第一章 数与式第6节一元二次方程及应用
■知识点一：一元二次方程的概念、解法
1．一元二次方程的概念：只含有___个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是 ，其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数．
2．一元二次方程的解法
(1)解一元二次方程的基本思想是 ．
(2)主要方法有：因式分解法、配方法、直接开平方法、公式法．
①用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或______．
②配方法：能通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为(x＋)2＝ 的形式，再利用直接开平方法求解．21cnjy.com
③公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x＝ ．
■知识点二： 一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.
1．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个___________的实数根．
2．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个___________的实数根．
3．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)___________实数根．
■知识点三： 一元二次方程的根与系数的关系
1．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ ．【版权所有：21教育】
2．使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0.
■知识点四：一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)找等量关系；(4)列方程；(5)解方程；(6)检验；(7)写出答案．
■考点1一元二次方程的概念、解法
◇典例：
1.（2007?滨州）关于x的一元二次方程（m+1）xm2+1+4x+2=0的解为（ ）
A．x1=1，x2=-1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=-1 D．无解
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】因为本题是关于x的一元二次方程，所以m2+1=2解得m=±1因为m+1≠0不符合题意所以m=1，把m=1代入原方程得2x2+4x+2=0，解这个方程即可求出x的值．解：根据题意得m2+1=2 ∴m=±1 又m=-1不符合题意 ∴m=1 把m=1代入原方程得2x2+4x+2=0 解得x1=x2=-1． 故选：C．
2. （2016.安徽）解方程：x2﹣2x=4
【考点】解一元二次方程-配方法
【分析】在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解2-1-c-n-j-y
解：配方x2﹣2x+1=4+1
∴（x﹣1）2=5
∴x=1±
∴x1=1+，x2=1﹣．
◆变式训练
1.（2016?山西）解方程：2（x-3）2=x2-9．
2. 若（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10=0，则x2+y2=
■考点2. 一元二次方程的根的判别式
◇典例
(2015.北京) 关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= ，b= ．21·cn·jy·com
【考点】根的判别式．
【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，得到a=b2，找一组满足条件的数据即可．【来源：21·世纪·教育·网】
解：关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4×a=b2﹣a=0，
∴a=b2，
当b=2时，a=4，
故b=2，a=4时满足条件．
故答案为：4，2．
◆变式训练
（2017.阿坝）若一元二次方程x2+4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是 ．
■考点3. 一元二次方程的根与系数的关系
◇典例：
（2017.凉山）一元二次方程3x2﹣1=2x+5两实根的和与积分别是（ ）
A．，﹣2 B．，﹣2 C．，2 D．，2
【考点】根与系数的关系．
【分析】设这个一元二次方程的两个根分为x1、x2，然后把方程化为一般形式，然后根据根与系数的关系进行判断．21*cnjy*com
解：设这个一元二次方程的两个根分为x1、x2，
方程3x2﹣1=2x+5化为一元二次方程的一般形式为：3x2﹣2x﹣6=0，
所以x1+x2=，x1x2==﹣2．
故选B．
◆变式训练
（2017.泸州）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（ ）【出处：21教育名师】
A．7 B．11 C．12 D．16
■考点4. 一元二次方程的应用
◇典例：
1.（2017.安徽）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x满足（ ）21教育名师原创作品
A．16（1+2x）=25 B．25（1﹣2x）=16 C．16（1+x）2=25 D．25（1﹣x）2=16
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．.
【分析】等量关系为：原价×（1﹣降价的百分率）2=现价，把相关数值代入即可．
解：第一次降价后的价格为：25×（1﹣x）；
第二次降价后的价格为：25×（1﹣x）2；
∵两次降价后的价格为16元，
∴25（1﹣x）2=16．
故选D．
2.（2015.广安）李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．.
【分析】（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；
（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．
解：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，由题意，得
（）2+（）2=58，
解得：x1=12，x2=28，
当x=12时，较长的为40﹣12=28cm，
当x=28时，较长的为40﹣28=12＜28（舍去）．
答：李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段；
（2）李明的说法正确．理由如下：
设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm，由题意，得
（）2+（）2=48，
变形为：m2﹣40m+416=0，
∵△=（﹣40）2﹣4×416=﹣64＜0，
∴原方程无实数根，
∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．
◆变式训练
1.（2017.宜宾）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是 ．
2.（2016.青海）青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
1.（2016年广西桂林市）若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）21世纪教育网版权所有
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
2.（2016年青岛市）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：
x
20.5
20.6
20.7
20.8
20.9
输出
﹣13.75
﹣8.04
﹣2.31
3.44
9.21
分析表格中的数据，估计方程（x+8）2﹣826=0的一个正数解x的大致范围为（ ）
A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7 C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9
3. （2015年湖北省随州市）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣6）2=﹣4+36 B．（x﹣6）2=4+36
C．（x﹣3）2=﹣4+9 D．（x﹣3）2=4+9
4. （2017年四川省绵阳市）关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，则nm的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．16 D．﹣16
5.（2017年江苏省无锡市）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ）
A．20% B．25% C．50% D．62.5%
6. （2016年江苏省泰州市）方程2x﹣4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为 ．2·1·c·n·j·y
7.（2015年甘肃甘南州） 已知若分式的值为0，则x的值为 ．
8.（2017年贵州省黔西南州）已知关于x的方程x2+2x﹣（m﹣2）=0没有实数根，则m的取值范围是 ．www-2-1-cnjy-com
9.（2017年四川省宜宾市）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是 ．
10.（2016年湖南省湘潭市）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2．21*cnjy*com
（1）求m的取值范围；
（2）当x1=1时，求另一个根x2的值．
11.（2017年四川省巴中市）巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．
一．选择题（共9小题）
1．（2017?温州）我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（ ）
A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
2．（2017?舟山）用配方法解方程x2+2x﹣1=0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2=2 B．（x+1）2=2 C．（x+2）2=3 D．（x+1）2=3
3．（2010?杭州）方程x2+x﹣1=0的根是（ ）
A．1﹣ B． C．﹣1+ D．
4．（2015?温州）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
5．（2016?舟山）一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．（2016?金华）一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（ ）
A．x1=﹣1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1+x2=3 D．x1x2=2
7．（2015?金华）一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1?x2的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
8．（2017?杭州）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（ ）21·世纪*教育网
A．10.8（1+x）=16.8 B．16.8（1﹣x）=10.8
C．10.8（1+x）2=16.8 D．10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8
9．（2016?台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．x（x﹣1）=45 B．x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
二．填空题（共4小题）
10．（2013?温州）方程x2﹣2x﹣1=0的解是 ．
11．（2009?丽水）用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式．
12．（2015?丽水）解一元二次方程x2+2x﹣3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程 ．
13．（2015?台州）关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是 （填序号）．
三．解答题（共6小题）
14．（2013?义乌市）解方程
（1）x2﹣2x﹣1=0
（2）=．
15．（2012?温州）（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣2x=5．
16．（2013?杭州）当x满足条件时，求出方程x2﹣2x﹣4=0的根．
17．（2017?丽水）解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．
18．（2017?衢州）根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业，第二产业，第三产业所占比例如图2所示．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求2016年第一产业生产总值（精确到1亿元）
（2）2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几？（精确到1%）
（3）若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率（精确到1%）21教育网
19．（2016?杭州）把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式h=20t﹣5t2（0≤t≤4）．
（1）当t=3时，求足球距离地面的高度；
（2）当足球距离地面的高度为10米时，求t；
（3）若存在实数t1，t2（t1≠t2）当t=t1或t2时，足球距离地面的高度都为m（米），求m的取值范围．【来源：21cnj*y.co*m】
第一章 数与式第6节一元二次方程及应用
■知识点一：一元二次方程的概念、解法
1．一元二次方程的概念：只含有__一__个未知数，并且未知数的最高次数是__2__，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__ 其中 ax2 叫做二次项， bx 叫做一次项， c 叫做常数项； a 叫做二次项的系数， b 叫做一次项的系数．
2．一元二次方程的解法
(1)解一元二次方程的基本思想是__降次__．
(2)主要方法有：因式分解法、配方法、直接开平方法、公式法．
①用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或__b＝0__．
②配方法：能通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为(x＋)2＝____的形式，再利用直接开平方法求解．
③公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x＝____．
■知识点二： 一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.
1．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根．
2．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根．
3．b2－4ac＞0?一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．
■知识点三： 一元二次方程的根与系数的关系
1．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝__－__，x1x2＝____．
2．使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0.
■知识点四：一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)找等量关系；(4)列方程；(5)解方程；(6)检验；(7)写出答案．
■考点1一元二次方程的概念、解法
◇典例：
1.（2007?滨州）关于x的一元二次方程（m+1）xm2+1+4x+2=0的解为（ ）
A．x1=1，x2=-1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=-1 D．无解
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】因为本题是关于x的一元二次方程，所以m2+1=2解得m=±1因为m+1≠0不符合题意所以m=1，把m=1代入原方程得2x2+4x+2=0，解这个方程即可求出x的值．解：根据题意得m2+1=2 ∴m=±1 又m=-1不符合题意 ∴m=1 把m=1代入原方程得2x2+4x+2=0 解得x1=x2=-1． 故选：C．
2. （2016.安徽）解方程：x2﹣2x=4
【考点】解一元二次方程-配方法
【分析】在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解
解：配方x2﹣2x+1=4+1
∴（x﹣1）2=5
∴x=1±
∴x1=1+，x2=1﹣．
◆变式训练
1.（2016?山西）解方程：2（x-3）2=x2-9．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．21·cn·jy·com
解：方程变形得：2（x-3）2-（x+3）（x-3）=0， 分解因式得：（x-3）（2x-6-x-3）=0， 解得：x1=3，x2=9．
2. 若（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10=0，则x2+y2=
解：设x2+y2=m，
∵（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10=0，
∴m2﹣3m﹣10=0，
解得：m1=﹣2，m2=5，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2=5；
故答案为：5．
■考点2. 一元二次方程的根的判别式
◇典例
(2015.北京) 关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= ，b= ．
【考点】根的判别式．
【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，得到a=b2，找一组满足条件的数据即可．
解：关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4×a=b2﹣a=0，
∴a=b2，
当b=2时，a=4，
故b=2，a=4时满足条件．
故答案为：4，2．
◆变式训练
（2017.阿坝）若一元二次方程x2+4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是 ．
【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程x2+4x+c=0有两个相等的实数根，得出△=16﹣4c=0，解方程即可求出c的值．
解：∵一元二次方程x2+4x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=16﹣4c=0，解得c=4．
故答案为4．
■考点3. 一元二次方程的根与系数的关系
◇典例：
（2017.凉山）一元二次方程3x2﹣1=2x+5两实根的和与积分别是（ ）
A．，﹣2 B．，﹣2 C．，2 D．，2
【考点】根与系数的关系．
【分析】设这个一元二次方程的两个根分为x1、x2，然后把方程化为一般形式，然后根据根与系数的关系进行判断．21教育网
解：设这个一元二次方程的两个根分为x1、x2，
方程3x2﹣1=2x+5化为一元二次方程的一般形式为：3x2﹣2x﹣6=0，
所以x1+x2=，x1x2==﹣2．
故选B．
◆变式训练
（2017.泸州）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（ ）2-1-c-n-j-y
A．7 B．11 C．12 D．16
【考点】根与系数的关系．
【分析】由根与系数的关系可得出m+n=2t、mn=t2﹣2t+4，将其代入（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4中可得出（m+2）（n+2）=（t+1）2+7，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m+2）（n+2）的最小值．
解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，
∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，
∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．
∵方程有两个实数根，
∴△=（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，
∴t≥2，
∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．
故选D．
■考点4. 一元二次方程的应用
◇典例：
1.（2017.安徽）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x满足（ ）
A．16（1+2x）=25 B．25（1﹣2x）=16 C．16（1+x）2=25 D．25（1﹣x）2=16
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．.
【分析】等量关系为：原价×（1﹣降价的百分率）2=现价，把相关数值代入即可．
解：第一次降价后的价格为：25×（1﹣x）；
第二次降价后的价格为：25×（1﹣x）2；
∵两次降价后的价格为16元，
∴25（1﹣x）2=16．
故选D．
2.（2015.广安）李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．.
【分析】（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；
（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．
解：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，由题意，得
（）2+（）2=58，
解得：x1=12，x2=28，
当x=12时，较长的为40﹣12=28cm，
当x=28时，较长的为40﹣28=12＜28（舍去）．
答：李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段；
（2）李明的说法正确．理由如下：
设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm，由题意，得
（）2+（）2=48，
变形为：m2﹣40m+416=0，
∵△=（﹣40）2﹣4×416=﹣64＜0，
∴原方程无实数根，
∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．
◆变式训练
1.（2017.宜宾）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是 ．【来源：21cnj*y.co*m】
【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．【版权所有：21教育】
解：由题意可得，
50（1﹣x）2=32，
故答案为：50（1﹣x）2=32．
2.（2016.青海）青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）分别利用投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车以及投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车进而得出等式求出答案；
（2）利用2016年配置720辆公共自行车，结合增长率为x，进而表示出2018年配置公共自行车数量，得出等式求出答案．
解：（1）设每个站点造价x万元，自行车单价为y万元．根据题意可得：
解得：
答：每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元．
（2）设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a．
根据题意可得：720（1+a）2=2205
解此方程：（1+a）2=，
即：，（不符合题意，舍去）
答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%．
1.（2016年广西桂林市 ）若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得：k＜5且k≠1．
故选B．
2.（2016年青岛市 ）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：
x
20.5
20.6
20.7
20.8
20.9
输出
﹣13.75
﹣8.04
﹣2.31
3.44
9.21
分析表格中的数据，估计方程（x+8）2﹣826=0的一个正数解x的大致范围为（ ）
A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7 C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9
【考点】估算一元二次方程的近似解．
【分析】根据表格中的数据，可以知道（x+8）2﹣826的值，从而可以判断当（x+8）2﹣826=0时，x的所在的范围，本题得以解决．21*cnjy*com
解：由表格可知，
当x=20.7时，（x+8）2﹣826=﹣2.31，
当x=20.8时，（x+8）2﹣826=3.44，
故（x+8）2﹣826=0时，20.7＜x＜20.8，
故选C．
3. （2015年湖北省随州市）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣6）2=﹣4+36 B．（x﹣6）2=4+36
C．（x﹣3）2=﹣4+9 D．（x﹣3）2=4+9
【考点】 解一元二次方程-配方法．.
【分析】根据配方法，可得方程的解．
解：x2﹣6x﹣4=0，
移项，得x2﹣6x=4，
配方，得（x﹣3）2=4+9．
故选：D．
4. （2017年四川省绵阳市）关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，则nm的值为（ ）
A．﹣8 B．8 C．16 D．﹣16
【考点】根与系数的关系．
【分析】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m、n的值，将其代入nm中即可求出结论．
解：∵关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，
∴﹣=﹣1，=﹣2，
∴m=2，n=﹣4，
∴nm=（﹣4）2=16．
故选C．
5.（2017年江苏省无锡市 ）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ）
A．20% B．25% C．50% D．62.5%
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设每月增长率为x，据题意可知：三月份销售额为2（1+x）2万元，依此等量关系列出方程，求解即可．21世纪教育网版权所有
解：设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元，www.21-cn-jy.com
由题意可得：2（1+x）2=4.5，
解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（不合题意舍去），
答：该店销售额平均每月的增长率为50%；
故选：C．
6. （2016年江苏省泰州市）方程2x﹣4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】先求出方程2x﹣4=0的解，再把x的值代入方程x2+mx+2=0，求出m的值即可．
解：2x﹣4=0，
解得：x=2，
把x=2代入方程x2+mx+2=0得：
4+2m+2=0，
解得：m=﹣3．
故答案为：﹣3．
7.（2015年甘肃甘南州） 已知若分式的值为0，则x的值为 ．
【考点】 分式的值为零的条件；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】 首先根据分式值为零的条件，可得；然后根据因式分解法解一元二次方程的步骤，求出x的值为多少即可．
解：∵分式的值为0，
∴
解得x=3，
即x的值为3．
8.（2017年贵州省黔西南州）已知关于x的方程x2+2x﹣（m﹣2）=0没有实数根，则m的取值范围是 ．
【考点】根的判别式．
【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出△=4m﹣4＜0，解之即可得出m的取值范围．
解：∵关于x的方程x2+2x﹣（m﹣2）=0没有实数根，
∴△=22+4（m﹣2）=4m﹣4＜0，
解得：m＜1．
故答案为：m＜1．
9.（2017年四川省宜宾市）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．【出处：21教育名师】
解：由题意可得，
50（1﹣x）2=32，
故答案为：50（1﹣x）2=32．
10.（2016年湖南省湘潭市）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x1=1时，求另一个根x2的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】（1）根据题意可得根的判别式△＞0，再代入可得9﹣4m＞0，再解即可；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣，再代入可得答案．
解：（1）由题意得：△=（﹣3）2﹣4×1×m=9﹣4m＞0，
解得：m＜；
（2）∵x1+x2=﹣=3，x1=1，
∴x2=2．
11.（2017年四川省巴中市）巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设平均每次下调的百分率为x，根据调价前后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取小于1的正值即可得出结论．
解：设平均每次下调的百分率为x，
根据题意得：5000（1﹣x）2=4050，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%．
一．选择题（共9小题）
1．（2017?温州）我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（ ）
A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
【考点】 一元二次方程的解．
【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3=1或2x+3=﹣3，然后解两个一元一次方程即可．
解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3=1或2x+3=﹣3，
所以x1=﹣1，x2=﹣3．
故选D．
2．（2017?舟山）用配方法解方程x2+2x﹣1=0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2=2 B．（x+1）2=2 C．（x+2）2=3 D．（x+1）2=3
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．
解：∵x2+2x﹣1=0，
∴x2+2x+1=2，
∴（x+1）2=2．
故选：B．
3．（2010?杭州）方程x2+x﹣1=0的根是（ ）
A．1﹣ B． C．﹣1+ D．
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【分析】观察原方程，可用公式法求解．
解：a=1，b=1，c=﹣1，
b2﹣4ac=1+4=5＞0，
x=；
故选D．
4．（2015?温州）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
【考点】根的判别式．
【分析】根据判别式的意义得到△=42﹣4×4c=0，然后解一次方程即可．
解：∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，
∴△=42﹣4×4c=0，
∴c=1，
故选B．
5．（2016?舟山）一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【分析】先求出△的值，再根据△＞0?方程有两个不相等的实数根；△=0?方程有两个相等的实数；△＜0?方程没有实数根，进行判断即可．21*cnjy*com
解：∵a=2，b=﹣3，c=1，
∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×1=1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
6．（2016?金华）一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（ ）
A．x1=﹣1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1+x2=3 D．x1x2=2
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系找出“x1+x2=﹣=3，x1?x2==﹣2”，再结合四个选项即可得出结论．
解：∵方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣=3，x1?x2==﹣2，
∴C选项正确．
故选C．
7．（2015?金华）一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1?x2的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系求解．
解：x1?x2=﹣3．
故选D．
8．（2017?杭州）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（ ）21教育名师原创作品
A．10.8（1+x）=16.8 B．16.8（1﹣x）=10.8
C．10.8（1+x）2=16.8 D．10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×（1+增长率）2=16.8万人次，根据等量关系列出方程即可．
解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：
10.8（1+x）2=16.8，
故选：C．
9．（2016?台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．x（x﹣1）=45 B．x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x﹣1）场，再根据题意列出方程为x（x﹣1）=45．
解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣1），
∵共比赛了45场，
∴x（x﹣1）=45，
故选A．
二．填空题（共4小题）
10．（2013?温州）方程x2﹣2x﹣1=0的解是 ．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】首先把常数项2移项后，然后在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方，然后开方即可求得答案．
解：∵x2﹣2x﹣1=0，
∴x2﹣2x=1，
∴x2﹣2x+1=2，
∴（x﹣1）2=2，
∴x=1±，
∴原方程的解为：x1=1+，x2=1﹣．
故答案为：x1=1+，x2=1﹣．
11．（2009?丽水）用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式．2·1·c·n·j·y
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】要使方程左边配成一个完全平方式，需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，
∴用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上4，使得方程左边配成一个完全平方式．
12．（2015?丽水）解一元二次方程x2+2x﹣3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】把方程左边分解，则原方程可化为x﹣1=0或x+3=0．
解：（x﹣1）（x+3）=0，
x﹣1=0或x+3=0．
故答案为x﹣1=0或x+3=0．
13．（2015?台州）关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是 （填序号）．21cnjy.com
【考点】根的判别式；一元一次方程的解．
【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1=0根的情况，进而填空．
解：当m=0时，x=﹣1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程，△=1﹣4m（1﹣m）=1﹣4m+4m2=（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；
把mx2+x﹣m+1=0分解为（x+1）（mx﹣m+1）=0，
当x=﹣1时，m﹣1﹣m+1=0，即x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根，③正确；
故答案为①③．
三．解答题（共6小题）
14．（2013?义乌市）解方程
（1）x2﹣2x﹣1=0
（2）=．
【考点】解一元二次方程﹣配方法；解分式方程．
【分析】（1）方程常数项移到右边，两边加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）移项得：x2﹣2x=1，
配方得：x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，
开方得：x﹣1=±，
则x1=1+，x2=1﹣；
（2）去分母得：4x﹣2=3x，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
15．（2012?温州）（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣2x=5．
【考点】解一元二次方程﹣配方法；实数的运算．
【分析】（1）首先计算乘方，进行开方运算，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）方程两边同时加上1，左边即可化成完全平方式的形式，然后进行开方运算，转化成两个一元一次方程，即可求解．
解：（1）（﹣3）2+（﹣3）×2﹣
=9﹣6﹣2
=3﹣2；
（2）配方得（x﹣1）2=6
∴x﹣1=±
∴x1=1+，x2=1﹣．
16．（2013?杭州）当x满足条件时，求出方程x2﹣2x﹣4=0的根．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元一次不等式组．
【分析】通过解一元一次方程组求得2＜x＜4．然后利用求根公式x=求得方程x2﹣2x﹣4=0的根，由x的取值范围来取舍该方程的根．
解：由求得
，
则2＜x＜4．
解方程x2﹣2x﹣4=0可得x1=1+，x2=1﹣，
∵2＜＜3，
∴3＜1+＜4，符合题意
∴x=1+．
17．（2017?丽水）解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
解：方程化为x2﹣4x=0，
x（x﹣4）=0，
所以x1=0，x2=4．
18．（2017?衢州）根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业，第二产业，第三产业所占比例如图2所示．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求2016年第一产业生产总值（精确到1亿元）
（2）2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几？（精确到1%）
（3）若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率（精确到1%）21·世纪*教育网
【考点】一元二次方程的应用；扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）2016年第一产业生产总值=2016年国民生产总值×2016年第一产业国民生产总值所占百分率列式计算即可求解；
（2）先求出2016年比2015年的国民生产总值增加了多少，再除以2015年的国民生产总值即可求解；
（3）设2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率为x，那么2017年我市国民生产总值为1300（1+x）亿元，2018年我市国民生产总值为1300（1+x）（1+x）亿元，然后根据2018年的国民生产总值要达到1573亿元即可列出方程，解方程就可以求出年平均增长率．
解：（1）1300×7.1%≈92（亿元）．
答：2016年第一产业生产总值大约是92亿元；
（2）（1300﹣1204）÷1204×100%
=96÷1204×100%
≈8%．
答：2016年比2015年的国民生产总值大约增加了8%；
（3）设2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率为x，
依题意得1300（1+x）2=1573，
∴1+x=±1.1，
∴x=10%或x=﹣2.1（不符合题意，故舍去）．
答：2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率约为10%．
19．（2016?杭州）把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式h=20t﹣5t2（0≤t≤4）．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）当t=3时，求足球距离地面的高度；
（2）当足球距离地面的高度为10米时，求t；
（3）若存在实数t1，t2（t1≠t2）当t=t1或t2时，足球距离地面的高度都为m（米），求m的取值范围．
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．
【分析】（1）将t=3代入解析式可得；
（2）根据h=10可得关于t的一元二次方程，解方程即可；
（3）由题意可得方程20t﹣t2=m 的两个不相等的实数根，由根的判别式即可得m的范围．
解：（1）当t=3时，h=20t﹣5t2=20×3﹣5×9=15（米），
∴当t=3时，足球距离地面的高度为15米；
（2）∵h=10，
∴20t﹣5t2=10，即t2﹣4t+2=0，
解得：t=2+或t=2﹣，
故经过2+或2﹣时，足球距离地面的高度为10米；
（3）∵m≥0，由题意得t1，t2是方程20t﹣5t2=m 的两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac=202﹣20m＞0，
∴m＜20，
故m的取值范围是0≤m＜20．
