11.2.1三角形的内角第一课时
【学习目标】
1.理解“三角形的内角和等于180°”及其简单的推理;
2.能运用三角形内角和定理解决问题.
【重点难点】
重点:三角形内角和定理;
难点:三角形内角和定理的推导、验证过程.
【学习过程】
自主学习:
1. 回忆下列问题:
(1)什么叫做三角形的内角?
(2)如图,一个三角形共有几个内角?它们之间有怎样的关系?
(3)你能验证上面的结论吗?
2.学具准备:一个三角形纸板,剪刀.
二、合作探究:
探究一:在准备的纸片上动手操作剪下各内角拼一拼,你能得到什么结论?
结论:三角形内角和定理:________________________________________.
探究二:根据刚才的拼图实验,你能画出所拼得图形吗?根据所拼图形证明三角形内角和是180°.
(画图、写出已知并证明)
已知:
求证:
证明:
探究三:你还有其它证明方法吗?画图并证明,试一试.
三、例题探究:
例1:如图,在△ABC中,∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分线线.求∠ADB的度数.
例2.如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向,从C岛看A、B岛的视角∠ACB是多少度?
分析:
解:
尝试应用
1、求出下图中的x值:
2.完成下列各题:
(1)在△ABC中,若∠A=80°,∠C=20°,则∠B=____度.
(2)若∠A=80°,∠B=∠C,则∠C=____度;
(3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5,则∠B=____度,∠C=__度.
补偿提高
1.如图所示,有一艘渔船上午9点在A处沿正东方向航行,在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上,行驶2h到达B处,在B处测得灯塔C,在北偏东15°方向上,试求△ABC内角的度数.
【学后反思】
参考答案:
例题探究:
例1、见教材
例2、
解:∠CBA=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°
∵AD∥BE ∴∠BAD+∠ABE=180°
∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°
∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°
答:从B岛看A,C两岛的视角∠ACB是90°,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°。
尝试应用:1、45°,60°,30°
(1)80°(2)50°(3)54°,90°
补偿提高:1、 ∠CAB=30°,∠ABC=105°,∠C=45° 点拨:利用三角形内角和,方位角综合求解.
11.2.1三角形的内角第一课时
【当堂达标】
一、填空题:
1.在△ABC中,
(1)若∠A=36°,∠B=72°,则∠C=________.
(2)若∠A=40°,∠B-∠C=20°,则∠B=______,∠C=_____.
(3)若∠A=∠C-∠B,则∠C=________.
(4)若∠A+∠B=80°,∠C=2∠B,则∠A=____,∠C=_______
二、选择题:
2.在△ABC中,∠A=55°,∠B比∠C大25°,则∠B的度数为( ).
A.50° B.75°
C.100° D.125°
3. 已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为( )
A.100° B.120°
C.140° D.160°
4.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.不能确定
5. 在三角形的三个内角中:①最少有两个锐角;②最多有一个直角;③最多有一钝角.上述说法正确的是( ).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
6.(2015?绵阳)如图,在△ABC中,∠B、∠C的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=( )
A. 118° B. 119° C. 120° D. 121°
三、解答题:
7.如图,已知△ABC中 ∠C=∠ABC=2∠A, BD是AC边上的高.
求∠DBC的度数.
【拓展应用】
8.如图,一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD,,
求的度数.
自评
师评
【学习评价】
参考答案:
1.(1)72°
(2)80°;60°
(3)90°
(4)30°;100°
2.B 3.B
4.A 5.D; 6.C
7.分析:要求∠DBC的大小,由于∠DBC在三角形BDC中,∠DBC=90°,根据三角形内角定理,只要知道∠C的大小就可以了,根据已知△ABC中 ∠C=∠ABC=2∠A,可利用三角形内角和是180°,便可求得。.
答案:因为∠A+∠ABC+∠C=180°(已知)
又∠C=∠ABC=2∠A(已知)
设∠A=x
则x+2x+2x=180
解得:x=36°
所以∠C=72°
因为BD是AC边上的高(已知)
所以∠BDC=90°(垂直的定义)
所以∠C+∠DBC=90°(直角三角形的两个锐角互余)
所以∠DBC=18°.(等量代换)
8、解:∵滑翔伞的形状是左右对称的四边形
∴
在中,
∴
∴
答:的度数为.
第十一章 三角形
11.2.1 三角形的内角(第一课时)
【教材分析】
教
学
目
标
知识
技能
1.理解“三角形的内角和等于180°”及其的推理过程;
2.能运用三角形内角和定理解决问题.
过程
方法
经历得出三角形的内角和等于180°的过程,进一步提高学生应用所学知识解决问题的能力.
情感
态度
在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展同学们的合情推理能力,逐步养成和获得数学说理的习惯与能力.
重点
三角形内角和定理的推导及应用.
难点
三角形内角和定理的推导、验证过程.
【教学流程】
环节
导 学 问 题
师 生 活 动
二次备课
情
境
引
入
三角形王国里3个家族都说自己的内角和大, 如果你是法官会怎么宣判呢?
教师:出示投影,创设情景,导入新课.
学生:思考,交流,作出判断
答:一样大。
因为三角形三个内角的和等于180°.
自
主
探
究
合
作
交
流
自
主
探
究
合
作
交
流
【问题1】
(1)什么叫做三角形的内角?
(2)如图,一个三角形有共有几个内角,它们分别怎样表示?
(3)它们之间有怎样的关系?怎样验证?
【问题 2】探究三角形内角和是180°
在准备的纸片上任意画△ABC(注意:把表示三角形三个顶点的字母标在三角形的内部),动手操作剪下内角拼一拼,你能得到什么结论?
【问题 3】你能证明上述结论吗?
根据刚才的拼图,添加辅助线证明.
图(1) 图(2)
列举:
证明:如图(1)延长BC,过点C做CD∥AB
有∠1=∠A ∠B=∠2
因为∠1+∠2+∠ACB=180°
所以∠A+∠B+∠ACB=180°
例题探究:
1.出示教材13页例1:
分析:A、B、C三岛的连线构成△ABC,所求的∠ACB是 △ABC的一个内角,如果能求出∠CAB,∠ABC,就能求出∠ACB.
出示教材例2:
如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向,从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度?
教师:
提出问题,学生根据以前的所学回答(1)(2)尝试解决问题(3):测量、拼图说明等.
师:提出要求,巡视指导,参与操作.
学生:个人思考尝试,剪下内角,动手操作,拼拼看,再以小组为单位展示交流,验证三角形三个内角和是否为180度.
学生:动手实验,选几名学生将自己的做法在讲台前展示给大家.由其他同学根据拼图尝试将图画在黑板上;
教师:根据学生的拼图和画图引导学生用学过的知识分析、证明,共同写出过程.,师板演过程(渗透辅助线做法)
要求:数学需要书写规范的过程,
教师:还有其他的方法吗?试分析.
生:写出另一种证明过程.
教师:出示例题,引导学生分析
学生:回答分析问题,并阐述过程.
教师:讲评、激励.
例2:分析:怎样能求出∠ACB的度数?
设计3个问题:
请你解释一下这些方位角。
∠ACB是哪个三角形的内角?
有不同解法请你的同伴交流。
尝
试
应
用
1.求出下图中的x值:
2.完成下列各题:
(1)在△ABC中,若∠A=80°,∠C=20°,则∠B=____度.
(2)若∠A=80°,∠B=∠C,则∠C=____度;
(3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5,则∠B=____度,∠C=__度.
教师出示问题,学生先自主完成,然后交流,师生共同评价
答案:
1、45°,60°,30°
(1)80°(2)50°(3)54°,90°
成
果
展
示
1. 通过本节的学习你有哪些收获?
2.注意出现问题和方法总结(已知两角求第三角,已知一角和另外两角之间关系求第三角,已知三角比例关系求第三角…).
学生自我总结,谈体会及注意事项,
知识总结、升华.
补
偿
提
高
如图所示,有一艘渔船上午9点在A处
沿正东方向航行,在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上,行驶2h到达B处,在B处测得灯塔C,在北偏东15°方向上,试求△ABC内角的度数.
教师:出示题目,提出要求
学生:独立完成,组内交流,班内展示.
∠CAB=30°,∠ABC=105°,∠C=45° 点拨:利用三角形内角和,方位角综合求解.
作
业
设
计
必做题:教材第16页2第1、2、3题
选做题: 如图所示,已知AB⊥BD,AC⊥CD, ∠A=45°,则∠D的度数为( ).
A.45° B.55° C.65° D.35°
教师布置作业,并提出要求.
学生课下独立完成,延续课堂.
课件18张PPT。11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角(第1课时)
三角形王国里3个家族都说自己的内角和大, 如果你是法官会怎么宣判呢? 我们已经知道,任意一个三角形的内角和等于180°.怎么验证这个结论呢?方法一: 度量法 通过具体的度量,验证三角形的内角和为180°.想一想方法二 :拼合法 把三个角拼在一起试试看?方法三 :推理证明法
三角形的三个内角和是180°.——可以用拼合的办法来验证。 从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?想一想问题:有什么方法可以得到180 ° °1.平角的度数是180°2.两直线平行,同旁内角的和是180° 从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗?3、邻补角的和是180 °
为什么要证明 按照上面的方法,已经可以验证三角形的内角和是180°,但是由于形状不同的三角形有无数多个,我们不可能通过上面的办法一一验证.再加上其验证过程中可能存在误差,不能保证其有效性.所以我们需要一种能证明任意一个三角形的内角和等于180°的方法.这个方法就是—证明.
一个命题是否正确,需要经过使人信服的推理论证才能得出结论.而证明是由命题的题设(已知)出发,经过严密的推理,最后推出结论(求证)正确的过程.——可以用推理证明的办法来验证。已知△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°三角形内角和定理: 三角形内角和等于180°. 证明证法1:过A作EF∥BA,
∴∠B=∠2
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠1
(两直线平行,内错角相等)
又∵∠2+∠1+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180°F21ECBA三角形的内角和等于1800.证法2:延长BC到D,过C作CE∥BA,
∴ ∠A=∠1
(两直线平行,内错角相等)
∠B=∠2
(两直线平行,同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°三角形的内角和等于1800.证法3:过A作AE∥BC,
∴∠B=∠BAE
(两直线平行,内错角相等)
∠EAB+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180°三角形的内角和等于1800. 在这里,为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里,辅助线通常画成虚线。思路总结 为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.例1 如图,在△ABC中,∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数.解:由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分线,得
∠BAD=1/2∠BAC=20°
在△ABD中,∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°=85°例2 如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80 °方向,C岛在B岛的北偏西40 °方向。从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度?北 X+2X+ 90 °=180°X+X+X=180° 图(1)图(2)(1)求出图中x的值。尝试应用你真行! (4)在△ABC中, ∠A=40 ° ∠A=2∠B,则∠C=____。
102 °40 °120°尝试应用 (2)在△ABC中,∠A=35°,
∠ B=43 ° , 则∠ C= . (3) 在△ABC中,∠C=90°,∠B=50 °
则∠A=____。1、如图所示,有一艘渔船上午9点在A处
沿正东方向航行,在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上,行驶2h到达B处,在B处测得灯塔C,在北偏东15°方向上,试求△ABC内角的度数.
补偿提高谢谢!