§8 同角三角函数的基本关系
知识梳理
1.基本关系式
sin2α+cos2α=1；tanα=.
2.基本关系式成立的条件
当α∈R时，sin2α+cos2α=1成立；
当α≠k·180°+90°(k∈Z)时，=tanα成立.
3.基本关系式变形
sin2α+cos2α=1的变形：1=sin2α+cos2α；sin2α=1-cos2α；cos2α=1-sin2α；
sinα=±；cosα=±.
tanα=的变形：sinα=cosα·tanα;cosα=.
知识导学
学好本节先要复习三角函数的定义；本节重点是同角三角函数的基本关系及其变形的应用，同时也是学习的难点.21世纪教育网版权所有
3.1 同角三角函数的基本关系
课堂导学
三点剖析
1.公式sin2α+cos2α=1与=tanα的推导及应用
【例1】 已知sinθ、cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0的两根.
(1)求sin3θ+cos3θ的值；
(2)求tanθ+的值.
思路分析：(1)利用韦达定理，用a的代数式表示sinθ+cosθ与sinθcosθ.
(2)利用同角三角函数关系式sin2α+cos2α=1，结合(1)构造关于a的方程.
(3)求a值，注意检验a是否满足题意.
(4)利用前面推导的结果及同角三角函数关系式求值.
解：由韦达定理得
所以a2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+2a,
即a2-2a-1=0.所以a=1±.
又方程有两根，则Δ=(-a)2-4a≥0，
即a≤0或a≥4，所以a=1-,
即sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-.
(1)sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)=-2.
(2)tanθ+=--1.
各个击破
类题演练 1
已知sinθ-cosθ=,则sin3θ-cos3θ=__________.
解析:∵sinθ-cosθ=,
∴(sinθ-cosθ)2=.
∴1-2sinθcosθ=.
∴sinθcosθ=.
∴sin3θ-cos3θ=(sinθ-cosθ)(sin2θ+sinθ·cosθ+cos2θ)
=×(1+)=.
答案：
变式提升 1
已知:求sinθ·cosθ的值.
解析:由,
得,∴tanθ=2.
∴sinθcosθ=.
2.公式的变式应用
【例2】 已知sinα=t且|t|＜1,求角α的余弦值和正切值.
思路分析:由于已知sinα=t中含有参数,因而无法确定α所在的象限,这时应对参数角α进行分类讨论.
解:∵sinα=t且|t|＜1,
∴角α可能为四个象限和x轴上的轴线角.
(1)当α为第一、四象限和x轴非负半轴上的角时,有
cosα=,tanα==.
(2)当α为第二、三象限和x轴非正半轴上的角时,有
cosα=,
tanα==.
友情提示
若已知正弦、余弦、正切中的某一个三角函数值是用字母表示的,且角所在象限也没有指定时,这个角α可能在四个象限(也可能是轴线角),此时,不必按四个象限讨论,只需将四个象限角(可能含轴线角)的三角函数值分成两组讨论.21世纪教育网版权所有
【例3】 化简下列各式：
(1)；
(2).
解析:(1)=cos2400°=|cos400°|=|cos(40°+360°)|=|cos40°|=cos40°.21cnjy.com
(2)
==-1.
友情提示
化简题目的目的:使项数尽可能地少,次数尽可能地低,函数的种类尽可能地少,分母中尽量不含三角函数符号,能求值的一定求值,尽可能地将根号中的因式移到根号外面.
类题演练 2
若sinα=且α是第二象限角,则tanα的值等于（ ）
A. B. C.± D.±
解析:∵α是第二象限角,
∴cosα=.
∴tanα=.
答案：A
变式提升 2
已知tanα为非零实数,用tanα表示sinα,cosα.
解析:∵sin2α+cos2α=1,∴sin2α=1-cos2α.
∴tan2α=-1.
于是cos2α=.
由于tanα为非零实数,可知角α的终边不在坐标轴上.
从而cosα=
sinα=cosαtanα=
类题演练 3
已知-1=-1,求的值.
解析:由已知,得tanα=,
所以.
变式提升 3
证明恒等式:
.
证明:
左边=
=右边
所以原等式成立.
3.公式应用中“１”的变换
【例4】 已知tanα=3,求sin2α+2sinαcosα+1的值.
思路分析:对形如asin2α+bcosαsinα+ccos2α的值，可将分母1化为sin2α+cos2α,再分子分母同除以cos2α.21教育网
解:sin2α+2sinαcosα+1
=
.
友情提示
若考虑不到将1变换，则式子不是同次的三角函数式，无法把弦全部化为切.
类题演练 4
的值为（ ）
A.sinα+cosα B.sinα-cosα
C.cosα-sinα D.|sinα+cosα|
解析:∵1+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosα+cos2α=.
∴原式=（sinα+cosα）2=|sinα+cosα|.
答案：D
变式提升 4
如果θ是第三象限角，且满足=cos+sin，那么是（ ）
A.第四象限角 B.第三象限角
C.第二象限角 D.第一象限角
解析:∵θ是第三象限角,
∴是第二或第四象限角.
∵cos+sin=≥0,
∴cos+sin≥0.
如右图,在第二象限的区域内(阴影部分),
有|sin|>|cos|,所以是第二象限角.
答案:C
§1 两角和与差的三角函数
知识梳理
1.两角和与差的余弦公式
（1）公式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.
（2）理解和记忆：
①上述公式中的α、β都是任意角.
②和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos(a±β)≠cosα±cosβ.
③公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用公式，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)= cos30°=.21世纪教育网版权所有
④第一章中所学的部分诱导公式可通过本节公式验证.
⑤记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反.
2.两角和与差的正弦公式
（1）公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
（2）理解和记忆：
①上面公式中的α、β均为任意角.
②与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sinα±sinβ.
③和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcosα-cos2πsinα=0×cosα-1×sinα=-sinα.当α或β中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便.21·cn·jy·com
④使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而采用整体思想，进行如下变形：sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin［(α+β)-β］=sinα，这也体现了数学中的整体原则.2·1·c·n·j·y
⑤记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相同.21*cnjy*com
3.两角和与差的正切
（1）公式：tan(α+β)=；tan(α-β)=.
（2）理解和记忆：
①公式成立的条件：α≠kπ+，β≠kπ+，α+β≠kπ+或α-β≠kπ+，以上k∈Z.当tanα、tanβ、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式解决.
②两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)就可以解决诸如tan25°+tan20°+tan25°tan20°的问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.【来源：21·世纪·教育·网】
③与和差角的弦函数公式一样，公式对分配律不成立，即tan(α+β)≠tanα+tanβ.
知识导学
要学好本节有必要复习任意角的三角函数和平面向量的数量积；本节的重点是公式的应用，难点是公式的变形应用；在学习过程中，要善于应用联系的观点看待问题.
难疑突破
1.形如函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值是什么？
剖析：受思维定势的影响，总是认为y=sinx和y=cosx的最大值都是1，它们的最小值都是-1，则函数f(x)的最大值是|a|+|b|，最小值是 -|a|-|b|，其实不然.其突破口是分析y=sinx和y=cosx取最值时，自变量x取值情况. 21cnjy.com
当x=2kπ+ (k∈Z)时，y=sinx取最大值1，当x=2kπ- (k∈Z)时，y=sinx取最小值-1；当x=2kπ(k∈Z)时，y=cosx取最大值1，当x=2kπ+π(k∈Z)时，y=cosx取最小值-1；由此看y=sinx取最值时，y=cosx=0，而y=cosx取最值时，y=sinx=0.所以y=sinx和y=cosx不能同时取最值，因此这样求最值是错误的. www.21-cn-jy.com
求形如函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值，常用方法是化归为求y=Asin(ωx+φ)+b的最值.2-1-c-n-j-y
例如：求函数f(x)=2sinx-cosx，x∈R的最值.
可将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)后，再求最值.
f(x)=2sinx-cosx
=4(sinx-cosx)
=4(sinxcos-cosxsin)
=4sin(x-)，
∴函数f(x)的最大值是4，最小值是-4.
很明显函数f(x)的最大值不是2±，最小值不是-2-.
下面讨论函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)，x∈R的最值.
f(x)=asinx+bcosx=(sinx+cosx)，
∵()2+()2=1,
∴可设cosθ=，sinθ=,
则tanθ=（θ又称为辅助角）.
∴f(x)= (sinxcosθ+cosxsinθ)= sin(x+θ).
∴当x∈R时， f(x)的最大值是，最小值是-.
特别是当=±1，±，±时，θ是特殊角，此时θ常取，，.
对于形如y=asinx+bcosx(ab≠0)的式子引入辅助角化归为y=Asin(x+θ)的形式，可进行三角函数的化简，求周期、最值等，这是高考和模拟的必考内容之一.21教育网
例如：2006江苏南京一模，7 若函数f(x)=sinax+cosax(a＞0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为（ ）21·世纪*教育网
A.(,0) B.(0,0) C.(-,0) D.(,0)
思路分析：化为y=Asin(ωx+θ)形式，再讨论其对称中心.f(x)=sinax+cosax=sin(ax+)(a＞0)，www-2-1-cnjy-com
∴T==1.∴a=2π.∴f(x)=sin(2πx+)(a＞0).又∵f(x)与x的交点是其对称中心，经验证仅有(-,0)是函数f(x)的对称中心.【来源：21cnj*y.co*m】
答案：C
3.2 两角和与差的三角函数
课堂导学
三点剖析
1.两角和与差的三角函数公式的简单运用
【例1】 若sinα=,sinβ=且α、β是锐角，求α+β的值.
思路分析:可先求出α+β的某种三角函数值，然后再确定α+β的值.
解:∵α、β是锐角，∴cosα=,cosβ=.
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=.
又∵sinα=<,sinβ=<，
∴0°<α<30°，0°<β<30°.
∴0°<α+β<60°.∴α+β=45°.
各个击破
类题演练 1
计算sin33°cos27°+sin57°cos63°的值.
解析:原式=sin33°cos27°+cos33°sin27°=sin(33°+27°)=sin60°=，
或：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°)
=cos30°=.
变式提升 1
sin163°sin223°＋sin253°sin313°=___________.
解析：原式=sin(180°-17°)·sin(180°+43°)+sin(270°-17°)+sin(270°+43°)
=-sin17°sin43°+cos17°cos43°
=cos(17°+43°)=cos60°=.
答案：
2.两角差的余弦公式的运用
【例2】 已知cos(α+β)=,cos(α-β)=，求tanαtanβ的值.
思路分析：题目中要求的是单角α与 β的函数值，所以自然要想到用和差公式分解，然后用商式求解.
解：由
①+②得cosαcosβ=,
②-①得sinαsinβ=,
∴tanαtanβ==.
友情提示
在利用两角和差公式的同时，运用同角三角函数关系，把不同类型的公式放在一起使用是本章题目的特点.21世纪教育网版权所有
类题演练 2
设a∈(0,),若sinα=,则cos(α+)等于（ ）
A. B. C. D.-
解析：∵α∈(0,)，sinα=,∴cosα=,
又cos(α+)=(cosα·cos-sinα·sin)
=cosα-sinα=.
答案：B
变式提升 2
已知α、β为锐角，且cosα=，cos(α+β)=，求β的值.
解析：∵α是锐角，cosα=,∴sinα=.
∵α、β均为锐角，
∴0<α+β<π.
又cos(α+β)=,∴sin(α+β)=.
∴cosβ=cos［(α+β)-α］
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=（）·+=.
又∵β为锐角，
∴β=.
3.两角和与差的三角函数的变式应用
【例3】 已知α,β∈(-,)，tanα,tanβ是一元二次方程x2+x+4=0的两根，求 α+β.21教育网
思路分析：
由根与系数关系可得tanα+tanβ、tanαtanβ，因此可先求tan(α+β).
解：
由题意知
tanα+tanβ=-3,tanαtanβ=4,①
∴tan(α+β)=.
又∵α,β∈(-,)
且由①知α∈(-,0),β∈(-,0),
∴α+β∈(-π,0).
∴α+β=.
类题演练 3
计算tan10°+tan50°+tan10°tan50°的值.
解析：原式=tan(10°+50°)(1-tan10°tan50°)+tan10°tan50°
=(1-tan10°tan50°)+tan10°tan50°=.
变式提升 3
求值:tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°.
解析：原式=tan10°tan20°+(tan10°+tan20°)
=tan10°tan20°+tan30°(1-tan10°tan20°)
=1.
§2 二倍角的三角函数
知识梳理
1.倍角公式
（1）公式：sin2α=2sinαcosα；（S2α）
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;（C2α）
tan2α=.（T2α）
（2）公式的理解
①成立的条件：在公式S2α、C2α中，角α可以为任意角，T2α则只有当α≠kπ+及α≠ +（k∈Z）时才成立.21·cn·jy·com
②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、是的二倍、3α是的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键.www.21-cn-jy.com
③cos2α的变形：
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α，
cos2α=，sin2α=；（这两个公式称为降幂公式）
1+cos2α=2cos2α，1-cos2α=2sin2α.（这两个公式称为升幂公式）
2.半角公式
（1）公式：sin=±；cos=±；
tan=±.
（2）公式的理解
关于半角正切公式：tan=不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与以下两个公式：tan=±和tan=的使用范围不完全相同，后两个公式只要α≠(2k+1)π（k∈Z），而第一个公式除α≠(2k+1)π（k∈Z）之外，还必须有α≠2kπ（k∈Z）.当然，这三个公式可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用.21世纪教育网版权所有
知识导学
①要学好本节，有必要复习两角和的正弦、余弦、正切公式；②学好本节的小窍门：在公式的选择运用上，审题是关键，找准题目的突破口，选择适当的方法，定能事半功倍；③选择二倍角余弦公式形式的策略：1加余弦想余弦；1减余弦想正弦；幂升一次角减半；幂降一次角翻番.21教育网
解释如下：
难疑突破
1.求半角的正切值常用什么方法？
剖析：难点是半角的正切值公式有三种形式，到底选择哪个来处理问题，突破的路径是靠平时经验的积累.
根据经验有，处理半角的正切问题有三条途径：第一种方法是用tan=±来处理；第二种方法是用tan=来处理；第三种方法是用tan=来处理.
例如：已知cosα=，α为第四象限的角，求tan的值.
解法一：（用tan=±来处理）
∵α为第四象限的角，∴是第二或第四象限的角.
∴tan<0.
∴tan==
=.
解法二：（用tan=来处理）
∵α为第四象限的角，∴sinα<0.
∴sinα=.
∴tan==.
解法三：（用tan=）
∵α为第四象限的角，∴sinα<0.
∴sinα=.
∴tan==.
比较上述三种解法可知：在求半角的正切tan时，用tan=±来处理，要由α所在的象限确定所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan=或tan=来处理，可以避免这些问题.尤其是tan=，分母是单项式，容易计算.因此常用tan=求半角的正切值.
2.为什么说1+sinα和1-sinα是完全平方的形式？
剖析：疑点是对此结论总是产生质疑.其突破的方法是学会推导.
要明确这个问题，先从完全平方公式来分析.(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2，由此看一个式子是完全平方的形式，必须有a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的形式特点.1±sinα要具备这种形式特点，需要进行恒等变形.观察到完全平方的式子中有a2和b2，联想1±sinα中的1能变形为平方和的形式，即变形的方向是1=a2＋b2，sinα=2ab.由同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式得1±sinα=sin2+cos2±2sincos=(sin±cos)2.这个结论应用很广泛.21cnjy.com
3.3 二倍角的正弦、余弦和正切
课堂导学
三点剖析
1.二倍角与降幂公式
【例1】 已知sin(+x)sin(-x)=,x∈(,π)，求sin4x的值.
思路分析:注意到+x+-x=，可用诱导公式变形后计算.
解:由sin(+x)sin(-x)=可得
sin(+x)cos(+x)=，即sin(+2x)=，
∴sin(+2x)=，即cos2x=.
又∵x∈(,π),∴2x∈(π,2π).
∴sin2x=.
∴sin4x=2sin2xcos2x=.
友情提示
在应用二倍角的同时，也用诱导公式或同角的三角函数关系.
各个击破
类题演练 1
已知sinα=,α∈(,π),求sin2α,cos2α,tan2α的值.
解析：∵sinα=,α∈(,π)，
∴cosα=，
∴sin2α=2sinαcosα=2××()=，
cos2α=1-2sin2α=1-2×()2=，
tan2α=.
变式提升 1
(2006上海高考，文6) 函数y=sinxcosx的最小正周期是___________.
解析：化简，得y=sin2x,
∴T=π.
答案：π
2.二倍角公式的变式应用
【例2】已知cos(+x)=,思路分析:可先将待求式变形化简看需要哪些值，再由条件求出这些值.
解:原式=
Sin2xtanx(x+).
∵cos(+x)=,∴sin(x+)=
Tan(x+)=,
sin2x=-cos(+2x)
=-［2cos2(+x)-1］=.
∴原式=×()=.
友情提示
分析角与角的关系，如-x与+x互为余角；2x是x的倍角.角的关系往往是解题的突破口.
类题演练 2
求下列各式的值 ：
（1）（cos-sin）(cos+sin);
(2)-cos2.
解析:(1)(cos-sin)(cos+sin)=cos2-sin2
=cos=.
(2)-cos2=(2cos2-1)
=cos=.
变式提升 2
已知θ∈（,）,|cos2θ|=,则sinθ的值是（ ）
A. B. C. D.
解析:∵θ∈(,),∴sinθ<0,且2θ∈(,3π).
∴cos2θ<0.∵|cos2θ|=,
∴cos2θ=-.
由cos2θ=1-2sin2θ,
得sin2θ=,
∴sinθ=.
∴应选C.
答案:C
3.升降幂公式的应用
【例3】 求函数y=sin6x+cos6x的最值.
思路分析：见“高次”降为“低次”，利用a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)和sin2x+cos2x=1求解.
解：y=sin6x+cos6x
=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)
=(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x
=1-3sin2xcos2x=1-sin22x
=cos4x,
∴当x=(k∈Z)时，y取最大值为1.
当x=+(k∈Z)时，y取最小值.
友情提示
遇到高次就降幂，sin2x+cos2x=1,sin2x=,cos2x=都起到了降幂的作用，在应用cos2α公式变形时，当心出现符号错误.21世纪教育网版权所有
类题演练 3
已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.
(1)求f(x)的最小正周期；
（2）若x∈［0,］,求f(x)的最大值、最小值.
解：（1）因为f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x
=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x
=cos2x-sin2x
=cos(2x+),
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为0≤x≤,
所以≤2x+≤π,
所以在［0，］上f(x)的最大值为1，最小值为.
变式提升 3
化简：.
解：原式=
=cos2x.
