11.1.2三角形的高、中线与角平分线
【学习目标】
1.认识三角形的高、中线与角平分线；
2. 会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，会表示角形的高、中线与角平分线；
3. 通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点,三角形的三条中线、三条角平分线等都交于一点.
【重点难点】
重点：三角形的高、中线与角平分线的理解.
难点：1.三角形平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别；
2.钝角三角形高的画法；
3.不同的三角形三条高的位置关系.
【学习过程】
自主学习：
1. 阅读课本第4页—5页，结合小学所学初步感知三角形的高、中线、角平分线；
2. 学具准备：做三个三角形纸片并标上数字1，2，3.
3. 请每个同学做好汇报下列问题的准备：
（1）本节课我们要学习什么内容？（2）预习后我有哪些收获？有哪些疑问？
二、合作探究：
探究一：
折一折：小学已经学过三角形的高，请用三角形片纸片1折出它一边上的高；
画一画：你能画出下列三角形的高吗？一个三角形有几条高？如何表示三角形的高？
3.三角形的高：______________________________________________________ ______
________________________________________________.
4.表示方法：
5.观察你画出的三角形的高，你有什么发现？
结论：
探究二：阅读课本，尝试解决下列问题.
1. 三角形的中线是________________________________________________________；
它与过中点的直线区别是________________________________________________.
2. 请用三角形纸片2折叠并画出三边中线，你发现了什么结论？
结论：
如探究二图，中线的表示方法是：
探究三：阅读课本，尝试解决下列问题.
三角形的角平分线是_____________________________________________________.
它与角平分线的最大区别是________________________________________________.
2.表示方法：如探究三图
3．请用三角形纸片3先折叠再画出三条角平分线，你发现了什么结论？
结论：
三、尝试应用：
A组：
1.教材5页，1题.
2.教材5页，2题.
B组：
3.如图1，AD⊥BC，垂足为D，则AD是_____的高，∠_________=∠________=90°.
4. 如图1中，AE平分∠BAC，交BC于E点，则AE叫做△ABC的__________，∠______=∠__________=∠__________.
5.三角形的高、中线、角平分线都是__________.
6.如图2，若BD=DE=EC，则AD是_________的中线，AE是_________的中线.
7.如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，则这个三角形是________
8.如图3，E、F分别是△ABC的边AC、AB的中点，FD⊥AC，则BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的_______；EF既是_______的中线，又是______的中线；FD是______的高.
补偿提高
1.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B 落在点B′的位置,则线段AC具有性质( )
A.是边BB′上的中线
B.是边BB′上的高
C.是∠BAB′的角平分线
D.以上三种性质合一.
2.如图，△ABC的周长为18 cm，BE、CF分别为AC、AB边上的中线，BE、CF相交于点O，AO的延长线交BC于D，且AF=3 cm,AE=2 cm，求BD的长.
【学后反思】
参考答案：
尝试应用：
A组答案略
B组答案：
3.△ABC(或△ABD或△ACD)；ADB；ADC
4.角平分线；BAE；CAE；BAC
5.线段
6.△ABE；△ADC
7.直三角形
8.中线；△ABE；△ACF；△ACF(答案不唯一)
补偿提高：
1.D
2.解：∵BE、CF是AC、AB边上的中线，且交于点O，
∴AB=2AF=2×3=6 (cm),
AC=2AE=2×2=4 (cm).
∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD=BC.
又∵△ABC的周长为18 cm,
∴BC=18-6-4=8 (cm).
∴BD=×8=4 (cm).
答：BD长为4 cm.
11.1.2三角形的高、中线、角平分线边当堂达标题
【当堂达标】
选择题：
1．下列说法正确的是（ ）．
A．直角三角形只有一条高
B．如果一个三角形有两条高与这个三角形的两边重合，那么这个三角形是直角三角形
C．三角形的三条高，可能都在三角形内部，也可能都在三角形外部
D．三角形三条高中，在三角形外部的最多只有1条
2．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）．
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
3．（2016?广安）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A B． C． D．
4．三角形的角平分线是（ ）．
A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都不对
5．如图所示，AM是△ABC的中线，那么若用S1表示△ABM的面积，用S1表示△ACM的面积，则S1与S2的大小关系是（ ）．
A．S1>S2 B．S1C．S1=S2 D．以上三种情况都可能
6．下列说法：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线都在三角形的内部，并且相交于一点，其中说法正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AD，垂足为点D，有下列说法：
①点A与点B的距离是线段AB的长；②点A到直线CD的距离是线段AD的长；
③线段CD是△ABC边AB上的高；④线段CD是△BCD边BD上的高．
上述说法中，正确的个数为_________个.
如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；
②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线的结论中正确的有____.
三、解答题：
9．如图所示，已知△ABC：
（1）过A画出中线AD；（2）画出角平分线CE；（3）作AC边上的高．
【拓展应用】
10．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，BC=12，AC=8，AD=6，求BE的长．
11．在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形各边的长．
【学习评价】
自评
师评
参考答案：
1．B 2．C 3．D 4．C
5．C （点拨：等底等高）
6．A
7. 4 8. 2
9．略
10．解：∵S△ABC =BC·AD=AC·BE，
∴BC·AD=AC·BE，
∴BE==9．
11．解：设AB=x（cm），则AD=DC=x（cm）．
（1）若AB+AD=12，即x+x=12．
所以x=8．
即AB=AC=8cm，则DC=4cm，
故BC=15-4=11cm，
此时AB+AC>BC，
所以三边长分别为8cm，8cm，11cm．
（2）若AB+AD=15，即x+x=15，
所以x=10，则DC=5cm，
故BC=12-5=7cm，
显然此时三角形存在，
所以三边长分别为10cm，10cm，7cm．
综上所述，此三角形的三边长分别为：
8cm，8cm，11cm或10cm，10cm，7cm．
第十一章 三角形
11.1.2 三角形的高、中线、角平分线
【教材分析】
教
学
目
标
知识
技能
1.认识三角形的高、中线与角平分线；
2. 会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.
过程
方法
通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点,三角形的三条中线,三条角平分线等都交于一点.
情感
态度
增强动手习惯，培养自主探究意识，增强审美意识，感受数学活动的探索性和创造性,激发探究热情．
重点
三角形的高、中线与角平分线的理解.
难点
1.三角形平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.
2.钝角三角形高的画法.
3.不同的三角形三条高的位置关系.
【教学流程】
环节
导 学 问 题
师 生 活 动
二次备课
情
境
引
入
【情景问题】
如图：在 ABC中,有一条红色线条,一端在顶点A处.另一端从点B沿着BC边移动到点C,观察移动过程中形成的无数条线(AD.AE.AF.AG……)中,有没有特殊位置的线条?你认为有那些特殊位置?
师：用课前准备的一个三角形教具进行演示，引导学生观察，激发同学们的学习兴趣.
生：通过观察,思考,找到了具有特殊位置的线条:
三角形的高、中线和角平分线.这三条线条是三角形的重要线条.
板书课题，进入新课.
自
主
探
究
合
作
交
流
自
主
探
究
合
作
交
流
【问题1】三角形的高
1.折一折：小学已经学过三角形的高，请用三角形片纸片1折出它一边上的高；
2.画一画：你能画出下列三角形的高吗？一个三角形有几条高？如何表示三角形的高？
3.定义：从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.
4.表示方法：如AD是△ABC的BC上的高；
（2）AD⊥BC于D；
（3）∠ADB=∠ADC=90°
5.分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高，观察高与三角形的位置关系.
由作图可得出如下结论：(1)三角形的三条高线相交于一点；(2)锐角三角形的三条高线相交于三角形的内部；(3)钝角三角形的三条高线相交于三角形的外部；(4)直角三角形的三条高线相交于三角形的直角顶点；
6.理解：
（1）三角行的高是线段,有长度，能测量.
（2）三角形的三条高交于一点，是钝角三角形时，交点在三角形外，直角三角形时，交点在直角顶点上，锐角三角形时交点在三角形内.
【问题2】三角形的中线
阅读课本5页，用三角形纸片2折叠、画出三角形三边中线，你有什么发现？
1.定义：三角形的中线是连结一个顶点和它对边中点的线段.
2.中线的表示方法：
（1）AE是△ABC的BC上的中线. （2）BE=EC=BC.
3.理解：
三角形的中线也是线段，一个三角形有三条中线，它们交于三角形内的一点.
【问题3】阅读课本5页，用三角形纸片3折叠出三角形的角平分线，再画出，观察所画出的三条角平分线，你有什么发现？
1.定义：三角形的角平分线是三角形的角平分线是三角形的一个内角平分线与它的对边相交, 这个角顶点与交点之间的线段.
2.表示方法：（学生阐述、教师写出）
3.理解：
（1）三角形的角平分线是线段，它不同于角的平分线，角的平分线是一条射线.
（2）一个三角形的三条角平分线交于一点，这点在三角形内.
师：提出要求，巡视指导学生完成.
生：看书思考，通过折叠、画图完成题目，完成后，展示和交流答案.
在交流时，学生们可以借助自己手中的折纸三角形，把字母标在三角形的纸片上，进行对照说明.
回忆并演示“过一点画已知直线的垂线”画法.
对于直角三角形和钝角三角形的高线的画法应给以适当强调，并让学生画出，总结画法，寻找规律.
教师：引导、讲评、鼓励、总结.
学生：自学，探究，合作交流
师特别强调的是： 三角形的高.中线与角平分线都是线段.
适当时候可以拓展三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形.
尝
试
应
用
A组：
1.教材5页，1题.
2.教材5页，2题.
B组：
3.如图1，AD⊥BC，垂足为D，则AD是_____的高，∠_________=∠________=90°.
4. 如图1中，AE平分∠BAC，交BC于E点，则AE叫做△ABC的__________，∠______=∠__________=∠__________.
5.三角形的高、中线、角平分线都是__________.
6.如图2，若BD=DE=EC，则AD是_________的中线，AE是_________的中线.
7.如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，则这个三角形是________
8.如图3，E、F分别是△ABC的边AC、AB的中点，FD⊥AC，则BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的_______；EF既是_______的中线，又是______的中线；FD是______的高.
教师：提出要求，学生独立完成后，小组内交流讨论，选择学生代表展示，教师讲评.
参考答案：
A组答案略
B组答案：
3.△ABC(或△ABD或△ACD)；ADB；ADC
4.角平分线；BAE；CAE；BAC
5.线段
6.△ABE；△ADC
7.直三角形
8.中线；△ABE；△ACF；△ACF(答案不唯一)
成
果
展
示
1. 通过本节所学你有哪些收获？
2.谈谈你掌握的方法和学习的感受.
学生自我总结，谈体会及注意事项，
总结规律.
补
偿
提
高
1.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B 落在点B′的位置,则线段AC具有性质( )
A.是边BB′上的中线
B.是边BB′上的高
C.是∠BAB′的角平分线
D.以上三种性质合一.
2.如图，△ABC的周长为18 cm，BE、CF分别为AC、AB边上的中线，BE、CF相交于点O，AO的延长线交BC于D，且AF=3 cm,AE=2 cm，求BD的长.
教师：提出要求，学生独立完成后，小组内交流讨论，选择学生代表展示，教师讲评.
参考答案：
1.D
2.解：∵BE、CF是AC、AB边上的中线，且交于点O，
∴AB=2AF=2×3=6 (cm),
AC=2AE=2×2=4 (cm).
∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD=BC.
又∵△ABC的周长为18 cm,
∴BC=18-6-4=8 (cm).
∴BD=×8=4 (cm).
答：BD长为4 cm.
作
业
设
计
1.必做：课本第 8 页，3、4 题；
2.选作：课本第 9 页， 9 题.
教师布置作业，并提出要求.
学生课下独立完成，延续课堂.
课件15张PPT。11.1 与三角形有关的线段11.1.2 三角形的高、中线与角平分线你还记得“过一点画已知直线的垂线” 吗?三角形的高A从三角形的一个顶点BC向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边的高，简称三角形的高。如图, 线段AD是BC边上的高.和垂足的字母.请你画出BC边上的高.锐角三角形的三条高每人画一个锐角三角形。
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗?(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ 将你的结果与同伴进行交流.ABCDEF锐角三角形的三条高交于同一点.锐角三角形的三条高都在三角形的内部。直角三角形的三条高在纸上画出一个直角三角形。将你的结果与同伴进行交流.ABC(1)画出直角三角形的三条高.AB直角边AB边上的高是 ;CB(2)它们有怎样的位置关系？D斜边AC边上的高是_______. BD●直角三角形的三条高交于直角顶点.钝角三角形的三条高(1) 钝角三角形的三条高交于一点吗？(2)它们所在的直线交于一点吗？将你的结果与同伴进行交流.O钝角三角形的三条高不相交于一点.钝角三角形的三条高所在直线交于一点.探究高线的特点每个三角形都有三条高线锐角三角形：直角三角形：钝角三角形：三条高线相交于一点，交点在直角三角形的直角的顶点处三条高线相交于一点，交点在三角形的内部三条高线相交于一点，交点在三角形的外部 三角形的中线在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形这边的中线.D∵AD是△ ABC的中线任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出这个三角形三条边的中线,你发现了什么?●●三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.EFO三角形的角平分线叫做三角形的角平分线。ABCD∵AD是 △ ABC的角平分线任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?●●在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段,三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部三角形的角平分线ACBFEDO∵BE是△ABC的角平分线∴____=_____= _____∴∠ACB=2____ =2____∠ABE∠CBE∠ABC∠ACF∵CF是△ABC的角平分线∠BCF 三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？三角形的角平分线是一条线段 , 角的平分线是一条射线.2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形
是（ ）A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.任意三角形BD3.如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高。填空：
（1）BE= = ；
（2）∠BAD= = ；
（3）∠AFB= =90°；
（4）SΔABC= 。CEBC∠CAD∠BAC∠AFC课本练习，填课本上！4.如图,在△ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的.⌒⌒ABCDE12FGH①AD是⊿ABE的角平分线( )②BE是⊿ABD边AD上的中线( )③BE是⊿ABC边AC上的中线( )④CH是⊿ACD边AD上的高( )三角形的高、中线与角平分线都是线段×××√5、在ΔABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC的周长.三角形的中线将原三角形分成的两个三角形的面积有何关系？再见 谢谢
