22．2 一元二次方程的解法
22．2.1 直接开平方法和因式分解法
第1课时 直接开平方法
【知识与技能】
1．理解一元二次方程降次的转化思想．
2．会用直接开平方法解形如(x＋b)2＝n(n≥0)的一元二次方程．
【过程与方法】
1．会用直接开平方法解简单的一元二次方程．
2．会根据平方根的意义解缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，然后迁移到解a(x＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．
【情感态度】
1．通过探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯．
2．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
【教学重点】
运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会解一元二次方程的基本思想——通过降次转化为一元一次方程求解．
【教学难点】
通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．
一、创设情境，导入新知
1．叙述平方根的定义．
2．求适合x2＝4的x的值．
说明：学生不难得出本题的解x＝2或x＝－2.教师可引导学生观察这个方程的特点，探索解这个方程与已学知识(第11章“数的开方”中的平方根)的联系．在求出方程x2＝4的解以后，教师总结：解这样的方程就是“要求一个数，使它的平方等于4”，即求4的平方根，可用直接开平方的方法．从而引出新课——直接开平方法解一元二次方程．
二、合作探究，理解新知
问题1：怎样解形如x2＝b的方程？
教师用上面的例子说明这类一元二次方程的解法，当b≥0时，方程解为x＝±.
问题2：怎样解方程ax2＋c＝0(a≠0)
(1)教师可用①x2－2＝0；②2x2－8＝0；③2x2＋8＝0等方程为例，由学生把它们变形为x2＝－的形式，再用平方根的定义来求解，并指出方程③的解不存在．
在此基础上给出直接开平方法的定义：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程根的方法叫直接开平方法．
(2)引导学生归纳方程ax2＋c＝0(a≠0)的解法：当a、c异号时，方程ax2＋c＝0的根为x＝±；当a、c同号时，方程无实数根．
(3)对于下列方程你能用直接开平方法解吗？
①(y－1)2＝2；②(3x＋1)2－4＝0；③2x2－3＝0；④x2－4x＋4＝1.
例题讲解
例1：解方程：(x＋2)2＝5.
解：原方程两边开平方，得x＋2＝±.
所以原方程的解为x1＝－2＋，x2＝－2－.
【教学说明】在讲此题时，可说明：(1)在这里我们把(x＋2)看作一个整体，就可以转化为x2＝n(n≥0)的形式解，这里渗透了换元的思想．
(2)在对(x＋2)2＝5两边同时开平方后，原方程就可转化为两个一元一次方程，这时可向学生指出，这种变形就是降次，解一元二次方程的实质就是降次，将一元二次方程转化为一元一次方程．“降次”也是一种常用的数学方法．
例2：解下列方程：
(1)(x－)2＝(2－)2；
(2)(x＋)(x－)＝7；
(3)x2＋4x＋4＝1.
解：(1)方程两边直接开平方，得x－＝±(2－)．
所以原方程的解是x1＝2＋－，x2＝－2＋＋；
(2)原方程变形为x2－5＝7，即x2＝12.
两边开平方，得x＝±2
.
所以原方程的解为x1＝2
，x2＝－2
；
(3)原方程变形为(x＋2)2＝1，所以x＋2＝±1.
所以原方程的解为x1＝－3，x2＝－1.
【教学说明】凡是能化成(x＋m)2＝n形式的方程都能用直接开平方的方法求解．
例3：解方程：(x－3)2＝4(2x＋1)2.
解：方程两边直接开平方，得x－3＝±2(2x＋1)．
所以x－3＝2(2x＋1)，或x－3＝－2(2x＋1)．
所以原方程的解为x1＝－，x2＝.
【教学说明】形如(ax＋b)2＝(cx＋d)2(ac≠0)的方程也可用直接开平方的方法求解．
三、尝试练习，掌握新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课你有什么收获或困惑？
1．直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：
(1)x2＝n(n≥0)；(2)(x＋b)2＝n(n≥0)．
解法的根据是平方根的定义．
2．解一元二次方程的实质是降次，在解题过程中要注意换元方法的渗透．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
教材第23页练习第(1)、(2)、(3)题．
第2课时 因式分解法
【知识与技能】
1．了解因式分解法的概念．
2．会用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程．
【过程与方法】
1．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．
2．体会运用转化的数学思想．
【情感态度】
积极探索不同的解法，并和同伴进行交流，勇于发表自己的观点，从交流中发现最优方法，在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心．
【教学重点】
应用因式分解法解一元二次方程．
【教学难点】
将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式的因式分解．
一、创设情境，导入新知
1．将下列各式分解因式：
(1)y2－3y；(2)4x2－9；(3)(3x－4)2－(4x－3)2；(4)x2－2
x＋2.
2．解一元二次方程的基本思想是什么？
3．判断下列原命题与逆命题是否正确？
(1)原命题：若a＝1或b＝1，则ab＝1；逆命题：若ab＝1，则a＝1或b＝1.
(2)原命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0；逆命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0.
(3)原命题：若x＋2＝0或x－3＝0，则(x＋2)(x－3)＝0；逆命题：若(x＋2)(x－3)＝0，则x＋2＝0或x－3＝0.
二、合作探究，理解新知
问题1：试用不同的方法把方程x2－1＝0转化为两个一次方程．
方法1：直接开平方法：x2－1＝0，
移项，得x2＝1，
开平方，得x1＝1，x2＝－1.
方法2：因式分解法：
将方程左边分解因式，得(x＋1)(x－1)＝0.
这里方程的左边是两个因式的积，而右边为零，这两个因式中至少有一个为零，即x＋1＝0或x－1＝0；反过来，如果两个因式有一个等于零，那么它们的积等于零．这就是说，解方程(x＋1)(x－1)＝0，就相当于解方程x－1＝0或x＋1＝0.所以原方程可化为x＋1＝0或x－1＝0.
问题2：(1)你能求出方程x2－1＝0的解吗？试试看．
学生独立完成，教师归纳并指出这种利用分解因式来解一元二次方程的方法叫因式分解法．
(2)快速回答：下列各方程的根分别是多少？
①x(x－2)＝0；②(y－3)(y＋2)＝0；③(2x＋1)·(x－2)＝0；④x2＝x.
例题讲解
例1：解下列方程：
(1)3x2＋2x＝0；(2)x2＝3x.
解：(1)方程左边分解因式，得x(3x＋2)＝0.
所以x＝0或3x＋2＝0.
得x1＝0，x2＝－.
(2)移项，得x2－3x＝0.
方程左边分解因式，得x(x－3)＝0.
所以x＝0或x－3＝0.
得x1＝0，x2＝3.
【教学说明】可先让学生完成．在讲解此题过程中师生共同归纳出用因式分解法解一元二次方程的步骤为：
①方程右边化为零；
②将方程左边分解成两个一次因式的乘积；
③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
例2：解下列方程：
(1)3x(x＋2)＝5(x＋2)；(2)(3x＋1)2－5＝0.
解：(1)移项，得3x(x＋2)－5(x＋2)＝0.
(x＋2)(3x－5)＝0，
所以x＋2＝0或3x－5＝0.
得x1＝－2，x2＝.
(2)原方程变形为(3x＋1＋)(3x＋1－)＝0.
所以3x＋1＋＝0或3x＋1－＝0.
得x1＝，x2＝.
【教学说明】第(2)题可用直接开平方法解．
三、尝试练习，掌握新知
1．教材第23页练习第(4)、(5)、(6)题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
先由学生自由发言，教师再投影演示：
1．能用因式分解法来解的一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积．
2．用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将方程的右边化为零；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
(3)令每一个因式为零，得到两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
3．用因式分解法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0.
4．用因式分解法解一元二次方程的注意点：
(1)必须将方程的右边化为零；
(2)方程两边不能同时除以含有未知数的代数式．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
教材第36页习题22.2第1题．
22．2.2 配方法
【知识与技能】
理解配方法，会用配方法解简单数字系数的一元二次方程．
【过程与方法】
1．经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，使学生体会转化的数学思想．
2．在理解配方法的基础上，熟练应用配方法解一元二次方程，培养学生用转化的数学思想解决问题的能力．
【情感态度】
启发学生学会观察、分析，寻找解题的途径，提高他们分析问题、解决问题的能力．
【教学重点】
理解并掌握配方法，能够运用配方法解一元二次方程．
【教学难点】
用配方法解一元二次方程的过程．
一、创设情境，导入新知
1．回顾完全平方公式：
(1)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；(2)a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
2．填空：
(1)x2＋8x＋________＝(x＋4)2；
(2)x2－4x＋________＝(x－________)2；
(3)x2－________x＋9＝(x－________)2.
让学生做，然后交流：你是如何进行配方的？
结论：配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方．
3．利用开平方法我们已经求过(x＋1)2＝4这样方程的解，你会解下面的方程吗？
x2＋2x＋1＝4，x2＋2x＝3，x2＋2x－3＝0.
让学生做，并指定学生板演．
教师小结这种解一元二次方程的基本思路，介绍配方法．
二、合作探究，理解新知
探究一：1.解方程：x2＋6x＋7＝0.
这个方程显然不能用直接开平方法解，能否把这个方程化成可用开平方法来解的形式？即(x＋m)2＝n的形式？
我们可以这样变形：
把常数项移到右边，得x2＋6x＝－7，
对等号左边进行配方，得x2＋6x＋32＝－7＋32，
(x＋3)2＝2.
这样，就把原方程化为与上面方程一样的形式了．像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后(即化为(x＋m)2＝n形式)，再用开平方来解的方法叫配方法．
(板书)用配方法解一元二次方程．
2．用配方法解下列方程：
(1)x2－6x－7＝0；(2)x2＋3x＋1＝0.
解：(1)移项，得x2－6x＝7.
方程左边配方，得x2－2·x·3＋32＝7＋32，即(x－3)2＝16.
所以x－3＝±4.得x1＝7，x2＝－1.
(2)移项，得x2＋3x＝－1.
方程左边配方，得x2＋2·x＋()2＝－1＋()2，即(x＋)2＝.
所以x＋＝±，所以x1＝－＋，x2＝－－.
【教学说明】可先让学生做，并指定学生板演．
思考：用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
让学生进行充分的探讨，然后交流．
探究二：解方程：2x2－3x－1＝0.
引导学生将二次项系数化为1，再让学生自己完成：
解：化二次项系数为1，得x2－x－＝0.
移项，得x2－x＝，
下面的过程由学生补充完整：
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
解完此题后，让学生进一步思考：用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
学生讨论、回答，教师补充归纳．
三、尝试练习，掌握新知
1．教材第27页练习第2题(1)．
2．补充练习：解下列方程：
(1)4x2＋4x＋1＝0；
(2)x2－2x－5＝0；
(3)－x2＋2x－5＝0.
【教学说明】设计补充练习，是为了强化学生对一元二次方程解的三种情况的认识．
3．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课你有哪些收获？
1．把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
2．用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
(1)化1：方程两边同除以二次项的系数；
(2)移项：把常数项移到方程的右边；
(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
(4)开方：根据平方根意义，方程两边开平方；
(5)求解：解一元一次方程；
(6)定解：写出原方程的解．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1．教材第27页练习第2题(2)．
2．习题22.2第4题(6)、(7)．
3．补充作业：(1)解方程：3x2－2x－4＝0；
(2)用配方法解方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0)．
22．2.3 公式法
【知识与技能】
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．
2．会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程．
【过程与方法】
经历探索求根公式的过程，发展学生的合情推理能力，提高学生的运算能力并养成良好的运算习惯．
【情感态度】
通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，并让学生在学习中获得成功的体验，建立学好数学的自信心．
【教学重点】
掌握一元二次方程的求根公式，并能用它熟练地解一元二次方程．
【教学难点】
一元二次方程求根公式的推导过程．
一、创设情境，导入新知
1．用配方法解下列方程：
(1)4x2－12x－1＝0；(2)3x2＋2x－3＝0.
2．用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
说明：教师引导学生回忆配方法解一元二次方程的基本思路及基本步骤，为本节课的学习做好铺垫．
3．你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)吗？
二、合作探究，理解新知
问题1：你能用配方法把一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)转化为(x＋m)2＝n的形式吗？
【教学说明】教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识，最后化成(x＋)2＝.
∵a≠0，方程两边都除以a，得x2＋x＋＝0，
移项，得x2＋x＝－，
配方，得x2＋x＋()2＝－＋()2，
即(x＋)2＝.
问题2：当b2－4ac≥0，且a≠0时，大于等于零吗？
教师让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当b2－4ac≥0时，因为a≠0，所以4a2>0，从而得出≥0.
问题3：在问题2的条件下，直接开平方你得到什么结论？
让学生讨论可得x＋＝±.
【教学说明】若有必要，可让学生讨论±＝±为什么成立？
问题4：由问题1、问题2、问题3，你能得出什么结论？
让学生讨论、交流，从中得出结论，当b2－4ac≥0时，一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根为x＋＝±，即x＝.
由以上研究结果，得到了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：x＝(b2－4ac≥0)．
说明和建议：
(1)求根公式x＝(b2－4ac≥0)是专指一元二次方程的求根公式，b2－4ac≥0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)求根公式的重要条件．
(2)用公式法(求根公式)解一元二次方程，实际上就是给出a、b、c的数值(或表示式)，然后对代数式进行求值．由于这样的计算比较复杂，所以要提醒学生计算时注意a、b、c的符号．
例题讲解
例1：解下列方程(教材例6)
(1)2x2＋x－6＝0；(2)x2＋4x＝2；
(3)5x2－4x－12＝0；(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.
解：(1)这里a＝2，b＝1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.
所以x＝＝＝.
即x1＝－2，x2＝.
(2)将方程化为一般形式，得x2＋4x－2＝0.
因为b2－4ac＝24，
所以x＝＝－2±.
即x1＝－2＋，x2＝－2－.
(3)因为b2－4ac＝256，
所以x＝＝.
即x1＝－，x2＝2.
(4)整理，得4x2＋12x＋9＝0.
因为b2－4ac＝0，所以x＝，
即x1＝x2＝－.
讲解要点：
(1)对于(2)、(4)首先要把方程化成一般形式；
(2)提醒学生注意符号，如(3)题中b＝－4，公式中的－b，应为－(－4)；
(3)先计算b2－4ac的值，再代入公式求解；
(4)对于第(4)题不要写成x＝－.
例2：解方程x2＋5x＋8＝0.
解：因为a＝1，b＝5，c＝8，
b2－4ac＝52－4×1×8＝－7<0，
所以方程无实数解．
说明：当b2－4ac<0时，不用代入求根公式，直接写出方程无实数解即可．
三、尝试练习，掌握新知
1．教材第30页练习(1)、(3)．
2．教材习题22.2第4题(1)、(2)、(3)、(6)．
3．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课你学到了什么？还有什么不足？
用公式法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般步骤：
(1)把方程整理成一般形式，进而确定a、b、c的值(包括符号)；
(2)求出b2－4ac的值(若b2－4ac<0，方程无实数解)；
(3)在b2－4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算，最后写出方程的根，当b2－4ac<0时，直接写方程无实数解．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
教材第30页练习第(2)、(4)题；习题22.2第3题(2)．
22．2.4 一元二次方程根的判别式
【知识与技能】
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．
2．用b2－4ac判别ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况及其运用．
【过程与方法】
1．经历探索求根公式的过程，发展学生合情、合理的推理能力．
2．提高学生的运算能力并养成良好的推理习惯．
【情感态度】
1．通过探索求根公式的过程，提高学生的推理判断能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心．
2．学会和他人合作，提高自主探究以及与他人交流的能力．
【教学重点】
能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行合理的推导与论证．
【教学难点】
从具体题目来推出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的b2－4ac的情况与根的情况的关系．
一、创设情境，导入新知
能否用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
教师引导学生回忆配方法解一元二次方程的基本思路及基本步骤．
学生观察、分析、思考找出解决问题的途径，小组内讨论交流．
二、合作探究，感受新知
1．试验发现
练习：用配方法解下列一元二次方程：
(1)x2－8x＝20；(2)2x2－6x－1＝0.
提问：当x2＝c，c≥0时方程才有解，为什么？
用配方法解方程：x2－3x＋p＝0.
教师展示此练习．
对于一部分学生，教师可给予一定帮助，也可以鼓励同学之间互相帮助．
学生试验，观察分析，总结结论，合作交流，小组内讨论交流互相借鉴与指正．
2．探索
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
因为a≠0，方程两边都除以a，得x2＋x＋＝0.
移项，得x2＋x＝－.
配方，得x2＋2·x·＋＝－，
即＝.
问题1：当b2－4ac>0，b2－4ac＝0，b2－4ac<0；且a≠0时，的值分别与零有怎样的关系？
让学生讨论，交流，探索后，教师再展示此推导过程．
能直接开平方吗？
让学生思考分析，发表意见．
得出结论．
问题2：你能得出什么结论？
结论：当b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c(a≠0)有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac<0时，方程没有实数根．
一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母Δ表示它．
3．应用
不解方程，能用根的判别式直接判断一元二次方程根的情况．
例题讲解
例1：已知关于x的方程2x2－(3＋4k)x＋2k2＋k＝0.
(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根？
(3)当k取何值时，方程没有实数根？
分析：已知一个一元二次方程的根的情况，反过来可以确定根的判别式的值的符号：
当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac>0；
当一元二次方程有两个相等的实数根时，b2－4ac＝0；
当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac<0.
解：∵a＝2，b＝－(3＋4k)，c＝2k2＋k，
∴b2－4ac＝[－(3＋4k)]2－4×2×(2k2＋k)＝16k＋9.
(1)若方程有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0，
即16k＋9>0，∴k>－；
(2)若方程有两个相等的实数根，则b2－4ac＝0，
即16k＋9＝0，∴k＝－；
(3)若方程没有实数根，则b2－4ac<0，即16k＋9<0，∴k<－；
综上所述，当k>－时，方程有两个不相等的实数根；
当k＝－时，方程有两个相等的实数根；
当k<－时，方程没有实数根．
【教学说明】进一步巩固新知识，培养学生的逆向思维能力，从而达到促进学生灵活运用新知识解决问题的目的．
例2：已知关于x的方程mx2－(2m＋1)x＋m＋3＝0有两个不相等的实数根，试确定m的取值范围．
分析：例2与例1的区别在于就是x2前面的系数含有字母，须注意考虑其取值的要求．
[错误的解答] 解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴[－(2m＋1)]2－4m(m＋3)>0，
解得：m<.
[正确的解答] 解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴m≠0且[－(2m＋1)]2－4m(m＋3)>0，
解得：m<且m≠0.
【教学说明】该例题是学生的易错点，也是运用根的判别式知识解决问题的难点，教学时可通过充分让学生暴露出思维上的缺陷来增强学生对这种题型的感性认识．
[师生活动] 教师引导学生归纳出利用一元二次方程的根的判别式来解题的一般步骤：
1．将方程化成ax2＋bx＋c＝0的形式；
2．判断a的值是否为零；
3．若a≠0，则再考虑b2－4ac的取值．
三、尝试练习，掌握新知
1．方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，则a、b、c的取值应满足(
D
)
A．b2－4ac>0 B．b2－4ac＝0
C．b2－4ac≥0
D．以上都不对
2．已知a、b、c分别是△ABC的三边，若关于x的一元二次方程(a＋b)x2＋2cx＋(a－b)＝0有两个相等的实数根，则△ABC是(
B
)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
3．k取什么值时，方程kx2－2x＋1＝0有两个相等的实数根？求这时方程的根．(答案：k＝1，x1＝x2＝1)
4．已知关于x的方程mx2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
(答案：由(－2)2－4m>0且m≠0，解得：m<1且m≠0.)
5．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
1．通过本节课的学习，你有哪些收获？
2．你还有什么疑惑？说给大家听听．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
教材每36页习题22.2的第7～9题．
22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系
【知识与技能】
1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．
2．灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题．
3．提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力．
【过程与方法】
通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与韦达定理的发现，不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程．
【情感态度】
通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察、分析和综合、判断的能力．激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神．
【教学重点】
一元二次方程根与系数的关系．
【教学难点】
对根与系数的关系的理解和推导．
一、创设情境，导入新知
一元二次方程的根与系数的关系，常常也称作韦达定理，这是因为这个定理是16世纪法国杰出的数学家韦达发现的．聪明的同学们，你能发现这个定理吗？
教师出示问题，引出课题．
学生倾听、思考，初步了解本节课所要研究的问题．
二、合作探究，理解新知
1．思考
从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系：
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.
(p为一次项系数，q为常数项)
教师适时点拨：把方程(x－x1)(x－x2)＝0化为一般形式后，得到x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0的形式，与x2＋px＋q＝0对比易知p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2.
学生通过去括号、合并得到一般形式的一元二次方程，分析总结得到x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
2．探究
一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，二次项系数a未必是1，它的两根的和、积与系数分别有怎样的关系？
(1)你可以通过具体方程试一试．
由2x2－3x＋1＝0，得x1＝1，x2＝，于是x1＋x2＝＝－，x1x2＝.
这就是说，此方程的两根的和等于一次项系数－3与二次项系数2的比的相反数，两根的积等于常数项1与二次项系数2的比．
(2)对于一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)又有怎样的关系呢？
结论：方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
x1＋x2＝－，x1x2＝.
教师出示探究问题，让学生通过特殊的例子入手，再通过一般形式推导试验．
教师引导学生根据求根公式进行探究，把结论说给同学听听．
学生小组合作，交流完成．
学生观察试验交流归纳．
3．例题讲解
例1：不解方程2x2－x－6＝0，求出其两根之和与两根之积．
分析：方程的两根之和与两根之积应利用韦达定理来确定．
解：设方程的两根分别为x1、x2.
∵a＝2，b＝－1，c＝－6，
∴根据韦达定理得：x1＋x2＝－＝－＝，x1x2＝＝＝－3.
[变式训练] 若方程2x2－x－6＝0的两根分别为x1、x2.试求下列代数式的值：
(1)xx2＋x1x；(2)(x1＋2)(x2＋2)．
分析：由于两个代数式稍作变形就可表示成x1＋x2和x1x2的形式，故本题可利用韦达定理来解题．
解：由韦达定理得：x1＋x2＝，x1x2＝－3.
(1)xx2＋x1x＝x1x2(x1＋x2)＝(－3)×＝－.
(2)(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝(－3)＋2×＋4＝2.
拓展提高
例2：已知方程x2－3x＋m＝0的一个根为－1，求另一个根以及m的值．
分析：由于方程中的二次项系数和一次项系数已知，并且知道了方程的一个根，故可利用韦达定理求出另一个根，进而由韦达定理再求出m.
解：设另一个根为x2，则x1＝－1，由韦达定理得：
即
解得：x2＝4，m＝－4.
∴另一个根为4，m的值为－4.
【教学说明】进一步巩固新知识，使学生灵活运用新知识解决问题．
三、尝试练习，掌握新知
1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．
(1)x2－5x－3＝0；(2)9x＋2＝x2；(3)6x2－3x－2＝0.
(答案：(1)x1＋x2＝5，x1x2＝－3；(2)x1＋x2＝9，x1x2＝－2；(3)x1＋x2＝，x1x2＝－.)
2．已知方程2x2－4x－5＝0的两根为x1和x2，试求代数式＋的值．
(答案：由韦达定理得：x1＋x2＝2，x1x2＝－.
∴＋＝eq
\f(x＋x,x1x2)＝＝－.)
3．教材第35页练习第2、3题．
4．教师指导学生完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”内容．
四、课堂小结，梳理新知
1．通过本节课的学习，你有哪些收获？
2．你还有什么疑惑？说给大家听听．
五、深入练习，巩固新知
学生完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”
1．关于x的方程2x2＋5x＋k＋1＝0两根互为倒数，求k的值．
(答案：设方程的两根为x1和x2.
由题意得：x1x2＝＝1.
解得：k＝1.)
2．已知矩形的长和宽是方程mx2－32x＋13＝0的两根，且该矩形的周长为16，试确定m的值以及该矩形的面积．
(答案：解：设方程的两根为x1和x2.
由题意得：x1＋x2＝＝8.
解得：m＝4.
∴矩形的面积＝x1x2＝＝.)
3．教材第36页习题22.2的第10、11题．23．6 图形与坐标
23．6.1 用坐标确定位置
【知识与技能】
能够在图形中建立适当的坐标系来描述物体的位置，并结合具体实例了解坐标系建立位置不同，点的坐标也随之变化；能够利用坐标找到点的位置；了解确定位置的两种方法．
【过程与方法】
通过实践、探索、观察、分析等数学活动过程，发展学生形象思维能力和数学应用能力．
【情感态度】
体验运用确定位置来解决实际问题，感受数学与人类生活的密切联系．
【教学重点】
建立平面直角坐标系用直角坐标和方位坐标确定物体的位置．
【教学难点】
建立恰当的坐标系确定物体的位置．
一、创设情境，导入新知
1．什么是平面直角坐标系？建立了平面直角坐标系后，平面上的点可以用什么来描述？
2．画一个直角坐标系，并描出点A(1，2)，B(－3，5)，C(4，5)，D(0，3)的位置．
3．如图，四边形ABCD，在方格图中建立适当的直角坐标系，用点的坐标来表示各点的位置．你写出的点与别人相同吗？
二、合作探究，理解新知
问题1：确定点的位置
夏令营举行野外拉练活动，老师交给大家一张地图，如图所示，在这张地图上，画一个直角坐标系，作为定向标记，有四座农舍的坐标是(1，2)，(－3，5)，(4，5)，(0，3)．目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和第二与第四座农舍的直线的交点，请你在教材图23.6.1中找出这个目的地所处的位置，你能估计出这个位置的坐标是什么吗？
先确定出四座农舍的位置(即“创设情境，导入新知”中第2题的A、B、C、D四个点)，过A、C作直线，过B、D作直线，两直线的交点P即是目的地，确定点P的坐标，过P作x轴垂线，垂足的横坐标是1.2，过P作y轴垂线，垂足的纵坐标为2.2，所以目的地P的坐标为(1.2，2.2)．
问题2：你写出的坐标与别人相同吗？
如图是某乡镇的示意图．试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置．
思考：(1)建立的直角坐标系是否相同？选定的坐标单位会一样吗？各点的坐标是否一样？
(2)通过以上两个问题的研究，你如何确定一个点的位置？
归纳：利用平面直角坐标系，我们可以较为方便地确定平面上点的位置，直角坐标系的位置不同，用坐标表示某地的位置也不同．
一般地，在建立坐标系时，我们应尽量让较多的点位于坐标轴上，这样可以使点的坐标较容易给出，也方便于我们将所要研究的问题进行简化．
思考：
(1)这是利用什么方法来确定位置的？
(2)用这种方法确定位置首先应该做什么？
(3)需要几个数据来确定点的位置？
(4)请举出实际生活中用这种方法来确定位置的例子．
问题3：小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的信息：
“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向距离此处3千米的地方；
“明天调味品厂”在他现在所在地的北偏西45度的方向，距离此处2.4千米的地方；
“321号水库”在他现在所在地的南偏东27度的方向，距离此处1.1千米的地方．
根据这些信息，你能画一张图来表示各处的位置吗？
在学生活动过程中，提出以下问题思考：
(1)这又是用什么方法来确定位置的呢？
(2)用这种方法确定位置必须要知道什么？
(3)请举出生活中用这种方法确定位置的例子．
归纳：用一个角度和距离也可以表示一个点的位置．
三、尝试练习，掌握新知
1．教材练习.
2．根据以下条件画一幅示意图，标出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置．
小刚家：出校门向东走150米，再向北走200米．
小强家：出校门向西走200米，再向北走350米，最后向东走50米．
小敏家：出校门向南走100米，再向东走300米，最后向南走75米．
3．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课主要学习了什么内容，还有什么内容不清楚的？
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1.教材复习题第9题.
2.如图，是某植物园的平面示意图．A、B、C、D、E、F分别表示梅、兰、竹、菊、月季、荷花六个花圃，请解决以下问题：
(1)说出A、B、C、D、E、F在图上的坐标；
(2)位于原点北偏东45度的是哪个花圃？
23．6.2 图形的变换与坐标
【知识与技能】
理解点或图形的变化引起的坐标的变化规律，以及图形上的点的坐标的某种变化引起的图形变换，并应用于实际问题．
【过程与方法】
经历图形坐标变化与图形平移、旋转、放大、缩小等之间的关系，培养学生的形象思维．
【情感态度】
在观察、探索的过程中让学生获得发现的喜悦；体验数学活动中充满着探索和创造；引导学生敢于面对学习和生活中的困难和挫折，培养学生坚强的意志和品质．
【教学重点】
图形坐标变化与图形变换之间的关系．
【教学难点】
图形坐标变化与图形变换规律的探究．
一、创设情境，导入新知
1．在平面直角坐标系中，如果A点的坐标是(x，y)，那么这个点关于x轴、y轴、原点的对称点坐标是______、______、________．
2．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，建立直角坐标系，写出各顶点的坐标．
3．你能画出与△ABC成轴对称的三角形吗？请画一个以直线BC为对称轴的三角形．
4．将点A(－3，－2)向右平移4个单位，得到点A′，在图上标出这个点，并写出它的坐标，把点A向上平移5个单位呢？把点A向左或向下平移，观察它们的变化，你能从中发现什么规律吗？再找几个点试一试！
二、合作探究，理解新知
问题1：平移变换与坐标
在“创设情境，导入新知”第2题中，如果以C为坐标原点，CB所在直线为x轴建立直角坐标系如图所示．
思考：(1)A、B、C三点在直角坐标系中的坐标是什么？
(2)把△ACB向右平移3个单位之后，得到△A′B′C′，三个顶点的坐标是什么？与△ABC三个顶点相比，相应顶点坐标有什么变化？
结论：相应顶点的横坐标都增加了3个单位，而纵坐标都不变．
(3)若把△ABC向左平移3个单位，相应顶点坐标有什么变化？
相应顶点的横坐标都减少了3个单位，而纵坐标都不变．
(4)改变△ABC的位置，再将△ABC左、右平移，相应顶点坐标怎样变化？
由上述的几个变换过程，可以得到一个图形沿x轴左、右平移，它们的纵坐标、横坐标各有什么变化？
它们的纵坐标都不变，横坐标有变化．向右平移几个单位，横坐标就增加几个单位；向左平移几个单位，横坐标就减少几个单位．
(5)如果将一个图形上下平移，图形上点的坐标又有什么变化规律？
图形上点的横坐标不变，向上平移几个单位，纵坐标加上几个单位；向下平移几个单位，纵坐标就减少几个单位．
问题2：对称变换与坐标
思考：(1)如图，将△AOB沿x轴翻转，对应点的坐标有什么变化？
横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数．
(2)如果沿y轴翻转呢？
纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数．
(3)如果图形关于原点对称呢？
横坐标、纵坐标都变为原来的相反数．
练习：完成教材“试一试”．
问题3：位似变换与坐标
思考：如图，(1)△COD的各顶点坐标是什么？
C(1，2)，O(0，0)，D(2，0)．
△AOB各顶点坐标是什么？
A(2，4)，O(0，0)，B(4，0)．
(2)△COD与△AOB对应顶点是怎样变化的？
将△COD各顶点的横、纵坐标分别乘以2，就得到△AOB各顶点的坐标．
(3)△COD与△AOB相似吗？若相似，相似比是多少？
相似，相似比是1∶2.
(4)比较△COD与△AOB的各对应顶点坐标的变化，它们的横纵坐标都按比例扩大，这种变化与它们的相似比有什么关系呢？
都扩大了相似比的倍数．
(5)△COD与△AOB是位似图形，且都在位似中心O的同侧，若△COD与△AOB在位似中心O的两侧，对应顶点的坐标的变化与相似比又有什么关系呢？
变换后对应点横、纵坐标都乘以相似比的相反数．
归纳：以原点为位似中心作位似变换，若位似比是k，当原图形与新图形在y轴两侧(即对应点在y轴两侧)时，那么位似图形上对应点的坐标比等于位似比的相反数；当新图形与原图形在y轴同侧(即对应点在y轴同侧)时，那么位似图形上对应点的坐标比等于位似比．
三、尝试练习，掌握新知
1．如图，已知在平面直角坐标系中有一个正方形ABCO.
(1)写出A、B、C、O四个点的坐标．
(2)若A向右移动两个单位，B点也向右平移两个单位，写出A、B的坐标，这时四边形ABCO是什么图形？
(3)在(2)的图形中B、C两点要怎样变化才能使四边形ABCO为正方形？
2．将图中的点A(6，0)，B(6，3)，C(6，6)，D(0，3)作如下变化：
(1)纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的2倍，再将所得的点用线段依次连结起来，所得的图案与原图案相比有什么变化？
(2)纵坐标保持不变，横坐标加2，再将所得的点用线段依次连结起来，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？
(3)纵坐标保持不变，横坐标分别乘以－1，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？
3.如下图，已知：
(1)AC的长等于______；
(2)若将△ABC向右平移2个单位得到△A′B′C′，则A点的对应点A′的坐标是______；
(3)若将△ABC绕点C按顺时针方向旋90°后得到△A1B1C1，则A点的对应点A1的坐标是______．
4．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，你有什么收获？
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1．教材习题23.6第2题．
2.如图，在8×12的矩形网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的顶点都在格点上．
(1)在所给网格中按下列要求画图：
①在网格中建立平面直角坐标系(坐标原点为O)，使四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A(－5，0)、B(－4，0)、C(－1，3)、D(－5，1)；
②将四边形ABCD沿x轴翻转180°，得到四边形A′B′C′D′，再将四边形A′B′C′D′绕原点O旋转180°，得到四边形A″B″C″D″；
(2)写出C″、D″的坐标；
(3)请判断四边形A″B″C″D″与四边形ABCD成何种对称？若成中心对称，请写出对称中心；若成轴对称，请写出对称轴．25．1 在重复试验中观察不确定现象
【知识与技能】
1．借助试验，进一步体会随机事件在每次试验中发生与否具有不确定性．
2．获得“在相同试验条件下，随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐趋于稳定”的认识．
3．使学生通过对不均匀材料的试验问题有一个认识，感受到只有试验才是预测某些随机事件发生的机会的必要手段．
4．使学生通过讨论，观察试验结果体会随机事件中所隐含的确定性内涵，使学生初步掌握试验的基本程序、方法，培养他们的探索意识，合作精神．
【过程与方法】
1．通过动手试验和课堂交流，进一步培养收集、描述、分析数据的技能．
2．经历对不确定事件确定性内涵的认识过程，培养学生透过现象看本质的思维习惯，培养思维的深刻性．
【情感态度】
1．经历动手试验和课堂交流的课程，提高数学交流的水平，发展探索合作的精神．
2．经历对实际问题的解决过程，感受到数学的有趣和有用，并在解决过程中体会成功的乐趣．
【教学重点】
通过大量试验，体会随着重复试验次数的增大，事件发生的频率将呈现逐渐稳定的趋势，可以由此来预测机会的大小．
【教学难点】
逐渐培养学生的随机观念，动手试验和观察数据来发现不确定现象的发生并非完全没有规律可循的，抓住重复试验这一关键问题，让学生就试验的方法和步骤展开讨论与交流．
一、创设情境，导入新知
让学生以小组为单位讨论提出自己在实际生活中还可能遇到哪些类似的事件，交流后请以小组为单位汇报讨论结果．
事件整理如下：
(1)地球不停地转动；
(2)木柴燃烧，产生能量；
(3)两个正数的乘积小于0；
(4)某人射击一次，中靶；
(5)掷一枚硬币，出现正面；
(6)在标准大气压下且温度低于0℃时，雪融化．
小组讨论结果：有些事件是肯定会发生的，有些事件是肯定不会发生的，还有些事件是可能发生的.
让学生自己找出教材中对应的知识点.
必然事件：
不可能事件：
确定事件：
随机事件：
板书：在重复试验中观察不确定现象
【教学说明】本环节充分展示了学生的学习自主性，先从实际生活中所遇到的各种事件入手，让学生得到一个初步的感性认识，再结合教材自主得到理性的认识，避免教师把知识点强加到学生身上.
概念巩固
例1：指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：
(1)我镇10月1日刮西北风；
(2)太阳从东方升起；
(3)手电筒的电池没电，灯泡发亮；
(4)一个电影院某天的上座率超过50%.
板书：随机性
【教学说明】通过例子，使学生加深概念的理解，进一步巩固三个事件的概念．让学生确实感受到生活中充满了数学，从而增强学习数学的兴趣，培养学生仔细观察的能力．
二、合作探究，理解新知
试验1：“抛一枚硬币”游戏
这是一个不确定事件．那么不确定事件是否就无规律可循了呢？下面让我们通过试验探索不确定现象背后隐含的规律．
下面是一位同学在游戏中获得的数据，他已经将这些数据填入统计表，并绘制了折线图.
抛掷次数
50
100
150
200
250
300
350
400
出现正面的频数
26
53
72
94
116
142
169
193
出现正面的频率
52.0%
53.0%
48.0%
47.0%
46.4%
47.3%
48.3%
48.3%
抛掷次数
450
500
550
600
650
700
750
800
出现正面的频数
218
242
269
294
321
343
369
395
出现正面的频率
48.4%
48.4%
48.9%
49.0%
49.4%
49.0%
49.2%
49.4%
结论：
1．借助试验，进一步体会随机事件在每次试验中发生与否具有不确定性．
2．获得“在相同试验条件下，随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐趋于稳定”的认识．
试验2：“抛两枚硬币”游戏
抛掷两枚硬币，看看当抛掷次数很多以后，“出现两个正面”和“出现一正一反”这两个不确定事件的频率是否也会比较稳定．
在开始试验前，请同学们思考以下问题．
(1)在硬币抛出之前，你能否预测每次抛出的结果？假如你已经抛掷了1000次，你能否预测第1001次抛掷的结果？
(2)你能预测出现两个正面的频率和出现一正一反的频率吗？
(3)在试验过程有哪些问题需要注意？
(4)你能设计一个统计表来记录试验中的数据吗？
问题解决
例2：准备10张小卡片，上面分别写上数字1到10，然后将卡片放在一起，每次随意抽出一张，然后放回洗匀再抽．
(1)将试验结果填入下表：
试验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
出现3的倍数的频数
出现3的倍数的频率
(2)绘制折线统计图；
(3)从上面的图表中可以发现出现了3的倍数的频率有何特点？
(4)这十张卡片的10个数中，共有______张卡片上的数是3的倍数，占整个卡片张数的______，你能据此对上述发现作些解释吗？
【教学说明】这是一道开放性试验思考题，它的第(1)、(2)两小题答案不是唯一的，由此可以让学生深刻体会到当试验次数很多时，关注的事件出现的频率会逐渐稳定．
三、尝试练习，掌握新知
1．教材第127页练习1、2题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课应掌握：
(1)必然事件，不可能事件，确定事件及随机事件的概念．
(2)一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小是不同的．
(3)让学生通过动手试验和观察数据，发现不确定现象的发生并非没有规律可循，体会随着重复试验次数的增大，事件发生的频率将呈现逐渐稳定的趋势，可以由此来预测机会的大小，了解用稳定后的频率值估计事件发生的机会的合理性．
教师引导归纳，点评．
学生尝试归纳总结本节所学内容及所收获．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1．习题25.1第1、2、3题．
2．(1)任意抛掷一枚均匀的硬币，会出现______种结果，这几种结果出现的可能性是______，都是______；
(2)有大小两个正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，将两个正方体投掷在桌面上，向上的一面数字之和为偶数的情形有______种．24．2 直角三角形的性质
【知识与技能】
1．理解掌握直角三角形性质定理(1)，(2)．
2．巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法．
3．掌握直角三角形性质定理(3)：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及由此证得的另一直角三角形性质定理：直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【过程与方法】
1．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充．
2．培养学生用规范的数学语言进行表述的习惯和能力．
【情感态度】
1．引导学生对图形的观察、发现、激发学生的好奇心和求知欲．
2．在运用数学知识解答问题的活动中，鼓励学生积极参与数学活动，体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性．
【教学重点】
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用；含30°角的直角三角形的性质的发现与应用．
【教学难点】
1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的证明思想方法．
2．含30°角的直角三角形性质的探索与证明．
3．引导学生全面、周到地思考问题．
一、创设情境，导入新知
在2014年两会召开期间，我市人大代表提出《水利建设如何“加速”》的提案已审议通过，但在实际建设中遇到了选址的问题，我们一起来帮帮他们吧！
涌泉镇将建造一个集中供水站，设计师设想把供水站设计建造在离三个镇距离相等的位置．而这三个镇的位置正好构成一个直角三角形．该怎么选址呢？
动一动 想一想 画一画(实验操作)
让学生以小组竞赛的方式看看哪一组最先找到符合要求的位置．
再让小组之间相互检查找到的这个点到这三个镇的距离是否符合要求．
通过以上的实验探究猜想：直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有什么关系？
所有的直角三角形是否都存在这样的规律呢？今天我们一起来共同探究，当一回设计师吧！
【教学说明】让学生感受到利用数学知识是解决实际生活问题的有效方法之一，这样的导入既关心了时事政治又可以激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望．
二、合作探究，理解新知
让学生拿出已经准备好的一个矩形图片，把矩形图片的两条对角线画出来，沿着一条对角线剪去图形的一半，得到一个直角三角形．与你的同伴共同动手操作量一量斜边AC与中线BE的数量关系．从中你能发现什么规律？
【教学说明】通过学生动手操作感受到直角三角形的直角边和中线之间的关系是从矩形对角线而来的，为下一步证明性质定理做好铺垫，同时也启发了学生从实践中发现一些客观存在的规律．
提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
证明命题：教师引导，学生结合实验探究过程反向思维，构建矩形，共同完成证明过程．
结论归纳：直角三角形性质斜边上的中线等于斜边的一半．
你能用几何语言写出这一性质吗？
板书：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BE是斜边AC的中线，
∴
BE＝AC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)．
例题讲解
例1：如果直角三角形的两条直角边长分别为2
＋1和2
－1，求斜边上中线的长．
解：∵三角形是直角三角形，∴斜边上的长＝＝，∴斜边上中线的长为.
【教学说明】让学生初步学会运用直角三角形性质(3)来解决某些与直角三角形有关的问题，加深学生对直角三角形的性质(3)的理解．
拓展应用
例2：探索30°角所对的直角边与斜边的关系．
用含30°角的直角三角尺是否能摆出一个等边三角形？由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？
我们通过实践操作得到的结论还需证明，你能证明它吗？请根据图形写出已知、求证和证明过程．
已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°.
求证：BC＝AB.
证明：作斜边AB上的中线CD，则CD＝AB＝AD＝BD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)．
∵∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴△CBD是等边三角形．∴BC＝BD＝AB.
【教学说明】让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明，从而得到直角三角形性质(3)推论，同时也让学生知道证明一个命题的方法和过程．
板书：直角三角形性质(3)推论．
如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
三、尝试练习，掌握新知
1.小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶，共走了200
m，山的高度是______m.
2．若一个等腰三角形的底角是15°，腰长为6
cm，求这个等腰三角形的面积．
3.(课余探索)如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形．
【教学说明】练习1和2是为了进一步巩固直角三角形性质(3)及其推论，进一步巩固新知，解决与直角三角形有关的问题，问题3的设计是针对能力强的学生进行课余探索而设计，目的是让不同层次的学生都有收获．
4．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课主要讲了直角三角形的哪两条性质定理？
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
教材习题24.2第1～3题．24．3 锐角三角函数
24．3.1 锐角三角函数
第1课时 锐角三角函数(1)
【知识与技能】
了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比．
【过程与方法】
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的作用．
【情感态度】
1．通过学习培养学生的合作意识．
2．通过探究提高学生学习数学的兴趣．
【教学重点】
锐角三角函数的概念．
【教学难点】
锐角三角函数的概念的理解．
一、创设情景，导入新知
如图(1)、图(2)都可以用来测量物体的高度．
这两个问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．直角三角形中，它的边与角有什么关系？通过本节的学习，你就会明白其中的道理，并能应用所学知识解决相关的问题．
二、合作探究，理解新知
1．在Rt△ABC中，介绍某个角的对边、邻边的概念．
2．做一做：
(1)画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝30°，那么∠A的对边与斜边的比值是多少？量一量、算一算．
(2)你画的三角形与你同伴画的三角形全等吗？不全等时，比值有什么关系？和你的同伴交流一下．
(3)若∠A＝45°、60°时，则∠A对边与斜边之比＝______．
说明：学生独立思考后回答．教师强调：在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变(如∠A＝30°)，那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值．
思考：一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？
先由学生发表意见，然后再引导学生观察几何画板演示的过程．
明确：在Rt△ABC中，对于锐角固定的一个值，它的对边与斜边的比都是一个固定不变的值，与Rt△ABC的大小无关．
为什么是这样呢？下面我们用相似形的知识来说明．
观察图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，易知Rt△AB1C1∽Rt△________∽Rt△________．
∴＝＝…
可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边的比值是唯一确定的．
同样，其对边与邻边，邻边与斜边的比值也是唯一确定的．
3．锐角三角函数的定义
板书：在△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝＝＝.
同样可得出锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝.
我们把锐角A的正弦、余弦、正切统称为锐角A的三角函数．
想一想：当0°<∠A<90°时，sinA、cosA的值会在什么范围内？为什么？
这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，教师可适当点拨：直角三角形中斜边大于直角边．
在学生充分讨论的基础上，得结论0
例题讲解
例1：求出如图所示的Rt△ABC中，∠A的三个三角函数值．
解：Rt△ABC中，AB＝＝＝17.
∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝.
【教学说明】例1的设置是为了巩固三角函数的概念，通过教师示范，使学生会求三角函数值，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点．
变式训练：(1)如果将题中的条件变为AB＝15，BC＝8或AC∶BC＝1∶2，你能求出∠A的三个三角函数值吗？
(2)若将条件AB＝15，BC＝8改为tanA＝2，你能求出∠A的其余三角函数值及∠B的三个三角函数值吗？
【教学说明】通过变式训练让学生明确这类题的解法：设比值法．
例2：已知：在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝3，求AB、AC的值．
(学生独立思考，小组交流解题思路，师生共同寻求解题方法)
分析：本题已知直角三角形中锐角A的正弦值及直角边BC的长，要求斜边AB的长，可利用正弦函数的定义sinA＝求出；AC的长可利用勾股定理求出．
解：∵sinA＝，∴AB＝＝＝.
∴AC＝＝＝
.
变式训练：已知：在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，求sinB的值．
【教学说明】通过以上两题和变式训练的教学，使学生会用方程思想和设参数法解题，进一步明确锐角的三角函数值只与角的有关边的比值有关，而与它们的长度没有关系．
思考：你能根据三角函数的定义得出sin2A＋cos2A＝1吗？
引导学生利用三角函数定义及勾股定理解决．
三、尝试练习，掌握新知
1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦值
( )
A．没有变化
B．扩大2倍
C．缩小2倍
D．不能确定
2.如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，那么sinA的值等于
( )
A.
B.
C.
D.
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝4，则sinB的值是( )
A.
B.
C.
D.
4.△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则BC∶AC等于( )
A．3∶4
B．4∶3
C．3∶5
D．4∶5
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a∶b＝1：，则c＝______a，sinA＝______，sinB＝______．
6．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课你学会了什么？还有什么疑问？你还想知道什么？
引导学生从知识和方法上总结．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1.教材习题24.3第1、2题．
2.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，求∠A的其余三角函数值．
3.等腰△ABC，AB＝AC＝13，BC＝10，求∠B的三个三角函数值．
第2课时 锐角三角函数(2)
【知识与技能】
1．熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．
2．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【过程与方法】
逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．
【情感态度】
经历观察、操作、归纳等学习数学过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学、严谨的学习态度．
【教学重点】
特殊角的三角函数值．
【教学难点】
与特殊角的三角函数值有关的计算．
一、创设情境，导入新知
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝2，求∠A、∠B的三角函数值．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，求∠A、∠B的三角函数值．
说明：回顾锐角三角函数的定义；直角三角形的性质．
二、合作探究，理解新知
问题1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，你能借助于常用的两块三角板或直接通过计算，根据锐角三角函数的定义，分别求出下列∠A的三角函数值吗？
(1)∠A＝30°；(2)∠A＝45°；(3)∠A＝60°.
分析：利用三角函数的定义及等腰直角三角形的两直角边相等，可求出45°角的各三角函数值；利用在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半可求出30°、60°角的各三角函数值．
思考：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的多少？若设30°所对的直角边是1，则斜边是多少？另一条直角边是多少？
解：如图，∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，则AB＝2BC，由勾股定理，得AC＝＝BC，所以
sin30°＝sinA＝＝＝；
cos30°＝cosA＝＝＝；
tan30°＝tanA＝＝＝.
同理可求得：sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝.
你能仿照上面的解法，利用下图，求出45°的各三角函数值吗？试试看．
(答案：sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1，提示：在此三角形中，BC＝AC＝AB.)
练一练：
1．计算sin30°·tan45°的值为(
A
)
A. B. C. D.
2．tan30°的值等于____．
3．等边三角形中，一个锐角的正切值是____．
问题2：在Rt△ABC中，若sinA＝，则cos＝______．
分析：逆用特殊角的三角函数值，已知三角函数值，可求出相应的特殊角．
解：由sinA＝，得∠A＝60°，所以cos＝cos30°＝.
练一练：
已知α是锐角，cos＝，则α等于(
C
)
A．30° B．45° C．60° D．90°
问题3：你能求出tan15°的值吗？
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至D，使BD＝AB，则∠D＝15°.设AC＝k，则AB＝2k，BC＝k，所以CD＝BC＋BD＝BC＋AB＝(2＋)k，所以tan15°＝＝＝＝2－.
仿照上面的解题方法，你能求出tan22.5°的值吗？
分析：构造含22.5°的直角三角形，利用三角函数的定义求．
解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝CB，延长CB到D，使BD＝AB，则∠D＝∠ABC＝22.5°.
在Rt△ACD中，设AC＝BC＝1，则BD＝AB＝，DC＝1＋.
所以tan∠ADC＝＝＝－1.
探究：下列式子成立吗？
1．sin75°＝sin45°＋sin30°；
2．sin60°＝2sin30°.
(答案：都不成立．)
3．计算：sin30°＋cos245°＋tan60°.
4．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，求sinA的值．
三、尝试练习，掌握新知
1．化简等于( )
A．1－ B.－1
C.－1
D.＋1
2．点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )
A．(，)
B．(－，－)
C．(－，)
D．(－，－)
3．在△ABC中，若cosA＝，tanB＝，则此三角形一定是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
4．计算－tan45°的值是______．
5．已知△ABC中，(1)若∠C＝90°，∠B＝60°，a＋b＝6，求S△ABC；
(2)若tanA＝，∠B－∠C＝90°，求∠B、∠C的度数．
6．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，你有什么收获？
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1．计算：tan30°＝________．
2．△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，a＝，则b＝________．
3．计算：sin45°＋cos30°·tan60°－.(应有必要的运算步骤)
4．若α为锐角，且tan2α－(1＋)tanα＋1＝0，求α的度数．
5．教材第109页练习第3题，第111页习题24.3第3题．
24．3.2 用计算器求锐角三角函数值
【知识与技能】
1．会使用计算器求锐角三角函数的值．
2．会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角．
【过程与方法】
在做题、计算的过程中，逐步熟练计算器的使用．
【情感态度】
经历计算器的使用过程，熟悉其按键顺序．
【教学重点】
利用计算器求锐角三角函数的值．
【教学难点】
计算器的按键顺序．
一、创设情境，导入新知
填表：
三角函数
锐角α
sinα
cosα
tanα
30°
45°
60°
从这张表格中你看出了什么？
由上表我们可以直接写出30°、45°、60°角的三角函数值及由特殊值写出相应的锐角．对一些非特殊的角(如32°)，怎样求它的四个三角函数值？这一节课我们就学习用计算器来完成这个任务．
二、合作探究，理解新知
1．求锐角三角函数值
(1)例题讲解
例1：求sin63°52′41″的值(精确到0.0001)．
分析：由于计算器在计算角的三角函数值时，角的单位用的是度，
所以我们必须先把角63°52′41″转换为“度”．
解：如下方法将角度单位状态设定为“度”：
(设置)(角度单位)(度)，屏幕显示
再按下列顺序依次按键：
，
显示结果为0.897859012.
∴sin63°52′41″≈0.8979.
例2：求tan19°15′的值(精确到0.0001)．
解：在角度单位状态为“度”的情况下(屏幕显示出)，按下列顺序依次按键：
，
显示结果为0.3492156334.
∴tan19°15′≈0.3492.
以下部分学生完成．
(2)针对练习
教材练习第1题．
2．由锐角三角函数值求锐角
(1)例题讲解
例3：已知tanx＝0.7410，求锐角x.(精确到1′)
解：在角度单位状态为“度”的情况下(屏幕显示出)，按下列顺序依次按键：
，
显示结果为36.53844577.
再按键
，显示结果为36□32□18.4.
∴x≈36°32′.
注意：由角x的三角函数值求角x，按键的次序有所不同，它与求角x的三角函数值是一个“互逆”的过程．
(2)针对练习
教材练习第2题．
三、尝试练习，掌握新知
1．已知tanA＝3.1478，利用计算器求锐角A.(精确到1′)
2．求下列各式的值：
(1)sin23°；(2)cos56°31′；(3)tan29°34′54″；
(4)tan35°25′.
3．用计算器求下式的值．
sin81°32′17″＋cos38°43′47″.
4．等腰△ABC中，顶角∠ACB＝108°，腰AC＝10
cm，求底边AB的长及△ABC的面积．
5．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，你有什么收获？
(让学生说出：怎样运用自己的计算器求出已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角．)
利用计算器求出任意一个锐角的三角函数值，同时已知一个锐角函数值可求出这个锐角．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1．教材习题24.3第4、5题．
2．比较大小cos25°______cos32°，tan29°______tan39°.
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝29，AC＝25，求∠A的度数．21．1 二次根式
第1课时 二次根式的概念及化简
【知识与技能】
1．了解二次根式的定义．
2．会求二次根式被开方数中字母的取值范围．
3．会利用二次根式的非负性解题．
【过程与方法】
经历观察、比较、总结二次根式的定义，培养学生的归纳能力．
【情感态度】
经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识．
【教学重点】
二次根式的概念．
【教学难点】
利用二次根式的非负性解决具体问题．
一、创设情境，导入新知
1．什么是平方根、算术平方根？
2．试一试，说出下列代数式的意义．
，，，，.
3．根据下图所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：
(1)直角三角形的斜边长是________；
(2)正方形的边长是________；
(3)等边三角形的边长是________．(让学生在实际情境中写出表示算术平方根的式子)
4．第2题及第3题中所得的各代数式的共同特点是什么？
(学生通过观察，从中感知二次根式的特征．鼓励学生用自己的语言总结出共同特征，从而引出课题．教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，板书本课课题)
二、合作探究，理解新知
1．二次根式的概念
(1)引导学生概括二次根式的定义：像，，这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式大于或等于0，这样的式子叫做二次根式．为了方便，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式．因此我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式．
(2)概念深化：
提问：＋1是不是二次根式？呢？
议一议：二次根式表示什么意义？此算术平方根的被开方数是什么？被开方数必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母a需满足什么条件？为什么？
经学生讨论后，让学生回答，并让其他学生点评．
教师总结：强调二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零．
(3)思考：根据你已有知识，说说你对二次根式的认识．
学生分组讨论，回答，最后教师总结：
①表示a的算术平方根；②a可以是数，也可以是代数式；③从形式上含有二次根号“”；④a≥0，≥0；⑤表示开平方运算，也可表示运算结果．
2．例题讲解
例1：下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
，，，(x>0)，，，－，，(x≥0，y≥0)．
分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0.
解：二次根式有：，(x>0)，，－，(x≥0，y≥0)；不是二次根式的有：，，，.
交流归纳：从形式上看，一个代数式是二次根式必须具备以下两个条件：
(1)必须有二次根号；(2)被开方数不能小于0.
例2：x取何值时，下列二次根式有意义？
(1)；(2)；(3).
教师提问，学生回答，教师板书解题过程．
问题是：
①被开方数需满足什么？
②由此可得怎样的不等式？
③第(1)、(2)题可以转化为解怎样的不等式？第(3)题不解不等式就能确定x的取值范围吗？
解：(1)由x－1≥0，得x≥1.所以当x≥1时二次根式有意义．
(2)由>0，得1－2x>0，x<.所以当x<时，二次根式有意义．
(3)因为无论x取何值，都有(1－x)2≥0，所以当x取全体实数时，二次根式都有意义．
交流归纳：由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须满足被开方数大于或等于0，而求二次根式被开方数中字母取值范围可列不等式求解．
三、尝试练习，掌握新知
1．下列式子哪些是二次根式？
，4，，，，，(x，y异号)，(x<2)．
2．教材练习第2题．
3．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课你有什么收获或困惑？(学生自己完成，教师引导学生总结)
(1)式子(a≥0)叫做二次根式，实质是一个非负实数的算术平方根的表达式；
(2)式子中，被开方数(式)必须大于或等于零；
(3)求二次根式中字母取值范围的方法：
①观察配方法，如例2中的(3)题；②列不等式或不等式组求解．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1．教材习题21.1第1题．
2．当x是多少时，＋在实数范围内有意义？(答案：x≥－且x≠－1)
3．已知y＝＋＋5，求的值．(答案：)
3．若＋＝0，求a2009＋b2009的值．(答案：0)
第2课时 二次根式的性质
【知识与技能】
理解二次根式的基本性质：()2＝a(a≥0)及＝|a|，并能利用它们进行化简或计算．
【过程与方法】
通过对二次根式性质的探究，提高数学探究能力和归纳能力．
【情感态度】
经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识．
【教学重点】
二次根式性质的应用．
【教学难点】
二次根式性质＝|a|的应用．
一、创设情境，导入新知
1．什么叫二次根式？
2．当a≥0时，叫什么？当a<0时，有意义吗？
3．()2，表示的意义分别是什么？分别等于多少？
教师点评，由3引出新课．
二、合作探究，理解新知
(一)()2＝a(a≥0)的探究
1．做一做：根据算术平方根的意义填空：
()2＝______；()2＝______；()2＝______；()2＝______；()2＝______；()2＝______；()2＝______．
教师点评：是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有()2＝4.
同理可得：()2＝2，()2＝9，()2＝3，()2＝，()2＝，()2＝0.
2．思考：根据上面的计算，你得出了什么结论？
学生讨论，得出结论：()2＝a(a≥0)．
3．例题讲解
例1：计算：
(1)()2；(2)()2；(3)(3
)2；
(4)()2.
分析：我们可以直接利用()2＝a(a≥0)的结论解题．
解：(1)()2＝；(2)()2＝；
(3)(3
)2＝32×()2＝9×5＝45；
(4)()2＝＝.
4．练习：
计算：(1)()2；(2)()2；(3)()2；
(4)(4
)2；(5)(3
)2－(5
)2.
(二)二次根式性质＝|a|的探究
1．做一做：(学生活动)填空：
＝________；＝________；
＝________；＝________；
＝________；＝________．
教师点评：根据算术平方根的意义，我们可以得到：
＝2；＝0.01；
＝；＝；
＝0；＝.
2．根据上面的计算你得出了什么结论？
学生讨论得出，一般地：＝a(a≥0)．
3．思考：当a<0时，＝a还成立吗？
学生小组讨论，教师举反例说明结论不成立，最后得出结论：当a<0时，＝－a.
4．通过上面的学习你认为等于多少？
＝|a|.
5．例题讲解
例2：化简：
(1)；(2)；(3)；(4).
分析：因为：(1)9＝32，(2)(－4)2＝42，(3)25＝52，(4)(－3)2＝32，所以都可运用＝a(a≥0)去化简．
解：(1)＝＝3；(2)＝＝4；(3)＝＝5；(4)＝＝3.
(三)应用拓展
1．计算：
(1)()2(x≥0)；
(2)()2；
(3)()2.
提示：(1)因为x≥0，所以x＋1>0；
(2)a2＋2a＋1＝(a＋1)2≥0；
(3)4x2－12x＋9＝(2x)2－2·2x·3＋32＝(2x－3)2≥0.
2．当x>2时，化简－.
(四)巩固练习
1．(－)2＝________；＝________．
2.＝a成立的条件是________．
3.＋的值是( )
A．0 B.
C．4
D．以上都不对
4．教材练习第1、3题．
三、尝试练习，掌握新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，你有什么收获或困惑？
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1．教材习题21.1第2、3题．
2．(选做题)
(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：
①5；②3.4；③；④x(x≥0)．
(2)先化简再求值：当a＝9时，求a＋的值，甲、乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式＝a＋＝a＋(1－a)＝1.
乙的解答为：原式＝a＋＝a＋a－1＝2a－1＝17.
两种解答中，______的解答是错误的，错误的原因是______．
(3)在实数范围内分解下列因式：
①x2－2；②x4－9；③3x2－5.22．1 一元二次方程
【知识与技能】
1．理解一元二次方程的概念．
2．掌握一元二次方程的一般形式，能分清一元二次方程的二次项及系数、一次项及系数、常数项．
【过程与方法】
通过观察，归纳一元二次方程的概念。
【情感态度】
进一步感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义．
【教学重点】
一元二次方程概念及其一般形式．
【教学难点】
正确认识一元二次方程中二次项系数、一次项系数，常数项和列一元二次方程．
一、创设情境，导入新知
1．什么叫整式方程？什么样的方程叫一元二次方程？试举例说明．
2．根据下列问题，设未知数列方程．
(1)一个正方形的面积的2倍等于31，求这个正方形的边长；
(2)一个数比另一个数小3，且两数之积为10，求这个数；
(3)绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900
m2的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
(4)学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册．求这两年的年平均增长率．
要求：学生完成，若设所求的量或数为x，可得如下方程：
(1)2x2＝31；(2)x(x＋3)＝10；(3)x(x＋10)＝900(设宽x米)；(4)5(1＋x)2＝7.2.
在学生完成后，教师将上述方程改写为：
(1)2x2－31＝0；(2)x2＋3x－10＝0；(3)x2＋10x－900＝0；(4)5x2＋10x－2.2＝0.
二、合作探究，理解新知
问题1：在复习引入中，所得的四个方程有哪些共同特点？
(学生分组讨论，然后各组交流)
(1)都是整式方程；(2)只含一个未知数；(3)含未知数项的最高次数是2.
从而推导出一元二次方程的定义，得出一元二次方程的一般形式．
定义：上述整式方程中都只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式：
ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项．
问题2：下列方程都是整式方程吗？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？
(1)3x＋2＝5x－3；(2)x2＝4；(3)(x－1)(x－2)＝x2＋8；(4)(x＋3)(3x－4)＝(x＋2)2；(5)()2＋－2＝0；(6)x2＋2x＋y－1＝0；(7)x4＋2x2－3＝0；(8)x3＋2x＝x(x2＋x)＋3.
(除方程(5)外都是整式方程，其中(1)、(3)是一元一次方程；(2)、(4)、(8)是一元二次方程．)
【教学说明】通过一元二次方程与一元一次方程的比较，加深学生对整式方程的认识，使学生深刻理解一元二次方程的定义，从而准确地判定一个方程是否是一元二次方程．
问题3：为什么在一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0中，二次项的系数a≠0
【教学说明】方程ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，必须具备a≠0的条件．如果所研究的问题中，明确指出方程ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，则它隐含了条件a≠0.若没有特别说明，方程ax2＋bx＋c＝0既可能是一元二次方程(当a≠0时)，也有可能是一元一次方程(当a＝0且b≠0时)．可通过具体例子加以强调．
例题讲解
例1：把方程3x(x－1)＝2(x＋2)＋8化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项．
解：去括号，得3x2－3x＝2x＋4＋8，
化简，得3x2－5x－12＝0.
二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－12.
【教学说明】通过例题的讲解，让学生明确一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)具有的两个特征：一是方程右边为0；二是左边的二次项系数不能为0.此外二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的，不同的一元二次方程的差异实质上是系数的差异，从而能正确地找出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．但同一个一元二次方程写出的一般形式可能不同(只是符号不同)，一般我们写二次项的系数为正的那个．
三、尝试练习，掌握新知
1．下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由．
(1)3x＋2＝x2；(2)＋y＝5；(3)y2＋2x－3＝0；(4)x2－2
x＋4＝0；(5)＋y＋3＝0；(6)y2＋3y＝4－(y－1)2；(7)px2＋qx＋m＝0(p≠0)．
2．教材第19页练习．
3．写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)abx2＋cx＋d＝0(ab≠0)；
(2)(m－n)x2＋m＋n＝0(m≠n)．
4．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
拓展应用
1．例题讲解：
例2：方程(2a－4)x2－2bx＋a＝0，在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
本题先由同学讨论，再由老师归纳．
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝2，b≠0时是一元一次方程．
例3：已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m.
分析：一根为2即x＝2，只需把x＝2代入原方程．
解：将x＝2代入原方程，得4(m－1)＋6－5m＋4＝0，解得m＝6.
2．练习：
(1)判断下列方程后面所给出的数，哪些是方程的解：
①2x(x＋1)＝4(x＋1) ±1， ±2；
②x2＋2x－8＝0 ±2， ±4.
(2)已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－4＝0有一个解是0，求m的值．
(3)已知关于x的方程(k－2)x2－kx＝x2－1.
问：①当k为何值时，方程为一元二次方程？
②当k为何值时，方程为一元一次方程？
四、课堂小结，梳理新知
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的．
3．在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1．教材习题22.1第1、2题．
2．补充作业(选做)
(1)一元二次方程2x2＋4x－1＝0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为______．
(2)试判断关于x的方程x2－kx(2x－k＋1)＝x是不是一元二次方程，如果是，指出其二次项系数、一次项系数及常数项．21．3 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
第2课时 二次根式的混合运算
【知识与技能】
1．知道什么是同类二次根式，会辨别两个根式是否是同类二次根式．
2．学会通过合并同类二次根式，进行二次根式的加法与减法运算．
3．会进行二次根式的加减混合运算．
【过程与方法】
1．经历探索二次根式的乘除法运算法则过程；培养学生的探究精神和合作交流的习惯．
2．体会用类比的思想研究二次根式的加减法运算法则，体验研究数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单到复杂．
【情感态度】
教学中为学生创造大量的操作、思考和交流的机会，关注学生思考问题的过程，鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情，培养学生主动探索，敢于实践，善于发现的科学精神以及合作精神，树立创新意识．
【教学重点】
掌握二次根式的加减法运算法则，会用它进行简单的二次根式的加减法运算．
【教学难点】
经历知识产生的过程，探索新知识及二次根式的混合运算．
一、创设情境，导入新知
一个运动场要修两块长方形草坪，第一块草坪的长是10米，宽是米，第二块草坪的长是20米，宽也是米．你能告诉运动场的负责人要准备多大面积的草皮吗？
问题：10
＋20
是什么运算？
(说明：学生回答，教师出示课题并说明研究该问题就是如何进行二次根式的加减运算)
二、合作探究，理解新知
探究一：二次根式的加减运算
1．试一试
计算：(1)3
－2
；(2)3
＋2
.
2．通过观察以上两道计算题，你联想到了什么？
3．你能试着解决它吗？
归纳：上面两个例子表明：遇到两个二次根式相加(或相减)时，我们希望利用分配律．这里利用分配律的实质是要求这两个二次根式的被开方数相同．这种类似的情况我们过去也遇到过：将两个单项式相加，如果想利用分配律的话，那就应当要求两个单项式除了系数以外，其余部分完全相同．这就启发我们，如同在整式的加减中合并“同类项”那样，能不能在二次根式的加减中，也合并一种“同类二次根式”呢？(学生讨论类比同类项，得出同类二次根式的概念)
4．同类二次根式：像3
和－2
，3
和2
等这样的两个二次根式，称为同类二次根式．
(1)(学生讨论、教师讲解)同类二次根式的特点(可结合上面的题目)．
①被开方数相同；②二次根式是最简二次根式；③与二次根式前面的“系数”无关．
(2)练习1：
②①·与是不是同类二次根式？
②你还能说出几个与3
同类的二次根式吗？
(3)思考：通过上面的练习，你怎样判断两个二次根式是同类二次根式？
师生共同归纳：先将所给的二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同，相同的是同类二次根式，否则不是同类二次根式．
5．二次根式的加减
(1)思考归纳：你能通过类比整式的加减，进行二次根式的加减运算吗？
二次根式的加减，与整式的加减相类似，只需对同类二次根式进行合并，合并方法是将同类二次根式前面的“系数”进行加减．
(2)例题讲解
例1：计算：3
＋－2
－3
.
先让学生独立完成，教师可适当点拨：①这里四个二次根式项中有同类二次根式吗？②能否将它们化简？
解：3
＋－2
－3
＝(3
－2
)＋(－3
)＝－2
.
思考：你会计算＋＋吗？
引导学生分析出先将各二次根式化成最简二次根式，再进行加减，最后学生完成解答．
例2：计算：
(1)－＋；
(2)＋－.
分析：先化成最简二次根式，再进行加减运算．
解：(1)－＋＝3
－2
＋3
＝＋3
；
(2)＋－＝
＋4
－3
＝
.
探究二：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算可以说是对我们前面所学的二次根式的乘法、除法以及加减法运算法则的综合运用，是前面几节内容的概括和总结，在进行二次根式的混合运算时，要注意以下三点：
(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．
(2)在运算过程中，每个根式都可以看作一个“单项式”，多个不同的二次根式可以看作“多项式”，因此整式运算中的运算律(交换律、结合律、分配律等)和乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用．
(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个最简形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次根式的和或差，或是有理式．
例题讲解
例3：计算：
(1)(＋－ab)；
(2)(2－)×(
＋)；
(3)(3
＋)×(－4
)；
(4)－.
分析：第(1)题可利用多项式与单项式的乘法法则计算；第(2)题可先化简为最简二次根式，再用多项式乘多项式的法则计算；第(3)题可以先把和化简，再利用乘法公式得到结果；第(4)题可以先分解因式和约分，再进行计算，简化计算过程．
解：(1)(＋－ab)＝(a＋b－ab)＝·a＋·b－ab·＝a2b＋ab2－ab；
(2)(2－)×(
＋)＝(－
)×(＋
)＝×＋×
－
×－
×
＝2
＋2－1－
＝1＋
；
(3)(3
＋)×(－4
)＝(3
＋4
)×(3
－4
)＝(3
)2－(4
)2＝18－48＝－30；
(4)－＝－＝－(－)＝.
三、尝试练习，掌握新知
1．教材第12页练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
通过本节课，你有什么收获或困惑？
1．同类二次根式
(1)它们都是最简二次根式；
(2)它们的被开方数必须完全相同．同时，我们还学习了二次根式的加法与减法运算．通过运算我们知道，二次根式相加减的实质就是合并同类二次根式．为了确认哪些二次根式是同类二次根式，我们先要把被确认的二次根式都化成最简二次根式，再按它们的被开方数是否完全相同去判断．
2．二次根式的加减的实质就是合并同类二次根式，整式的运算法则在二次根式中仍适用．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
教材习题21.3第1、2题．23．2 相似图形
【知识与技能】
1．经历相似多边形概念的形成过程，了解相似多边形的含义，初步掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例的性质．
2．能根据“对应边成比例，对应角相等”，判断两个多边形相似．
【过程与方法】
在探索相似多边形本质特征的过程中，进一步培养学生归纳、类比、反思、交流等方面的能力，提高数学思维水平，体会反例的作用．
【情感态度】
感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习方法．
【教学重点】
了解相似多边形的含义，探索并掌握相似多边形本质特征．
【教学难点】
通过反例，进一步理解相似多边形本质特征．
一、创设情境，导入新知
下图是某个城市的大小不同的两张地图，当然，它们是相似的图形．设在大地图中有A、B、C三地，在小地图中的相应地记为A′、B′、C′，试用刻度尺量一量两张地图中AB、BC与A′B′、B′C′的图上距离．(图见教材P57)
根据你的测量计算得＝_______，＝_______．它们之间有什么关系？
二、合作探究，理解新知
问题1：上面两幅地图是相似的，换成其他的是否也有这样的结论呢？
(1)请量一量AC＝______cm，A′C′＝______cm，再计算＝______，你又发现什么？
(2)AB、BC、AC和A′B′、B′C′、A′C′中，哪四条线段分别成比例？请分别写出它们的比例式．
(＝，＝，＝；显然，＝＝)
(3)如果在这两张地图中≠，你猜猜会出现什么情况？
(4)你能得出什么结论？(在这两张相似的地图中的对应线段都是成比例的)
问题2：上面的结论对一般的相似多边形是否成立呢？
(1)下面的两个四边形是相似的．仔细观察这两个四边形，量一量、算一算它们的对应边之间是否有以上的关系？对应角之间又有什么关系呢？
(2)结论：＝＝＝；
且∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，∠D＝∠D′.
(3)对于下面两个相似的五边形，它们的对应边成比例，对应角相等吗？
通过度量、计算得出＝＝＝＝，
且A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，∠D＝∠D′，∠E＝∠E′.
归纳：相似四边形、相似五边形的各对应边成比例，各对应角相等．
(4)由此可知两个相似多边形的特征是什么？
相似多边形对应边成比例，对应角相等．
问题3：由相似多边形的特征能否得到识别两个多边形是否相似的方法？举例说明．
(如果两个多边形的对应边成比例且对应角相等，那么这两个多边形相似．)
思考：1.观察下面两组图形，各组图形是否相似？为什么？与同伴交流．
2．如果两个多边形不相似，那么它们的对应角有可能都相等吗？对应边有可能都成比例吗？
例题讲解
例1：在下图所示的相似四边形中求未知边x、y的长度和角度α的大小．
分析：由相似多边形的特征可得：＝＝，则可分别求出x、y.再由相似多边形的对应角相等及四边形的内角和为360°，即可求出角度α的大小．
(让学生板书)
解：∵两个四边形相似，∴＝＝，
∴x＝31.5，y＝27.
∴α＝360°－(77°＋117°＋83°)＝83°.
例2：如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AD、BC的中点，若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，求矩形ABCD的面积．
分析：欲求矩形ABCD的面积，需先求出BC的长度．由矩形ABCD与矩形EABF相似，可利用相似图形的对应边成比例求出AD的长度．
解：∵E是AD的中点，
∴AE＝AD.
∵矩形ABCD与矩形EABF相似，
∴＝，即＝，
∴AD＝.
∴矩形ABCD的面积为.
[拓展提高]讨论：两个三角形一定是相似图形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？
[教师点拨]判定两个图形相似的方法是对应边成比例并且对应角相等．
[思维提升]两个长方形相似吗？两个正方形呢？
【教学说明】进一步拓展学生的知识面，提升学生的思维能力，使学生切实理解并掌握相似图形的性质与判定．
做一做：一块长3
m、宽1.5
m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5
cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
三、尝试练习，掌握新知
1．完成教材第60页的练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，你有什么收获或困惑？
(1)相似多边形对应边成比例，对应角相等．
(2)对应边成比例且对应角相等的两个多边形相似．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
教材第60页习题23.2的第1～5题．22．3 实践与探索
第1课时 利用一元二次方程解决面积、经济类问题
【知识与技能】
在已有的一元二次方程学习的基础上，知道现实生活中的一些数量关系，能够对生活中的实际问题转化为数学模型，利用一元二次方程解决实际问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效模型．
【过程与方法】
通过自主探索和合作交流，发现问题、提出问题并尝试解决问题，经历和体验数学发现的过程，培养学生的数学应用能力．
【情感态度】
在解决实际问题中增强学数学、用数学的自觉性，在发现的过程中提高思维品质．
【教学重点】
列一元二次方程解决实际问题．
【教学难点】
寻找实际问题中的相等关系，并分析方程的解，自主探索得到解决实际问题的最佳方案．
一、创设情境，导入新知
问题1：小明家里要建如图所示的一个长方形鸡场，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35
m，所围的面积为150
m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为多少呢？
问题2：某服装商场将每件进价为30元的内衣，以每件50元售出，平均每月能售出300件，经过试销发现，若每件内衣涨价10元，其销量就减少10件，为了实现每月8700元的销售利润，假如你是商场营销部负责人，你将如何安排进货？[解决此类问题要明确的关系式：商品利润＝每件商品利润×销售件数＝(售价－进价)×销售件数]
出示问题，教师倾听学生的交流，指导学生探究，重点关注学生能否找到解决问题的正确方案，帮助分析并提示学生要考虑问题的实际情况．
学生分组讨论，交流合作，探求方法，并完成问题．
二、合作探究，理解新知
探究问题一：与面积有关的问题
例1：某林场计划修一条长750
m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6
m2，上口宽比渠深多2
m，渠底比渠深多0.4
m.
(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
(2)如果计划每天挖土48
m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为x
m，则上口宽为x＋2，渠底为x＋0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．
解：(1)设渠深为x
m，
则渠底为(x＋0.4)
m，上口宽为(x＋2)
m，
依题意，得：(x＋2＋x＋0.4)x＝1.6，
整理，得：5x2＋6x－8＝0，
解得：x1＝＝0.8，x2＝－2(舍去)．
∴上口宽为2.8
m，渠底为1.2
m.
(2)＝25天．
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8
m和1.2
m；需要25天才能挖完渠道．
教师可现场让学生画出图形，点拨问题，引导学生，总结结论．
探索思考
(1)解决面积问题的关键是什么？
(2)怎样快速而准确地解决这类型的题目？
引导、点拨、教师点评：准确画出几何图形是解决几何问题的关键．
先自主探索，再小组合作，交流总结．
探究问题二：与经济有关的问题
例2：某水果批发商经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
师生互动
分析：本题中涉及的关系有总利润、每千克的利润及销售量的关系、涨价与销售量的关系，因此，涨价与总利润之间有变化关系，设每千克应涨价x元，为了清楚地说明它们之间的关系列表如下：
每千克利润(元)
销售数量(千克)
总利润(元)
10
500
5000
10＋x
500－20x
6000
由学生完成解答过程，并根据题意(商场每天盈利，同时又要顾客得到实惠)对答案进行取舍．
老师提问题：如果不这样设未知数(设每千克应涨价x元)，设间接未知数又怎样来解决这些问题呢？
学生分组讨论，展示结果，师生共同点评．
本题是日常生活中经常遇到的商品经营问题．把其中的已知量与未知量之间的关系，用方程这种工具来表达时，就建立了它的数学模型，转化纯数学知识，通过解方程达到了解决问题的目的．
互动训练
1．要学生独自完成“创设情境”提出的问题，并展示解题过程．
2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的减价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多销售2件．
(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
解：(1)设每件衬衫应降价x元，得
每天售出量(件)
每件利润(元)
每天盈利(元)
故列方程为：(20＋2x)(40－x)＝1200，
整理得：________________，
解之得：x1＝________，x2＝________．
因为要尽快减少库存，所以x1＝________(舍去)．
(2)这个问题的解决由学生通过分组讨论，找到答案，最后师生共同点评，老师通过此题把二次函数的思想透露给学生，激起学生的求知欲，为以后进一步学习二次函数打下伏笔．
三、尝试练习，掌握新知
1．教材第40页练习第1、2题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
1．构建一元二次方程数学模型，通过审题弄清实际问题中已知量与未知量之间的关系是构建数学模型、解决实际问题的关键．
2．注重解法和验根．在具体问题中要注意恰当地选择解法，以保证解题过程简单流畅，特别要注意对方程的解进行检验，根据实际情况作出正确取舍，以保证结论的准确性．
3．在解决利润方面问题时，常用的关系式有：
商品利润＝每件商品利润×销售件数＝(售价－进价)×销售件数．
售价＝进价×(1＋利润率)．
总利润＝每件商品利润×销售数量＝收入－总支出．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
教材第42页习题22.3的第1、3、4、5题．
第2课时 用一元二次方程解决增长率及其他问题
【知识与技能】
1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
2．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
【过程与方法】
1．经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述．
2．通过解决平均增降率问题，学会将实际问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．
【情感态度】
通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
【教学重点】
列一元二次方程解有关平均增降率问题的应用题．
【教学难点】
发现平均增降率问题中的等量关系．
一、创设情境，导入新知
问题：
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为60000
kg，第二年的产量为________kg，第三年的产量为________，三年总产量为________．
2．某糖厂2015年食糖产量为a吨，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2017年的产量将是________．
教师给出题目，学生口答，教师点评．
二、合作探究，理解新知
例题讲解
例：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
分析：绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000元，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面通过计算来说明．
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1－x)元，两年后甲种药品成本为5000(1－x)2元，依题意，得
5000(1－x)2＝3000，解得x1≈0.225，x2≈1.775(不合题意，舍去)．
设乙种药品成本的年平均下降率为y，
则6000(1－y)2＝3600，解得y≈0.225.
答：两种药品成本的年平均下降率一样大．
思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？
学生分组讨论解答，选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意的问题．
教师演示问题，指导解答，总结规律．
三、尝试练习，掌握新知
1．教材第40页练习第3题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课你学到了什么知识？你感受最深的是什么？
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
教材第42～43页习题22.3的第2、6题．23．3 相似三角形
23．3.1 相似三角形
23．3.2 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定定理1
【知识与技能】
1．能够熟练地找出相似三角形的对应角和对应边．
2．会用相似条件“两角分别相等的两个三角形相似”证明两个三角形相似．
【过程与方法】
能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，进一步培养合情推理能力和初步的逻辑推理意识．
【情感态度】
在探索活动中，增强发现问题、解决问题的意识和养成合作交流的习惯．
【教学重点】
相似三角形的概念及相似三角形的判定定理1.
【教学难点】
相似三角形判定的应用．
一、创设情境，导入新知
什么是相似图形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？
二、合作探究，理解新知
问题1：相似三角形的有关概念
1．由复习知，如果两个多边形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似．三角形是最简单的多边形，那么什么样的两个三角形相似？
学生回答：如果两个三角形的三条边对应成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似．
教师归纳：
如果在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝，那么△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′；“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样的两个三角形相似就读作“△ABC相似于△A′B′C′”．
由于∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，所以点A的对应顶点是A′，B与B′是对应顶点，C与C′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边．如果记＝＝＝k，那么这个k就表示这两个相似三角形的相似比．相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系．
思考：如果△ABC∽△A′B′C′，它的相似比为k，即指＝k，那么△A′B′C′与△ABC的相似比应是，就不是k了，应为多少呢？
2．相似三角形与全等三角形的关系
(1)如果△ABC∽△A′B′C′，相似比k＝1，你会发现什么呢？
＝＝＝1，所以可得AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，因此这两个三角形不仅形状相同，且大小也相同，这样的三角形是全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例．
思考：(1)全等的两个三角形一定相似吗？
(2)相似的两个三角形会全等吗？
3．应用
(1)判断下列两个三角形是否相似？简单说明理由，如果相似，写出对应边的比例．
(2)△ABC中，D为AB边上任意一点，过D作DE∥BC，交AC边于E，那么△ADE与△ABC是否相似呢？
说明：判断它们是否相似，由①对应角是否相等；②对应边是否成比例去考虑．能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢？目前还没有什么依据，同学们不妨用刻度尺量一量，算一算对应边是否成比例．
通过度量，计算发现＝＝.所以可以判断出△ADE与△ABC相似．
思考：(1)如果D是AB边的中点，那么题中△ADE和△ABC的相似比是多少？
(2)若是如图，DE∥BC，与BA、CA的延长线交于D、E，那么△ADE与△ABC还会相似吗？如果相似写出它们对应边的比例式．
问题2：相似三角形判定定理1
1．思考：除定义外，是否存在识别两个三角形相似的简便方法？
2．观察归纳：同学们观察你与你的同伴所用的三角尺，以及教师用的木三角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样．这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索．
(1)有一个角是45°的三角尺，是等腰直角三角形会相似．
(2)有一个角是30°的三角尺，那么另一个锐角为60°，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢？
这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，它们好像就会“相似”．是这样吗？请同学们动手试一试：
①画两个三角形，使它们的三个角分别相等．
画△ABC与△DEF，使∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，在实际画图过程中，同学们画几个角相等？为什么？
实际画图中，只画∠A＝∠D，∠B＝∠E，则第三个角∠C与∠F一定会相等，这是根据三角形内角和为180°所确定的；
②用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例？与同伴交流，是否有相同结果；
③发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似．简单地说，两角分别相等的两个三角形相似．
对于上述结论，你能不能使条件再简单些？
只需两个角对应相等就可以了．由此得出相似三角形判定定理1：
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
3．例题讲解
例1：如图所示，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′(如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似)．
例2：如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.
证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠ADE＝∠B＝∠EFC，
∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△EFC(如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似)．
三、尝试练习，掌握新知
1．教材第63页练习第1、2题．
2．补充练习：
(1)在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，∠B′＝60°，这两个三角形相似吗？
(2)如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，试求的值，以及AC、EC的长．
(2)
(3)
(4)
(3)已知：如图，AB∥EF∥CD，则△AOB与______和______都相似．
(4)如图，AC⊥BD于C，DE⊥AB于E，DE与AC相交于点O，试找出图中的相似三角形，并说明理由．
3．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，你有什么收获和困惑？
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
教材习题23.3第1、2、3题．
第2课时 相似三角形的判定定理2
第3课时 相似三角形的判定定理3
【知识与技能】
1．会说出识别两个三角形相似的方法：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似．
2．能依据条件，灵活运用三种识别方法，正确判断两个三角形相似．
【过程与方法】
能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，进一步培养学生的推理能力和初步的逻辑推理意识．
【情感态度】
经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步提高探究、交流能力，养成动手、动脑、手脑和谐一致的习惯．
【教学重点】
用相似的判定定理判定两个三角形相似．
【教学难点】
综合应用相似三角形的判定定理解决有关相似的问题．
一、创设情境，导入新知
1．现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？
有两种方法：(1)根据定义；(2)有两个角分别相等的两个三角形相似．
2．上节学的“两角分别相等的两个三角形相似”判定方法是怎样得出的？
二、合作探究，理解新知
问题1：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
(1)问题：如图，△ABC中，D、E是AB、AC上三等分点(即AD＝AB，AE＝AC)，那么△ADE与△ABC相似吗？你用的是哪一种方法？
可提示学生：由于没有两个角对应相等，可以动手量一量，判断它们能否相似？
(2)思考：通过量角或量线段计算之后，可以得出：△ADE∽△ABC.从已知条件看，△ADE与△ABC有一对对应角相等，即∠A＝∠A(是公共角)，而另一个条件是AD＝AB，AE＝AC，即＝，＝，因此＝.也就是说：如果△ADE的两条边AD、AE与△ABC的两条边AB、AC对应成比例，它们的夹角又相等，那么△ABC∽△ADE.如果一个三角形两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？
引导学生画出两个三角形，△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，AB＝kA′B′，AC＝kA′C′，量一量BC与B′C′的长，计算，与同伴交流，是否与，相等？再量一量∠B与∠B′、∠C与∠C′，它们是否对应相等呢？这样的两个三角形相似吗？
(3)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简单地说：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．教师归纳强调：对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定会相似．你能画出有两边对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗？(画顶角与底角相等的两个等腰三角形，∠B＝∠B′，＝.)
(4)知识运用：
①例1：证明如图中△AEB与△FEC相似．
证明：∵＝＝1.5，＝＝1.5，∴＝.
∵∠AEB＝∠FEC，∴△AEB∽△FEC(如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似)．
②练习：教材P70练习第1题(3)．
问题2：三边成比例的两个三角形相似．
(1)如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？
(2)学生讨论，通过教材例4下边的“做一做”，或自己画出三边对应成比例的两个三角形探索两个三角形相似．
归纳：通过试验得出：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简单地说：三边成比例的两个三角形相似．
(3)知识运用：
①例2：△ABC和△A′B′C′中，AB＝6
cm，BC＝8
cm，AC＝10
cm，A′B′＝18
cm，B′C′＝24
cm，A′C′＝30
cm.试证明△ABC与△A′B′C′相似．
证明：∵＝＝，＝＝，＝＝，
∴＝＝.
∴△ABC∽△A′B′C′(如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似)．
说明：在应用三边对应成比例，判定两个三角形相似时，一定要找准对应边．
②练习：教材P70练习第1题(1)．
三、尝试练习，掌握新知
1．下面每组的两个三角形是否相似？为什么？
(1)
(2)
2．如图所示，如果有一点E在AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？
3．如图，BD、CE是△ABC的高，求证：△ADE∽△ABC.
4．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，你有什么收获？
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1．依据下列各组条件，判定△ABC与△A′B′C′是不是相似？并说明理由．
(1)∠A＝120°，AB＝7
cm，AC＝14
cm；
∠A＝120°，A′B′＝3
cm，A′C′＝6
cm.
(2)AB＝4
cm，BC＝6
cm，AC＝8
cm；
A′B′＝12
cm，B′C′＝18
cm，A′C′＝24
cm.
2.教材习题23.3第4题．
3.如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，且AB2＝AD·AC，DE∥AB，试说明△BCD∽△BDE.
4.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？你选的木料唯一吗？
23．3.3 相似三角形的性质
【知识与技能】
说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
【过程与方法】
培养由特殊到一般的思维方法，培养逻辑思维能力和应用能力．
【情感态度】
经历探索相似三角形性质的过程，并在探索研究过程中发展积极的情感、态度、价值观，体验解决问题策略的多样性．
【教学重点】
相似三角形性质的应用．
【教学难点】
相似三角形的判定和性质的综合应用．
一、创设情境，导入新知
1．由于马路拓宽，有一个面积是100平方米、周长80米的三角形的绿化地被削去了一个角，变成了一块梯形绿地，原绿化地的一边AB的长由原来的20米缩短成12米(如图所示)．为了保证绿化建设，市政府规定：因为种种原因而失去的绿地面积必须等面积补回．这样就引出了一个问题：这块失去的面积到底有多大？它的周长是多少？
你能够将上面生活中的实际问题转化为数学问题吗？
2．两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结果．例如，在图中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？
二、合作探究，理解新知
1．△ABD与△A′B′D′相似吗？若相似，它们的相似比是多少？
2．△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，而∠B＝∠B′，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似．那么＝＝k.
由此可以得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
(通过研究讨论，让学生借助已有的知识对新问题进行研究，培养学生的思考探索能力，同时让他们自己得出结论，感受成功的喜悦．)
3．思考：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？即图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
可以得到的结论是________________________________________________________________________．
(让学生用类似于“相似三角形对应高的比等于相似比”的方法进行研究，培养学生的推理能力．)
对于上述结论，你能证明吗？(学生仿对应高的证明独立完成)
4．想一想：两个相似三角形的周长比是什么？
可以得到的结论是________________________________________________________________________．
结论：相似三角形的周长比等于相似比．证明如下：
已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即＝＝＝k.
求证：＝k.
证明：∵＝＝＝k，
∴AB＝kA′B′，BC＝kB′C′，CA＝kC′A′.
∴＝＝k.
图中(1)、(2)、(3)分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．
(2)与(1)的相似比＝________________________________________________________________________；
(2)与(1)的面积比＝________________________________________________________________________；
(3)与(1)的相似比＝________________________________________________________________________；
(3)与(1)的面积比＝________________________________________________________________________.
从上面可以看出，当相似比为k时，面积比为k2.数学上可以说明，对于一般的相似三角形也具有这种关系．由此可以得出结论：相似三角形的面积比等于________．
(通过形象的图形比较，使学生直观地感知相似图形面积比与相似比之间的关系，便于被学生所接受．)
三、尝试练习，掌握新知
补充练习
1．(1)如果两个三角形相似，相似比为3∶5，则对应角的角平分线的比等于多少？
(2)相似三角形对应边的比为0.4，那么相似比为______，对应角的角平分线的比为________，周长的比为________，面积的比为________．
(3)两个相似多边形的面积比为4∶1，则它们的相似比为________，周长比为________．
(4)若两个相似三角形的最大边长分别为35
cm和14
cm，它们的周长差为60
cm，则较大三角形的周长是多少？
(5)把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大为原来的n倍，那么边长扩大为原来的几倍？
(6)在△ABC中，已知D在AB上，E在AC上，且DE∥BC，AB＝30
m，BD＝18
m，△ABC的周长为80
m，面积为100
m2，求△ADE的周长和面积．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，你有什么收获？
(通过总结把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．)
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1．两个三角形的对应边的比为3∶4，则这两个三角形的对应角的角平分线的比为______，对应边上的对应高的比为______，对应边上的对应中线的比为______．
2．相似三角形对应角的角平分线的比为0.2，则相似比为______，对应中线的比等于______．
3．教材第72页练习第3题．
4．如图， ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.
(1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△DEF的面积为2，求 ABCD的面积．
23．3.4 相似三角形的应用
第1课时 相似三角形的应用(1)
第2课时 相似三角形的应用(2)
【知识与技能】
掌握利用三角形相似测量物体的高度或宽度的方法．
【过程与方法】
通过具体的实践活动体会相似三角形的应用．
【情感态度】
1．通过著名科学家的名句和如何测量神秘金字塔的高度来激发学生学数学的兴趣，使全体学生积极参与探索，体验成功的喜悦．
2．力求培养学生科学、正确的数学观，体现探索精神．
【教学重点】
构建相似三角形解决实际问题．
【教学难点】
利用相似三角形解决实际问题．
一、创设情境，导入新知
世界上有许许多多的物体我们无法直接测量出它们的高度、宽度和厚度，如旗杆的高度、高层建筑物的高度、湖的宽度、河流的宽度、瓶子的厚度等．然而，从很早开始，人们就懂得利用相似三角形的有关性质来测算它们．
二、合作探究，理解新知
1．复习回顾
(1)相似三角形有几种判别方法？
(2)相似三角形有哪些性质？
(3)如图，B、C、E、F在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，AC∥DF.
①△DEF与△ABC相似吗？为什么？
②若DE＝1，EF＝2，BC＝10，那么AB等于多少？
2．问题1：在同一时刻，物体的高度与它的影长之间有何关系？说说你的理由．
如图，BC、B′C′分别是竖立在地面上的旗杆AB和木棒A′B′的影子．(多媒体演示)
请同学们根据图形回答以下问题：
(1)在△ABC和△A′B′C′中，∠C与∠C′有何关系？为什么？
(2)△ABC与△A′B′C′相似吗？为什么？
(3)根据△ABC∽△A′B′C′，你能确定AB、BC分别与A′B′、B′C′之间的关系吗？
(引导学生写出AB∶A′B′＝BC∶B′C′，即在同一时刻物体的高度与它的影长成正比．)
(4)假如测得A′B′＝2米，B′C′＝1.2米，BC＝6米，那么旗杆AB的高度是多少？
利用“影子”来测物高，早在古代就已被应用于测量不能直接测量的物体的高度．
知识运用
例1：古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖立一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB.如果O′B′＝1米，A′B′＝2米，AB＝274米，求金字塔的高度OB.
分析：本题是相似三角形判定和性质的应用，首先要明确，太阳光是平行光线，因此可得∠OAB＝∠O′A′B′.同时要知道，木棒与金字塔的高都与地面垂直．这样，要解决求金字塔OB的高的问题，只要应用相似三角形判定定理证明△OAB∽△O′A′B′即可．
学生在教师的指导下完成．
解：∵太阳光线是平行光线，
∴∠OAB＝∠O′A′B′.
∵∠ABO＝∠A′B′O′＝90°，
∴△OAB∽△O′A′B′(如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似)．
∴OB∶O′B′＝AB∶A′B′，
∴OB＝＝＝137(米)．
答：该金字塔高为137米．
3．问题2：测量不能直接测量的物体的宽度
在实际生活中，有许多物体的宽度是不可直接测量的，如河宽、湖宽、瓶子的内径等．那么，我们又如何测量它们的宽度呢？
例2：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，再在河的这一边选点B和C使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求河的宽度．
解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，∴△ABD∽△ECD(如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似)．
∴＝，即AB＝＝＝100(米)．
答：河的宽度为100米．
思考：通过例1、例2的学习，你对相似三角形的应用有什么认识？
学生思考、讨论、交流．
三、尝试练习，掌握新知
1．教材第74页练习第1题．
2．如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙角1.8
m，梯上点D距墙1.5
m，BD＝0.5
m，求梯子AB的长．
第2题图
第3题图
3．某河段的两岸是平行的，如图所示，对岸有相距50米的A、B两棵树，小明在河这边点O处，用视线确定OA、OB与河岸PQ的交点C、D，作OM⊥CD并延长OM交EF于点N.此时，测得CD＝2米，OM＝4.2米，求河的大致宽度MN.
4．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课你学到了什么？
本节课学习应用相似三角形的性质，测量计算物体的高度，在应用时要分清转到数学上是哪两个三角形会相似，它们对应的边是哪一边，利用比例的性质求证答案．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，在某一时刻，有人测得高为1.8米的竹竿的影长为3米，此时某高楼影长为60米．那么高楼的高度为多少米？
2.教材习题23.3第6题．
3.(选做)我国魏晋时期的数学家刘徽的《海岛算经》中有一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目看地取望岛峰与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目看地取望岛峰亦与表末参合，问岛高及去表各几何？画成图形，用现在话表述即是：要求海岛的山峰AB的高度，在D和F处都树立标杆DC和FE，标杆高都是3丈，相隔1000步(一步等于5尺)，并且AB、CD、EF在同一截面上．从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰顶A和标杆顶C在一直线上；从标杆FE退后127步的H处，也可看到山峰顶A和标杆顶E正在一直线上，求山高AB及它和标杆CD的水平距离BD.
4.一位同学要测一建筑物高，身边未带任何工具，但知道自己的身高为1.6
m，鞋长0.27
m.
(1)如何通过影子的度量达到目的？(可用文字、草图及字母符号辅助说明)
(2)若建筑物的影长为55
m，自己的影子长为1.1
m，此建筑物大约有多高？24．4 解直角三角形
第1课时 解直角三角形及其应用
【知识与技能】
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
【过程与方法】
通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
【情感态度】
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
【教学重点】
直角三角形的解法．
【教学难点】
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
一、创设情境，导入新知
1．勾股定理的内容是什么？
2．直角三角形中两锐角的关系是什么？
3．直角三角形中边角有什么关系？
4．△ABC中，∠C＝90°，
(1)若∠A＝30°，c＝10
cm，则a＝_______，b＝_______，∠B＝________．
(2)若∠A＝40°，c＝10
cm，则由sinA＝，可得a＝______＝______，由cosA＝得，b＝______＝______．
二、合作探究，理解新知
1．引导学生对三角函数进行变形，如由sinA＝，得a＝c·sinA，c＝等．
我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．
2．“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生思考，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？
在直角三角形中，由已知的边角关系求出未知的边与角，叫做解直角三角形．
3．对应练习
(1)如图①和②，根据图中的数据解直角三角形；
① ②
(2)在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b＝20，∠B＝35°，解这个三角形(精确到0.1)．
(3)在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且c＝20，∠B＝35°，解这个三角形(精确到0.1)．
【教学说明】(1)引导学生用多种方法解并组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
(2)完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．
(3)做完以上练习后归纳解直角三角形的类型：
①已知两条边；②已知一条边和一个锐角．
(4)在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.
知识运用
例：如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处．大树在折断之前高多少？
教师展示教材中例1(图24.4.1)．我们在遇到实际问题时，总是首先把新问题与我们熟悉的问题联系起来，再把新问题转化成熟悉的问题来进行研究．那么，怎样把这个实际问题变成我们熟悉的图形呢？
学生动手尝试，分组交流后，举手回答．师生共同画图转化为直角三角形．
明确：对于现实问题通常化为数学模型来处理，这里体现数学建模的思想.
解：利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为＝13.
13＋5＝18(米)．
所以，大树在折断之前高为18米．
三、尝试练习，掌握新知
基础练习
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c是△ABC的三边，a＝5，b＝5
，求c，∠A、∠B的值．
2．教材第113页练习第1题．
拓展练习
3．在锐角△ABC中，AB＝6，AC＝7，∠B＝60°，求BC的长．
4．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，你有什么收获？
本节的重要内容是解直角三角形的有关知识，解直角三角形的依据是勾股定理、两锐角互余和边角之间的关系，一般有两种类型：已知两边，已知一边和一锐角，解题时要选择适当的关系式，尽可能使用原题数据和避免做除法运算．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1．教材习题24.4第1、2题．
2．如图所示，是某单位的停车棚上方的角钢固定架，若BC＝15米，∠B＝28°，点D、E、F将BC四等分．问制成这样的钢架共需角钢多少米？(不考虑焊接损失，结果保留到1米)
3．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2
，求AB.
第2课时 方向角与解直角三角形
第3课时 仰角、俯角与解直角三角形
【知识与技能】
1．了解仰角、俯角、方向角的概念．
2．能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方向角有关的实际问题．
【过程与方法】
能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合、抽象归纳的思想方法．
【情感态度】
感知本节与实际生活的密切联系，认识知识应用于实践的意义．
【教学重点】
解直角三角形在实际中的应用．
【教学难点】
将某实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
一、创设情境，导入新知
1．什么叫解直角三角形？
2．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于D，AD＝2，求BC的长．
二、合作探究，理解新知
1．方向角
(1)引导学生复习与方向角有关的知识．
(2)例题．
例1：如图，A城气象部门测得今年第9号台风上午8时在A城南偏东30°的海面生成，并以每小时40海里的速度向正北方向移动，上午10时测得台风中心移到了A城南偏东45°的方向，若台风中心120海里的范围内将受台风影响，问A城是否会受9号台风影响？
分析：A城是否会受台风影响，就是A城到台风移动路线BC的距离是否大于120海里．
解：过A作AE⊥BC于E，设AE＝EC＝x，则BE＝x，
∵BC＝2×40＝80，∴BC＝BE－CE＝(－1)x＝80.
∴x＝40(＋1)≈109.3<120.
∴A城会受台风影响．
【教学说明】通过例题，学会解决与方向角有关的问题．
2．俯角、仰角
(1)几个概念：①铅垂线；②水平线；③视线；④仰角：视线在水平线的上方，视线与水平线的夹角；⑤俯角：视线在水平线的下方，视线与水平线的夹角．
说明：学生阅读教材“读一读”．教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角．
(2)例题
例2：如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角α＝22°，求电线杆AB的高．(精确到0.1米)
解：在Rt△BDE中，
BE＝DE×tanα＝AC×tanα＝22.7×tan22°≈9.17，
∴AB＝BE＋AE＝BE＋DC＝9.17＋1.20≈10.4(米)．
答：电线杆的高度约为10.4米．
(3)练习
教材第114页练习第1题．
三、尝试练习，掌握新知
1.如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60度500
m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是
( )
A．250
m
B．250
m
C.
m
D．250
m
2．教材第114页练习第2题．
3.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度，已知小明的眼睛与地面的距离AB是1.7
m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离CD是1.5
m，看旗杆顶部M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B、N、D在同一条直线上)．
请求出旗杆MN的高度．(参考数据：≈1.4，≈1.7，结果保留整数)
【教学说明】完成上述问题后，让学生总结解决与仰角、俯角、方向角有关的问题时，常用以下两个基本图形．
其中第一个图中满足：DE＝＋，第二个图中满足DE＝－.可让学生推导出这两个式子．
4．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，你有什么收获？
请学生总结：通过学习两个例题及练习，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体来说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题，利用正切解直角三角形，从而把问题解决．
本课涉及一种重要数学思想：转化思想．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1．教材习题24.4第3、4题．
2.在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，已知测点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度．(计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732)
3．如图，在小山的西侧A处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，40分钟后到达C处，这时热气球上的人发现，在A处的正东方向有一处着火点B，十分钟后，在D处测得着火点B的俯角为15°，求热气球升空点A与着火点B的距离．(结果保留根号，参考数据：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2－)
第4课时 利用坡角或坡比解直角三角形
【知识与技能】
会运用解直角三角形有关知识解决与坡度、坡角有关的实际问题．
【过程与方法】
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
【情感态度】
进一步感知本节与实际生活的密切联系，认识知识应用于实践的意义．
【教学重点】
解决有关坡度的实际问题．
【教学难点】
理解坡度的有关术语．
一、创设情境，导入新知
前面我们研究了与仰角、俯角、方向角有关的问题，今天研究与坡度、坡角有关的问题．
二、合作探究，理解新知
1．坡度、坡角的概念
展示教材中“读一读”，你看懂图24.4.5了吗？
几个概念：
(1)铅垂高度h；
(2)水平长度l；
(3)坡度(坡比)i：坡面的铅垂高度h和水平长度l的比i＝；
(4)坡角α：坡面与水平面的夹角α；i＝＝tanα.显然，坡度i越大，坡角α就越大，坡面就越陡．
2．例题
例1：如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5
m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少(精确到0.1
m)．
分析：(1)例题中出现许多术语——株距、倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．
(2)引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图中的第二个图)．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5.5
m，∠A＝24°，求AB.
(3)学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1.教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．
解：在Rt△ABC中，cosA＝，
∴AB＝＝≈6.0(米)．
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．
教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．
3．练习：(1)沿山坡前进10米，相应升高5米，则山坡坡度________，坡角________．
(2)若一斜坡的坡面的余弦为，则坡度为______．
(3)堤坝横断面是等腰梯形．(如图所示)
①若AB＝10，CD＝4，高h＝4，则坡度i＝______，AD＝______；
②若AB＝10，CD＝4，i＝，则h＝______．
知识运用
例2：如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽．(精确到0.1米)
先让学生思考：在遇到梯形时怎么把它分割成能够解决的图形呢？
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F.
由题意可知DE＝CF＝4.2(米)，CD＝EF＝12.51(米)．
在Rt△ADE中，
∵i＝＝tan32°，∴AE＝≈6.72(米)．
在Rt△BFC中，同理可得BF＝≈7.90(米)．
∴AB＝AE＋EF＋BF≈6.72＋12.51＋7.90≈27.1(米)．
答：路基下底的宽约为27.1米．
例3：沿水库拦水坝的背水坡，将坝顶加宽2
m，坡度由原来的1∶2改为1∶2.5，已知坝高6
m，坝长50
m，求：
(1)加宽部分横断面的面积；
(2)完成这一工程需要的土方是多少？
分析：加宽部分的横断面AFEB为梯形，故通过作梯形的高构造直角三角形，利用坡度的变化求解．
解：(1)设梯形ABCD为原大坝的横截面图，梯形AFEB为加宽部分，
过A、F分别作AG⊥BC于G，FH⊥BC于H.
在Rt△ABG中，由iAB＝1∶2，AG＝6，得BG＝12，
在Rt△EFH中，由iEF＝1∶2.5，FH＝6，得EH＝15，
∴EB＝EH－BH＝EH－(BG－HG)＝15－(12－2)＝5，
∴S四边形AFEB＝(2＋5)×6＝21
m2.
(2)V＝50×S四边形AFEB＝21×50＝1050
m3.
【教学说明】例3可根据学生情况、时间选择讲解．
三、尝试练习，掌握新知
1．在坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2
m，则两树间的坡面距离AB为( )
A．4
m
B.
m
C.
m
D．4
m
2．某商场门前的台阶截面如图所示．已知每级台阶的宽度(如CD)均为30
cm，每级台阶高度(如BE)均为20
cm.为了方便残疾人行走，商场决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角为9°，请计算从斜坡起点A到台阶前的点B的水平距离．(参考数据：sin9°≈0.16.cos9°≈0.99，tan9°≈0.16)
3．如图，水库堤坝的横断面成梯形ABCD，DC∥AB.迎水坡AD长为2
米，上底DC长为2米，背水坡BC长也为2米，又测得∠DAB＝30°，∠CBA＝60°，求下底AB的长．
答案：解：过D、C分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F.
在Rt△ADE中，∠A＝30°，AD＝2
.
∴DE＝ADsin30°＝，AE＝ADcos30°＝3.
在Rt△CBF中，BF＝BCcos60°＝1，
∴AB＝AE＋EF＋BF＝3＋2＋1＝6(米)．
答：下底的长为6米．
4．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，你有什么收获？
教师请学生总结：
1．在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．
2．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1.教材第116页练习．
2.如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图(图中i＝1∶是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比)，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果保留三位有效数字．参考数据：≈1.732，≈1.414)23．5 位似图形
【知识与技能】
1．了解位似图形及其有关概念．
2．了解位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
【过程与方法】
1．利用图形的位似解决一些简单的实际问题．
2．在有关的学习和运用过程中发展学生的应用意识和动手操作能力．
【情感态度】
1．通过学习培养学生的合作意识．
2．通过探究提高学生学习数学的兴趣．
【教学重点】
探索并掌握位似图形的定义和性质．
【教学难点】
运用定义和性质进行简单的位似图形的证明和计算．
一、创设情境，导入新知
1．如图，＝＝，那么＝？为什么？
2．已知线段AB，画一线段A′B′，使A′B′＝1.5AB，如何画呢？
方法有两种：(1)延长AB至B′，使BB′＝AB.
(2)在直线AB外任取一点O，作射线OA、OB，取AA′＝AO，BB′＝BO，连接A′B′，如右图．
二、合作探究，理解新知
活动一：如图，把一个五边形ABCDE放大1.5倍．
分析：我们先考虑能否把五边形的一条边放大1.5倍呢？按照“创设情境，导入新知”中问题2中的作法，可以把AB放大1.5倍，同样也可以把其他边放大．也可以在平面上取一点O，以O为端点作射线OA、OB，可以画出线段A′B′，以此类推．
画法是：
(1)在平面上任取一点O.
(2)以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE.
(3)在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝OE′∶OE＝1.5.
(4)连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、A′E′.
这样，＝＝＝＝＝1.5.
活动二：思考：(1)这样做出的两个五边形相似吗？
引导学生用刻度尺和量角器进行度量，再下结论：相似．
(2)你能用逻辑方法说明这两个五边形相似吗？
教师引导学生证明，证明对应边成比例、对应角相等．
(3)这两个五边形除相似外，你还发现它有什么特点？
若学生回答不出，教师应作适当的提示．
(4)你还能举出类似的例子吗？
归纳定义：
如上面的画法，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似．交点O叫做位似中心，这两个相似图形的相似比叫位似比．
活动三：右图中的两个图形是位似的．
(1)它的位似中心是哪一点？
(2)四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似比是多少？
(学生互相交流并形成共识．明确：进行位似变换后所得到的图形与原图形相似，对应顶点连线都经过O点，到O点的距离之比都等于位似比．)
活动四：(1)下列图形(投影显示)都是位似图形，你能说出它们的位似中心吗？
(2)根据上面的观察，你觉得位似中心可以取在哪里？
(明确位似中心可以在图形的内部，可以是图形上一点，还可以是图形外的任意一点．)
三、尝试练习，掌握新知
1．如图所示，在△ABC中，已知DE∥BC.
(1)△ADE与△ABC相似吗？为什么？
(2)它们是位似图形吗？如果是，请指出位似中心．
2．用直尺画出下面位似图形的位似中心：
(1) (2) (3)
3.任意画一个四边形，用位似法把它放大3倍．
思考：想一想位似中心的选择与画相似图形的繁简有关系吗？
4．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课你学到了什么？
在学生总结的基础上，教师归纳．
知识归纳：(1)进行位似变换后所得到的图形与原图形相似，对应顶点连线都经过O点，到O点的距离之比都等于位似比．
(2)位似中心可以在图形的内部，可以是图形上一点，还可以是图形外的任意一点．
方法归纳：
画位似图形的方法和画平移、旋转、轴对称一样，关键是找出图形上的几个关键点，作出这些点的对应点，然后顺次连结即可．作对应点时要满足对应顶点连线都经过O点，到O点的距离之比都等于位似比．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1．教材习题23.5.
2．找一些生活中存在的位似变换的实例．
3．已知形如木屋架的五边形ABCDE，如图所示，点O在BC上，以O点为位似中心把ABCDE缩小到原来的.24．1 测量
【知识与技能】
1．会利用太阳光测量物体的高度．
2．能利用构造相似三角形的方法测量物体的高度．
【过程与方法】
1．通过操作、观察、培养学生动手和归纳问题的能力．
2．在观察、操作、培养等过程中，发展学生的推理能力．
【情感态度】
经历由情景引出问题，探索掌握有关的数学知识内容，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力．
【教学重点】
探索测量距离的几种方法．
【教学难点】
选择适当的方法测量物体的高度或长度．
一、创设情境，导入新知
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高？
我们知道可以利用相似三角形的对应边成比例，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度．
(要求：画出如下示意图，并写出解题过程．)
思考：如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？
(由此引入新课)
二、合作探究，理解新知
如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1米．现在请你按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．
你知道计算的方法吗？(请你量一量、算一算)
学生讨论，解决．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴AC∶A′C′＝BC∶B′C′＝500∶1.
∴只要用刻度尺量出纸上B′C′的长度，就可以计算出BC的长度，加上AD长即为旗杆的高度．若量得B′C′＝a
cm，则BC＝500a
cm＝5a
m，故旗杆高(1＋5a)
m.
说明：利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等．
教师归纳测量方法：
方法一：构造可以测量的与原三角形相似的小三角形，利用对应线段成比例的性质计算出所求线段的长；
方法二：利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用比例尺计算出实际长度．
知识运用
设计一种方案，测量学校科技楼的高度．请写出测量的过程，并简要说明这样做的理由．
讨论思考：(1)你是怎样设计方案的？
(2)在设计方案时，应注意什么？
(3)你设计的方案可行吗？与同伴交流．
教师在学生完成的基础上，归纳设计的方案并讲解．
三、尝试练习，掌握新知
1.教材练习第1题．
2.在一次数学活动课上，老师让同学们到操场测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处(如图所示)，然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A到竹竿顶部E处恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．
你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．
3．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课你有什么收获？
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
教材习题24.1第1～3题．21．2 二次根式的乘除
21．2.1 二次根式的乘法
【知识与技能】
理解·＝(a≥b，b≥0)，并利用它进行计算和化简．
【过程与方法】
由具体数据发现规律，导出·＝(a≥0，b≥0)，并运用它进行计算．
【情感态度】
通过探究·＝(a≥0，b≥0)，培养特殊到一般的探究精神，培养学生对事物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣．
【教学重点】
·＝(a≥0，b≥0)及其运用．
【教学难点】
发现规律，导出·＝(a≥0，b≥0)．
一、创设情境，导入新知
1．填空：
(1)×＝______，＝______；
(2)×＝______，＝______；
(3)×＝______，＝______.
参照上面的结果，用“＞”“＜”或“＝”填空．
×______，
×______，
×______.
2．利用计算器计算填空．
×______；×______；
×______；×______.
【教学说明】由学生通过具体数据，发现规律，导出·＝(a≥0，b≥0)．
二、合作探究，理解新知
(学生活动)让3、4个同学上台总结规律．
教师点评：(1)被开方数都是正数；(2)两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积．
一般地，对二次根式的乘法规定为·＝(a≥0，b≥0)．
例题讲解
例1：计算：
(1)×；(2)×；
(3)×；(4)×.
解：(1)×＝；
(2)×＝＝；
(3)×＝＝＝9
；
(4)×＝＝.
【教学说明】引导学生应用公式·＝(a≥0，b≥0)．
三、尝试学习，掌握新知
1．直角三角形两条直角边的长分别为
cm和
cm，那么此直角三角形斜边长是(
B
)
A．3
cm
B．3
cm
C．9
cm
D．27
cm
2．化简a的结果是(
C
)
A.
B.
C．－
D．－
3．等式·＝成立的条件是(
A
)
A．x≥1
B．x≥－1
C．－1≤x≤1
D．x≥1或x≤－1
4．下列各等式成立的是(
D
)
A．4
×2
＝8
B．5
×4
＝20
C．4
×3
＝7
D．5
×4
＝20
【教学说明】可由学生抢答完成，再由教师总结归纳．
5．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
1．由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流．
2．教师总结归纳二次根式的乘法规律·＝(a≥0，b≥0)．
【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
教材习题21.2第2题第(1)小题．
这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出·＝(a≥0，b≥0)，并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣．
21．2.2 积的算术平方根
【知识与技能】
1．理解＝·(a≥0，b≥0)；
2．运用＝·(a≥0，b≥0)．
【过程与方法】
利用逆向思维，得出＝·(a≥0，b≥0)，并运用它解题和化简．
【情感态度】
让学生推导＝·(a≥0，b≥0)，以训练逆向思维，通过严谨解题，增强学生准确解题的能力．
【教学重点】
＝·(a≥0，b≥0)及其运用．
【教学难点】
＝·(a≥0，b≥0)的理解与应用．
一、创设情境，导入新知
一般地，对二次根式的乘法规定为·＝(a≥0，b≥0)．反过来，＝·(a≥0，b≥0)．
【教学说明】引导学生通过复习上节课学习的二次根式的规定，利用逆向思维，得出＝·(a≥0，b≥0)．
二、合作探究，理解新知
例题讲解
例1：化简：
(1)；(2)；
(3)；(4).
解：(1)＝×＝3×4＝12；
(2)＝×＝4×9＝36；
(3)＝×＝9×10＝90；
(4)＝＝×＝3
.
【教学说明】引导学生利用＝·(a≥0，b≥0)直接化简即可．
例2：判断下列各式是否正确，不正确的请改正．
(1)＝×；
(2)×＝4××＝4＝4＝8
.
【教学说明】注意引导学生理解并掌握积的算术平方根应用的条件：a≥0，b≥0.
三、尝试练习，掌握新知
1．化简：(1)；(2)；(3)；(4).
(答案：(1)2
；(2)3
；(3)2
；(4)3
.)
2．自由落体的公式为s＝gt2(g为重力加速度，它的值为10
m/s2)，若物体下落的高度为120
m，则下落的时间是__2___s.
3．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
【教学说明】可由学生自主完成分组讨论，小组代表汇报，再由老师总结归纳．
四、课堂小结，梳理新知
1．通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流．
2．教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即＝·(a≥0，b≥0)．
【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和知识归纳．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1．教材习题21.2第1题第(1)(2)题．
2．教材习题21.2第3题．
本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力．
21．2.3 二次根式的除法
【知识与技能】
1．会进行简单二次根式的除法运算．
2．能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．
3．理解最简二次根式的概念，并能把一个不是最简二次根式的二次根式化为最简二次根式．
【过程与方法】
1．在学习了二次根式乘法的基础上进行总结类比，得出除法的运算法则．
2．引导学生利用从特殊到一般的方法以及类比的方法，解决数学问题．
【情感态度】
通过本节课的学习让学生认识到事物之间是相互联系，相互作用的．
【教学重点】
简单的二次根式的除法运算，利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简．
【教学难点】
将一个非最简二次根式化为最简二次根式．
一、创设情境，导入新知
电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域就越广．如果电视塔高h
km，电视节目信号的传播半径为r
km，则它们之间存在近似关系r＝，其中R是地球的半径，R≈6400
km，如果两个电视塔的高分别为h1，h2，那么它们的传播半径的比为，你能将这个式子化简吗？学了本节课后，就很容易解决了．
二、合作探究，理解新知
探究一：二次根式的除法
问题1：请同学们回忆·＝(a≥0，b≥0)是如何得到的？
问题2：填空：
(1)＝________，＝________；
(2)＝________，＝________；
(3)＝________，＝________；
(4)＝________，＝________．
由计算结果你发现了什么规律(学生总结出上面四个式子的规律(填空)：
________；________；
________；________.
对于下列各题，是否也有上面的规律呢？请你猜想并利用计算器计算验证：
(1)＝________，(2)＝________，
(3)＝________，(4)＝________．
规律(填空)：________；________；
________；________.
每组推荐一名学生上台阐述运算结果．(老师点评)
刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，仿照二次根式的乘法法则，你能对二次根式的除法进行规定吗？请写出这个规定．
一般地，对二次根式的除法规定：
＝(a≥0，b>0)．
下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
例1：计算：
(1)；(2)÷；
(3)÷；(4).
解：(1)＝＝＝2；
(2)÷＝＝＝＝×＝2
；
(3)÷＝＝＝＝2；
(4)＝＝＝2
.
【教学说明】引导学生直接利用＝(a≥0，b＞0)进行计算．
问题3：自我检测
练习1：计算：(1)÷；(2).
问题4：将二次根式除法公式反过来，得到＝(a≥0，b>0)，利用它就可以进行二次根式的化简．
下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
练习2：化简：
(1)；(2)；(3)；(4).
分析：直接利用＝(a≥0，b>0)就可以达到化简的目的．
探究二：最简二次根式
问题1：观察练习1、练习2的计算结果，你发现这些式子中的二次根式有什么特点？
师生归纳出如下两个特点：
1．被开方数不含分母；
2．被开方数中所有因式的幂的指数都小于2.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
那么情境引入中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它化成最简二次根式．
学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．
教师点评：不是最简二次根式．
＝＝＝＝＝.
问题2：自我检测
练习3：化简：
(1)3；(2)；
(3).
三、尝试练习，掌握新知
1．化简：
(1)2；(2)－；
(3)；(4).
(答案：(1)；(2)－2；(3)；
(4)＋.)
2．已知＝，则a的取值范围是__0＜a≤1__.
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2.5
cm，BC＝6
cm，求AB的长．(答案：6.5
cm)
4．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课要掌握：
(1)＝(a≥0，b>0)和＝(a≥0，b>0)及其运用；
(2)最简二次根式的定义及应用．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1．教材习题21.2第2题第(2)、(4)小题．
2．补充：(1)化简的结果是( )
A．－ B．－ C．－ D．－
(2)在下列各式中，化简正确的是( )
A.＝3
B.＝±
C.＝a2
D.＝x2
(3)化简：÷.23．1 成比例线段
23．1.1 成比例线段
【知识与技能】
1．掌握比例线段的概念及其性质．
2．会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例．
【过程与方法】
能够灵活运用比例线段的性质解决问题．
【情感态度】
感知知识的实际应用，增强对知识就是力量的客观认识，进一步加强理论联系实际的学习方法．
【教学重点】
线段的比和成比例线段，以及比例线段的基本性质．
【教学难点】
用引入比值k的方法，探索比例的性质．
一、创设情境，导入新知
1．如何确定四个数成比例？数的比例式有什么基本性质？
2．下面格点中的两个矩形相似吗？
二、合作探究，理解新知
探究一：成比例线段
1．做一做
(1)①在上面的格点图中，如果设水平(或竖直)的相邻两格点间的距离为1，那么AB＝________，BC＝________，A′B′＝________，B′C′＝________；
②计算＝________，＝________；
③显然AB、BC、A′B′、B′C′不相等，那么它们之间有什么关系呢？
学生通过交流，得出结论：＝.
(2)思考：换成其他线段如AD、CD、A′D′、C′D′是否也有类似的结论？若有，是什么？
＝.
2．结论
线段的比：如果选用同一个长度单位度量两条线段AB、CD的长度，它们的长度比就是这两条线段的比．
成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另两条线段的比，如＝(或a∶b＝c∶d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此外也称这四条线段成比例．
3．议一议
(1)在上面的格点图中，如果把格点去掉，通过度量，你还能验证上面的结论成立吗？
(2)如果在测量时，AB的长度单位采用厘米而A′B′的长度单位采用分米，那么它们的比有没有变化？
(3)两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？
4．知识运用
例1：判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
(1)a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
(2)a＝2，b＝，c＝2，d＝5
.
分析：利用成比例线段的定义求．
解：(1)∵＝＝，＝＝，
∴≠.
∴线段a、b、c、d不是成比例线段．
(2)∵＝＝，＝＝，
∴＝.
∴线段a、b、c、d是成比例线段．
例2：根据图示求线段的比：、、，并指出图中成比例的线段．
解：由图可知：AC＝1
cm，CD＝2
cm，DB＝4
cm，CB＝CD＋DB＝6
cm，
故＝，＝，＝＝.
则有＝.
所以AC、CD、CD、DB是成比例线段．
探究二：比例的性质
1．在数的比例式中，若四个数a、b、c、d满足＝，那么我们就说这四个数成比例，并且知道若＝，则有ad＝bc；若ad＝bc，则＝.那么若线段成比例，是否也有上述结论？
通过学生类比、讨论得出比例的基本性质．
2．比例的基本性质
如果＝，那么ad＝bc.如果ad＝bc(a、b、c、d都不等于0)，那么＝.
3．议一议
(1)你会证明这两个命题吗？(引导学生从正反两个方面去证明)
(2)由ad＝bc，除了得到＝外，你还能得到哪些比例式？
4．知识运用
例3：证明(1)如果＝，那么＝；
(2)如果＝(a≠b)，那么＝.
证明：(1)∵＝，在等式的两边同时加上1，
∴＋1＝＋1，∴＝.
(2)∵＝，∴ad＝bc.
在等式的两边同时加上ac，∴ad＋ac＝bc＋ac.
∴ac－ad＝ac－bc，a(c－d)＝c(a－b)，
∵a≠b，由＝得c≠d，
∴a－b≠0，且c－d≠0.
两边同时除以(a－b)(c－d)，∴＝.
练习：已知＝，求、的值．
引导学生练习，总结解题方法，最后教师归纳用设k值的方法解与比例有关的题目．
三、尝试练习，掌握新知
1．若x是3和12的比例中项，则3、x、8的第四比例项为__±16__．
2．已知：3a＝4b，则＝____．
3．若＝＝＝(b＋2d－3f≠0)，求的值．(答案：)
4．若＝＝＝k(a＋b＋c≠0)，试求k的值．(答案：2)
5．如图，已知＝＝＝，且△ABC的周长为36
cm，求△ADE的周长．(答案：24
cm)
6．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课你有什么收获和困惑？
1．内容总结
(1)成比例线段：四条线段中，如果其中两条线段的比值等于另外两条线段的比值，就称这四条线段是成比例线段．
(2)比例的基本性质：如果＝，那么ad＝bc.如果ad＝bc(a、b、c、d都不等于0)，那么＝.
2．方法归纳
(1)在解决比例的有关问题中，用设k值的方法；
(2)判断四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等，相等则成比例，否则不成比例．
3．注意的问题
(1)在求两条线段的比时，单位必须统一；
(2)线段a、b、c、d成比例，其表示方法是有顺序的，即＝.
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
教材第55页习题23.1的第1～6题．
23．1.2 平行线分线段成比例
【知识与技能】
在理解的基础上掌握三角形一边平行线的性质、平行线分线段成比例定理和平行线等分线段定理，并会灵活应用．会做已知线段成已知比和把线段进行等分的作图题．
【过程与方法】
通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力．
【情感态度】
通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美．
【教学重点】
理解并掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边的平行线的性质定理，并能运用定理解决有关问题．
【教学难点】
平行线分线段成比例定理和三角形一边的平行线的性质定理的探究与归纳，以及如何将复杂的图形分解成一些简单的基本图形．
一、创设情境，导入新知
[温故而知新]问题：一组等距离的平行线截直线a上所得的线段相等，那么在直线b上所截得的线段有什么关系呢？(请同学们观看课件中的验证过程)
[学生活动]学生观察、分析、思考、探究并与同学进行交流．
[教师活动]教师组织引导学生进行自主探究与交流．
[小结]教师引导学生总结出如下结论：
一组等距离的平行线在直线a上所截得的线段相等，那么在直线b上所截得的线段也相等．
[教师点拨]这就是我们前面所学的平行线等分线段定理，它讨论的是平行线截直线截得的线段相等的情况，那么如果截得的线段不相等呢？这就是我们今天要学习的内容：平行线分线段成比例定理．
【教学说明】通过对平行线等分线段定理的复习，为新课中引导学生归纳出平行线分线段成比例定理做铺垫．
二、合作探究，理解新知
[师生合作探究]师：同学们，请翻开数学作业本，我们可以发现每一页都是由一些间距相等的平行线组成的，下面请同学先在作业本上任意画出一条直线m，如图所示：
师：从图形上我们可以看出直线m与相邻的三条平行线相交于A、B、C三点，由平行线等分线段定理可知AB＝BC.如果再任意画一条直线n与这一组平行线相交，那么同样可知DE＝EF.
由此我们可得＝.
[思维提升]如果将作业本上相邻的三条平行线换成不相邻的三条平行线，任意画两条直线m、n与它们相交，如图，当m、n这两条直线平行时，观察并思考这时所得的AD、DB、FE、EC这四条线段的长度有什么关系？如果m、n这两条直线不平行，你再观察一下，也可以量一量算一算，看看它们是否存在类似的关系？
[学生活动]学生自主探究并与同学进行交流．
[教师活动]教师组织引导学生进行自主探究与交流．
[小结]教师引导学生探究并归纳出如下结论：
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
用几何语言表示为：
∵AD∥BE∥CF，
∴＝.
[教师点拨]点拨一：当上述图中的A点与F点重合时，如图，此时AD、DB、AE、EC这四条线段之间会有怎样的关系呢？
点拨二
：如图，当直线m、n相交于第二条平行线上某点时，是否也有类似的成比例线段呢？
[小结]教师引导学生归纳出如下结论：
三角形一边的平行线的性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．
用几何语言表示为：
∵DE∥BC，
∴＝.
∵DE∥BC，
∴＝.
[教师点拨]这两幅图可以简称为“A”型和“X”型．
例题讲解
例1：如图，l1∥l2∥l3，AB＝4，DE＝3，EF＝6，求BC的长．
分析：考虑到题目中有一组平行线，故可尝试利用平行线分线段成比例定理来解题．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝(平行线分线段成比例)．
∵AB＝4，DE＝3，EF＝6，
∴＝.
∴BC＝8.
例2：如图，E为 ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE，交AC于点O，交AD于点F.
求证：＝.
分析：由于比例式＝中的线段都在同一条直线上，故应利用平行线分线段成比例定理分别找出和的值．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
∵AB∥CD，∴＝.
∵AD∥BC，∴＝.
∴＝.
三、尝试练习，掌握新知
1．教材第55页练习．
2．如图，DE∥AF∥BC，试找出图中成比例的线段，与你的同伴比一比，看谁找得快，
找得多．
第2题图
第3题图
3．已知：如图所示，l1∥l2∥l3，＝，求证：＝.
4．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
1．本节课主要学行于三角形一边的平行线的性质，平行线分线段成比例定理以及平行线等分线段定理，“证明”平行线分线段成比例定理是通过转化为平行于三角形一边的平行线的性质来解决的．
2．使用平行线分线段成比例定理，一要看清平行线组，二要找准平行线组截得的对应线段，否则会产生错误．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
教材第55页习题23.1的第7题．25．2 随机事件的概率
25．2.1 概率及其意义
【知识与技能】
理解概率定义和简单的计算；充分利用学生已有的对试验概率的经验，从频率的角度去解释某一个具体的概率值含义．
【情感态度】
培养学生实事求是的科学态度，发展学生合作、交流的意识和能力，提高自身的数学交流水平，增强与人合作的精神和解决实际问题的能力，发展学生的辩证思维能力．
【教学重点】
通过回顾以往试验，引出概率的定义和计算公式；通过学生对已有试验的经验去体会某一概率值的含义．
【教学难点】
从试验中某事件发生的概率去理解某一概率值的含义．
一、创设情境，导入新知
知识回顾：问题1：抛掷一枚普通的硬币“出现反面”这个结果发生的机会是多少？这个机会还表示什么？(抛一枚硬币，“出现反面”的机会为50%，50%这个数表示事件“出现反面”发生的可能性的大小．)
问题2：投掷一枚普通的正六面体骰子，有几个等可能的结果？其中掷得“6”的结果有几个？
板书：概率及其意义
【教学说明】此处创设了两个问题情境，目的在于通过丰富的现实情境，让学生从复习旧知到引入新知，学生此时的答案只是一个盲目的猜测，缺乏理性思考，从而引出课题学习的必要性，加深学生的印象．同时，也激活了课堂气氛．
归纳定义
板书：定义：表示一个事件发生的可能性叫做该事件的概率．
由问题1可得：
表示方法：P(出现反面)＝
读作：出现反面的概率等于
写一写、读一读：你投掷手中一枚普通的正六面体骰子，“出现数字1”的概率是多少？
【教学说明】让学生明确概率的含义及其表示方法和读法，并用一个小活动来探究理解概率的意义，做到学以致用．
二、合作探究，理解新知
(1)合作填表(四人小组合作完成，组间抢答，师生评述)
表25.2.1 做过的几个游戏及其试验结果
游戏
关注的
结果
频率稳
定值
所有机会均
等的结果
关注的结果
发生的概率
抛掷一枚硬币
出现正面
0.5左右
出现正面；
出现反面
投掷一枚正
四面体骰子
掷得“4”
0.25左右
掷得数字：
“1”；“2”；
“3”；“4”
投掷一枚正
方体骰子
掷得“6”
0.17左右
从一副没有
大小王的扑
克牌中随机
地抽一张
抽得黑桃
0.25左右
(2)归纳总结
问题：1.频率和概率的关系是什么？
2．除试验外我们还有哪种方法可以得到概率？
3．理论分析概率的关键是什么？
理论分析概率的关键：1.要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果．
2．要清楚所有机会均等的结果．
(1和2两种结果个数之比就是关注的结果发生的概率．)
P(关注结果)＝
新旧知识迁移
议一议：一个事件的概率范围是什么？
必然事件发生的概率为1，
记作：P(必然事件)＝______；
不可能事件发生的概率为0，
记作：P(不可能事件)＝______；
如果A为不确定事件，
那么______设计试验从频率角度解释概率值的含义
议一议：某商场举办了一次掷一个骰子的游戏，每掷一次付款1元，若掷中“6”则奖10元，小明想，我只要掷6次，就有一次掷中6，小明的想法对吗？
思考：1.已知掷得“6”的概率等于，那么不是“6”(也就是1～5)的概率等于多少呢？这个概率值又表示什么意思？(理解同一事件中所有关注结果的概率和为1)
板书：同一事件中所有关注结果的概率和为1
2．我们知道，掷得“6”的概率等于也表示：如果重复投掷骰子很多次的话，那么试验中掷得“6”的频率会逐渐稳定到附近．这与平均每6次有1次掷出“6”互相矛盾吗？
【教学说明】让学生从试验探究的活动中发现概率与理论概率的相互统一，并能从不同角度来正确理解概率的含义．
三、尝试练习，掌握新知
A组：
1.掷一枚普通正六面体骰子，求出下列事件出现的概率：
P(掷得点数是2)＝______；
P(掷得点数小于7)＝______；
P(掷得点数为1或3)＝______；
P(掷得点数大于6)＝______．
2.甲产品合格率为98，乙产品的合格率为85，你认为买哪一种产品更可靠？
3.李阿姨在一次抽奖活动中，只抽了一张，就中了一等奖，能不能说这次抽奖活动的中奖率为百分之百？为什么？
4.从一副扑克牌(除去大小王)中任抽一张．
P(抽到红心)＝______；
P(抽到黑桃)＝______；
P(抽到红心4)＝______；
P(抽到7)＝______．
5.有5张数字卡片，它们的背面完全相同，正面分别标有1，2，2，3，4.现将它们的背面朝上，从中任意摸一张卡片，则：
P(摸到1号卡片)＝______；
P(摸到2号卡片)＝______；
P(摸到3号卡片)＝______；
P(摸到4号卡片)＝______．
6.任意翻一下日历，翻出4月16日的概率为______．翻出31日的概率为______．
B组：
1.某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20个扇形)．
甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？
2.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏设置了如图所示的翻奖牌，如果只能在9个数字中选中一个翻牌，试求以下事件的概率．
(1)得到书籍；
(2)得到奖励；
(3)什么奖励也没有.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
翻奖牌正面
谢谢参与
一套丛书
谢谢参与
一张唱片
两张球票
一本小说
一个随身听
一副球拍
一套文具
翻奖牌反面
C组：
1.用4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏．
(1)使摸到白球的概率为，摸到红球的概率为.
(2)使摸到白球的概率为，摸到红球和黄球的概率都是.
2.你能用8个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的游戏吗？
【教学说明】通过对有难易层次的A组、B组和C组练习题挑选，让不同层次的学生都有收获，使后进生能体会到学习数学的乐趣，同时给了优等生发展的空间.
四、课堂小结，梳理新知
1.概率的含义．
2.获得概率的两种方法：试验观察和理论分析．
3.会用概率公式解决简单的实际问题．
4.能从频率角度解释概率值的含义．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1.教材第139和141页练习．
2．习题25.2第1、2题．
25．2.2 频率与概率
【知识与技能】
1.通过试验，加深学生对频率的理解，从而正确理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一不确定事件发生的概率．
2.能利用树状图或列表法计算简单的不确定事件发生的概率，解决实际问题，让学生感受数学和体验数学知识的自我生成性及数学的应用价值.
【情感态度】
经历试验、统计等活动过程，在活动中促进学生的学习，进一步发展学生合作交流的意识和能力，培养学生的协作精神．
【教学重点】
通过试验活动丰富对频率与概率关系的认识，知道当试验次数较大时，事件发生的频率具有稳定性，可以用频率的集中趋势估计概率．
【教学难点】
通过试验活动的探索，正确理解试验频率与理论概率之间的关系，能用树状图或列表法计算事件发生的概率．
一、创设情境，导入新知
问题1：我校将在下个月举行冬季运动会，你们喜欢参加哪个运动项目？昨天体育委员统计后发现我班有32个同学愿意参加拔河比赛，这说明了拔河比赛是大家喜欢参加的运动项目，那我班同学的选择情况能说明同学们选择拔河比赛的概率高吗？
问题2：我们教室共有6盏节能灯，开关对应有6个，如果你不知道哪个开关能控制对应的节能灯时，你知道随手按下两个能使第三个和第五个节能灯亮起的概率是多少吗？
问题3：你们知道彩票一共有多少组号码吗？中奖的几率有多大吗？
你想完美地回答以上问题吗？那我们一起来探究今天的新课吧！
板书：频率与概率
【教学说明】从同学们身边发生的事件进行情境导入，使全班同学在较短的时间内主动参与到问题的讨论中来，调动了课堂气氛，又与本课新知紧密相连．
二、合作探究，理解新知
在教材第129页的重复试验中，我们发现：抛掷两枚硬币，“出现两个正面”的频率在25%附近．怎样运用理论分析的方法来求抛掷两枚硬币时出现两个正面的概率呢？
同学们想想：除了可以利用加大重复试验的次数来求得其对应的概率，你还有什么方法呢？
1.提出问题：
(1)在一次试验中会出现哪些可能的结果？每种结果出现的可能性相同吗？
(2)你有没有更好的方法表示一次试验中出现的这几种结果呢？
2.对于学生的各种创造性的表示方法，我及时给予表扬，我们统一采用树状图或列表法：
第一次
第二次
正
反
正
(正，正)
(正，反)
反
(反，正)
(反，反)
3.问题延伸：在这次抛硬币游戏中利用树状图或列表法，你还能获得哪些事件发生的概率？
板书：列表法、树状图
【教学说明】通过开放性的问题，鼓励学生善于提出问题和发现问题，让学生进一步体会树状图和列表法的作用；便于分析求其他随机事件发生的概率．
知识巩固
为活跃班级活动课的气氛，老师设计了以下转盘游戏：A、B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是1，6，8，转盘B上的数字分别是4，5，7(两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同)．每次选择2名同学分别拨动A、B两个转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目(若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次)．作为游戏者，你会选择哪个转盘呢？并请说明理由．
A B
【教学说明】这个试验以贴近学生生活的班级活动为背景，创设转盘游戏，激发学生的兴趣，引起学生高度的注意力，进入知识巩固环节．
学生分组讨论，探索交流：
在这个环节里，首先要求学生分组讨论，探索交流．然后引导学生将实际问题转化为数学问题，即：“停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢？”
由于事件的随机性，我们必须考虑事件发生概率的大小．此时首先引导学生观看转盘动画，同学们会发现这个游戏涉及A、B两转盘，即涉及2个因素，列举所有机会均等的结果时很容易造成重复或遗漏．怎样避免这个问题呢？
方法一：让学生独立填写表格，通过观察与计算，得出结论(即列表法).
B
A
4
5
7
1
6
8
方法二：画树状图法：
由图知：可能的结果为(1，4)，(1，5)，(1，7)，(6，4)，(6，5)，(6，7)，(8，4)，(8，5)，(8，7)，共计9种．
∴P(A数较大)＝，P(B数较大)＝.
∴P(A数较大)>P(B数较大)．
∴选择A转盘获胜的可能性较大．
总结：列表和画树状图是列举法求概率的两种常用的方法．
【教学说明】通过活动探究对新知进行巩固，运用新知来解决实际生活问题，同时让学生感受了分类计数和分步计数的数学思想．
解决问题
问题1：若我班有50位同学，则选择参加拔河比赛的同学概率是多少？
问题2：在一次试验中，共7张牌，数字分别为1，2，3，4，5，6，7，若摸得第一张的牌面数字为2，则摸第二张的牌面数字为3的概率是多少？
问题3：在转盘上均匀分成红、黄、蓝三等份，两次转出结果都为红色的概率是多少？
【教学说明】初获新知，学生跃跃欲试，因此让学生自己思考解决，给学生一个展示自我的平台，同时规范学生的画图，验证学生的猜想，让学生体验成功的喜悦．
三、尝试练习，掌握新知
1．教材第147页练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
教师总结知识点及注意事项：
(1)利用频率估计概率，建立在大量重复试验的基础上．
(2)利用频率估计概率，得到的概率是近似值．
教师讲评，归纳强调方法，并指明两种方法的优势所在．
适当进行情感教育．
学生简述本节所学，谈自己收获和体会，归纳方法．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
教材习题25.2第3、4、5题．
25．2.3 列举所有机会均等的结果
【知识与技能】
1.进一步理解随机事件的概率的意义．
2.会用树状图求出一次试验中涉及3个或更多个因素时，不重不漏地求出所有机会均等的结果，从而正确地计算出随机事件的概率，
3.进一步提高分类讨论的数学思想方法，掌握有关数学技能(画树状图)．
【情感态度】
通过分析探究随机事件的概率，进一步发展学生合作交流的意识，培养学生良好的动脑习惯，提高运用数学知识解决实际问题的意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值．
【教学重点】
正确识别试验中是否涉及3个或更多个因素以及是否重复考虑每个因素．
【教学难点】
用画树状图法求出所有机会均等的结果．
一、创设情境，导入新知
生活中，很多女生喜欢玩一种“打结许愿”的游戏：一个女生一把握住八根绳子的中段，露出头尾，而另一个女生先许个愿，然后将八根的绳子头部两两打结，共打成四个结，绳子尾部也一样处理．之后抖开绳子，如果八根绳子恰好形成一个封闭的大圆环，那么这个女生的愿望就会实现；如果绳子形成若干个小圆环，那么幸运女神暂时不会光临．
同学们，你们认为实现愿望的机会大吗？如果我们运用上节课的知识来计算这个较复杂的随机事件概率，你觉得有难度吗？为解决此类较复杂的随机事件的概率，我们一起来探究新知吧！
板书：列举所有机会均等的结果
【教学说明】通过对“打结许愿”的游戏，让学生感受到运用现有的知识还不能解决此类问题，这样较好地激发学生的学习兴趣和求知欲望，为下一步课题的研究打下良好的基础．
二、合作探究，理解新知
问题1：抛掷一枚普通硬币2次会有哪些机会均等的结果呢？它们发生的概率都一样吗？
分析：由于每枚硬币只有一正一反两个面，抛掷2次出现的可能结果就会比抛掷1次的结果多，我们用列表法或画树状图解决此类问题可以既不重复又不遗漏地求出所有机会均等的结果．
问题2：掷的次数再增加一次达到3次后，小明说“连续掷出三个正面”和“先掷出两个正面，再掷出一个反面”的概率是一样的．你同意吗？
实践探索：4个同学为一个小组展开讨论，小组长收集本组讨论结果后并主动与其他组交流．最后由学习大组长汇报活动结论．
活动结果
1.画出的树状图如下：
2.抛掷3次硬币发生的所有机会均等的结果为：
正正正，正正反，正反正，正反反，
反正正，反正反，反反正，反反反．
3.P(正正正)＝P(正正反)＝，小明的说法正确．
活动小结：要把所有机会均等的结果既不重复又不遗漏地求出来．画树状图求概率可以按以下步骤进行：
①把第一个因素所有可能的结果列举出来；
②随着事件的发展，在第一个因素的每一种可能上都会发生第二个因素的所有的可能；
③随着事件的发展，在第二步列出的每一个可能上都会发生第三个因素的所有的可能．
如果涉及的因素多于3个，步骤以此类推．
【教学说明】通过有梯度的两个问题入手，从易到难，通过小组合作探究问题2，不仅让学生掌握了新知，而且提高了学生的合作能力和学习兴趣，同时也能加深专注的程度．
拓展应用
问题1：教师拿出一个黑色的布口袋，当着学生的面在口袋里放入了1个红球和2个白球，把球搅拌均匀后请一个学生在口袋中摸出一个球后，放回搅匀，再摸出第二个球，问：如果我们不重复做这个试验，利用今天所学的知识思考：
1.你能和你的同伴讨论说出两次摸球会出现哪些结果？
2.请你利用画树状图分析并求出两次都能摸到白球的概率是多少？
让学生在独立思考的基础上，讨论问题，解决问题．教师参与讨论，认真听取学生的分析，引导学生分析，书写解答过程．
学生展示正确的树状图如下：
由上图可知，两次摸球可能出现的结果共有9种，而出现(白，白)的结果只有4种，因此两次都摸到白球的概率为.
变式训练：若上例中第一次摸出一球后不放回，则两次都摸到白球的概率为多少？
让学生利用树状图分析明白当摸出来的球不放回的含义，并且理解对概率的影响.
画树状图如下：
由上图可知，两次都摸到白球的概率为.
让学生思考为什么这两次概率发生了变化？是什么影响了概率的值？对你今后画树状图有什么启示？
方法指导：当出现两个或更多元素时，列举出所有可能的结果就不容易，利用树状图可以分先后、分层次清晰地列举出所有可能的结果．
【教学说明】通过问题1初步感知运用画树状图来计算较复杂的随机事件的概率的基本方法，利用变式训练强调了画树状图时考虑是否放回对概率的影响，使教学有梯度有重点．
问题2：投掷两枚普通的正方体骰子，掷得的点数之积有多少种可能？点数之积为多少的概率最大，其概率是多少？
如果我们不画树状图而用列表法思考此题，又该怎么列表呢？这两种方法有什么异同点呢？
方法指导：利用表格进行列表，可以按规律分别进行组合，列出所有可能的结果，再从中选出符合事件A或事件B的结果的个数，这对于分析的因素较多时可以优先考虑．
【教学说明】问题的探讨，重点关注了学生能否正确应用列表法求随机事件的概率来解决实际问题；主要训练学生把所学知识合理选择运用的能力．
及时训练
1.下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成了三个相等的扇形，小明和小亮用它们做配紫色(红色与蓝色能配成紫色)游戏，你认为配成紫色与配不成紫色的概率相同吗？分别用列表法和画树状图法进行分析，思考他们所得的结果一样吗？
A B
分析：无论用列表法还是画树状图法他们所得的结果一样，一共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，(红，蓝)能配紫色的有5种，概率为；不能配紫色的有4种，概率为，它们的概率不相同．
2.如图，袋中装有两个完全相同的球，分别标有数字“1”和“2”．小明设计了一个游戏：游戏者每次从袋中随机摸出一个球，并自由转动图中的转盘(转盘被分成相等的三个扇形)．
游戏规则：
如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2，那么游戏者获胜．求游戏者获胜的概率．
分析：无论列表还是画树状图总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，而所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2均结果只有一种：(1，1)，因此游戏者获胜的概率为.
【教学说明】通过及时训练，及时巩固本节课重点和难点，学会用列表法或画树状图法来求随机事件的概率，让学生达到学以致用的效果．
活动小结：
1.利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果；从而较方便地求出某些事件发生的概率．
2.用树状图和列表的方法求概率时应注意各种结果出现的可能性务必相同．
3.用树状图法列举时应注意同时取出还是放回后再抽取，两种方法不一样．
三、尝试练习，掌握新知
1．教材第153页练习1、2、3题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
1．你最大的收获是什么？
2．你掌握了哪些探究的数学方法？
3．你能用本节课学习的知识解释“打结许愿”的游戏了吗？
注意：学生自己总结发言，不足之处由其他学生补充完善．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
习题25.2第6、7、8、9题．23．4 中位线
【知识与技能】
1．掌握三角形的中位线的概念和定理．
2．了解三角形的重心及其性质．
【过程与方法】
灵活运用三角形中位线解决有关问题．
【情感态度】
结合实际问题，进一步理解三角形中位线的概念及性质，培养创造性思维．
【教学重点】
经历三角形中位线性质定理的形成过程，并能利用它们解决简单的问题．
【教学难点】
训练说理的能力．
一、创设情境，导入新知
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC.这个问题在本章第23.3.1节中我们已经解决．
问：若D是AB的中点，那么E是AC的中点吗？DE与BC的比是多少？
2．上述问题的逆命题是什么？
二、合作探究，理解新知
探究：三角形的中位线定理
1．你写出的逆命题是什么？它成立吗？
逆命题：如果D、E分别是AB、AC边的中点，那么DE∥BC，DE＝BC.
说明：(1)另一个逆命题不考虑；
(2)让学生画图，观察、猜想结论是否成立；
(3)学生讨论、验证命题成立．
2．证明：如图，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，∴＝＝.
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC(如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似)，∴∠ADE＝∠ABC，＝(相似三角形的对应角相等，对应边成比例)．
∴DE∥BC且DE＝BC.
思考：此命题还有其他证法吗？
学生在前面讨论的基础上，在教师引导下找出其他证法，最后教师归纳．
证法一：如图，延长DE到F，使EF＝DE.
在△ADE和△CEF中，
∵AE＝EC，DE＝EF，∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△CFE.
∴CF＝AD，∠A＝∠ECF.
∴AB∥CF.
又∵AD＝DB，∴CF＝BD.
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴DF∥BC，DF＝BC.
∴DE∥BC且DE＝BC.
证法二：作如下图所示的辅助线，即过E点作AB的平行线交BC于N，交过A点与BC平行的直线于M.
证法三：如下图，过A、B、C三点分别作DE的垂线．
3．归纳
(1)我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
(2)三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
思考：中线和中位线有什么异同点？
例题讲解
例1：求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC.
求证：AE、DF互相平分．
证明：连结DE、EF.∵AD＝DB，BE＝EC，
∴DE∥AC(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半)．
同理EF∥AB.
∴四边形ADEF是平行四边形．
∴AE、DF互相平分(平行四边形的对角线互相平分)．
说明：对于文字证明题要先根据题意，画出图形，写出已知、求证，最后再证明．
例2：如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G.
求证：＝＝.
证明：连结ED.
∵D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE∥AC，＝(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半)．
∴△ACG∽DEG.
∴＝＝＝.
∴＝＝.
思考：作另外两条三角形的中线，是否也有这个结论？这个结论用文字怎样叙述？
学生小组合作解决，结论仍然成立，可得如下结论：
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的.
【教学说明】引入重心的概念，了解重心与一边中点的连线的长是对应中线长的.
例3：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？
(让学生完成)
操作与思考：1.请任画一个四边形，顺次连结四边形各边的中点．
2.猜想探索得到的四边形的形状，并说明理由．
3.由E、F分别是中点，你能联想到什么？你应该如何做？
【教学说明】对大部分学生而言，此题难度较大，原因在于条件与结论之间无法建立直接的联系，学生易产生思维障碍，因此需要将难度分解，把问题慢慢引向三角形中位线的性质上，让学生进一步感受转化思想的重要性．
三、尝试练习，掌握新知
1．教材第79页练习第1题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课你有什么收获？
1.三角形中位线是三角形中重要的线段，它与三角形中线不同．
2.三角形的中位线定理是三角形的一个重要性质定理，注意定理的条件、结论，结论有两个，具体应用时，可视具体情况选用其中一个关系或用两个关系．熟悉三角形中位线所在的图形的结构，适当地构造三角形中位线定理的条件是用好定理的关键．
3.在这节课中我们一起经过试验、探索，发现了三角形中位线定理，学会了一种很重要的探究问题的方法.
4.本节课开始提出的测量问题，通过大家今后不断地学习新知识，将会有更多的解决办法．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1.教材习题23.4第3、4题．
2.已知：如图，△ABC的周长为a，面积为S，连结各边中点得△A1B1C1，再连结△A1B1C1各边中点得△A2B2C2…则第1次连结所得△A1B1C1的周长＝______，面积＝______；第2次连结所得△A2B2C2的周长＝______，面积＝______；第3次连结所得△A3B3C3的周长＝______，面积＝______…第n次连结所得△AnBnCn的周长＝______，面积＝______．
3．(1)如图①，E、F、G、H分别是矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，四边形EFGH是什么四边形？为什么？
(2)如图②，E、F、G、H分别是菱形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，四边形EFGH是什么四边形？为什么？
① ②