第一章 数与式第5节一元一次方程（组）
■知识点一：一元一次方程（组）的有关概念
1．等式：用“=”表示相等关系的式子叫等式．
2．等式性质：
①如果a=b，那么a±c=b±c；
②如果a=b，那么ac=bc；如果a=b且c≠0，那么
3．方程：含有未知数的等式叫做方程：使方程左右两边值相等的未知数的值 叫做方程的解，一元方程的解也叫它的根：求方程解的过程叫做解方程．21·cn·jy·com
4．一元一次方程：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程：它的一般形式为ax+b=0(a≠0)．其解为x＝ ． www.21-cn-jy.com
5.一元一次方程必须三个条件：
一元一次方程只有一个元并且是整式方程；
一元一次方程未知数的系数不为0；
一元一次方程未知数的最高次数只能为1；
6.解系数中含有字母的一元一次方程，最后都要化成ax+b=0的形式，解有三种不同的情况
（1）a≠0时，x= ，是唯一解； （2）a=0，且b=0时，方程有无穷多解； （3）a=0，但b≠0时，方程无解。21教育名师原创作品
7. 二元一次方程(组)的相关概念
（1）二元一次方程：含有______未知数，并且未知数的项的次数都是__ _，这样的整式方程叫做二元一次方程．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．21*cnjy*com
（2）二元一次方程组：具有相同未知数的 二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
（3）二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程
的一个解，一个二元一次方程有 个解.??
（4）二元一次方程组的解：?二元一次方程组的两个方程的 ，叫做二元一次方程组的解.?21cnjy.com
■知识点二：解方程（组）的一般步骤及每步的理论根据和注意点
（1）解一元一次方程的一般步骤：①去分母 ：②去括号 ：③移项 ：④合并 同类项 ：⑤系数化为1．
去分母等式性质2
去括号
移项
合并同类项
（2）二元一次方程(组)的解法
解二元一次方程组的基本思想是 ，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有__ 消元法和 消元法．21教育网
■知识点三：一次方程(组)的实际应用
一般步骤
1． ；
2． ；
3．找出能够包含未知数的 ；
4． ；
5． ；
6． ．
■知识点四：解简单的三元一次方程组
实质就是利用代入法或加减法消元
■考点1一元一次方程（组）的有关概念
◇典例：
1.把方程 x＝1变形为x=2，其依据是（ ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质1
【考点】等式的性质．
【分析】根据等式的基本性质，对原式进行分析即可．
解：把方程x＝1变形为x=2，其依据是等式的性质2； 故选：B．
2.（2013?安顺）4xa+2b-5-2y3a-b-3=8是二元一次方程，那么a-b=____________
【考点】二元一次方程的定义；解二元一次方程组．
【分析】根据二元一次方程的定义即可得到x、y的次数都是1，则得到关于a，b的方程组求得a，b的值，则代数式的值即可求得．2-1-c-n-j-y
解：根据题意得：.
解得：
则a-b=0． 故答案为：0．
◆变式训练
1.（2017?永州）x=1是关于x的方程2x-a=0的解，则a的值是（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
2.（2016?台湾）x=﹣3，y=1为下列哪一个二元一次方程式的解？（ ）
A .x+2y=﹣1 B .x﹣2y=1 C .2x+3y=6 D .2x﹣3y=﹣6
■考点2.解一元一次方程（组）
◇典例
1.（2017?武汉）解方程：4x-3=2（x-1）
【考点】解一元一次方程．
【分析】去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到方程的解．
解：4x-3=2（x-1） 4x-3=2x-2 4x-2x=-2+3 2x=1 x=
2.（2015?重庆）解方程组
y＝2x?4 ①
3x+y＝1 ②．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
解：y＝2x?4①
3x+y＝1②， ①代入②得：3x+2x-4=1， 解得：x=1， 把x=1代入①得：y=-2， 则方程组的解为
x＝1
y＝?2．
◆变式训练
1.(1）解方程：﹣1=
（2）若关于x的方程3x﹣7=2x+a的解与方程x+5=6的解相同，求a的值．
2. （2016云南）解方程组．
■考点3. 一次方程(组)的实际应用
◇典例：
1.（2015.牡丹江）某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为________元．www-2-1-cnjy-com
【考点】 一元一次方程的应用．
【分析】 根据题意可知商店按零售价的8折再降价10元销售即销售价=150×80%﹣100，得出等量关系为150×80%﹣10﹣x=x×10%，求出即可．21*cnjy*com
解：设该商品每件的进价为x元，则
150×80%﹣10﹣x=x×10%，
解得 x=100．
即该商品每件的进价为100元．
故答案是：100．
2.（2016·山东省滨州市 ）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲是技术能手每小时比乙
多做3个，甲做30个所用的时间与乙做20个所用的时间相等，那么甲每小时做____个零件．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设甲每小时做x个零件，乙每小时做y个零件，根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【出处：21教育名师】
解：设甲每小时做x个零件，乙每小时做y个零件，
依题意得：，
解得：．
故答案为：9．
◆变式训练
1.（2017.岳阳）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？【版权所有：21教育】
2.（2017.自贡）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组_____________________．
■考点4. 解简单的三元一次方程组
◇典例：
已知|2x-y-4|+|y-2z|+|3z-x|=0，则x=____，y=_______，z=______．
【分析】根据绝对值的非负性得出三元一次方程组，求出方程组的解即可． 解：∵|2x-y-4|+|y-2z|+|3z-x|=0， ∴2x-y-4=0，y-2z=0，3z-x=0， 即 把②③代入①得：6z-2z=4， 解得：z=1， ∴x=3z=3，y=2z=2， 故答案为：3，2，1．【来源：21cnj*y.co*m】
◆变式训练
（2017春?诸暨市月考）已知x+2y-3z=0，2x+3y+5z=0，则 = ________
（2015年江苏无锡市）方程2x-1=3x+2的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3
2. （2017年四川省巴中市）若方程组的解满足x+y=0，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．不能确定
3.（2017年南充市）如果a+3=0，那么a的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
4.（2016年福建省南平市 ）闽北某村原有林地120公顷，旱地60公顷，为适应产业结构调整，需把一部分旱地改造为林地，改造后，旱地面积占林地面积的20%，设把x公顷旱地改造为林地，则可列方程为（ ）
A．60﹣x=20%（120+x） B．60+x=20%×120
C．180﹣x=20%（60+x） D．60﹣x=20%×120
5.（2016年宁夏中考数学）已知x，y满足方程组，则x+y的值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
6. （2016年甘肃省天水市）规定一种运算“*”，a*b=a﹣b，则方程x*2=1*x的解为__________．
7.（2016年扬州市中考数学 ）以方程组的解为坐标的点（x，y）在第 象限．
8.（2016年浙江省金华）解方程组．
9. （2017年安徽省中考数学 ）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物、人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？
请解答上述问题．
10. （2017年呼和浩特市）某专卖店有A，B两种商品，已知在打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元，A，B两种商品打相同折以后，某人买500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1960元，计算打了多少折？
一．选择题（共7小题）
1．（2017?杭州）设x，y，c是实数，（ ）
A．若x=y，则x+c=y﹣c B．若x=y，则xc=yc
C．若x=y，则 D．若，则2x=3y
2．（2016?杭州）已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，则可列方程为（ ）
A．518=2（106+x） B．518﹣x=2×106
C．518﹣x=2（106+x） D．518+x=2（106﹣x）【来源：21·世纪·教育·网】
3．（2015?杭州）某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把x公顷旱地改为林地，则可列方程（ ）
A．54﹣x=20%×108 B．54﹣x=20%（108+x）
C．54+x=20%×162 D．108﹣x=20%（54+x）
4．（2014?绍兴）如图1，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图2，则被移动的玻璃球的质量为（ ）
A．10克 B．15克 C．20克 D．25克
5．（2017?台州）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目
里程费
时长费
远途费
单价
1.8元/公里
0.3元/分钟
0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（ ）21·世纪*教育网
A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟
6．（2017?衢州）二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】用加减消元法解方程组即可．
7．（2016?温州）已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x，乙数为y，根据题意，列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共7小题）
8．（2017?金华）若=，则=_______________．
9．（2014?湖州）方程2x﹣1=0的解是x=____________．
10．（2016?温州）方程组的解是____________．
11．（2016?绍兴）书店举行购书优惠活动：
①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；
②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；
③一次性购书超过200元一律打七折．
小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是____________元．2·1·c·n·j·y
12．（2015?嘉兴）公元前1700年的古埃及纸草书中，记载着一个数学问题：“它的全部，加上它的七分之一，其和等于19．”此问题中“它”的值为 ．
13．（2015?义乌市）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升_______cm．
（1）开始注水1分钟，丙的水位上升______cm．
（2）开始注入__或____分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm．
三．解答题（共4小题）
14．（2016?金华）解方程组．
15．（2005?宁波）已知关于x的方程的解是x=2，其中a≠0且b≠0，求代数式的值．
16．（2013?台州）已知关于x，y的方程组的解为，求m，n的值．
18．（2014?宁波）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．
A方法：剪6个侧面； B方法：剪4个侧面和5个底面．
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
（1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
第一章 数与式第5节一元一次方程（组）
■知识点一：一元一次方程（组）的有关概念
1．等式：用“=”表示相等关系的式子叫等式．
2．等式性质：
①如果a=b，那么a±c=b±c；
②如果a=b，那么ac=bc；如果a=b且c≠0，那么
3．方程：含有未知数的等式叫做方程：使方程左右两边值相等的未知数的值 叫做方程的解，一元方程的解也叫它的根：求方程解的过程叫做解方程．www.21-cn-jy.com
4．一元一次方程：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程：它的一般形式为ax+b=0(a≠0) ．其解为x＝ ． 21*cnjy*com
5.一元一次方程必须 三个条件：
一元一次方程只有一个元并且是整式方程；
一元一次方程未知数的系数不为0；
一元一次方程未知数的最高次数只能为1；
6.解系数中含有字母的一元一次方程，最后都要化成ax+b=0的形式，解有三种不同的情况
（1）a≠0时，x=，是唯一解； （2）a=0，且b=0时，方程有无穷多解； （3）a=0，但b≠0时，方程无解。【版权所有：21教育】
7. 二元一次方程(组)的相关概念
（1）二元一次方程：含有__两个__未知数，并且未知数的项的次数都是__1__，这样的整式方程叫做二元一次方程．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．
（2）二元一次方程组：具有相同未知数的__两个__二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
（3）二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程
的一个解，一个二元一次方程有 无数多 个解.??
（4）二元一次方程组的解：?二元一次方程组的两个方程的 公共解 ，叫做二元一次方程组的解.?
■知识点二：解方程（组）的一般步骤及每步的理论根据和注意点
（1）解一元一次方程的一般步骤：①去分母 ：②去括号 ：③移项 ：④合并 同类项 ：⑤系数化为1．
去分母等式性质2
去括号
移项
合并同类项
（2）二元一次方程(组)的解法
解二元一次方程组的基本思想是__消元__，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有__代入__消元法和__加减__消元法．
■知识点三：一次方程(组)的实际应用
一般步骤
1．__审题__；
2．__设元__；
3．找出能够包含未知数的__等量关系__；
4．__列出方程(组)__；
5．__求出方程(组)的解__；
6．__验根并作答__．
■知识点四：解简单的三元一次方程组
实质就是利用代入法或加减法消元
■考点1一元一次方程（组）的有关概念
◇典例：
1.把方程x＝1变形为x=2，其依据是（ ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．分式的基本性质 D．不等式的性质1
【考点】等式的性质．
【分析】根据等式的基本性质，对原式进行分析即可．
解：把方程x＝1变形为x=2，其依据是等式的性质2； 故选：B．
2.（2013?安顺）4xa+2b-5-2y3a-b-3=8是二元一次方程，那么a-b=____________
【考点】二元一次方程的定义；解二元一次方程组．
【分析】根据二元一次方程的定义即可得到x、y的次数都是1，则得到关于a，b的方程组求得a，b的值，则代数式的值即可求得．
解：根据题意得：.
解得：
则a-b=0． 故答案为：0．
◆变式训练
1.（2017?永州）x=1是关于x的方程2x-a=0的解，则a的值是（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【考点】一元一次方程的解．
【分析】根据方程的解的概念即可求出a的值．
解：将x=1代入2x-a=0中， ∴2-a=0， ∴a=2 故选B
2.（2016?台湾）x=﹣3，y=1为下列哪一个二元一次方程式的解？（ ）
A .x+2y=﹣1 B .x﹣2y=1 C .2x+3y=6 D .2x﹣3y=﹣6
【分析】把x和y的值分别代入各式左边等于右边的就是
解：把x和y的值代入A，左边=-3+2=-1=右边
故选A
■考点2.解一元一次方程（组）
◇典例
1.（2017?武汉）解方程：4x-3=2（x-1）
【考点】解一元一次方程．
【分析】去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到方程的解．
解：4x-3=2（x-1） 4x-3=2x-2 4x-2x=-2+3 2x=1 x=
2.（2015?重庆）解方程组
y＝2x?4 ①
3x+y＝1 ②．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
解：y＝2x?4①
3x+y＝1②， ①代入②得：3x+2x-4=1， 解得：x=1， 把x=1代入①得：y=-2， 则方程组的解为
x＝1
y＝?2．
◆变式训练
1.(1）解方程：﹣1=
（2）若关于x的方程3x﹣7=2x+a的解与方程x+5=6的解相同，求a的值．
解：（1）去分母得：9x﹣3﹣12=10x﹣14，
移项合并得：x=﹣1；
（2）方程x+5=6，
去分母得：x+10=12，
解得：x=2，
把x=2代入3x﹣7=2x+a中得：a=﹣5．
2. （2016云南）解方程组．
解：①－②，得y＝3，
把y＝3代入②，得x＋3＝2，
解得：x＝－1．
∴原方程组的解是．
■考点3. 一次方程(组)的实际应用
◇典例：
1.（2015.牡丹江）某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为 ________元．www-2-1-cnjy-com
【考点】 一元一次方程的应用．
【分析】 根据题意可知商店按零售价的8折再降价10元销售即销售价=150×80%﹣100，得出等量关系为150×80%﹣10﹣x=x×10%，求出即可．【出处：21教育名师】
解：设该商品每件的进价为x元，则
150×80%﹣10﹣x=x×10%，
解得 x=100．
即该商品每件的进价为100元．
故答案是：100．
2.（2016·山东省滨州市 ）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲是技术能手每小时比乙
多做3个，甲做30个所用的时间与乙做20个所用的时间相等，那么甲每小时做____个零件．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设甲每小时做x个零件，乙每小时做y个零件，根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．
解：设甲每小时做x个零件，乙每小时做y个零件，
依题意得：，
解得：．
故答案为：9．
◆变式训练
1.（2017.岳阳）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？
【分析】设这批书共有3x本，根据每包书的数目相等．即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设这批书共有3x本，
根据题意得： =，
解得：x=500，
∴3x=1500．
答：这批书共有500本．
2.（2017.自贡）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组_____________________．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】分别利用大、小和尚一共100人以及馒头大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，馒头一共100个分别得出等式得出答案．
解：设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组：
．
故答案为：．
■考点4. 解简单的三元一次方程组
◇典例：
已知|2x-y-4|+|y-2z|+|3z-x|=0，则x=____，y=_______，z=______．
【分析】根据绝对值的非负性得出三元一次方程组，求出方程组的解即可． 解：∵|2x-y-4|+|y-2z|+|3z-x|=0， ∴2x-y-4=0，y-2z=0，3z-x=0， 即 把②③代入①得：6z-2z=4， 解得：z=1， ∴x=3z=3，y=2z=2， 故答案为：3，2，1．
◆变式训练
（2017春?诸暨市月考）已知x+2y-3z=0，2x+3y+5z=0，则 = ________
【考点】解三元一次方程组．
【分析】将x、y写成用z表示的代数式进行计算．
解：由题意得：
①×2-②得y=11z， 代入①得x=-19z，
故本题答案为：
（2015年江苏无锡市）方程2x-1=3x+2的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3
解：方程2x﹣1=3x+2，
移项得：2x﹣3x=2+1，
合并得：﹣x=3．
解得：x=﹣3，
故选D．
2. （2017年四川省巴中市）若方程组的解满足x+y=0，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．不能确定
【考点】二元一次方程组的解．
【分析】根据等式的性质，可得答案．
解：①+②，得
3（x+y）=3﹣3k，
由x+y=0，得
3﹣3k=0，
解得k=1，
故选：B．
3.（2017年南充市）如果a+3=0，那么a的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【考点】 解一元一次方程．
【分析】直接移项可求出a的值．
解：移项可得：a=﹣3．
故选B．
4.（2016年福建省南平市 ）闽北某村原有林地120公顷，旱地60公顷，为适应产业结构调整，需把一部分旱地改造为林地，改造后，旱地面积占林地面积的20%，设把x公顷旱地改造为林地，则可列方程为（ ）21世纪教育网版权所有
A．60﹣x=20%（120+x） B．60+x=20%×120
C．180﹣x=20%（60+x） D．60﹣x=20%×120
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【分析】设把x公顷旱地改为林地，根据旱地面积占林地面积的20%列出方程即可．
解：设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：60﹣x=20%（120+x）．
故选：A．
5.（2016年宁夏中考数学）已知x，y满足方程组，则x+y的值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
【考点】二元一次方程组的解．
【分析】方程组两方程相加求出x+y的值即可．
解：，
①+②得：4x+4y=20，
则x+y=5，
故选C
6. （2016年甘肃省天水市）规定一种运算“*”，a*b=a﹣b，则方程x*2=1*x的解为__________．【来源：21cnj*y.co*m】
【考点】解一元一次方程．
【分析】根据新定义运算法则列出关于x的一元一次方程，通过解该方程来求x的值．
解：依题意得： x﹣×2=×1﹣x，
x=，
x=．
故答案是：．
7.（2016年扬州市中考数学 ）以方程组的解为坐标的点（x，y）在第 象限．
【考点】二元一次方程组的解；点的坐标．
【分析】先求出x、y的值，再根据各象限内点的坐标特点即可得出结论．
解：，
∵①﹣②得，3x+1=0，解得x=﹣，
把x的值代入②得，y=﹣+1=，
∴点（x，y）的坐标为：（﹣，），
∴此点在第二象限．
故答案为：二．
8.（2016年浙江省金华）解方程组．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
解：，
由①﹣②，得y=3，
把y=3代入②，得x+3=2，
解得：x=﹣1．
则原方程组的解是．
9. （2017年安徽省中考数学 ）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物、人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？21教育名师原创作品
请解答上述问题．
【考点】一元一次方程的应用．.
【分析】根据这个物品的价格不变，列出一元一次方程进行求解即可．
解：设共有x人，可列方程为：8x﹣3=7x+4．
解得x=7，
∴8x﹣3=53，
答：共有7人，这个物品的价格是53元．
10. （2017年呼和浩特市）某专卖店有A，B两种商品，已知在打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元，A，B两种商品打相同折以后，某人买500件A商品和450件B商品一共比不打折少花1960元，计算打了多少折？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设打折前A商品的单价为x元/件、B商品的单价为y元/件，根据“买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再算出打折前购买500件A商品和450件B商品所需钱数，结合少花钱数即可求出折扣率．
解：设打折前A商品的单价为x元/件、B商品的单价为y元/件，
根据题意得：，
解得：，
500×16+450×4=9800（元），
=0.8．
答：打了八折．
一．选择题（共7小题）
1．（2017?杭州）设x，y，c是实数，（ ）
A．若x=y，则x+c=y﹣c B．若x=y，则xc=yc
C．若x=y，则 D．若，则2x=3y
【分析】根据等式的性质，可得答案．
解：A、两边加不同的数，故A不符合题意；
B、两边都乘以c，故B符合题意；
C、c=0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；
D、两边乘以不同的数，故D不符合题意；
故选：B．
2．（2016?杭州）已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，则可列方程为（ ）
A．518=2（106+x） B．518﹣x=2×106
C．518﹣x=2（106+x） D．518+x=2（106﹣x）【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，根据题意列出方程解答即可．
解：设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，可得：518﹣x=2（106+x），
故选C．
3．（2015?杭州）某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把x公顷旱地改为林地，则可列方程（ ）
A．54﹣x=20%×108 B．54﹣x=20%（108+x）
C．54+x=20%×162 D．108﹣x=20%（54+x）
【分析】设把x公顷旱地改为林地，根据旱地面积占林地面积的20%列出方程即可．
解：设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：54﹣x=20%（108+x）．
故选B．
4．（2014?绍兴）如图1，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图2，则被移动的玻璃球的质量为（ ）
A．10克 B．15克 C．20克 D．25克
【分析】根据天平仍然处于平衡状态列出一元一次方程求解即可．
解：设左、右侧秤盘中一袋玻璃球的质量分别为m克、n克，
根据题意得：m=n+40；
设被移动的玻璃球的质量为x克，
根据题意得：m﹣x=n+x+20，
x=（m﹣n﹣20）=（n+40﹣n﹣20）=10．
故选：A．
5．（2017?台州）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目
里程费
时长费
远途费
单价
1.8元/公里
0.3元/分钟
0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟
【分析】设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，根据题意列出小王和小张车费的代数式，两者相等，计算可得出时间差．
解：设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，依题可得：
1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5﹣7），
10.8+0.3x=16.5+0.3y，
0.3（x﹣y）=5.7，
x﹣y=19．
故这两辆滴滴快车的行车时间相差19分钟．
故选：D．
6．（2017?衢州）二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】用加减消元法解方程组即可．
解：①﹣②得到y=2，把y=2代入①得到x=4，
∴，
故选B．
7．（2016?温州）已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x，乙数为y，根据题意，列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意可得等量关系：①甲数+乙数=7，②甲数=乙数×2，根据等量关系列出方程组即可．
解：设甲数为x，乙数为y，根据题意，
可列方程组，得：，
故选：A．
二．填空题（共7小题）
8．（2017?金华）若=，则=_________．
【分析】根据等式的性质1，等式两边都加上1，等式仍然成立可得出答案．
解：根据等式的性质：两边都加1，，
则=，
故答案为：．
9．（2014?湖州）方程2x﹣1=0的解是x=________．
【分析】此题可有两种方法：
（1）观察法：根据方程解的定义，当x=时，方程左右两边相等；
（2）根据等式性质计算．即解方程步骤中的移项、系数化为1．
解：移项得：2x=1，
系数化为1得：x=．
故答案为：．
10．（2016?温州）方程组的解是__________．
【分析】由于y的系数互为相反数，直接用加减法解答即可．
解：解方程组，
①+②，得：4x=12，
解得：x=3，
将x=3代入①，得：3+2y=5，
解得：y=1，
∴，
故答案为：．
11．（2016?绍兴）书店举行购书优惠活动：
①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；
②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；
③一次性购书超过200元一律打七折．
小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是___________元．2·1·c·n·j·y
【分析】设第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元．根据x的取值范围分段考虑，根据“付款金额=第一次付款金额+第二次付款金额”即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
解：设第一次购书的原价为x元，则第二次购书的原价为3x元，
依题意得：①当0＜x≤时，x+3x=229.4，
解得：x=57.35（舍去）；
②当＜x≤时，x+×3x=229.4，
解得：x=62，
此时两次购书原价总和为：4x=4×62=248；
③当＜x≤100时，x+×3x=229.4，
解得：x=74，
此时两次购书原价总和为：4x=4×74=296；
④当100＜x≤200时，x+×3x=229.4，
解得：x≈76.47（舍去）；
⑤当x＞200时，x+×3x=229.4，
解得：x≈81.93（舍去）．
综上可知：小丽这两次购书原价的总和是248或296元．
故答案为：248或296．
12．（2015?嘉兴）公元前1700年的古埃及纸草书中，记载着一个数学问题：“它的全部，加上它的七分之一，其和等于19．”此问题中“它”的值为___________．21·cn·jy·com
【分析】设“它”为x，根据它的全部，加上它的七分之一，其和等于19列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出“它”的值．21·世纪*教育网
解：设“它”为x，
根据题意得：x+x=19，
解得：x=，
则“它”的值为，
故答案为：．
13．（2015?义乌市）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底离容器底5cm），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升_____cm．21cnjy.com
（1）开始注水1分钟，丙的水位上升_______cm．
（2）开始注入___或_____分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm．
【分析】（1）由甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，注水1分钟，乙的水位上升cm，得到注水1分钟，丙的水位上升cm；
（2）设开始注入t分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm，有两种情况：①甲的水位不变时，②乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，分别列方程求解即可．
解：（1）∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，
∵注水1分钟，乙的水位上升cm，
∴得到注水1分钟，丙的水位上升cm×4=cm；
（2）设开始注入t分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm，有两种情况：
①甲的水位不变时；
由题意得，t﹣1=0.5，
解得：t=，
∵×=6＞5，
∴此时丙容器已向乙容器溢水，
∵5÷=分钟，×=，即经过分钟时丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升，
∴+2×（t﹣）﹣1=0.5，解得：t=；
②当乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，
∵乙的水位到达管子底部的时间为；+（5﹣）÷÷2=分钟，
∴5﹣1﹣2×（t﹣）=0.5，
解得：t=，
综上所述开始注入或分钟的水量后，乙的水位比甲高0.5cm．
故答案为cm；或．
三．解答题（共4小题）
14．（2016?金华）解方程组．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
解：，
由①﹣②，得y=3，
把y=3代入②，得x+3=2，
解得：x=﹣1．
则原方程组的解是．
15．（2005?宁波）已知关于x的方程的解是x=2，其中a≠0且b≠0，求代数式的值．
【分析】此题把x的值代入，得出与的值，即可得出此题答案．
解：把x=2代入方程得：，
∴3（a﹣2）=2（2b﹣3），
∴3a﹣6=4b﹣6，
∴3a=4b，
∴，，
∴．
16．（2013?台州）已知关于x，y的方程组的解为，求m，n的值．
【分析】将x=1，y=2代入方程中得到关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值即可．
解：将代入方程组中
得：，
解得：．
17．（2014?宁波）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．21教育网
A方法：剪6个侧面； B方法：剪4个侧面和5个底面．
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
（1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
【分析】（1）由x张用A方法，就有（19﹣x）张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数；
（2）由侧面个数和底面个数比为3：2建立方程求出x的值，求出侧面的总数就可以求出结论．
解：（1）∵裁剪时x张用A方法，
∴裁剪时（19﹣x）张用B方法．
∴侧面的个数为：6x+4（19﹣x）=（2x+76）个，
底面的个数为：5（19﹣x）=（95﹣5x）个；
（2）由题意，得
，
解得：x=7，
经检验，x=7是原分式方程的解，
∴盒子的个数为：=30．
答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子．
