集合论进一步的发展和完善 教案 (2)

集合论的进一步发展和完善
教学目标分析：
1、了解无穷集合论的进一步发展和完善的过程。
2、进一步理解集合论的内涵
3、激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度。
重难点分析：
重点：了解集合论的进一步发展和完善的过程
难点：理解集合论完善的过程中的各个科学家的贡献。
教学准备：多媒体课件
教学过程：
集合论中悖论的存在，明确地表示某些地方出了毛病。自从悖论被发现之后，关于这一课题发表了大量的文章，为解决它们作过了大量的尝试。
激进的是以荷兰数学家布劳威尔为代表的直觉主义学派，他们对集合论采取了全盘否定的态度，并认为“实无限”的观念是集合论悖论产生的根源。
还有以罗素为代表的逻辑主义.
特别突出的是以希尔伯特为代表的形式主义数学学派。这方面的代表性成果是公理集合论，它已成为现代数学的一个重要分支。公理集合论采用公理化的方法来刻画集合和集合的运算，并对康托尔集合论中的“概括原则”作了修正。
就数学而论，看来有一条容易的出路：人们只要把集合论建立在公理化的基础上，加以充分限制以排除所知道的矛盾。第一次这样的尝试是策梅罗于1908年做出的。以后还有多人进行加工。但是，此种方式曾受到批评，因为它只是避开了某些悖论，而未能说明这些悖论；此外，它不能保证将来不出现别种悖论。
策梅罗的公理化集合理论中，集合这个概念一直不加定义，而它的性质就由公理反映出来。他不说什么是集合，而只讲从数学上怎样来处理它们，他引进七条公理：决定性公理(外延公理)、初等集合公理(空集公理、单元素公理、对集公理)、分离公理、幂集公理、并集公理、选择公理、无穷公理(稍稍改变一下原来形式)。
受到的批评：
1)、为了讨论集合，我们必须从对象“域”开始，也就是用某种方法构成的域；
2)、策梅罗关于确定的命题要有一个定义使得它精确化；
3)、在所有完全的公理化中，集合论的概念不可避免地是相对的；
4)、策梅罗的公理系统不足以提供通常集合论的基础；
5)、当人们打算证明公理的无矛盾时，谓语句所引起的困难；
6)、对象域B的不唯一性；
7)、数学归纳法对于抽象给出的公理系统的必要性；
8)、选择公理的问题。
兰克尔改进的策梅罗集合论公理系统，再加上选择公理是足够数学发展所需的，但是还需要加一条限制性的公理，即除了满足这些公理的集合之外没有其他的集合。
为排除一个悖论涉及所谓基础集合，为了排除这种集合，冯 诺依曼引进公理9(基础公理).
对改进后的ZF集合论公理系统的批评:
这样施加限制有点不必要地过分严格，使得数学家在论证过程中失掉一些有时有用的论证方式，而这些论证方式似乎是没有恶性循环的。
仍然存在许多问题，例如：不可达基数和序数是不是存在？；连续统假设是否能够证明；公理系统的协调性和独立性，……从三十年代之后，为了解决这些问题，公理集合论掀开了新的一页。
公理系统的最后努力遇到了不完全性定理:
1930年前，整个数学界是非常乐观的：希尔伯特的思想占统治地位；数学是建立在集合论和数理逻辑两块基石之上；康托尔的朴素集合论已被公理集合论所代替，从而消除了悖论；选择公理是一个很好的工具，数学中许多部门都要用到它；连续统假设仍然是悬案，不过希尔伯特多次觉得自己已接近解决这个难题，看来前景是乐观的；大部分数学可以建立在谓词演算的基础上，而一阶谓词演算的公理系统是无矛盾的，尽管其完全性仍有待证明；整个数学的基本理论是自然数的算术和实数理论，它们都已经公理化。这些公理系统应该是无矛盾的、完全的，如果它们能够得证，并且集合论公理系统也能得到同样的结果，那么整个数学就比较牢靠了。
为了不使一小撮直觉主义者指手划脚、评头品足，希尔伯特提出他的计划：把理论系统形式化，然后通过有限多步证明它们没有矛盾。他信心十足，在1930年9月东普鲁士哥尼斯堡的科学会会议上，他批判了不可知论。
1928年希尔伯特提出四个问题：
1)、分析的无矛盾性。1924年阿克曼和1927年冯 诺依曼的工作使希尔伯特相信只要一些纯算术的初等引理即可证明。1930年夏天，哥德尔开始研究这个问题，他不理解希尔伯特为什么要直接证明分析的无矛盾性。哥德尔认为应该把困难分解：用有限主义的算术证明算术的无矛盾性，再用算术的无矛盾性证明分析的无矛盾性，哥德尔由此出发去证明算术的无矛盾性而得出不完全性定理。
2)、更高级数学的无矛盾性，特别是选择公理的无矛盾性。这个问题后来被哥德尔在1938年以相对的方式解决。
3)、算术及分析形式系统的完全性。这个问题在1930年秋天哥尼斯堡的会议上，哥德尔已经提出了一个否定的解决，这个问题的否定成为数理逻辑发展的转折点。
4)、一阶谓词逻辑的完全性。这个问题已被哥德尔在1930年完全解决。
这样一来，哥德尔的工作把希尔伯特的方向扭转，使数理逻辑走上全新的道路。
哥德尔的不完全性定理：这是数理逻辑最重大的成就之一，是数理逻辑发展的一个里程碑和转折点。哥德尔在研究过程中直接考虑悖论及解决悖论的方法，从而把第三次数学危机引导至另外一个方向上。
哥德尔证明不完全性定理是从考虑数学分析的协调性问题开始的。1930年秋在哥尼斯堡会议上，他宣布了第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式系统，如果是协调的，那就是不完全的。不久之后他又宣布：如果初等算术系统是协调的，则协调性在算术系统内不可证明。
哥德尔的证明使用了“算术化”的方法。哥德尔说：“一个系统的公式……从外观上看是原始符号的有穷序列……。不难严格地陈述，哪些原始符号的序列是合适公式，哪些不是；类似地，从形式观点看来，证明也只不过是(具有某种确定性质的)一串公式的有穷序列”。因此，研究一个形式系统实际上就是研究可数个对象的集合。我们给每个对象配上一个数，这种把每一个对象配上一个数的方法称为“哥德尔配数法”。哥德尔通过这些数反过来看原来形式系统的性质。
哥德尔研究了46种函数和谓词，哥德尔证明了他的前45个函数和谓词都是原始递归的。但第46个谓词为“X是一个可证公式的哥德尔数”。在对哥德尔配数的系统中，可以得到一个公式，它相当于：我是不可证的。所以这个句子是不可证的且是真的。所以系统中存在真语句而又不可证，也就是系统不完全。
哥德尔的论文在1931年发表之后，立即引起逻辑学家的莫大兴趣。它开始虽然使人们感到惊异不解，不久即得到广泛承认，并且产生巨大的影响：
哥德尔的证明对希尔伯特原来的计划是一个巨大的打击，因此把整个数学形式化的打算是注定要失败的，因而逻辑主义和形式主义的原则是不能贯彻到底的；“希尔伯特计划”中证明论的有限主义观点必须修正，从而使证明论的要求稍稍放宽。1936年甘岑在容许超穷归纳的条件下证明了算术的无矛盾性，而倡导有限构造主义的直觉主义也不能解决问题；哥德尔的工具递归函数促进了递归函数论的系统研究，同时推动了不可判定问题的研究，开始出现递归论的新分支。
哥德尔不完全定理的证明结束了关于数学基础的争论不休的时期，数学基础的危机不那么突出表现出来。数理逻辑形成了一个带有强技巧性的独立学科，而绝大部分数学家仍然把自己的研究建立在朴素集合论或ZF公理集合论的基础上。
尽管集合论中存在矛盾，但这些矛盾大部分均可回避。研究这些矛盾，特别是集合论的矛盾变成数理逻辑学家的事业。因为矛盾也好、危机也好，根源在于无穷，但是数学中毕竟少不了无穷。归根结蒂，数学终究是研究无穷的科学。
哥德尔第一不完全性定理
哥德尔第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式系统，如果是协调的，那就是不完全的。不久之后他又宣布：如果初等算术系统是协调的，则协调性在算术系统内不可证明。
哥德尔不完备定理，将数学基础研究的哲学意义，揭示得更加明显。哥德尔不完备定理是说：当一个演绎系统是自足的（不矛盾的），总有至少一个或几个前提是在系统内不能证明的。例如，在相对论中，光速C恒定且最大这个前提，就是不能在相对论演绎系统中证明的。
如果我们要证明数学理论的相容性或完备性（这两者被视为数学真理性的要求），必须要依靠该数学理论以外的论据，也就是说我们需要更大的系统来说明理论本身是真的，在此之前，我们还需要更更大的系统来说明那个被扩大的系统是真的……到了最後，无一处是独立的真理，因为每一个系统的真理性都依赖於其它系统的真理性，这个特徵不仅表现在数学之中，也表现在人类的所有语言形式之中。
对於一个足够复杂的数学理论，并非所有的真命题在系统内都是可证的，就连其一致性在系统内也是不可证。某个程度可以这样说，当我们指出某个理论系统是真理性的，最低限度有其信念的成分，在那些不能完全证明的地方，我们仍然相信它。
数学确定性的丧失:
经过“悖论”大辩论的洗礼，现代公理集合论的一大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。
你要问有没有可能,消灭所有的现代公理集合论的一大堆公理.仍然完美解决罗素悖论, 那我就告诉你,有可能,但需要一个比集合论更大的系统.
数学的真理性不是绝对的可证的,它的确定性在丧失.
数学的公理基础来自不完全归纳证明
归纳证明中的不完全归纳证明,通过举出某些例证,再得出一般性结论。一旦有特殊相反例证出现,就可以推翻该不完全归纳证明的结论.
常说的:"证明两点之间直线是最近的"正是如此.虽然可以通过举出某些例证,再得出一般性结论说两点之间直线是最近。但有特殊相反例证出现,可以推翻该不完全归纳证明的结论.
相对论由绝对时空到告诉我们时空与运动,与引力场有关,大质量天体(自然界中存在多种具有强引力场的天体。如中子星和黑洞。)使时空弯曲,并得到验证. 因此,当天体系统中的引力场足够强时，就必须计及广义相对论对牛顿力学的改正，或干脆要用广义相对论来进行计算处理。理论还被用来研究在一般系统中对牛顿力学的修正的大小和必要性。在扭曲的时空中, 两点之间直线是最近的,不再正确.
因此说不完全归纳证明是力度很小,要依靠信心的公理基础.
小结：康托尔之后，许多数学家在集合论上作出许多贡献，使集合趋于完善和健全。