古希腊三大几何问题的解决 教案 (1)

《古希腊三大几何问题的解决》
教学目标：
1、了解三大几何问题以及它们的解决过程。
2、培养自身的创造性思维
3、关注数学的发展进程，提高创新意识
重难点分析：
重点：了解伽罗瓦生平和群论的内容。
难点：理解群的概念
教学准备：多媒体课件
教学过程：
一、导入
2000多年来，古希腊三大尺规作图的几何问题始终围绕着数学家
1、三等分任意角——把一个已知角三等分
2、倍立方——做一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的2倍
3、化圆为方——做一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积
二、新课讲授
1、古希腊三大几何难题的特点
（1）表述很简单，直观
（2）尺规作图要求非常苛刻。
①要用没有刻度的直尺和圆规，不能在直尺上做记号，更不能够折叠做图纸。
②直尺和圆规只能有限次地使用
2、三大几何问题的由来、
古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。问题的妙处在于他们从形式上看非常简单，而实际上却有深刻的内涵。并且这三大几个问题的由来都伴随着一个故事
三等分角：圆和正方形问题很容易使人联想到可否做一个正方形与已知的圆面积相等，这就是化圆为方问题。其实际上是求做一个正方形。使其面积和半径为1的圆面积相等。
倍立方：传说在大约公元前400年，古希腊的雅典流行疫苗，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，必须将他神殿前立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫苗会继续流行。人们百思不得其解。不得不求助当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力，这就是古希腊三大几何问题之一的立方体问题。21世纪教育网版权所有
化圆为方：相传公元前5世纪，按拉克萨歌拉对别人说：“太阳神并非一尊神，而是一个非常大的非常大的大火球”。结果被他的仇人以亵渎神灵的罪名给关在牢里。也许是为了打发无聊的铁窗生活，亦或是为了发泄一下自己的不满情绪，于是他提出了一个数学问题：“怎样做出一个正方形，才能使他的面积与某一个已知的圆的面积相等呢？”
3、数学家们的努力
2000多年来从事几何三大难题的研究颇不乏人。也提出过各种各样的解决办法，例如阿基米德、帕普斯等人都发现过三等分角的好方法，解决立方倍积问题的勃洛特方法等等。可是，所有这些方法，不是不符合尺规作图法，便是近似解答，都不能算作问题的解决。?高斯的发现：21教育网
按尺规作图法作出了正17边形。紧接着高斯又证明了一个尺规作图的重大定理：如果一个奇素数P是费尔马数，那么正P边形就可以用尺规作图法作出，否则不能作出。? 由此可以断定，正3边、5边、17边形都能作出，而正7边、11边、13边形等都不能作出。21cnjy.com
在解析几何和高斯等人已有经验的基础上，人们对尺规作图可能性问题，有了更深入的认识，从而得出结论：尺规作图法所能作出的线段或者点，只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方（指正数开平方，并且取正值）所能作出的线段或者点。
4、巨大的胜利
1837年，23岁的万芝尔以他的睿智和毅力实现了自己的梦想，证明了立方倍积与三等分任意角不可能用尺规作图法解决，宣布了2000多年来，人类征服几何三大难题取得了重大胜利。 21·cn·jy·com
立方倍积问题：假设已知立方体的棱长为1，所求立方体的棱长为x，按立方倍积的要求应有x^3=2的关系。所以立方倍积实际是求作满足方程x^3－2＝0的线段X，但些方程无有理根，但2的立方根超出了有理数加、减、乘、除、开方的运算范围，超出了尺规作图准则中所说的数量范围，所以它是不可能解的问题。?www.21-cn-jy.com
三等分角问题：用类似地想法，他证明了三等分角也是不可能解的问题。实际上万芝尔还证明了一个被称为高斯——万芝尔定理：如果边数N可以写成如下形式N＝2t·P1·P2……Pn，其中P1、P2、…Pn都是各不相同的形如22k＋1的素数，则可用尺规等分圆周N份，且只有当N可以表成这种形式时，才可用尺规等分圆周N份。根据这一定理，任意角的三等分就不可能了。2·1·c·n·j·y
化圆为方问题：
关于化圆为方问题就是探求长x=的线段是否可尺规作图。
1882林德曼证明了π的超越性，它不可能由已知单位长通过有限次的四则运算和开平方得到，因此化圆为方也是不可能通过尺规作图解决的从此，古典几何的三大难题都有了答案。
小结：数学研究并非一定要实用，数学家对每一个未知之谜都要弄个清楚，道个明白，这种执著追求的拗劲正是科学的精神。更为重要的是，对三大难题的研究，反过来促进了数学的发展 。【来源：21·世纪·教育·网】