古希腊三大几何问题的解决 教案 (2)

古希腊三大几何问题的解决
古希腊三大几何问题的解决
授课题目
古希腊三大几何问题的解决
类型
新授课
年级
高二
地点
教室
教学目标
(三维目标)
知识与技能目标：
阐述出古希腊三大几何问题的产生与发展。
知道古希腊三大几何问题解决过程中的思想方法。
过程与方法目标：
? 通过讲解古希腊三大几何问题的解决过程，熟悉数学发展过程中的重要事件、人物、成果；体会数学对人类文明发展的作用.
情感、态度与价值观目标：
? 提高学生学习数学的兴趣，加深对数学的理解，让学生养成数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。
重点难点
教学重点：?学习解决古希腊三大问题过程中，数学家的探索精神及给后人的启示与意义。
教学难点：解决古希腊三大问题的思想方法。
教 法
谈话法
学生学习方式
问题研究式
教 具
三角尺、彩粉笔
教 案
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图
师：位于欧洲南部的希腊，是著名的欧洲古国，几何学的故乡。我们知道，雅典素有民主的传统，所以政治清廉，经济繁荣，学术自由，百家争鸣，创造了灿烂的古代文明。当时出现了许多学派，巧学派就是其中之一。该学派的数学研究中心就是我们今天所要讲解的问题：古希腊三大几何问题。
师：首先我们要知道三大几何问题都是什么？
化圆为方。即求作一个正方形与给定圆面积相等。
三等分角。即把任意角分成三等分份。
倍立方。即求作一个正方体，使其体积是已知正方体体积的两倍。
这些问题的难度在于，作图只能使用直尺和圆规，在数学史上很难找到其他问题能像这三个问题一样，具有经久不衰的魅力。
讲授新课
“化圆为方”的由来
师：公元前5世纪，古希腊哲学家安娜塞格拉斯因为发现太阳是个大火球，而不是阿波罗神，犯有“亵渎罪”而被判了死刑关进了监狱，在等待执行的过程中，他发现牢房的铁窗是正方形的，而窗外的月亮石圆形的，他不断变化观察的位置发现一会儿园比正方形大，一会儿圆比正方形小，他就在想，会不会有一时刻，圆的面积与正方形的面积相等呢？这就是著名的“化圆为方”问题的起源.....
师：2000多年来，从事几何学研究的科学家对“化圆为方”的问题进行了许许多多的尝试，但是均局限于尺规作图，最终都以失败告终，下面我们就亲身体验一下，科学家们都是怎样证实的？
师：我们知道“化圆为方”问题最初是由安娜塞格拉斯提出的，（约公元前480-前411) 安提丰在提出用圆内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆为方.
亚里士多德的《物理学》记载，安蒂丰从圆的内接正方形出发，将边数逐步加倍到正八边形、正十六边形……无限重复这个过程，随着圆面积的逐渐增大，将得到一个边长极微小的圆内接正多边形。安蒂丰认为这个内接正多边形将与圆重合。既然我们能做出一个等于任何已知多边形的正方形，那么实际上我们就能够做出等于一个圆的正方形。这种推理当然没有真正解决化圆为方的问题。但是安蒂丰却无心插柳柳成荫，提出了求圆面积近似值的方法，成为古希腊穷竭法的始祖，为阿基米德计算圆周率奠定了基础。

师：顺着时间的脚步，来到了公元前5世纪下半页（约公元前460-前377)希波克拉底解决了化月牙形为方.下面我们就来看一看，希波克拉底是如何化月牙形为方的。
师：如图所示，设以O为圆心的大圆半径为1，则线段AB的长度是，以AB为直径的小圆面积应为大圆面积的一半。特别的，以AB为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四分之一大圆的面积。由此可知：大圆之外，小圆之内的月牙区域的面积等于的面积。这说明由圆弧围成的区域的面积可以与一个正方形的面积相等。这一结果，朝解决化圆为方的目标迈进了一步。希波克拉底证明了一系列特殊月牙形的化圆为方，但是每次都利用两个圆相减，对于单个圆的化圆为方，最终并为解决。
师：达.芬奇的研究渐渐有了眉目，用已知圆为底，圆半径的１／２为高的圆柱，在平面上滚动一周，所得的矩形，其面积恰为圆的面积，所以所得矩形的面积＝ｒ／２．２πｒ＝πｒ2，然后再将矩形化为等积的正方形即可。
要想求得正方向形的面积，必须将π开方，所以，无解。
师：2000多年来，三大几何问题因其独特的魅力吸引了无数数学家投入其中，百折不挠，虽屡战屡败但仍前仆后继。古希腊人的巧思，阿拉伯人的学时，西方文艺复兴时期大师们的睿智，都曾倾注于此，但最终还是没有解决。其实不是科学家们不够聪明，而是因为当时的条件还不够成熟。就像在锋利的刀也削不到自己的柄一样，一个科学问题，往往需要借助其他科学的知识才能够解决。笛卡尔的解析几何创立之后，尺规作图的可能性才有了准则。这样徐东几何问题就可以转化为代数问题来研究。因为用圆规、直尺作图的每一步都需要找一个支点这个点或者是属于两条直线的，或者是一条直线和一个圆的。由于引进了解析几何，人们认识到，用代数术语说，这样的步骤就意味着同时求解两个线性方程，或一个线性和一个二次方程，或两个二次方程。
到19世纪中叶，由于新的数学工具的应用，德国数学家林德曼证明了的超越性，所谓的超越性就是说不可能是任何整系数代数方程的根，化圆为方问题的不可能性也被证明。
师：伽罗华非常彻底地把全部代数方程可解性问题，转化或归结为置换群及其子群结构分析的问题。

以古希腊神话为背景，引出本节课的内容。
讲解化圆为方问题的来历，吸引学生的学习兴趣。
运用课件让学生们感受到安蒂丰化圆为方的方法。
通过简单的面积公式，让学生们感受希波克拉底研究化圆为方的艰难历程。
通过学生们自己动手计算，感受到达芬奇研究化圆为方时困难。

学生观看多媒体课件，了解古希腊的三大几何问题给人们带来的无尽思考。
学生通过运用圆规直尺，动手感受化圆为方仅限于尺规作图的困难。
学生自主探究希波克拉底研究化圆为方问题的进程。
学生自主探究达芬奇研究化圆为方的进程。
教师整理总结，在当代化圆为方的解决办法。
通过多媒体课件，让同学们身临其境，增加学生们的学习兴趣。
通过试验的方法，让学生们感受安提丰研究问题时的基本进程。
通过试验的方法，让学生们感受希波克拉底研究问题时的基本进程。
通过试验的方法，让学生们感受达尔文研究问题时的基本进程。