n) =am,
所以要求的式（ ），即商为am-n，从而有.
四、例题讲解
例1 计算：
a8÷a3; （2）(-a)10÷(-a) 3; （3）(2a)7÷(2a)4; （4）x6÷x
例2 计算：（1） (2)(-x)6 ÷x2 (3)（a+b）4÷(a+b)2
例3 计算： (-a2)4÷(a3)2×a4
计算：（1）273×92÷312 （2）
说明 底数不同的情况下不能运用同底数幂的除法法则计算。
练习1：计算: x8÷x4 = ， b5÷b5 = 6y3÷y3 = (-x)4÷(-x) =
(ab)6÷(ab)2= ， yn+2÷yn = ， (m3)4 ÷(m2)3 = ，
252÷52 = ， y9 ÷(y7 ÷y3) =
练习2：选择题
下面运算正确的是( )
A． B． C． D．
2．在下列计算中，① ② ③
④正确的有（ ）个。
A、1 B、2 C、3 D、4
五、思维拓展
（1）已知xm=64.xn=8，求xm-n （2）已知 ， ，求
六、本课小结
运用同底数幂的除法性质时应注意以下问题：
（1）运用法则的关键是看底数是否相同，而指数相减的是指被除式的指数减去除式的指数；
（2）因为零不能作除数，所以底数a≠0，这是此性质成立的前提条件；
（3）注意指数“1”的情况，如 ，不能把 的指数当做0；
（4）多个同底数幂相除时，应按顺序计算。
七、课后作业：
1、计算
2、若10m=20，10n= ，求9m÷32n 的值。
课件20张PPT。12.2整式的乘法1.单项式与单项式相乘（1）什么是单项式？ （2）什么叫单项式的系数？ （3）什么叫单项式的次数？ 数或字母的积,这样的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有 字母的指数的叫做这个单项式的次数。知识回顾你知道这是什么吗？ab=ba你能说出结果吗？x2 x1=x3 这是前面才学过的同底数幂的乘法及积的乘方.知识回顾光的速度约为３×１０５千米／秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是５ ×１０２秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？地球与太阳的距离约是
(3×10５) ×(5×10２)千米． ＝（3 × 5） ×（105 × 102）
＝ 15 ×10７
＝1.5 ×108（千米）问题引入怎样计算2ac5?3bc2这个式子？2ac5?3bc2是两个单项式2ac5与3bc2相乘，我们可以利用乘法交换律，结合律及同底数幂的运算性质来计算：
2ac5?3bc2 = ( 2×3) ? a ?b?(c5?c2) = 6abc5+2=6abc7.新知探究通过以上的计算，谁能告诉大家怎样进行单项式乘法运算?（1）系数相乘（2）相同字母的幂相乘（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。讨论交流单项式乘以单项式法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式中含有的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。新知归纳解：原式=把系数相乘把相同字母的幂分别相乘做积的因式例题讲解把系数相乘作为积的因式解：原式=例题讲解解：原式科学记数法表示的数也是单项式科学记数法是有规定的。可以了吗？例题讲解结论一定要化简下面的计算对不 对？如果不对，怎样改正？正确课堂练习计算以下各题：（1）6x2·3xy （2）（2ab2）·（ －3ab ） （3）（mn）2 ·（－m2n） （4） (-5amb) · (-2b2) （5）（4×106）（8×102） 课堂练习(－5a2b)· (－3a) · (－2ab2c)(1) (-3ab)· (-a2c)· 6ab2＝18a4b3c(2) (2ab2)2 · (-3a2) + a3b· 2ab3＝-10a4b4知识拓展若 求 的值。 知识拓展如果a·a可以看做是边长为a的正方形的面积，那么你会说明3a·2b, 5a·b·3a的几何意义吗？新知拓展aaa·a的几何意义：a·a可以看作边长是a的正方形的面积单项式相乘的几何意义如果a·a可以看做是边长为a的正方形的面积，那么你会说明3a·2b, 5a·b· 3a的几何意义吗？新知拓展3a·2b新知拓展5a·b·3a5a·b·3a的几何意义： 5a·b·3a可以看作长是5a ，宽是b，高是3a的长方体的体积.新知拓展课堂小结 你能归纳出单项式乘以单项式的运算法则吗？法则实际上分为三点：
（1）系数相乘—有理数的乘法；
（2）相同字母相乘—同底数幂的乘法；
（3）只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积得一个因式，不能丢掉这个因式。2、(-xya) · nx2y2= 6x3y4 则 n = __,a = _-62课后作业12.2整式的乘法
1.单项式与单项式相乘
一、教学目标:
1．探索单项式乘法法则的过程，并理解单项式乘法法则。
2．会利用法则进行单项式的乘法运算。
3．培养学生思考能力和语言表达能力。
4. 体验探求数学问题的过程，体验转化的思想方法，获得成功的体验。
二、教学重点：
单项式乘法法则及其应用。
三、教学难点：
理解运算法则及其探索过程。
四、教学过程：
（一）、复习巩固
（1）同底数幂相乘，底数______，指数_____。 （m,n是正整数）
（2）幂的乘方，底数______，指数______。 （m,n是正整数）
（3）积的乘方等于____________________。 (n是正整数)
（4）运用幂的运算性质计算下列各题：
1.(－a5)5 2 . (－a2b)3 3. (－2a)2(－3a2)3 4.(－y n)2 y n-1
（二）、问题引入
光的速度约为３×１０５千米／秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是５ ×１０２秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？
（三）、新知探究
根据题目意思，可以列出算式为：
地球与太阳的距离约是： (3×10５) ×(5×10２)千米
思考：该式的结果等于多少呢?（运用交换律和结合律）
(3×10５) ×(5×10２)= × =
根据科学记数法的要求，结果应该改写成 。
思考：
(1)怎样计算(3×10５) ×(5×10２)计算过程中用到哪些运算律及运算性质
(2)如果将上式的数学改为字母，比如，怎么计算这个式子？
1、让学生通过以上问题，进行小组讨论。
2、让学生分别解决以上问题。
3、写出解题过程。
4、练习：3a2b2ab3，(xyz)y2z （学生自我思考后，小组内交流．）（教师黑板演算）
教师补充问题
问题1：题目中出现的3×105 5×102 3mx，2x是我们学过的什么样的代数式？学生回答：（单项式）
5、试一试：你能从这里总结出怎样进行单项式乘以单项式的步骤是什么吗？
（1）系数相乘：（注意符号）（2）相同字母的幂相乘（3）只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。
6、请同学们继续计算
(1) (-5a2b)(-3a); (2) (2x)3(-5xy2). (3)x2y3·4x3y2
（知识加深，综合运用，学生演板尝试，教师讲评。）
五、课堂练习
1、下面的计算是否正确，如果错误，请改正。
（1）3a3·4a4=7a7 （ ） （2）－2x4·3x2=6x6（ ）
（3）2b3·4b3=8b3 ( ) （4）－4x2y3·5xy2z=－20x3y5( )
2 、计算
①(－2a2b)·(－a2b2)·bc
②(－2xy)2·(－)·6(xy2)2
六、课堂小结
1、小结：这节课我们学习了那些内容？
2、法则实际上分为三点：
（1）系数相乘—有理数的乘法；
（2）相同字母相乘—同底数幂的乘法；
（3）只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积得一个因式，不能丢掉这个因式。
七、板书设计
12.2整式的乘法
单项式与单项式相乘法则：
（1）系数相乘：（注意符号）；
（2）相同字母的幂相乘；
（3）只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。
课件13张PPT。12.2整式的乘法3.多项式与多项式相乘 ② 再把所得的积相加1、如何进行单项式与多项式乘法的运算？① 将单项式分别乘以多项式的各项2、进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么? ① 不能漏乘: 即单项式要乘遍多项式的每一项② 去括号时注意符号的确定.知识回顾某地区在退耕还林期间，有一块原长为m米，宽为a米的长方形林区增长了n米，加宽了b米，请你表示这块林区现在的面积。创设情景你能用不同的形式表示所拼图的面积吗？这块林区现在长为（m+n）米，宽为（a+b）米a+bm+n图 1由图1,可得总面积为 (a+b)(m+n); 由图2,可得总面积为 a(m+n)+b(m+n)或 m(a+b)+n(a+b) 或 或am+an+bm+bn. 新
知
探
索 由于(m+n)(a+b)和(ma+mb+na+nb)表示同一块地的面积，故有：(m+n)(a+b)=ma+ mb+ na+ nb你能运用所学的知识说明此等式成立的道理吗？实际上，把(m+n)看成一个整体，有：= ma+mb+na+nb(m+n)(a+b)= (m+n)a+(m+n)b 自主探究(m+n)(a+b)=ma1234+mb+na+nb多项式乘以多项式的法则新知归纳 例： 计算：(1)(x+2)(x?3) (2)(3x -1)(2x+1)?3x+ 2x=x2 - x - 6 - 2×3（2） (3x -1)(2x+1)=3x?2x+3x? 1-1?2 x?1=6x2+ 3x-2 x?1=6x2 + x ? 1所得积的符号由这
两项的符号来确定：负负得正
一正一负得负。 最后的结果要合并同类项. 例题讲授计算：(1)(x?3y)(x+7y) (2)(2x + 5y)(3x?2y)+7xy? 3yx-= x2 + 4xy - 21y2 21y2（2） (2x +5 y)(3x?2y)== x22x?3x ?2x? 2y +5 y? 3x ?5y?2y=6x2?4xy+ 15xy?10y2=6x2 +11xy?10y2跟踪训练 例：如果(x2+bx+8)(x2 – 3x+c)的乘积中不含x2和x3的项，求b、c的值。解：原式= x4 – 3x3 + c x2 +bx3
– 3bx2 +bcx+8 x2– 24x+8cX2项系数为：c –3b+8X3项系数为：b – 3= 0= 0∴ b=3 , c=1新知延伸
方法与规律填空：观察上面四个等式，你能发现什么规律？你能根据这个规律解决下面的问题吗？延伸训练5 6注意：
1、必须做到不重复，不遗漏.2、注意确定积中每一项的符号.
3、结果应化为最简式
{合并同类项}． 多项式乘以多项式时需要注意的问题有哪些？学以所思4、对于本节课，你还有什么不明白的问题，请大胆的提出来！多项式乘以多项式的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
注意：
1、必须做到不重复，不遗漏.
2、注意确定积中每一项的符号.
3、结果应化为最简式。
课堂总结 计算：（1）（2）（3）（4m+5n)(4m-5n)(a-3b)(a-3b)课堂作业12.2整式的乘法
多项式与多项式相乘
【教学目标】
知识与技能：经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则；灵活运用多项式乘以多项式的运算法则。
过程与方法：经历探索乘法法则的过程，发展观察、归纳、猜测、验证的能力；体会乘法分配律的作用与转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力。
情感与态度：充分调动学生学习的积极性、主动性及与他人沟通交往的能力。
【教学重点】多项式乘法的运算
【教学难点】探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项”、“符号”的问题。
【教学过程】
知识回顾
教师引导学生复习单项式×多项式运算法则：
整式的乘法实际上就是：单项式×单项式；单项式×多项式
多项式×多项式
创设情景
某地区在退耕还林期间，有一块原长为m米，宽为a米的长方形林区增长了n米，加宽了b米，请你表示这块林区现在的面积。
三、新知探索
思考探索：
如图，计算此长方形的面积有几种方法？如何计算？小组讨论，你从计算中发现了什么？
1、这块林区现在的长为 米，宽为 米。因而面积为________米2。还可以把这块林地分为四小块，它们的面积分别为 米2， 米2，_______米2， 米2。故这块地的面积为 。
由于这两个算式表示的都是同一块地的面积，则有 =
如果把（m+n）看作一个整体，你还能用别的方法得到这个等式吗？
3、根据乘法分配律，我们也能得到下面等式：
（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb
3、在学生发言的基础上，教师总结多项式与多项式的乘法法则并板书法则。
让学生体会法则的理论依据：乘法对加法的分配律。
概括：多项式乘以多项式的法则：
多项式乘以多项式先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
四、例题巩固
1、计算
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
课堂点评：
根据学生的具体情况，教师可选择其中几题，分析并板书示范，其余几题，可由学生独立完成。在讲解、练习过程中，提醒学生法则的灵活、正确应用，注意符号，不要漏乘。
注意：一定要用第一个多项式的每一项依次去乘第二个多项式的每一项，在计算时要注意多项式中每个单项式的符号。
五、新知应用
1、某零件如图所示，求图中阴影部分的面积S。
解方程
六、课堂总结
总结本节课的知识点：多项式×多项式法则
用一个多项式中的每一项乘遍另一个多项式的每一项，不要漏乘。在没有合并同类项之前，两个多项式相乘展开后的项数应是这两个多项式项数之积。
七、课后作业
1、填空题：
（1）= =
（2）= 。
2、计算：
（1） （2）
（3） (4)
（5） （6）
课件17张PPT。12.3乘法公式1.两数和乘以这两数的差2．计算：（1）（a+b)（a-b)
(2)(x＋3)(x－3)；
(3)(a＋3b)(a－3b)；1．多项式乘以多项式的法则： 用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，并把乘得的积相加。知识回顾(a+b)(a-b) = a2-b2
(a+b)(a-b)= a2-ab+ab-b2-ab+ab= a2-b2a2b2新知探索用多项式乘法法则进行计算a2-b2(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)=a2-b2几何验证这叫平方差公式(a+b)(a?b)=a2?b2两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.大家议一议，平方差公
式有什么 特点？新知归纳
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2相反为b 相同为a 适当交换合理加括号平方差公式相同项的平方减去相反项的平方概括总结（2）等式右边是这两个数(字母)的平方差.平方差公式的特征： （1）等式左边是两个数(字母)的和乘以这两个数(字母)的差注：必须符合平方差公式特征的代数式才能用平方差公式公式中的字母的意义很广泛,还可以代表常数,单项式或多项式 从多项式的项来看：公式的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数；公式的右边是乘式中两项的平方差，且是完全相同的项的平方减去互为相反数的一项的平方；(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)aba2-b21x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-12 0.3x1( 0.3x)2-12(a-b)(a+b)找一找 填一填
( )( )
判断下列各式是否正确，并说明理由( )( )课堂训练(a + b ) ( a – b ) = a2 - b2例： 用平方差公式计算（x+2y)(x-2y)解：原式＝ x2 - (2y)2＝x2 - 4y21、先把要计算的式子与公式对照, 2、哪个是 a(相同项)
哪个是 b(相反项).相同项的平方减去相反项的平方例题讲解3、 (8＋ab)(－8＋ab)
4、(－m＋n)(－m－n)2、(x－2y)(x＋2y)1、 (5＋6x)(5－6x) 跟踪训练1、街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统 一规 划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？解新知应用例 计算 1998200219982002 =（2000-2）（2000+2）=4000000-4=3999996解：新知延伸⑴ 102×98=⑶ 59.8×60.2=⑷ 5678×5680－56792=(100＋2)(100－2)=9996拓展练习1.计算下列各组算式,并观察它们的共同特点： 2.从以上的过程中，你发现了什么规律？3.请用字母表示这一规律，你能说明它的正确
性吗？观察思考
（1）公式的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数；（2）公式的右边是乘式中两项的平方差，且完全相同的项的平方减去互为相反数的一项的平方；（3）对于形如两数和与这两数差相乘，就可以运用上述公式来计算；1. 平方差公式的内涵：2. 平方差公式的结构特征：在整式的乘法中只有符合公式要求的乘法才能 用公式计算，其余的运算仍按乘法法则进行课堂小结①（x ＋ 2)( x－2）
②（1 ＋ 3a)( 1－3a）
③（m＋ 5n)( m－5n）
④（3y ＋ z)(3y－z）计算下列各题课堂作业（5）1002×998 (转化思想)
（6）(x+y)(x-y)(x2+y2) (灵活运用)
（7）(a+b)2-(a-b)2 (逆向思维训练)
12.3乘法公式
两数和乘以这两数的差
【教学目标】：
知识与技能：
1．学生掌握两数和乘以它们的差公式，会推导两数和乘以它们的差公式，并能运用公式进行简单的计算。
2．了解两数和乘以它们的差公式的几何背景。
过程与方法：
经历探究两数和乘以及两数的差的过程，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式的乘法辩证思想，掌握两数和乘以这两数的差的公式结构特征，并能正确应用。
情感与态度：
形成自主、探究意识，树立良好的学风，体验知识的严密性，发展数感
【教学重点】：
对两数和乘以它们的差公式的理解，掌握两数和乘以它们的差公式的结构特征，熟练运用两数和乘以它们的差公式进行简单计算。
【教学难点】：
理解两数和乘以它们的差公式的几何意义及特点，理解公式中字母的广泛含义，代数推理能力的培养。
【教学过程】：
知识回顾
1、回顾多项式与多项式相乘法则、公式。
新知探索
如图教材图12.3.1，边长为a厘米的大正方形中有一个边长为b厘米的小正方形，请表示出图中阴影部分面积：
图一的面积为：
图二的面积为:
从上式中你能发现一些有趣的现象吗？
教师活动：提出问题
（1）(a＋b)(a－b); （2）（x＋3）(x－3)
并思考下列问题：
1、等式左边的两个多项式有什么特点？
2、等式右边的多项式有什么规律？
3、你能用上面的规律直接计算下列各式吗？
（1）(a＋2)(a－2) （2）(3a＋1)(3a－1)
4、你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？
5、你有什么不清楚的问题想问老师吗？
学生活动：解决问题
学生根据教师交给的问题，分组讨论，由小组长做好记录。
学生反馈问题：
每组自告奋勇回答，把解决问题的过程和结果向教师和全班同学汇报。并提出自己小组存在的问题。
学生提出 ：
（1）为什么两数和乘以它们的差公式是对的？
（2）怎样形状的多项式相乘可以用两数和乘以它们的差公式？
三、新知归纳
从多项式的项来看：公式的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数；公式的右边是乘式中两项的平方差，且是完全相同的项的平方减去互为相反数的一项的平方；公式中的字母的意义很广泛,还可以代表常数,单项式或多项式 。
例题巩固
例1 计算
（1）（a＋3）（a－3） （2）（2a＋3b）（2a－3b）
（3）（1＋2c）（1－2c） （4）（－2x－y）（2x－y）
学生独立思考，完成练习
观察：（－2x＋y）（ ），在括号内填入怎样的代数式，才能运用两数和乘以它们的差公式进行计算？由此你想到了什么规律？学生对于第（2）小题提出把（y－2x）中的“－”号提出，变为－（2x－y）,然后运用两数和乘以它们的差公式进行计算的创新思维。要求学生求取解答并继续前进。不只满足于用某种方法求得了问题的解答，而不再进行进一步的思考。对于（2x＋y）(y－2x)，应培养学生的创新精神，思考它解法的多样性。
新知应用
下面各式能不能用两数和乘以它们的差公式进行计算？如果能的话，每一式可以看作是哪两式（或数）的和与差的积？
（1）（－4a－0.1）（4a＋0.1） （2）（2x＋y）(2x－y)
（3）（－a+b）（a+b）
(4)（x－y）（x+y）－（x－2y）（2x＋y）
例2、计算：1998×2002
解：略
例3 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西长要缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？
解：略
六、课堂总结
1、你已经学到了两数和乘以它们的差的哪些知识？?
2、应用公式时要主意什么？
七、课后作业
计算下列各题：
(1) (x+2)(x-2) (2) (1+3a)(1-3a)
(3) (x+5y)(x-5y) (4) (y+3z)(y-3z)
（5）(-m+n)(-m-n) (6) (-2x-5y)(5y-2x)
课件20张PPT。12.3乘法公式2.两数和（差）的平方平方差公式 ( x + 2y )( x – 2y) = ______
(mn – 3)(mn +3)= ______
(– 2x+y)(2x+y)=_ _____x2 –4y2m2n2 –9y2 –4x2多项式的乘法 (a+b)(c+d)=+知识回顾一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米形成四块实验田，以种植不同的新品种。用不同的形式表示实验田的 总面积, 并进行比较. 2a2ababb2创设情景(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;[a+(?b)]2是否可行？？利用两数和的
完全平方公式
推证公式= 2 + 2 + 2 aa(?b)(?b)=a22ab?b2+探究新知几
何
验
证几
何
意义(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 ≠ a2 + b2 几
何
验
证(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ≠ a2 - b2 几
何
意义(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a?b)2 = a2?2ab+b2 a2abb2a2+2ab+b2(a+b)2=结构特征:左边是的平方;二项式两数和 (差)右边是两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.用自己的语言叙述上面的公式语言表述:两数和 的平方等于这两数的平方和加上 这两数乘积的两倍 (差)口诀:
“首平方,尾平方,首尾积的两倍放中央.”(减去) 例：利用完全平方公式计算 (2x?3)2 使用完全平方公式与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确个是 a , 哪个是 b.第一数4x22x的平方,( )2?2x3??2+32=?12x+9 例题解析 说出下列各式中的错误，并加以改正：
(1) (2a?1)2＝2a2?2a+1;
(2) (2a+1)2＝4a2 +1；
(3) (?a?1)2＝?a2?2a?1.解: (1)(2a ?1)2＝ (2a)2 ? 2?2a?1 +1=4a2 ?4a +1(2)(2a+1)2＝ (2a)2+2?2a?1 +1=4a2 + 4a +1
(3)(?a?1)2＝(?a)2?2? ( ?a) ?1 + 1=a2 + 2a + 1 随堂练习 =1002+2×100×３+３2(2)1992 =(200-1)2解:(1) 10３2 =(100+３)2=10000+600+9=2002-2×200×1+12计算：运用完全平方公式计算:(1) 10３2 ; (2)1992=40000-400+1
=39601=10609例
题
解
析DD随堂练习(a＋b)2 = a2＋2ab＋b2(a－b)2 = a2－2ab+b2a2＋b2 = (a＋b)2－2aba2＋b2 = (a－b)2＋2ab(a＋b)2－ (a－b)2 = ４ab(a＋b)2＋ (a－b)2 = 2(a2＋b2 )①②由①得由②得① - ②得① + ②得新知拓展可以用完全平方公式进行计算？1.思考：试一试：计算 ( m ?2n + 3 )2 2.完全平方公式的变形应用：(1) 已知：x +y =3 ; x y =2 求 x2+y2 ； (x ?y)2 的值(2)已知：a ?b =1 ； a2 +b2 =25 求 ab 的值(3)已知：(x +y )2 =9 ; ( x ? y)2= 5 求 xy ; x2+y2 的值拓展应用1. 有一块边长为a米的正方形空地，现准备将这块空地四周均留出b米宽修筑围坝，中间修建喷泉水池．你能计算出喷泉水池的面积吗? aa-2b解:喷泉水池的面积为 新知应用完全平方公式的灵活运用，应掌握公式的简单变形。在解题过程中要正确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不能少乘2。课堂小结课后作业课后作业3、若 a2-12ab + m 是一个完全平方式，求m；2、若 a2- m a+25 是一个完全平方式，求m；1、若 a2+b2 =14 , a+b=6, 求ab；课后作业12.3乘法公式
2.两数和（差）的平方
教学目标：
1．能说出两数和（差）的平方公式的特点，并会用式子表示。
2．能正确地利用两数和（差）的平方公式进行多项式的乘法运算。
3．通过两数和（差）的平方公式的得出，使学生明白数形结合的思想。
教学重点：掌握公式的特点，牢记公式。
教学难点：具体问题具体分析，会用公式进行计算。
教学准备：
边长为a的正方形纸板3张，边长为b的正方形纸板3张，宽为b、长为 a的长方形纸板6张。
教学过程:
一、知识回顾
1.说出平方差公式。
(两数的和乘以这两数的差等于这两个数的平方差。)
2.计算：(x＋a)(x＋b)＝＿＿＿＿＿＿。
二、创设情景
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米形成四块实验田，以种植不同的新品种。用不同的形式表示实验田的 总面积, 并进行比较。
三、新知探究
1.在(x＋a)(x＋b)中，若a＝b，那么上述式子将会成为怎样的式子?计算结果是什么?
(学生回答：变为(x＋a)(x＋a)，计算结果是x2＋2ax＋a2。由此教师指 出可得另一个乘法公式即(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，由引入课题。)
2.这个公式的左边和右边各有什么特点?
(引导学生观察，说出公式左边和右边的特点，并能用语言叙述，教师再加以纠正、完善。)
3.(a＋b)2=a2＋b2对吗?为什么?
(强化学生对公式结构的理解，防止今后出现类似的错误。)
4.你会用(a＋b)2=a2＋2ab＋b2计算(a－b)2。
引导学生将“－b”看作一个数，将(a－b)2化为[a＋(－b)]2=a2＋ 2a×(－b)＋(－b)2=a2－2ab＋b2，并指出这也是一个乘法公式：(a－b)2= a2－2ab＋b2。
5.你能用图形验证：(a＋b)2=a2＋2ab＋b2及(a－b)2=a2－2ab＋b2吗?
在左图中，大正方形的面积是(a＋b)2，它由两个小正方形和两个相等的长方形组成的，两个小正方形的面积分别是a2、b2，长方形的面积是ab，所以有等式(a＋b)2=a2＋2ab＋b2。
在右图中，大正方形的面积是a2，两个小正方形的面积分别是(a－b)2、 b2，两个相等的长方形面积都是(a－b)·b，于是有a2=(a－b)2＋2(a－b)·b＋b2，即(a－b)2=a2－2(a－b)·b－b2=a2－2ab＋b2。
(让学生进一步感受“数形结合”的思想。)
6.比较(a＋b)2=a2＋2ab＋b2及(a－b)2=a2－2ab＋b2这两个公式，它们有什么不同?有什么联系?
(引导学生进一步总结公式的结构特点，公式的左边是两数和(或差)的平方，右边是一个三项式，其中两项是这两个数的平方，另一项是这两个数积的2倍。)
四、举例应用
1、例1 计算
（1）（2a＋3b）2 （2）（2a＋）2
2、练习：说出下列各式中的错误，并加以改正：
(1) (2a?1)2＝2a2?2a+1;
(2) (2a+1)2＝4a2 +1；
(3) (?a?1)2＝?a2?2a?1.
3、例2 计算
（1）（a－b）2 （2）（2x－3y）2
4、练习：
（1）、若 a2+b2 =14 , a+b=6, 求ab值
（2）、若 a2- m a+25 是一个完全平方式，求m；
（3）、若 a2-12ab + m 是一个完全平方式，求m；
5、例3 利用完全平方公式进行计算
（1）1022 （2）1992
6、你会用乘法公式计算吗？
（1）（m＋n）（m－n）（m2－n2） （2）（a＋b＋c）2
先让学生讨论，再解答，交流体会。
7、请你完成下面计算。
（1）912 （2）3012 （3）（x＋2）2－（x－2）2
五、巩固练习
(1)已知：x +y =3 ; x y =2 求 x2+y2 ； (x ?y)2 的值
(2)已知：a ?b =1 ； a2 +b2 =25 求 ab 的值
(3)已知：(x +y )2 =9 ; ( x ? y)2= 5 求 xy ; x2+y2 的值
六、课堂小结
1.这两个公式是多项式乘法的特殊情况，熟记它们的特点。
2.公式中字母可以是数也可以是单项式或多项式。
3.在解决具体问题时，要先考察题目是否符合公式条件，若不符合，需要先进行变形，使变形后的式子符合公式的条件，然后再应用公式计算。
4.要特别注意一些易出现的错误，如：(a±b)2=a2±b2。
课件17张PPT。12.4整式的除法1.单项式除以单项式1. 单项式与单项式相乘,只要将它们的 、
分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则 作为积的一个因式。2. 计算：
（1）（-4xy3) (-2x) =_______;
(2) amb? (-a3b2n) =________. 系数相同字母的幂连同它的指数一起8x2y3-am+3b2n+1知识回顾3.同底数幂相除,底数______,指数_____,
即
4. 不变相减
am-n知识回顾问题引入 （1）计算 ，说说你计算的根据是什么？ （3）你能根据（2）说说单项式除以单项式的运算法则吗？新知探索用你熟悉的方法计算:概 括:(1) 12a5c2÷3a2=_____
(2) -4r4s2 ÷ 4rs2 =______4a3c2-r3 单项式相除,把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。新知探索解：（1）例题分析解：（2）例题分析1、 计算:
(1) 24a3b2÷3ab2 ;
(2) -21a2b3c÷3ab ;
(3) (6xy2)2÷3xy .随堂练习1、计算:
(1) 12(a-b)5÷3(a-b)2 ;
(2) (3y-x)3 ÷(x-3y)2 ;
(3) (2a2)4 ÷(a3)2 .新知拓展解: (1) 12(a-b)5÷3(a-b)2
=(12÷3)(a-b)5-2
=4(a-b)3 (2) (3y-x)3 ÷(x-3y)2
= (3y-x)3 ÷ (3y-x)2
= (3y-x)3-2
= 3y-x新知拓展(3) (2a2)4 ÷(a3)2
=16a8 ÷a6
=16a8-6
=16a2新知拓展 地球的质量约为5.98×1024千克,木星的质量约为1.9×1027千克.问木星的质量约是地球的多少倍（结果保留三个有效数字） ? 分析: 本题只需做一个除法运算：
（1.9×1027）÷（ 5.98×1024）,我们可以先将1.9除以5.98,再将1027除以1024,最后将商相乘.新知应用解: (1.9×1027)÷( 5.98×1024) =(1.9 ÷5.98) ×1027-24≈0.318×103 =318答:木星的质量约是地球的318倍.1、系数相除；2、同底数幂相除；3、只在被除式里的幂不变。课堂小结1.下列计算正确的是( )
x6÷x3=x2 B. z5 ÷z4=z
C. a3 ÷a=a3 D. (-c)4 ÷(-c)2=-c22.计算:
(1)12x4y3 ÷4x3; (2)
课后作业（3） 5(m+n)7 ÷(m+n)5
（4）
（5）
12.4 整式的除法
单项式除以单项式
教学目标
知识与技能：理解单项式除以单项式的算理，发展有条理的思考及表达能力。
过程与方法：经历探索整式除法运算法则的过程，能进行简单的整式除法运算（单项式除以单项式），并且结果都是整式。
情感态度与价值观：培养良好的合作意识，发展数学思维，体会数学的实际价值。
教学重点：掌握整式除法运算法则，并学会简单的整式除法运算。
教学难点：理解和体会单项式除以单项式的法则。
分数的约分或类比除法是乘法的逆运算等。
教学准备：
教师准备：太空图片几张，投影片，投影仪。
学生准备：预习本节课内容。
教学过程：
一、探究新知
1．问题引入（投影显示图片和文字）。
问题：木星的质量约是1.90×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量为地球质量的多少倍吗？
教师活动：操作投影仪，提出问题，引导学生思考。
学生活动：观察幻灯片，相互讨论，然后发表自己的看法。
实际上，木星的质量约为地球质量的（1.90×1024）÷（5.98×1021）倍。
学生讨论：
（1）计算（1.90×1024）÷（5.98×1021），说说你计算的根据是什么？
（2）你能利用（1）中方法计算下列各式吗？
①8x3÷2a ②6x3y÷3xy ③12a3b2x3÷3ab2
注意：8x3÷2a是（8a3）÷（2a）的意思。
（3）你能根据（2）说一说单项式除以单项式的运算法则吗？
教师活动：操作投影仪，提出问题，引导学生思考，并提问部分学生。
学生活动：（1）方法1：利用除法是乘法的逆运算；方法2：利用分数约分求解；
（2）用方法（1），计算12a3b2cx3÷3ab3，实际上就是要求一个单项式，使它与3ab2的乘积等于12a3b2x3．∵4a2x3·3ab2=12a3b2x3，∴12a3b2x3÷3ab2=4a2x3。
上面的商式4a2x3的系数4=12÷3，a的指数2=3－1，b的指数0=2－2，而b0=1，x的指数3=3－0。
2．教师归纳：单项式除以单项式法则：单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
二、例题分析
例1 计算：（1）24a3b2÷3ab2 （2）－21a2b3c÷3ab （3）（6xy2）2÷3xy
学生活动：独立完成例题，然后再与课本相对。
评析：注意b2÷b2=b0=1；字母c只在被除式中出现，结果它仍保留在商中。
三、课堂演练
计算：（1）28x4y2÷4x3y （2）－15a5b3c÷15a4bc2
教师活动：板书“课堂演练”，引导学生练习、巩固概念，要求学生讲出每一步的依据．
学生活动：先完成（1）（2），再上讲台演示，交流
思考：你能用a－b的幂表示下列结果吗？
12（a－b）5÷3（a－b）
学生活动：将a－b看成底数，则有4（a－b）3，上讲台发表看法。
四、新知应用
例2 地球的质量约为5.98×1024千克，木星的质量约为1.9×1027千克，问木星的质量约是地球的多少倍？（结果保留三个有效数字）
思路点拨：这道题应该进行除法运算，因为它列出来的式子是（1.9×1027）÷（5.98×1024），单项式除以单项式的形式，大家可以先把1.9÷5.98，再把1027÷1024，最后把商相乘，结果为318。
五、课堂总结
1．单项式除以单项式法则：
单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
2．单项式除以单项式运算注意问题：
（1）系数相除与同底数的幂相除区别：后者实际是指数相减，而前者是有理数的除法运算。
（2）单项式除以单项式，只考虑整除的情况。
五、布置作业
计算下列各题
（1）－5a4b3c÷10a3b3
（2）－a2x4y3÷（－ axy3）
（3） x3my2n÷（－ x2my2）
（4）[（－34x4y4z）÷（7y4）]÷（－ x3y2）
课件13张PPT。12.4整式的除法2.多项式除以单项式3a3b2c5ac8(a+b)4–3ab2c单项式相除相除；相除；不变；知识回顾单项式相除的法则m(a+b+c)=am+bm+cm =a+b+c(am+bm+cm)÷m=反之,怎样寻找多项式除以单项式的法则？探索新知怎样寻找多项式除以单项式的法则？不妨从最简的多项式除以单项式人手，a+ba+bd ddd d( )d探索新知你找到了多项式除以单项式的规律吗？( ad+bd )÷d=(ad)÷d + (bd)÷d多项式除以单项式法则：
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。探索新知( ad+bd )÷d =逆用同分母的
加法、约分：( ad+bd )÷d=(ad)÷d+ (bd)÷d。上述过程简写为：( ad+bd )÷d=(ad)÷d + (bd)÷d。计算下列各题：
（2）(a2b+3ab)÷a = _________
（3）(xy3–2xy)÷(xy) = _______ab+3by2 –2探索新知例1、计算 =4a2-2a+1 =-6x2y2+4xy-?y 注意：在用多项式的每一项除以单项式时，注意每一项都要带着符号！例题解析例题解析例2 化简：
1、计算：=3x+1=a+b+cabx+2y=[x2+4xy+4y2 –(x2–4y2)]=[4xy+8y2]（1）多项式它除以 ，其商式应是（ ）项式， 商式为mm一共有（ ）项拓展练习先把这个多项式的每一项分别除以单项式，
再把所得的商相加。1、这节课我们具体学习了什么内容？
（1）、多项式除以单项式的法则内容；（2）、有关多项式除法混合运算注意事项。课堂小结正确地把多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题．计算不可丢项，分清“约掉”与“消掉”的区别：“约掉”对乘除法则言，不减项；“消掉”对加减法而言，减项。
（1）计算：④②（6ab－9ac）÷３a课堂作业课堂作业 12.4 整式的除法
2.多项式除以单项式
教学目标
知识与技能：学生通过适当的尝试，获取直接的经验，体验多项式除以单项式的运算规律，并总结出运算法则。
过程与方法：使学生能按步骤进行简单的多项式除以单项式的运算。
情感态度与价值观：培养思维的紧密性和初步解决问题的能力。
教学重点：掌握多项式除以单项式的运算法则。
教学难点：理解和体会多项式除以单项式的法则。
教学准备
教师准备：多媒体课件
学生准备：预习本节课内容
教学过程
一、情境引入(播放视频)
电闪雷鸣
下雨时，常常是“先见闪电，后闻雷鸣”，这是由于光速比声速快的缘故．已知光在空气中的传播速度约为3×１０米/秒，而声音在空气中的传播速度约为3.4×１０米/秒．请计算一下，光速是声速的多少倍?（结果保留两个有效数字）
2、出示课题
3、温故知新
同底数幂的除法法则是
单项式除以单项式法则是什么？
二、探究新知
1、试一试(并说明你的理由）
计算：1、（ax+bx）÷x
2、（ma+mb+mc) ÷m
根据除法的意义，容易探索、计算出结果．以小题（2）为例，（ma＋mb＋mc）÷m就是要求一个多项式，使它与m的积是ma＋mb＋mc．
∵ m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc，
∴ （ma＋mb＋mc）÷m＝a＋b＋c．
2、你能总结多项式除以单项式的法则吗？
教师补充总结：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
例3计算：（1） （9x－15x＋6x）÷３x；
（2） （28abc＋ab－14ab）÷（－7ab）．
解（1） （9x－15x＋6x）÷３x
＝ 9x÷３x－15x÷３x＋6x÷３x
＝ 3x－5x＋2．
（28abc＋ab－14ab）÷（－7ab）
＝ 28abc÷（－7ab）＋ab÷（－7ab）－14ab÷（－7ab）＝ －4abc－1/7b＋2b．
三、课堂练习
1. 计算：
（1） （3ab－2a）÷a；（2） （5ax＋15x）÷5x；
（3） （12mn＋15mn）÷6mn；（4） （x3－2xy）÷（－x）．
2. 计算：（1） （4ab－6abc－2ab5）÷（－２ab）；
（2） xy－1/2xy＋2xy÷1/2xy．
四、拓展训练
1、一个多项式乘3a2b的积为12a3b2+6a2b2-3a4b3-3a2b,求这个多项式？
2、一个多项式除以2x2-2x+3,得商为x+1,余式为2x-5,求这个多项式
五、巩固延伸
观察下列各式
（x2-1) ÷(x-1)=x+1
(x3-1) ÷(x-1)=x2+x+1
(X4-1)÷(x-1)=x3 +x2+x+1
……
1、你能得到一般情况下
（xn-1) ÷(x-1)的结果吗？
2、根据这一结果计算：
1+2+22+……262+263的结果
六、课堂总结
1.对于本节课的学习， 你有哪些体会 ？
七、作业布置
（一）、必做题：
1、计算：（1） （6ab－9ac）÷３a；
（2） （4a－6a＋9a）÷（－2a）
（3） （－4m＋20mn－mn）÷（－4m）；
xy－1/2xy－2xy÷1/2xy．
2、计算：（1） （12pq＋20pqr－6pq）÷（－2pq）；
（2） ［４y（2x－y）－2x（2x－y）］÷（2x－y）．
3. 一颗人造地球卫星的速度是８×１０米/秒，一架喷气式飞机的速度是5×１０米/秒，试问： 这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍?
（二）、选做题
已知5x=18,5y=3,求25x-y的值
12.5因式分解
【知识要点】
1．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算.
2．提公因式法
（1）多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
（2）公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；
②字母：各项都含有的相同字母；
③指数：相同字母的最低次幂.
3．公式法：
（1）常用公式 平 方 差：
完全平方：
常见的两个二项式幂的变号规律：
①；②．（为正整数）
【课前热身】
1．计算下列各式：
（1）= （2）=
（3）= （4）=
2．根据上题填空：
（1）= （2）=
（3）= （4）=
【典型例题】
例1 把下列各式分解因式
（1） （2）
（3） （4）
例2 把下列各式分解因式
（1）= （2）=
（3）= （4）=
例3 把下列各式分解因式
（1）= （2）=
（3）= （4）=
例4 计算
(1)
(2)…
例5 求证：能被整除．
【练 习】 A 组
一、选择题
1．下列各式：①；②；③；④，其中从左至右的变形是因式分解的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．下列各式中，没有公因式的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
3．观察下列各组式子，其中有公因式的是（ ）
①与；②与；③与；
④与
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
4．多项式提公因式后，另一个因式是（ ）
A． B． C． D．
5．下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
6．多项式分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
二、分解因式
1．（且是整数）=
2．=
3．=
4．=
5．=
B 组
一、因式分解:
1． 2．
3．
4．
二、计算:
（1） （2）
（3） （4）
三、解答应用
1．求证：对于任意的正整数一定是10的倍数.
2．大小两个圆，这两个圆的圆心是同一个，它们围成的图形叫做环形，若两个同心圆的半径分别是17.25cm和7.25cm，求它们围成的环形的面积.（取3.14）
四、课后作业
1．已知能被40至50之间的整数整除，则这个数可以是（ ）
A．46 B．47 C．48 D．49
2．分解因式
（1） （2）
（3） （4）
3．解下列方程:
4．计算
5．证明能被整除．
课件18张PPT。12.5因式分解3.完全平方公式现在我们把完全平方公式反过来，可得：两个数的平方和，加上 这两个数的积的两倍，等于这两数和 的平方．完全平方公式：（或减去）（或者差）温故知新两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．探究新知a2 + 2ab + b2 = （ a + b ）2 a2－2ab+b2 =（a－b）2 16x2+40x+25= ( )2+2( )( )+( )2 =( + )2 =( )2- 2( )( )+( )2 =( - )24x4x 4x555nnn填一填下列各式是不是完全平方式判一判（ 5）是不是不是是不是是练一练填上一项，使下列多项式成为完全平方式．填一填请运用完全平方公式把下列各式分解因式：例1例题分析把下列各式因式分解：
（1）
（2）（3）-x2+4xy-4y2试一试例21、(2x+y)2-6(2x+y)+9解:原式=(2x+y)2-2.(2x+y).3+32=[(2x+y)-3]2=(2x+y-3)2分解因式:2、3ax2+6axy+3ay2原式=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）22.下面因式分解对吗？为什么？练一练：1．分解因式：选一选3、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（ ）
A、20 B、-20 C、10 D、-104、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A、6 B、±6 C、3 D、±3 5、把 分解因式得（ ）
A、 B、
C、 D、
6、计算 的结果（ ）
A、 1 B、-1
C、 2 D、-22、我们知道4x2+1不是完全平方式，有没有合适的项，你能给它补成完全平方式吗？1、你能用口算求出20052-4010× 2003+20032的值吗？3、已知x2+y2+6x-4y+13=0.求xy的值；4、多项式:
(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解吗?44x4，±4x-6[（x+y）-（x-y）]2=（2y）2=4y2拓展提高1、是一个二次三项式一、完全平方式具有：2、有两个“项”平方,而且有这两“项”的积的两倍或负两倍3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解首先提取公因式；然后考虑用公式；最后写成连乘式；不能再分才为止。二、因式分解的基本思路课堂小结课后作业课件14张PPT。 12.5因式分解平方差公式整体思想化归思想x2y4-9=(xy2)2-32综合的思想2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2) 是对整式乘法的再认识、逆运用，与整式乘法运算有密切的联系。教 材 分 析 分解因式理解和掌握平方差公式的特点，
会运用平方差公式分解因式 ①培养学生动手操作、探究知识、合作学习的推理能力
②培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维的 能力和数学的应用意识，渗透整体思想 让学生初步树立矛盾的对立统一观点； 让学生在合作学习的过程中体验成功的喜悦和勇于探索的精神；感悟数学美 ⑴知识与技能
⑵过程与方法⑶情感与态度知识目标知识重难点 重点是会运用平方差公式因式分解，培养学生观察、分析问题和探究知识的能力。
难点是准确理解和掌握公式的结构特征。 学生已有七年级所学习的整式运算的基础知识，在前一节课中已经学习了提公因式法分解因式，初步体会到了因式分解与乘法运算的互逆关系，通过对乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的逆向变形，容易得出a2-b2 = (a+b)(a-b),但准确理解和掌握公式的结构特征,进行因式分解是难点,所以应进一步发展学生的观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。学 情 分 析 创设情境来激发学生的学习兴趣，引导学生探究大正方形的角上截取一个小正方形后剩余的面积,在探索过程中培养学生有条理地思考、表达与交流的能力,对学生想到的有效方法都及时给予充分评价，学生通过探究演示讨论得出 a2－b2=(a+b)(a－b)，并领会a,b可以表示什么？学 法 指 导1、创设情境，导入新课
我们来试一试看谁算得快：
6782-3782 852-842
你想知道怎么才能算得快吗？教 学 程 序 活动一 将边长为a的正方形一角减去一个边长为b的小正方形，观察你剪剩下的部分。思考：怎样计算它的面积？情境引入运用平方差公式分解因式问题（1）用语言叙述公式
（2）公式有什么特点
（3）公式中的字母a、b 可以表示什么？活动二 根据你对公式的理解，请举出几个用平方差公式分解因式的例子，并指出多项式中谁相当于公式中的a,谁相当于公式中的b?x2-16=x2-42=(x+4)(x-4) 9m2-4n2=(3m)2-(2n)2=(3m+2n)(3m-2n) a2-b2=(a+b)(a-b) 合作交流
灵活运用（1）25m2=( )2 (2)0.49b2=( )2 (3) c2=( )2 把下列各式分解因式 ：（1）25m2－0.49b2 （2）9（m+n）2－(m－n)2 (3) 2x 3－8x （进一步让学生理解平方差公式中的字母a ,b不仅可以表示数而且可以表示其它代数式；引导学生体会多项式中若含有公因式，就要先提公因式，然后再进一步分解，直至不能再分解为止。）自我检测一、下列多项式可否用平方差公式分解因式，如果可以应分解成什么式子？如果不可以请说明理由。 ①x2+1 ②－x2+y2
③0.9x2－y2 ④－9－16y2
⑤－4(x+y)2+(x－y)2(目标是使学生理解和掌握平方差公式的特点，会运用平方差公式分解因式) 目 标
评 价自我检测二、分解因式 ：4x2-16y2
（目的是关注学生是否能选取适当的方法将一个多项式分解因式，分解到每个多项式因式不能再分解为止，让学生说明每一步的思考的理由）目 标
评 价自我检测三、思考题：
1．248－1可以被60和70之间的两个数整除，请求出这两个数。
2．两个连续偶数的平方差能被4整除吗？请与你的同伴交流。 （目的是让学生体会、理解分解因式的意义，通过类比分解因数与分解因式关注不同层次学生的知识技能的发展）目 标
评 价自我检测课件18张PPT。12.5因式分解1.提公因式想一想： 能被100整除吗？你是怎么想的？看与同学的想法是不是一样？相互交流一下。
知识回顾温故知新因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.探究新知思考观察下列各式的结构有什么特点：⑴ 5×3＋5×(-6)＋5×2 ⑵ 2πR＋2πr⑶ ma＋mb⑷ cx－cy＋cz⑴ 5×3＋5×(-6)＋5×2 ⑵ 2πR＋2πr⑷ cx－cy＋cz公共特点：各式中的各项都含有一个公共的因数或因式⑶ ma＋mb因式分解：把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。解:公因式多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式提公因式法探究发现找出下列各多项式中的公因式公因式系数字母35a6a２b各项系数的最大公约数取每项中含有的相同字母问:多项式中的公因式是如何确定的？指数相同字母的最低次幂找一找8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？系数的最大公约数相同字母公因式4ab一看系数 二看字母 三看指数步骤12a2b3－8a3b2－16ab4最低次幂2练习:找出下列式子的公因式4ab2议一议(1)3x+5x=( )(3+5)(2)3mx-3my =( )(x-y)(3)3xy+xyz=( )(3+z)(4)5a2+5b=( )( )(5)3xy－3xz+3z=( )( )x 3m xy5a2+b3xy—xz+z因式分解:提公因式法课前热身提公因式法的步骤1、找出公因式
2、提取公因式得到另一个因式
3、写成积的形式问:第二个因式可以用什么方法得到?用多项式除以公因式例题讲授提公因式法的步骤找出公因式
提取公因式得到 另一个因式
写成积的形式
←不能漏掉=x(3x-6y+1)★1作为项的系数，在因式分解时不要漏掉。例题分析 提尽勿漏“1”把下列各式因式分解做一做例3:把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式.当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。解：原式==首项负
提负号
要变号1.已知1＋x＋x2＋x3=0.
求x＋x2＋x3＋x4＋……＋x2000的值.解：原式＝x(1＋x＋x2＋x3) ＋x5(1＋x＋x2＋x3) ＋……＋ x1997(1＋x＋x2＋x3)
＝ 0
拓展应用2.试说明:817－279－913能被45整除.解：∵原式＝(34)7－ (33)9－ (32)13
=328－327－326
=326(32－3－1)
=326×5
=324×45
∴817－279－913能被45整除.拓
展
应
用一。公因式的确定方法：二。提公因式法分解因式的步骤：1。取各项系数的最大公约数2。取各项相同字母的最低次幂。1。确定公因式3。用公因式去除多项式的各项得另一个因式4。写成这两个因式的积的形式。一看系数 二看字母 三看指数2。提取公因式(提到不能再提为止)课堂小结三、因式分解与整式乘法的关系：
1、式：m（a+b+c）=ma+mb+mc
是整式乘法
2、式：ma+mb+mc=m（a+b+c）
是因式分解因式分解是整式乘法的逆运算m是公因式课堂小结分解下列各因式课堂作业
