11.2.1三角形的内角第二课时
【学习目标】
1、能发现“直角三角形的两个锐角互余”；三角形内角和定理的推论；
会用符号和字母表示直角三角形；
3、会用“两锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形及证明几何中的垂直问题．
【重点难点】
重点：探索并掌握直角三角的性质定理和判定定理．
难点：有关推理表述及性质定理和判定、判定定理的应用．
【学习过程】
知识回顾：：
叙述三角形内角和的定理：
△ABC中，∠A=60°，∠B=20°，
则∠C= 度
3、已知△ABC中∠A与∠B互余，
则∠C= ，△ABC是 三角形.
合作探究：
探究一、自学教材P13，学会直角三角形的符号表示法
探究二：直角三角形的性质
问题1：请同学们画一个直角△ABC，其中∠C= 90°，用量角器分别量出出∠A、∠B的度数，并且求出∠A+∠B的值．
结论： .
验证：在Rt△ABC中．
求证： ∠A+∠B= 90°．
探究三：直角三角形的判定：
我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形两锐角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由．
三、例题探究：
例1 如图，∠C=∠D=90° ，AD、BC相交与点E． ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
尝试应用
1、（1）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，则∠A=_ _．
（2）若∠C =∠A+∠B，则△ABC是______三角形．
（3）在△ABC中，∠A=90°，∠B=2∠C，求∠B，∠C的度数．
2、? 如图，在Rt△ABC中， 若∠ACD=∠B，CD⊥AB，△ABC为直角三角形吗？为什么？
五、补偿提高
1、如图,从处观测处时仰角,从B处观测C处时仰角,从C处测量A、B两处时视角∠ACB是多少?
【学后反思】
参考答案：
一、知识回顾
1、三角形三个内角的和等于180 °
2、100 °
3、90 °，直角
探究二：∵∠A+∠B + ∠C= 180°(三角形内角和定理）．
而∠C= 90°．
∴ ∠A+∠B= 90°．
结论： 直角三角形的两个锐角互余．
探究三、
如图，在△ABC中．
∠A+∠B+∠C=?180°（三角形内角和定理），
∵?∠A+∠B=90°（已知），
∴?∠C=90，
∴?△ABC是直角三角形 (直角三角形定义）．
例题答案见教材
尝试应用：
1、（1）62°
（2）直角三角形
（3）60°,30°
直角三角形
因为：∠ACD+∠A=90°；∠ACD=∠B，
所以：∠ACD+∠B=90°；
所以△ABC为直角三角形
补偿提高：
15°
11.2.1三角形的内角第2课时
【当堂达标】
填空题：
三角形中，最多有______个锐角，至少有______个锐角，最多有______个钝角，至少有______个钝角.
直角三角形两锐角 .
有两个角互余的三角形是 .
选择题：
4.具备下列条件的三角形ABC中，不为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A=∠B=∠C
C．∠A=90°-∠B D．∠A-∠B=90°
5.已知三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
6、（2016?吉林）.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上的一点，DE‖AB,∠ADE=42°，则∠B的大小为（ ）
A. 42° B. 45° C. 48° D.58°
三、解答题：
7．如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B=75°，∠C=45°，求∠DAE与∠AEC的度数．
Rt△ABC中∠ACB＝ 90 °，D、E分别在AB、AC上，若∠AED=∠B，△AED为直角三角形吗？试说明理由．
【拓展应用】
9.（1）如图所示，图（1）中三角形被遮住的两个内角是什么角？下图（2）中的呢？试说明理由．
（2）如下图（3）中三角形被遮住的两个内角可能是什么角？将你所得的结果进行比较．
自评
师评
【学习评价】
参考答案：
1、3,2,1,0；
2、互余，3、直角三角形，4、D，5、B，6、C
7、解：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=75°，∠C=45°，
∴∠BAC=60°．
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=×60°=30°．
∵AD是BC上的高，∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-75°=15°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=30°-15°=15°．
在△AEC中，∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-45°-30°=105°．
直角三角形
9、分析：因为三角形的三个内角和为180°，所以由此可知：在一个三角形中不可能有两个直角，也不可能有两个钝角或一个直角或一个钝角．因此当一个三角形的两个内角被遮住时，如果露出的那个角是直角或钝角时，那么被遮住的两个内角都是锐角．如果露出的那个角是锐角时，那么被遮住的两个内角可能都是锐角，也可能是一个直角一个锐角，也可能是一个钝角和一个锐角．
解：图（1）中的三角形被遮住的那两个内角一定是锐角，图（2）中的三角形被遮住的两个内角也一定是锐角，而图（3）中的三角形被遮住的两个内角不确定，可能是两个锐角；也可能是一个直角，一个锐角；也可能是一个钝角，一个锐角．
第十一章 三角形
11.2.1三角形的内角（第二课时）
【教材分析】
教
学
目
标
知识
技能
能发现“直角三角形的两个锐角互余”；三角形内角和定理的推论；
会用符号和字母表示直角三角形；
3、会用“两锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形及证明几何中的垂直问题．
过程
方法
经历“直角三角形两个锐角互余”的探讨，掌握直角三角形两个锐角互余的性质．
情感
态度
体会一般到特殊的思想，体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心.
重点
探索并掌握直角三角形的性质定理和判定定理．
难点
有关推理表述及性质定理和判定、判定定理的应用．
【教学流程】
环节
导 学 问 题
师 生 活 动
二次备课
知
识
回
顾
1、三角形内角和的定理：
三角形三个内角的和等于180 °
△ABC中,∠A+∠B+∠C= 180 °
△ABC中，∠A=60°，∠B=20°，
则∠C= 度
已知△ABC中∠A与∠B互余，
则∠C= ，△ABC是 三角形.
4、直角三角形的定义．
教师：
出示问题，引导、激励、评价
学生：
复习、回忆、联系
三角形三个内角的和等于180 °
100 °
90 °，直角
4、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
自
主
探
究
合
作
交
流
自
主
探
究
合
作
交
流
问题1、直角三角形的表示方法
三角形用什么符号表示？那么直角三角形又用什么符号表示呢？三角形ABC表示△ABC，直角三角形可以用符号“Rt△”，直角△ABC表示方法：Rt△ABC．
问题2? 探究直角三角形的性质
请同学们画一个直角△ABC，其中∠C= 90°，用量角器分别量出出∠A、∠B的度数，并且求出∠A+∠B的值．
追问：通过对问题3的计算你发现∠A和∠B有什么关系？
追问：结合图形你能写出已知、求证和证明吗？
几何推理过程．
如图3，在Rt△ABC中．
∵∠A+∠B + ∠C= 180°(三角形内角和定理）．
而∠C= 90°．
∴ ∠A+∠B= 90°．
结论： 直角三角形的两个锐角互余．
追问：此直角三角形性质用几何语言该怎样表示？
∵△ABC是直角三角形
∴ ∠A+∠B= 90°．
直角三角形判定定理
问题4 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形两锐角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由．
推理过程如下：
如图5，在△ABC中．
∠A+∠B+∠C=?180°（三角形内角和定理），
∵?∠A+∠B=90°（已知），
∴?∠C=90，
∴?△ABC是直角三角形 (直角三角形定义）．
例题尝试：
例1 如图4，∠C=∠D=90° ，AD、BC相交与点E． ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
教师：提出问题，点拨诱导
板书：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
学生：回顾，对比、自主学习
回忆小学已学习的直角三角形知识，
学生自主阅读p13.内容
学生运用三角形内角和定理计算，体会一般到特殊
教师提出问题；学生画图、测量，交流总结
学生回答，教师板书，师生共同完成证明过程．同时教师指出，经过证明的这个结论被称为“直角三角形性质定理”．
师生活动：学生独立思考，然后小组交流，并汇报交流结果．
设计思路：能够独立思考获得解决问题的思路，乐于与他人合作，与同伴交流，从中受益，培养学生团结协作的精神．
教师点拨：
要想找出∠CAE与∠DBE有什么关系，它们不在同一个三角形中，通过观察它们在两个不同的直角三角形中的锐角，只要找另外两个锐角的关系即可．
学生独立完成解题过程，一名学生板书；
师生共同分析板书学生解题过程是否合理规范．
答案见教材
尝
试
应
用
1、（1）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，则∠A=_ _．
（2）若∠C =∠A+∠B，则△ABC是______三角形．
（3）在△ABC中，∠A=90°，∠B=2∠C，求∠B，∠C的度数．
2、? 如图，在Rt△ABC中， 若∠ACD=∠B，CD⊥AB，△ABC为直角三角形吗？为什么？
学生口答第（1）、（2）题，第（3）题
教师安排学生演板，评价、激励
答案：1、（1）62°
（2）直角三角形
（3）60°,30°
直角三角形
因为：∠ACD+∠A=90°；∠ACD=∠B，
所以：∠ACD+∠B=90°；
所以△ABC为直角三角形
成
果
展
示
1、内角和定理的推论：直角三角形的两个锐角互余
2、直角三角形的判定：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
引导学生总结本节课知识
强调、激励评价
学生回顾、完善知识结构
补
偿
提
高
1、如图,从处观测处时仰角,从B处观测C处时仰角,从C处测量A、B两处时视角∠ACB是多少?
教师出示问题
学生合作交流
答案：
15°
作
业
设
计
教科书第14页习题第2，第17页习题10题．
认定作业，完成作业
课件18张PPT。11.2.1三角形的内角第二课时 1．什么是直角三角形？有一个内角是直角的三角形是直角三角形 我是谁？？？? 问题1. 在△ABC 中，∠A =60°，∠B =30°，∠C 等于多少度？你用了什么知识解决的？探索直角三角形的性质 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，
直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．第二站探索直角三角形的判定 问题3 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？怎样认识我？1. 在Rt△ABC中，∠C=90°两锐角之和： ∠A+∠B=？直角三角形的性质：
直角三角形两锐角互余 解： 在Rt△ABC中，∠C=90°
∵ ∠A +∠B+∠C= 180°，
∴ ∠A +∠B=90°。第一站探索直角三角形性质探索直角三角形的性质在Rt△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°． 问题2 此性质的几何推理格式该怎样表示？ 如图，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？由三角形内角和性质，
∠A +∠B+∠C= 180°，
因为∠A +∠B=90°，
所以∠C=90°，
于是△ABC是直角三角形.有两个角互余的三角形是直角三角形. 直角三角形的判定定理：探索直角三角形的判定探索直角三角形的判定 问题4 类比性质的几何推理格式，判定的几何推理格式又该怎样表示？ 推理格式：
在△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
∴ △ABC 是直角三角形．例题讲解 例 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E， ∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？ 分析：两个角的关系是
什么？这两个角分别在什么
三角形中？你如何验证自己
的想法？1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，则∠B＝ ( )
A．60° B．50° C．40° D．90°
2．若一个直角三角形的两个锐角度数分别是x°，y°，则x与y的关系是 ( )
A．x＋y＝180 B．x－y＝180
C．x＋y＝90 D．无关系
BC尝试应用3．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠A＝40°，则∠1＝ ( )
A．30° B．40° C．45° D．60°
B相等．
同角的余角相等． 课堂练习 P14 练习 如图，∠ACB =90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD 与∠B 有什么关系？为什么？课堂练习 变式1 若∠ACD =∠B，∠ACB =90°，则CD 是△ACB 的高吗？为什么？ 是．
有两个角互余的三角形
是直角三角形．课堂练习 变式2 若∠ACD =∠B，CD ⊥AB，△ACB 为直角三角形吗？为什么？ 是．
有两个角互余的三角形
是直角三角形．拓展提高 直角三角形的判定 1·直角三角形的性质
2·直角三角形的判定 这节课我们一起学习了什么？
布置作业教科书习题11.2 第1、10题．
