§1 从位移、速度、力到向量
知识梳理
1.概念
（1）向量、数量的定义
既有大小又有方向的量叫做向量(vector)，物理学中常称为矢量.
只有大小没有方向的量叫做数量，物理学中常称为标量.
（2）向量与数量的区别
向量具备两个要素：大小和方向，向量不能比较大小.
数量只有一个要素：大小，数量没有方向，可以比较大小.
2.平面向量的表示
（1）有向线段
一般地，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，则线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.以A为起点，B为终点的有向线段记作.线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||.有向线段包含三要素：起点、方向、长度.21教育网
（2）向量的表示
几何表示：用有向线段来表示.此时有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的模.
字母表示：用单个黑斜体的小写英文字母表示，通常印刷体如a、b、c等，而手写体用带箭头的小写字母表示如、…；还可用两个大写英文字母表示.21·cn·jy·com
3.相等向量与共线向量
（1）向量的长度
向量的大小，也就是向量的长度(或模)，记作||.
长度为零的向量叫做零向量，记作0.零向量的方向不确定，是任意的.
长度为单位1的向量叫做单位向量.
（2）共线向量(平行向量)
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫共线向量.
规定：零向量与任一向量是平行向量，记作0∥a.
任一向量与它本身都是平行向量，记作a∥a.
（3）相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
知识导学
学好本节一定要弄清概念，要用类比的方法学习向量的概念，还要注意向量与数量的区别.
疑难突破
1.为什么两个向量不能比较大小?
剖析：疑点是向量的模有大小，两个向量怎么不能比较大小,其突破口是从向量的定义来讨论.
向量是既有大小又有方向的量，向量的模可以比较大小，但因为向量有方向，所以不能比较大小.例如：老鼠由A向西北逃窜，如果猫由A向正东方向追，猫的速度再快也不可能捉到老鼠，因为猫追的方向错了.所以在研究向量时，既要研究向量的大小，又要研究向量的方向.21cnjy.com
2.向量和数量有什么区别和联系？
剖析：难点是对向量和数量混淆不清.其突破口是从向量的定义来分析.
从定义上看，向量是规定了大小和方向的量，向量不同于数量，数量只有大小，而向量不仅有大小而且还有方向；数量是一个代数量，可以进行各种代数运算，数量之间可以比较大小，“大于”“小于”的概念对数量是适用的.由于向量具有方向，而方向不能比较大小，因此“大于”“小于”的概念对向量来说是没有意义的.21世纪教育网版权所有
2.1 从位移、速度、力到向量
课堂导学
三点剖析
1.向量、相等向量、共线向量的概念
【例1】 如右图，四边形ABCD与四边形ABEC都是平行四边形.
（1）用有向线段表示与向量相等的向量；
（2）用有向线段表示与向量共线的向量.
思路分析：寻找相等向量时要从大小和方向两个方面来考虑，寻找共线向量只考虑方向即可，两向量方向相同或相反就是共线向量.21教育网
解：（1）与向量相等的向量是、;
（2）与向量共线的向量是、、.
友情提示
用有向线段表示向量是数形结合思想的具体运用，利用图形的直观性、向量之间的关系(共线向量、相等向量等)可通过图形的几何特征得到.21·世纪*教育网
各个击破
类题演练 1
如右图，四边形ABCD为正方形△BCE为等腰直角三角形，
（1）图中与共线的向量有____________；
（2）图中与相等的向量有____________；
（3）图中与模相等的向量有____________；
（4）图中与相等的向量有____________.
解:（1）、、、、、、
（2），
（3）、、、、、、、、
（4）
变式提升 1
如右图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出_______个互不相等的非零向量.www-2-1-cnjy-com
解析：可设AD的长度为3，那么长度为1的向量有6个，其中==，==；长度为2的向量有4个，其中=，=；长度为3的向量有2个，分别是和，所以最多可以写出6个互不相等的向量.21·cn·jy·com
答案：6
2.共线向量（平行向量）的判断
【例2】 给出以下五个条件：①a=b；②|a|=|b|;③a与b的方向相反；④|a|=0或|b|=0；⑤a与b都是单位向量，其中能使a与b共线成立的是____________.
思路分析：利用向量共线的定义，抓住方向相同或相反的条件，但不要忽视零向量.
解析:模相等的向量不一定共线，②不能使a与b共线成立；单位向量不一定是共线向量，⑤不能使a与b共线成立.①③④都是正确的.2·1·c·n·j·y
答案：①③④
友情提示
注意区分相等向量与共线向量的联系与区别，相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定是相等向量.【来源：21·世纪·教育·网】
类题演练 2
有下列说法：
①两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同
②若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线
③若a∥b且b∥c，则a∥c
④当且仅当=时，四边形ABCD是平行四边形.
其中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.321cnjy.com
解析:①正确.
②不正确.这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念.
③不正确.假设向量b为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合a∥b且b∥c的条件，但结论a∥c却不能成立.www.21-cn-jy.com
④正确.
综上可知应选C.
答案：C
变式提升 2
下列命题中，正确的是（ ）
A.|a|=|b|a=b B.|a|＞|b|a＞b2-1-c-n-j-y
C.a=ba∥b D.|a|=0a=0
解析：（排除法）由向量的定义知：向量既有大小，又有方向，由向量具有方向性可排除A、B.零向量、数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0.∴应排除D.
答案：C
3.零向量的应用
【例3】 下列说法正确的有几个（ ）
①零向量是没有方向的向量 ②零向量与任一向量共线 ③零向量的方向是任意的 ④零向量只能与零向量共线21世纪教育网版权所有
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
思路分析：从零向量的概念来判断是否正确.
解析：由零向量的特点可知②③对.
答案：C
友情提示
容易把零向量当成是没有方向的向量，对于零向量我们应从大小与方向两个角度来理解，把它同实数中的零进行类比.21*cnjy*com
类题演练 3
下列四个说法：①若|a|=0;则a=0;②若|a|=|b|，则a=b或a=-b;③若a∥b,则|a|=|b|;④若a=0，则-a=0,其中正确命题的个数是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：由向量的有关定义知①②③错误，④正确.故选A.
答案：A
变式提升 3
下列条件中能得到a=b的是（ ）
A.|a|=|b| B.a,b同向
C.a=0,b任意 D.a=0,b=0
答案：D
§2 从位移的合成到向量的加法
知识梳理
1.向量的加法
（1）向量加法法则
①三角形法则：根据加法的定义求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则.其具体做法是将向量b平移，使向量b的起点与向量a的终点重合，则以a的起点为起点，b的终点为终点的向量就是向量a与b的和向量.21·cn·jy·com
②平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b（如图2-2-1），作=a，=b，则A、B、D三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量=a+b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.www.21-cn-jy.com
图2-2-1
③多边形法则：ｎ个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一向量折线，这ｎ个向量的和等于折线起点到终点的向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.多边形法则实质就是三角形法则的连续应用.21·世纪*教育网
(2)几何意义
向量加法遵循三角形法则和平行四边形法则，因此，向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.21cnjy.com
(3)运算律
交换律：a＋b=b＋a；结合律：（a＋b)＋c=a＋(b＋c）.
2.向量的减法
(1)向量的减法是向量加法的逆运算.求两个向量的差，必须把两个向量的起点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.2·1·c·n·j·y
（2）利用相反向量的定义，一个向量减去另一个向量等于加上另一个向量的相反向量.
（3）向量减法的作图法：一是利用向量减法的定义直接作图,二是利用相反向量作图.
知识导学
学好本节有必要复习物理学中三角形法则和平行四边形法则；善于应用+=和-=解决向量问题.
疑难突破
1.向量加法与实数加法的联系.
剖析：讨论两种运算的联系，主要从它们的运算法则、运算结果、运算律、运算的意义来分析.
（1）运算法则：向量加法法则是三角形法则或平行四边形法则，可以用有向线段的连接来表示；实数的加法法则是两个实数的和的绝对值等于这两个实数中较大数的绝对值减去较小数的绝对值，和的符号与较大绝对值加数的符号相同.21世纪教育网版权所有
（2）运算结果：向量的和还是向量，实数的和还是实数.
(3)运算律：向量的加法与实数的加法类似，都满足交换律与结合律；向量加法的交换律可以用平行四边形法则来验证；向量加法的结合律可以用三角形法则验证.
图2-2-2
如图2-2-2，作=a，=b，=c，连结、、，
则=a+b，=b+c.
∵=+=a+(b+c)，
=+=(a+b)+c，
∴(a+b)+c=a+(b+c).
（4）运算的几何意义：向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则；实数加法的意义是实数的加法法则.【来源：21·世纪·教育·网】
由此可见，向量的加法与实数的加法不相同，其根本原因是向量不但有大小并且还有方向，而实数仅有大小,是数量，所以向量的运算不能按实数的运算来进行.
2.在化简时，为什么总是错误地得出=？
剖析：根据解题经验，的结果是和中的一个向量，到底是哪一个向量呢？把结果通过向量加法的三角形法则验证.假设=，则有=+，由于表示、、的有向线段正好构成三角形即△OAB，如图2-2-3所示.
图2-2-3
由向量加法的三角形法则知=+.所以=是错误的，应该是=.
为了防止出现类似错误，通常画图利用数形结合解决此类问题，也可以化归为向量的加法进行验证.设=m，则=+m，由于m等于和中的一个向量，+≠，仅有+=，所以=.21教育网
2.2 从位移的合成到向量的加法
课堂导学
三点剖析
1.向量的加减法运算和运算律
【例1】 用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
思路分析：要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等.根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应向量相等即可.此问题是纯文字叙述的问题，首先应转化为符号语言描述.21·cn·jy·com
已知：如右图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O，且AO=OC，DO=OB.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：根据向量加法的三角形法则，有=+,,
又∵=,，
∴=.∴=,
即AB与DC平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形.
友情提示
本题的证明方法是用向量表示四边形中的边，然后进行向量加法运算，得出相等向量，再利用向量相等的几何意义说明四边形的性质.www.21-cn-jy.com
各个击破
类题演练 1
如右图，已知平行四边形ABCD，=a,=b，用a、b分别表示向量、.
解析:连结AC、DB，由求向量和的平行四边形法则，则=+=a+b.
依减法定义得
=-=a-b.
变式提升 1
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么，a+b的方向必与a、b之一的方向相同；
②△ABC中，必有++=0；
③若++=0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；
④若a、b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等.其中正确的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.321教育网
解析：①错误.当a+b=0时，命题不成立.
②正确
③错误.当A、B、C三点共线时也可以有++=0.
④错误.只有当a与b同向时，相等，其他情况均为|a|+|b|＞|a+b|.
答案：B
2.向量加减法的综合应用
【例2】 已知向量a、b,比较|a+b|与|a|+|b|的大小.
思路分析：因为向量包含长度和方向，所以在比较向量长度的大小时，要考虑其方向.同时要注意特殊的向量零向量.21世纪教育网版权所有
解：（1）当a、b至少有一个为零向量时，有|a+b|=|a|+|b|.
（2）当a、b为非零向量且a、b不共线时，有|a+b|＜|a|+|b|.
（3）当a、b为非零向量且a、b同向共线时，有|a+b|=|a|+|b|.
（4）当a、b为非零向量且a、b异向共线时，有|a+b|＜|a|+|b|.
友情提示
解答本题可利用向量加法的三角形法则作出图形辅助解答，关键是准确、恰当地进行分类.
类题演练 2
若向量a、b满足|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最小值是________，|a-b|的最大值是________.
解析:在a与b共线反向时，|a+b|取最小值.a与b共线反向时，|a-b|取最大值.
答案：4 20
变式提升 2
若a≠0,且b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b所在直线的夹角.
解析：∵|a|=|b|=|a-b|,
∴∠BOA=60°.
又∵=a+b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA,如右图，
∴a与a+b所在直线的夹角为30°.
3.向量减法运算
【例3】 化简（-）-（-）.
思路分析：混合运算可以统一成一种运算，即把加、减混合运算统一成加法运算.
解：（-）-（-）
=+++
=（+）+（+）=+=0.
友情提示
做向量减法运算时，结果的箭头方向容易出错，要记住“在用三角形法则做向量减法时，连结两向量终点，箭头指向被减向量.”21cnjy.com
类题演练 3
在四边形ABCD中，--等于（ ）
A. B. C. D.
解析：--=-=+=.
答案：C
变式提升 3
求向量++++之和.
解析：原式=++++
=++
=+=0.
§3 从速度的倍数到数乘向量
知识梳理
1.向量数乘
（1）定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.
λa的长度与方向规定如下：|λa|=|λ||a|；当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.21cnjy.com
（2）向量数乘的运算律
设λ、μ是实数，则有λ(μa)=(λμ)a；(λ+μ)a=λa+μ a；λ(a+b)=λa+λb.
（3）向量数乘的几何意义：λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小|λ|倍.
2.向量的线性运算
（1）向量的加法、减法和向量数乘的综合运算，叫做向量的线性运算.若一个向量c是由另一些向量的线性运算得到的，我们就说这个向量c可以用另一些向量线性表示.
（2）向量的线性运算也叫向量的初等运算.它们的运算法则在形式上很像实数加、减法、乘法满足的运算法则，但它们在具体含义上是不同的.不过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中都可以使用.
3.向量共线的判定定理和性质定理
判定定理：如果a=λb，则a∥b；
性质定理：如果a∥b（b≠0），则一定存在一个实数λ，使得a=λb.
4.平面向量基本定理
如果e1和e2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a=a1e1＋a2e2.我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为｛e1，e2｝，a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底｛e1，e2｝的分解式.
5.直线的向量参数方程式
已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，则对于直线l上任一点P，存在实数ｔ，使=(1-t)+t,这个等式又称为直线l的向量参数方程式.21教育网
知识导学
1.一个向量用其他向量的线性运算来表示是解决这一类问题的关键，注意转化与化归的思想应用.
2.灵活、适当地选择一组平面向量基底来表示其他未知向量是正确解决向量问题的前提.
3.在解决问题时，一定要自觉作出草图来寻找解题思路，重视数形结合思想的运用.
疑难突破
1.向量共线定理有何应用？
剖析：学习了平行向量基本定理后，对定理的应用陷入茫然.其突破方法是对平行向量基本定理的结论的理解不够彻底.下面分三方面来讨论.21·cn·jy·com
（1）判定定理的结论是a∥b，那么用平行向量基本定理可以证明两向量共线.
例如：设=a，=b，=（a+b）,求证：∥.
证明：由题意得=b-a，=-=（b+a）-b=（a-b），
∴=-.
∴∥.
由此可见，证明向量a∥b，只需找到满足a=λb的实数λ的一个值即可.
（2）判定定理的结论是a∥b，则有当=a，=b时，有O、A、B三点共线，即用平行向量基本定理可以证明三点共线.2·1·c·n·j·y
例如：设=a，=b，=（a+b）,求证：A、B、C三点共线.
证明：由题意得=b-a.
=-=（a+b）-b=（a-b）,
∴=.∴∥.
∴A、B、C三点共线.
由此可见，三点共线问题通常转化为向量共线问题.
（3）判定定理的结论是a∥b，当a和b所在的直线分别是直线m和n时，则有直线m、n平行或重合,即用平行向量基本定理可以证明两直线平行.【来源：21·世纪·教育·网】
例如：如图2-3-1，已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，并且AD=xAB，AE=xAC,0＜x＜1.21·世纪*教育网
图2-3-1
求证：DE∥BC且DE=xBC.
证明：∵AD=xAB，AE=xAC，
∴=x，=x.
∴=-=x(-)=x.
∴∥.
∴DE∥BC且DE=xBC.
由此可见，证明两直线平行转化为证明它们的方向向量共线.
（4）性质定理的结论是a=λb，则有|a|=|λ|·|b|，当=a，=b时，||=|λ|·||，从而OA=λOB,即用平行向量基本定理可以证明两平行线段间的长度关系.21世纪教育网版权所有
例如：如图2-3-2，平行四边形OACB中，BD=BC，OD与BA相交于E.
图2-3-2
求证：BE=BA.
证明：设E′是线段BA上的一点，且BE′=BA.
设=a，=b，则=a，=b+a.
∵=-b，E′A=a-，3=E′A,
∴3(-b)=a-.
∴= (a+3b)= (b+a).
∴=.
∴O、E′、D三点共线，即E，E′重合.
∴BE=BA.
由此可见，证明两平行线段的长度关系转化为证明这两条线段构成的向量共线.
2.如何正确认识平面向量基本定理？
剖析：疑点是平面向量基本定理是关于哪一方面的定理，有什么作用？突破口是从定理的条件和结论来分析.
平面向量基本定理实质上就是向量线性运算知识的推广和延伸，即平面内任一向量a都可分解成两个不共线向量e1，e2（基底）的唯一线性组合形式λ1e1＋λ2e2.因此平面向量基本定理也是是向量正交分解的依据，是向量坐标运算的基础，理解该定理能很好的掌握平面向量的各种知识，帮助我们解决向量问题.www.21-cn-jy.com
例如：（经典回放）已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则等于（ ）www-2-1-cnjy-com
A.λ(+),λ∈(0,1) B.λ(+BC),λ∈(0,)
C.λ(-),λ∈(0,1) D.λ(-BC),λ∈(0, )
思路解析：如图2-3-3所示，
图2-3-3
由向量的运算法则得：+=，
又点P在对角线AC上，则∥,且||＜||.
∴存在实数λ使=λ,λ∈(0,1).
答案：A
2.3 从速度的倍数到数乘向量
课堂导学
三点剖析
1.向量数乘的定义及其运算律
【例1】 在平行四边形ABCD中，=a,=b,求、.
思路分析：由平面几何的知识可知，对角线相等且互相平分，用已知向量可以表示所求向量；也可用所求向量表示已知向量.联立方程组，求得所求向量.21教育网
解：如右图，利用平行四边形的性质,得
==a,
==b.
∵=+=-,
∴=a-b.
又∵=+,=,
∴=a+b.
友情提示
把向量的加减同数乘结合起来，用来解决分向量的加减问题.
各个击破
类题演练 1
若O为平行四边形ABCD的中心，=4e1,=6e2,则3e2-2e1=_______.
解析:3e2=,2e1=,
∴3e2-2e1=-=(-)=(+)=.
答案：
变式提升 1
化简［(4a-3b)+b-(6a-7b)］=___________________.
解析：原式=（4a-3b+b-a+b）
=［(4-)a+(-3++)b］
=(a-b)=a-b.
答案：a-b
2.对向量数乘运算律的应用
【例2】 设x是未知向量，解方程2（x-a）-(b-3x+c)+b=0.
思路分析：向量方程与实数方程类似，我们可用和实数方程类似的方法来求解.
解：原方程化为2x-a-b+x-c+b=0，
x-a+b-c=0，
x=a-b+c，
∴x=a-b+c.
友情提示
向量的加、减、数乘混合运算与实数的加、减、乘混合运算十分类似，运算时完全可以按照实数运算的思路进行.21cnjy.com
类题演练 2
设x为未知向量，解方程x+3a-b=0.
解析:原方程化为x+(3a-b)=0.
所以x=0-(3a-b),x=-3a+b.所以x=-9a+b.
变式提升 2
如右图所示,已知ABCD的边BC、CD上的中点分别为K，L，且= e1,= e2，试用e1, e2表示，.www.21-cn-jy.com
解析：设=x,则=x,=e1-x,=e1-x，又=x,由+=，得
x+e1-x= e2,解方程，得x=e2-e1
即=e2-e1.
由=-，=e1-x,
得=e1+e2.
3.向量共线的应用
【例3】 已知两个非零向量e1和e2不共线，且ke1+ e2和e1+ke2共线，求实数k的值.
思路分析：因为ke1+e2和e1+ke2共线，所以一定存在实数λ，使得ke1+e2=λ(e1+ke2).
解：∵ke1+e2和e1+ke2共线，
∴存在实数λ，使得ke1+e2=λ(e1+ke2).
∴(k-λ)e1=(λk-1)e2.
∵e1和e2不共线，
∴
∴k=±1.
友情提示
本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共线得到关于k的方程，用待定系数法解决问题.
类题演练 3
a=e1+2e2,b=3e1-4e2,且e1、e2共线，则a与b（ ）
A.共线 B.不共线
C.可能共线，也可能不共线 D.不能确定
解析：∵e1与e2共线，则存在实数e1=λe2,
∴a=e1+2e2=(λ+2)e2,b=3e1-4e2=(3λ-4)e2,
当3λ-4≠0时，a=b，故a与b共线.
当3λ-4=0时，b=0,a与b也共线.
答案：A
变式提升 3
设e1、e2是不共线的向量，已知向量=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A、B、D三点共线，求k的值.2·1·c·n·j·y
解析：=-
=（2e1-e2）-(e1+3e2)
= e1-4e2,
由题设A、B、D三点共线，故存在实数λ,使=λ,
所以2e1+ke2=λ(e1-4e2),
解得所以k=-8.
【例4】 如右图所示，在平行四边形ABCD中，=a,AB=b,M是AB的中点，点N是BD上一点，|BN|=|BD|.【来源：21·世纪·教育·网】
求证：M、N、C三点共线.
思路分析：本题主要考查运用向量知识解决平面几何问题.要证三点共线（M、N、C），不妨证、具有一定的倍数关系.只要用已知条件a,b表示出，，问题就可以解决.21·世纪*教育网
证明：∵=a,=b,
∴=-=a-b.
∴=+=b+
=b+(a-b)=a+b
=(2a+b).
又∵=+
=b+a=(2a+b),
∴=3.又与有共同起点，
∴M、N、C三点共线.
友情提示
几何中证明三点共线，可先在三点中选取起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数λ使两向量具有一定的倍数关系.21世纪教育网版权所有
类题演练 4
已知两个非零向量e1和e2不共线，如果=2e1+3e2，=6e1+23e2，=4e1-8e2.求证：A、B、D三点共线.21·cn·jy·com
证明：∵=++
=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2
=12e1+18e2=6(2e1+3e2)
=6.
∴向量与向量共线.
又∵与有共同的起点A,
∴A、B、D三点共线.
变式提升 4
如右图，已知ABCD，E、F分别是和的中点，判断AE和CF是否平行.
解：设=a,=b,
∵E、F分别是DC、AB的中点，
∴=+=a+b,
=-a-b
=-(a+b)=-.
即存在实数λ=-1,使得=-.
所以与平行.
§4 平面向量的坐标
知识梳理
1.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解.
2.向量的坐标
在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.对于平面上的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y，使得a=xi+yj.这样，平面内的任意向量a都可以由x,y唯一确定，我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的直角坐标，记作a=(x，y),其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标.
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).21世纪教育网版权所有
3.线性运算的坐标表示
已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)，a-b=(x1-x2),y1-y2)，即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).21教育网
λa=(λx1,λy1)，实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
4.平面向量共线的坐标表示
已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2)（b≠0），则
x1y2-x2y1=0a∥b.
知识导学
学习本节要复习向量加法的运算法则和向量共线的性质和判定定理；要特别注意区分起点在原点的向量、起点不在原点的向量、相等的向量的坐标表示，只有起点在原点时，平面向量的坐标才与终点坐标相同.21cnjy.com
疑难突破
1.向量的坐标.
剖析：难点是既然能用坐标表示向量，那么如何理解向量的坐标.其突破方法是分析向量坐标的规定.
可以从以下几个方面来理解：
（1）i=(1,0),j=(0,1),0=(0，0).
（2）在直角坐标系内，以原点为起点作向量=a，则点A的位置由向量a唯一确定.
(3)设=xi+yj，则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x,y).因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对有序实数对唯一表示,即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的.21·cn·jy·com
(4)两向量相等的充分必要条件是它们对应的坐标相等.
(5)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同.例：点A(3,5),B(6,8),C(-5,3),D(-2,6)，向量==(3,3).两向量的坐标相同，但起点、终点坐标不同.www.21-cn-jy.com
2.如何看待平面向量的几何运算和坐标运算这两种运算形式？
剖析：很多同学对向量有两种运算形式产生了疑问.其突破方法是分析平面向量的表示方法.
总起来看向量有两种表示方法,一种是用有向线段来表示，称为几何法；另一种是用数字即坐标表示，称为代数法.那么相应的向量的运算也就分为图形上的几何运算和坐标下的代数运算.这两种运算恰好体现了向量是数形结合的载体.2·1·c·n·j·y
例如：已知两个非零向量e1和e2不共线，且ke1+e2和e1+ke2共线，求实数k的值.
解法一（基向量法）：
∵ke1+e2和e1+ke2共线，
∴存在实数λ，使得ke1+e2=λ(e1+ke2).
∴(k-λ)e1=(λk-1)e2.
∵e1和e2不共线，
∴
∴k=±1.
解法二：设向量e1=(x1,y1)，e2=(x2,y2)，
∴ke1+e2=(kx1+x2,ky1+y2)，e1+ke2=(x1+kx2,y1+ky2).
∵ke1+e2和e1+ke2共线，
∴(kx1+x2)(y1+ky2)-(x1+kx2)(ky1+y2)=0.
∴(k2-1)(x1y2-x2y1)=0.
∵向量e1和e2不共线，
∴x1y2-x2y1≠0.
∴k2-1=0.
∴k=±1.
2.4 平面向量的坐标
课堂导学
三点剖析
1.向量的坐标运算
【例1】 已知A（1，-2）、B（2，1）、C（3，2）和D（-2，3），以、为一组基底来表示++.21·cn·jy·com
思路分析：本题主要考查向量的坐标表示、向量的坐标运算、平面向量基本定理以及待定系数法等知识.求解时首先由点A、B、C、D的坐标求得向量、、、、等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式++=m+n，再列出关于m、n的方程组，进而解方程求出系数m、n.【来源：21·世纪·教育·网】
解：=（1，3），=（2，4），=（-3，5），
=（-4，2），=（-5，1），
∴++=（-3，5）+（-4，2）+（-5，1）=（-12，8）.
根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n，使得
++=m+n，
∴（-12，8）=m（1，3）+n（2，4）.
也就是（-12，8）=（m+2n,3m+4n）.
可得.
∴++=32-22.
各个击破
类题演练 1
已知向量a=(3,-2),b=（-2，1），c=(7,-4),试用a和b来表示c.
解:设c=ma+nb.
即（7，-4）=m(3,-2)+n(-2,1)=(3m-2n,-2m+n),
于是有
所以c=a-2b.
变式提升 1
已知A（1，-2），B（2，1），C（3，2）和D（-2，3），以、为一组基底来表示.
解析：=（1，3），=（2，4），=（-3，5）.
设=m+n,即
（-3，5）=m(1,3)+n(2,4)=(m+2n,3m+4n)
于是有
∴=11-7.
2.共线向量的坐标表示
【例2】 已知点A、B的坐标分别为（2，-2）、（4，3），向量p的坐标为（2k-1，7），且p∥，则k的值是( )2·1·c·n·j·y
A. B. C. D.
思路分析：欲求k的值，只需建立k的方程，由共线向量定理的坐标表示，利用p∥，得到k的方程，然后求解.21·世纪*教育网
解：∵A(2,-2),B(4,3),∴=（2，5）.
又p∥,∴14-5(2k-1)=0，即k=.
答案：B
友情提示
一般求字母的值时，往往将条件化为关于该字母的方程，然后通过解方程求得字母的值，所以解决这类问题的关键是从题目中找出等量关系.21cnjy.com
类题演练 2
已知四边形ABCD是平行四边形，其顶点A、B、C的坐标分别是A（-2，1）、B（-1，3）、C（3，4），求D点的坐标.www-2-1-cnjy-com
解析：设D点坐标为（x，y），
由题意可知，=（1，2），=（3-x，4-y）.
∵四边形为平行四边形，
∴=,即
∴D的坐标为（2，2）
变式提升 2
已知：A（-2，-3），B（2，1），C（1，4），D（-7，-4），判断与是否共线？
解析:=（2，1）-（-2，-3）=（4，4），
=（-7，-4）-（1，4）=（-8，-8）.
∵4×（-8）-4×（-8）=0，
∴∥.
即与共线，或=-2.
∥.
∴与共线.
3.向量坐标形式的灵活应用
【例3】 用坐标法证明++=0.
思路分析：本题没有给出向量的坐标，需要将各向量的坐标设出来，然后进行向量运算.
解：设A（a1,a2）,B(b1,b2),C(c1,c2),则
=(b1-a1,b2-a2),
=(c1-b1,c2-b2),
=(a1-c1,a2-c2)，
∴++=(b1-a1,b2-a2)+(c1-b1,c2-b2)+(a1-c1,a2-c2)
=(b1-a1+c1-b1+a1-c1,b2-a2+c2-b2+a2-c2)
=(0,0)=0.
∴++=0.
友情提示
这个证明过程完全是三个点坐标的运算，无需考虑三个点A、B、C是否共线.同时，对这个结论的更一般的形式，即n个向量顺次首尾相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量，也就不难理解了：www.21-cn-jy.com
=0.
类题演练 3
已知平面内三个点A（1，-2），B（7，0），C（-5，6），求,,+,2+.
解析：∵A(1,-2),B(7,0),C(-5,6),
∴=(7-1,0+2)=(6,2),
=(-5-1,6+2)=(-6,8),
+=(6-6,2+8)=(0,10),
2+=2(6,2)+(-6,8)
=(12,4)+(-3,4)=(9,8).
变式提升 3
若点O（0，0）、A（1，2）、B（-1，3），且=2，=3，则点A′的坐标为________，点B′的坐标为________，向量的坐标为_________.
解析：∵O（0，0），A（1，2），B（-1，3），
∴=（1，2），=（-1，3），=2×(1,2)=(2,4),=3×(-1,3)=(-3,9).
∴A′(2,4),B′(-3,9),=(-3-2,9-4)=(-5,5).
答案：（2，4） （-3，9） （-5，5）
【例4】 如右图，已知A（-1，2），B（3，4）连结A、B并延长至P，使|AP|=3|BP|，求P点坐标.21教育网
思路分析：由、同向共线，得=3.这样就可建立方程组，求出点P的坐标.
解：设P点坐标为（x,y）,则=（x+1,y-2）,=(x-3,y-4).由、同向共线，得=3，2-1-c-n-j-y
即（x+1,y-2）=3(x-3,y-4).
于是,
解得
因此，P点的坐标为（5，5）.
友情提示
一般地，A、B、P三点中选哪一个点作起点，分点或终点都可以，但一经确定两点.第三点也随之确定.虽然对各种情况的系数不同，但计算结果都一样，可根据题目条件恰当选择起点、分点和终点，确定相应的系数λ的值，优化解题过程.而此类题目最大的弊病是分不清起点与终点，致使公式用错.21世纪教育网版权所有
类题演练 4
已知A（-2，1），B（1，3），求线段AB中点M和三等分点P、Q的坐标.
解析：因为=
=（1，3）-（-2，1）=（3，2）.
所以=（+）=(-,2).
=+=(-1,).=+=(0,).
因此M（-，2），P（-1，），Q（0，）.
变式提升 4
在△ABC中，已知A（4，1）、B（7，5）、C（-4，7），则BC边的中线AD的长是（ ）
A. B. C. D.
解析：∵B（7，5），C（-4，7），
∴D（，6）.
∵A（4，1），∴=（，5）.
∴||=.
即BC边中线长为，应选B.
答案：B
§5 从力做的功到向量的数量积
知识梳理
1.两个向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量a，b，如图2-5-1所示，作=a，=b，则∠AOB称为a与b的夹角，记作〈a，b〉.21教育网
图2-5-1
(2)范围：［0,π］，〈a，b〉=〈b，a〉.
(3)当〈a，b〉=时，称向量a与b互相垂直，记作a⊥b.规定零向量与任一向量垂直.
(4)当〈a，b〉=0时，a与b同向；当〈a，b〉=π时，a与b反向.
2.向量的射影
图2-5-2
已知向量a和b，如图2-5-2所示，作=a，=b,过点B作的垂线，垂足为B1，则1的数量|b|cosθ 叫做向量b在向量a方向上的正射影（简称射影）.
3.向量的数量积（内积）
（1）定义：|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.
（2）理解：两向量的数量积不是向量而是数量，它可以为正数、为零、为负数.
（3）几何意义：向量a与向量b的数量积等于a的长度｜a｜与b在a方向上的射影|b|cosθ的乘积，或看作是b的长度｜b｜与a在b方向上的射影|a|cosθ的乘积.
4.向量数量积的性质
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
（1）e·a=a·e=|a|cos〈a，e〉.
（2）a·ba·b=0.
（3）当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|；特别地：a·a=|a|2或|a|=.21世纪教育网版权所有
（4）cos〈a，b〉=.
（5）|a·b|≤|a||b|.
5.向量数量积的运算律
交换律：a·b=b·a；结合律：（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）(λ∈R)；
分配律：（a＋b）·c=a·c＋b·c.
知识导学
1.学好本节，需复习平行向量基本定理、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示、平面向量的坐标运算.
2.本节的重点是向量数量积的坐标运算、度量公式及其应用，特别是向量垂直的坐标运算的应用；难点是向量数量积的理解，以及灵活应用度量公式解决问题.21cnjy.com
疑难突破
1.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算有什么区别和联系？
剖析：难点是对这三种运算分不清.其突破的途径主要是从运算的定义、表示方法、性质、结果和几何意义上来分析对比.21·cn·jy·com
①从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号所决定；两个实数的积也是一个实数，符号由这两个实数的符号所决定.2·1·c·n·j·y
②从运算的表示方法上看：两个向量a、b的数量积称为内积，写成a·b；大学里还要学到两个向量的外积a×b，而a·b是两个向量的数量的积，因此书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了.www.21-cn-jy.com
③从运算的性质上看：在向量的数量积中，若a·b=0，则a=0或b=0或〈a,b〉=；在向量的数乘中，若λa=0，则λ=0或a=0；在实数的乘法中，若a·b=0，则a=0或b=0.
在向量的数量积中：a·b=b·cb=0或a=c或〈b，(a－c)〉=；在向量的数乘中，λa=λb（λ∈R）a=b或a≠b；在实数的乘法中，ab=bca=c或b=0.【来源：21·世纪·教育·网】
在向量的数量积中：(a·b)c≠a·（b·c)；在向量的数乘中，（λｍ）a=λ(ｍa)（λ∈R,m∈R）；在实数的乘法中，有(a·b）c=a·（b·c).21·世纪*教育网
④从几何意义上来看：在向量的数量积中，a·b的几何意义是a的长度｜a｜与b在a方向上的射影|b|cosθ的乘积；在向量的数乘中，λa的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小|λ|倍.www-2-1-cnjy-com
2.如何应用|a|=来求平面内两点间的距离？
剖析：难点是知道这个等式成立，但不会用来求平面内两点间的距离.其突破口是建立平面向量基底，再代入等式即可.2-1-c-n-j-y
例如：如图2-5-3所示，已知平行四边形ABCD中，AB=3，AD=1，∠DAB=，求对角线AC和BD的长.21*cnjy*com
图2-5-3
解：设=a，=b.
则|a|=3，|b|=1，〈a,b〉=.
∴a·b=|a||b|cos〈a,b〉=.
又∵=a+b,=a-b，
∴||=，
||=，
∴AC=,DB=.
由此可见向量法求平面内两点间的距离的步骤是：
①建立平面向量基底或建立平面直角坐标系，将平面内两点间距离转化为向量的长度；
②应用公式|a|=，通过向量运算求出向量的长度；
③把向量的长度还原成平面内两点间的距离.
2.5 从力做的功到向量的数量积
课堂导学
三点剖析
1.平面向量的数量积
【例1】 已知|a|=4,|b|=3,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积.www.21-cn-jy.com
思路分析：利用向量的数量积定义求解，注意几种情况下，a与b的夹角大小.
解：①当a∥b时，若a与b同向，则a与b的夹角θ=0°,
∴a·b=|a|·|b|cosθ=4×3×cos0°=12;
若a与b反向，则a与b的夹角为θ=180°,
∴a·b=|a|·|b|cos180°=4×3×(-1)=-12;
②当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°，
∴a·b=|a|·|b|·cos90°=4×3×0=0;
③当a与b的夹角为60°时，
∴a·b=|a|·|b|·cos60°=4×3×=6.
友情提示
若|a|·|b|是一个定值k，则当这两个向量的夹角从0°变化到180°时，两向量的数量积从k减到-k，其图象是从0到π 的半个周期内的余弦函数图象.
各个击破
类题演练 1
Rt△ABC中，已知||=3，||=3，||=，求·+·+·的值.
解析:∵∠A=∠C=45°，∴〈，〉=135°，〈，〉=135°，
∴·+·+·=·+·=3×cos135°+×3cos135°=-18.
变式提升 1
若向量a、b、c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4.则a·b+b·c+c·a=____________.
解法一：由已知得|c|=|a|+|b|,c=-a-b,
故向量a与b同向，而向量c与它们反向.
所以有a·b+b·c+c·a=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.
∴应填：-13.
解法二：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a),
∴a·b+b·c+c·a==-13.
∴应填：-13.
答案：-13
2.平面向量数量积的综合应用
【例2】 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.
思路分析：根据公式a·b=|a||b|cosθ，得cosθ=，由此可求两向量的夹角.
解：|m|=1,|n|=1,由夹角是60°，
得m·n=.则有
|a|=|2m+n|=;
|b|=|2n-3m|=.
所以a·b=(2m+n)·(2n-3m)=m·n-6m2+2n2=,
cosθ=.
所以a、b的夹角为120°.
友情提示
应用向量的数量积求夹角时，要注意分析要求的角是否是所构造的向量的夹角.
类题演练 2
若(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b),试求a、b的夹角的余弦值.
解析：由(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b),有
∴a2=b2,|a|2=|b|2,|a|=|b|.
由2a2+a·b-b2=0,得
a·b=b2-2a2=|b|2-2|a|2=|b|2-2×|b|2=-|b|2.
∴cosθ=.
∴a、b的夹角的余弦值为.
变式提升 2
已知|a|=5,|b|=12,当且仅当m为何值时，向量a+mb与a-mb互相垂直？
解析:若向量a+mb与a-mb互相垂直，则有(a+mb)·(a-mb)=0.
∴a2-m2b2=0.∵|a|=5,|b|=12,
∴a2=25,b2=144.
∴25-144m2=0.
∴m=±.
∴当且仅当m=±时，向量a+mb与a-mb互相垂直.
3.平面向量数量积的运算律
【例3】 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120°，求：（1）a·b；（2）（a+b）2;(3)a2-b2;(4)(2a-b)·(a+3b);21世纪教育网版权所有
思路分析：本题主要考查数量积的定义及运算律.由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a+b）2=(a+b)·（a+b）=(a+b)·a+(a+b)·b=a·a+b·a+a·b+b·b b=a2+2a·b+b2.21cnjy.com
解：(1)a·b=|a||b|
cos120°
=5×4×(-)=-10;
(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2
=|a|2+2a·b+|b|2
=25-2×10+16
=21;
(3)a2-b2=|a|2-|b|2=25-16=9;
(4)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2
=2|a|2+5a·b-3|b|2
=2×25+5×(-10)-3×16
=-48.
友情提示
（1）在进行向量数量积运算时，要严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a±b）2=a2±2a·b+b2 (a+b)·（a-b）=a2-b2 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.21教育网
类题演练 3
已知|a|=|b|=5,〈a,b〉=,求|a+b|·|a-b|.
解析：因为a2=|a|2=25,b2=|b|2=25,
a·b=|a||b|cos〈a,b〉=5×5cos=
所以|a+b|=
同样可求|a-b|==5.
所以|a+b|·|a-b|=×5=.
变式提升 3
（1）若向量a与b夹角为30°，且|a|=,|b|=1,则向量p=a+b与q=a-b的夹角的余弦为_____.21·cn·jy·com
解析：∵p·q=(a+b)·（a-b）=a2-b2=3-1=2,
又∵|p|=|a+b|=,
|q|=|a-b|==1,
∴cosθ=.
答案：：
（2）若非零向量α,β满足|α+β|=|α-β|,求α与β所成的角.
解：∵|α+β|=|α-β|,
∴|α2|+2α·β+|β|2=|α|2-2α·β+|β|2,
即4α·β=0,∴α·β=0,∴α⊥β.
∴α与β所成的角为90°.
§6 平面向量数量积的坐标表示
知识梳理
1.向量数量积的坐标表示
已知a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则a·b=a1b1+a2b2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.21教育网
2.两个向量垂直的坐标表示
已知a=(a1，a2)，b=(b1,b2)，则a⊥ba1b1+a2b2=0；a⊥b (a1,a2)∥(-b2,b1).
3.向量的长度、距离和夹角公式（度量公式）
(1)长度公式：已知a=(a1,a2)，则|a|=.
(2)距离公式：如果A(x1，y1），B(x2，y2)，则||=.
(3)夹角公式：已知a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则两个向量a、b的夹角为cos〈a,b〉=.21·cn·jy·com
知识导学
1.复习平面向量的坐标表示，向量共线和垂直的条件，向量的长度和夹角的概念.
2.本节的重点是向量数量积的应用，难点是灵活应用数量积解决有关问题.
疑难突破
1.为什么向量的数量积能用坐标表示？
剖析：由于向量能用坐标表示，那么向量的数量积也能用坐标表示，因此其突破方法是利用平面向量的坐标表示来推导.【来源：21·世纪·教育·网】
设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，
则i·i=1，j·j=1，i·j=j·i=0.
∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j，
∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)
=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2,
即a·b=x1x2+y1y2.
用坐标表示向量数量积体现了数与形的密切结合和相互转化的思想，进一步体会到数形结合思想在解决数学问题时所带来的便利.www.21-cn-jy.com
2.为什么（a·b）c=a(b·c)不成立？
剖析：难点是总认为此等式成立.突破路径1：否定一个等式，只需举一个反例即可；突破路径2：利用数量积的几何意义来证明；突破路径3：利用反证法通过向量数量积的坐标表示来证明等式不成立.21·世纪*教育网
方法一：举反例.
如图2-6-1所示，设=a，=b，=c，且||=1，||=2，||=3，〈,〉=，〈, 〉=，则〈,〉=.www-2-1-cnjy-com
∴a·b=|a||b|cos〈a，b〉=1，b·c=|b||c|cos〈b，c〉=3.
∴(a·b)c=c，a(b·c)=3a.很明显c=3a不成立，
图2-6-1
∴(a·b)c=a(b·c)不成立.
再例如：a=(1,2)，b=(-3,4)，c=(6,-5),
则(a·b)c= ［1×(-3)+2×4］(6,-5)=3(6,-5)=(18,-15),
a(b·c)=(1,2)［-3×6+4×(-5)］=(-38)(1,2)=(-38,-72).
∴(a·b)c=a(b·c)不成立.
方法二：下面用向量数量积的几何意义来分析.
由于向量的数量积是实数，则设a·b=λ，b·c=μ.
则(a·b)c=λc，a(b·c)=μa.
由于c，a是任意向量，则λc=μa不成立.
∴(a·b)c=a(b·c)不成立.
方法三：下面用向量数量积的坐标表示来分析.
设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c=(x3,y3).
则a·b=x1x2+y1y2,b·c=x3x2+y3y2.
∴(a·b)c=(x1x2+下标y1y2)(x3,y3)=(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3)，21世纪教育网版权所有
a(b·c)=(x3x2+y3y2)(x1,y1)=(x1x2x3+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3).21cnjy.com
假设(a·b)c=a(b·c)成立,
则有(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3)=(x1x2x3+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3)，2·1·c·n·j·y
∴x1x2x3+y1y2x3=x1x3x2+x1y2y3，
x1x2y3+y1y2y3=x2x3y1+y1y2y3.
∴y1y2x3=x1y2y3，x1x2y3=x2x3y1.
∴y2(y1x3-x1y3)=0，x2（x1y3-x3y1）=0.
∵b是任意向量，
∴x2和y2是任意实数.
∴y1x3-x1y3=0.
∴a∥c.
这与a，c是任意向量，即不一定共线相矛盾.
∴假设不成立.
∴(a·b)c=a(b·c)不成立.
2.6 平面向量数量积的坐标表示
课堂导学
三点剖析
1.两个向量数量积的坐标
【例1】 已知：a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0＜α＜β＜π)
求证：a+b与a-b互相垂直.
思路分析：要证（a+b）⊥(a-b),只要证两者的数量积为0，解题过程中要用到三角函数知识
证法一：由已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),
有a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ),
a-b=（cosα-cosβ,sinα-sinβ）,
又(a+b)·(a-b)
=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)
=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0,
所以（a+b）⊥(a-b).
证法二：∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),
∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2
=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)
=1-1=0.
∴(a+b)⊥(a-b).
友情提示
两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一.
各个击破
类题演练 1
已知A（1，2），B（2，3），C（-2，5），求证：△ABC是直角三角形
证明:∵=（2-1，3-2）=（1，1）,
=（-2-1，5-2）=（-3，3）,
∴·=1×(-3)+1×3=0,
∴⊥即AB⊥AC
∴△ABC是直角三角形.
变式提升 1
已知a=(4,2),求与a垂直的单位向量的坐标.
解析：设b=(x,y)为所求单位向量
则x2+y2=1①
又∵a⊥b
∴a·b=(4,2)·(x,y)=4x+2y=0
∴4x+2y=0②
由①②得
∴b=()或b=().
2.建立向量与坐标间的关系，体现数形结合思想
【例2】 已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|，求a与a+b的夹角.
思路分析：本题思路较多.可以由条件求出a·(a+b)及|a+b|代入夹角公式.也可以运用向量加法的几何意义，构造平行四边形求解.www.21-cn-jy.com
解法一：根据|a|=|b|，有|a|2=|b|2，
又由|b|=|a-b|,得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2，∴a·b=|a|2.
而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,
∴|a+b|=|a|.
设a与a+b的夹角为θ，则
cosθ=，
∴θ=30°.
解法二：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O，作=a，=b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB.21cnjy.com
∵|a|=|b|，即||=||，∴OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时=a+b，=a-b.而|a|=|b|=|a-b|，即||=||=||.2·1·c·n·j·y
∴△AOB为正三角形，则∠AOB=60°，于是∠AOC=30°，即a与a+b的夹角为30°.
友情提示
本题的二种解法是基于平面向量的二种不同的表示方法而产生的，这一点需要大家认真体会
类题演练 2
已知直角三角形的两直角边长分别为4和6，试用向量求两直角边上的中线所成钝角的余弦值.
解析：建立如右图所示的坐标系.
则A（4，0），B（0，6），E（2，0），F（0，3）.
=（-4，3），=（2，-6），||=5，||=，
cos∠AO′B=.
∴两中线所成钝角的余弦值为.
变式提升 2
设a=(4,-3),b=(2,1)，若a+tb与b的夹角为45°，求实数t的值.
解析:a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3),
(a+tb)·b=(4+2t,t-3)·（2，1）=5t+5,
|a+tb|=.
由（a+tb）·b=|a+tb||b|cos45°,
得5t+5=,
即t2+2t-3=0,
∴t=-3或t=1.
经检验知t=-3不合题意，舍去.
∴t=1.
3.向量垂直的等价条件的应用
【例3】 如右图，已知正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（1，0）、（5，3），则点C的坐标是( )21·cn·jy·com
A.（2，7） B.（，）
C.（3，6） D.（，）
思路分析：欲求点C的坐标，可设点C为（x，y），然后利用条件建立x、y的方程组.注意到四边形ABCD为正方形，所以⊥，且||=||，可用它们建立x、y的方程组.21世纪教育网版权所有
解：设C点坐标为（x，y），则=（4，3），=（x-5，y-3）.
∵四边形ABCD为正方形，
∴⊥，||=||.
∴
解得
又∵C点在第一象限，
∴舍去.
答案：A
友情提示
求点的坐标，设出点的坐标然后建立坐标的方程组是解决这类题的常用方法.另外还可考虑几何法，作BM⊥x轴于点M，DN⊥x轴于点N，易得△ABM≌△DAN，可得D点坐标为（-2，4），然后利用=+，易得C点坐标.【来源：21·世纪·教育·网】
类题演练 3
如右图，已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），AD是BC边上的高，求及点D的坐标.21教育网
解析：设D的坐标为（x,y）
∵AD⊥BC,∴⊥,与共线.
又∵=(x-2,y+1),=(-6,-3),=(x+3,y+1).
∴
∴D点坐标为（1，1），∴=（-1，2）.
变式提升 3
以原点O和A（4，2）为2个顶点作等腰直角三角形OAB，∠B=90°,求B的坐标和AB的长.
解析：如右图，设B的坐标为（x,y）,则=（x,y）,=(x-4,y-2).
∵∠B=90°,∴⊥,
∴x(x-4)+y(y-2)=0,
即x2+y2=4x+2y.①
设的中点为C，则C(2,1),
=(2,1),=(x-2,y-1).
∵△AOB为等腰直角三角形，∴⊥,
2（x-2）+(x-1)=0,即2x+y=5.②
由①②可得
∴B的坐标为（1，3）或（3，-1），
=（-3，1）或（-1，-3），
∴|AB|=||=.
§7 向量应用举例
知识梳理
1.向量在平面几何中的应用
（1）证明线段相等，转化为证明向量的长度相等；求线段的长，转化为求向量的长度；
（2）证明线段、直线平行，转化为证明向量平行；
（3）证明线段、直线垂直，转化为证明向量垂直；
（4）几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；
（5）对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，通过代数（坐标）运算解决平面几何问题.
2.向量在解析几何中的应用
（1）若直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a=（m，n）平行于l，则k=tanα=；
反之，若直线的斜率k=，则向量（m，n）一定与该直线平行；
（2）向量（1，k）与直线l：y=kx+b平行；
（3）与a=（m，n）平行且过点P(x0,y0)的直线方程为
n(x-x0)-m(y-y0)=0;
(4)过点P(x0,y0)且与向量a=（m，n）垂直的直线方程为：m(x-x0)+n(y-y0)=0.
3.力向量与速度向量
（1）力是具有大小、方向和作用点的向量，它与向量有所不同.大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，它们就不相等.但是在不计作用点的情况下，可用平行四边形法则计算两个力的合力.21·cn·jy·com
（2）速度是具有大小和方向的向量，因而可用三角形和平行四边形法则，求两个速度的合速度.
知识导学
这部分内容是向量的核心内容，向量的平行和垂直是向量间最基本最重要的位置关系，在平面几何、解析几何、物理等方面有着重要的应用，是本章的重点，又是高考的热点内容，是高考的必考内容之一.21世纪教育网版权所有
疑难突破
1.用向量处理问题时，如何选择平面向量基底？
剖析：难点是在已知图形中有很多不共线的向量，到底选择哪两个向量为基向量？其突破口是明确向量基底的含义和选择向量基底的原则.www.21-cn-jy.com
平面内任意不共线的两个向量构成了平面向量基底，因此要在图形中选择不共线的两个向量即可.但是在具体的解题过程中，通常不会随便取不共线的两个向量，要选择适当的向量基底，这样会减少计算量.选择基向量的基本原则是：2·1·c·n·j·y
①不共线；
②基向量的长度最好已经确定；
③基向量的夹角最好已经明确（直角最合适）；
④尽量使基向量和所涉及到的向量共线或构成三角形或构成平行四边形.
要会选择适当的平面向量基底，还要靠平时经验的积累，需要自己逐步去体会和实践应用.
2.用向量处理问题时，如何建立平面直角坐标系？
剖析：难点是建立平面直角坐标系时，到底选择哪两条直线为坐标轴，哪个点为原点？选择不当会增加解题的运算量，也会带来不必要的麻烦.其突破口是明确平面直角坐标系是如何构成的以及选择坐标轴的基本原则.21教育网
具有公共原点的两条数轴构成了平面直角坐标系，因此在已知图形中，只要选择互相垂直的两条直线为坐标轴就能建立坐标系，但是又不能随便选择坐标轴，选择的基本原则是：
①尽量用已知图形中两互相垂直的向量所在直线为坐标轴；
②尽量选择已知图形中某一特殊点为原点；
③尽量使位于坐标轴上的已知点越多越好；
与选择向量基底类似，要学会选择适当的平面直角坐标系，还要靠平时经验的积累，需要自己逐步去体会和实践应用.21cnjy.com
2.7 向量应用举例
课堂导学
三点剖析
1.用向量解决简单的几何问题
【例1】 如右图平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长.
思路分析：本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决.
解：设=a,=b,则=a-b,=a+b.
而||=|a-b|=,
∴||2=5-2a·b=4.①
又||2=|ab|2=a2+2a·b+b2
=|a|2+2a·b+|b|2=1+4+2a·b.
由①得2a·b=1，
∴||2=6，∴||=，即AC=.
友情提示
在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决，过程中采取整体代入，使问题解决简捷明快.21教育网
各个击破
类题演练 1
已知△ABC中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N分别是AB、AC的中点,D是BC的中点,MN与AD交于F,求.21cnjy.com
解析：∵A(7,8),B(3,5),C(4,3)，
∴=(3-7,5-8)=(-4,-3),=(4-7,3-8)=(-3,-5).
又∵D是BC的中点,∴=(+)=(-3.5,-4).又M、N分别是AB、AC的中点,∴F为AD的中点.∴=-=(1.75,2).2·1·c·n·j·y
变式提升 1
如右图，O为△ABC的外心，E为三角形内一点，满足=++,求证：⊥.
∵=-，
=-=（++）-=+，
∴·=（-）·（+）=||2-||2.
∵O为外心，
∴||=||，即·=0，⊥.
2.用向量解决物理问题
【例2】 一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起,结果造成小孩胳膊受伤,试用向量知识加以解释.www-2-1-cnjy-com
思路分析：针对小孩的两条胳膊画出受力图形,然后通过胳膊受力分析,建立数学模型：
|F1|=,θ∈［0,π］来确定何种情景时,小孩的胳膊容易受伤.
解：设小孩的体重为G,两胳膊受力分别为F1、F2,且F1=F2,两胳膊的夹角为θ,胳膊受力分析如右图(不计其他因素产生的力),不难建立向量模型：|F1|=,θ∈［0,π］,当θ=0时,|F1|=；当θ=时,|F1|=|G|；又θ∈(0,π)时,|F1|单调递增,故当θ∈(0,)时,F1∈(,|G|),当θ∈(,π)时,|F1|＞|G|.此时,欲悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.21世纪教育网版权所有
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在解决力的合成、力的分解问题，一般是利用向量的平行四边形法则解决.
类题演练 2
在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°（如下图），求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.www.21-cn-jy.com
解析：作?OACB（左上图），使∠AOC=30°，∠BOC=60°.
在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，
||=||cos30°=(N),||=||sin30°=150(N),
||=||=150(N).
答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.
变式提升 2
如右图，质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为α，求斜面对于物体的摩擦力的大小f.
解析：如右图，物体受三个力：重力w,支持力p,摩擦力f.由于物体静止，这三个力平衡，合力为0；w+p+f=0.①【来源：21·世纪·教育·网】
由①，得w+p+f
=(mgcosα,mgsinα)+(-p,0)+(0,-f)
=(mgcosα-p,mgsinα-f)=(0,0).
故mgsinα-f=0,f=mgsinα.
3.在实际问题中怎样用向量
【例3】 已知两恒力F1(3,4)、F2(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).试求：21·世纪*教育网
(1)F1、F2分别对质点所做的功；
(2)F1、F2的合力F对质点所做的功.
思路分析：本题主要考查利用向量数量积知识解决物理中的做功问题，由于给出各分力的坐标，采用坐标法计算，首先求出位移的坐标，代入F·s公式即可.2-1-c-n-j-y
解：=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).
(1)W1=F1·=（3，4）·（-13，-15）=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦)
W2=F2·=（6，-5）·（-13，-15）=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦)
（2）W=F·=（F1+F2）·=［（3，4）+（6，-5）］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦).【来源：21cnj*y.co*m】
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力对物体所做的功实际是力与位移的数量积，即W=F·s，若用坐标运算，应当注意首先求出位移s这一向量的坐标，即终点的坐标减去起点的坐【出处：21教育名师】
标.本题最易弄错符号，特别是当力与位移夹角为钝角时.
类题演练 3
如右图所示，求两个力f1、f2的合力f的大小和方向（精确到一位小数）.
解析：设f1=(a1,a2),f2=(b1,b2),
则a1=300cos30°=259.8,
a2=300sin30°=150,
b1=-200cos45°=-141.4,b2=200sin45°=141.4,
∴f1=(259.8,150),
f2=(-141.4,141.4)
f=f1+f2=（259.8,150）+(-141.4,141.4)
=(118.4,291.4),
|f|==314.5.
设f与x轴的正向夹角为θ，则
tanθ==2.461 1.
由f的坐标知θ是第一象限的角，
∴θ=67°53′.
答：两个力的合力是314.5 N,与x轴的正方向的夹角为67°53′，与y轴的夹角为22°7′.
变式提升 3
已知一物体在共点力F1=（lg2,lg2）,F2=(lg5,lg2)的作用下产生位移s=(2lg5,1),则共点力对物体做的功W为（ ）21·cn·jy·com
A.lg2 B.lg5 C.1 D.221*cnjy*com
解析：合力F1+F2=（lg2,lg2）+(lg5,lg2)=(1,lg4).
W=F·s=(1,lg4)·（2lg5,1）=lg25+lg4=2.
答案：D
