第十一章
三角形
11.3.2
多边形的内角和(第1课时)
【教材分析】
教学目标
知识技能
理解多边形内角和公式的推导方法，掌握多边形内角和公式，并能应用它解决问题.
过程方法
1．通过类比、推理等数学活动，探索多边形的内角和公式，感受数学思考过程的条理性，发展推理能力和语言表达能力.2．把多边形问题转化成三角形问题解决，体会转化思想在几何中的运用，体会从特殊到一般认识问题的方法.
情感态度
通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学习热情.
重点
多边形的内角和公式的推导及运用公式进行有关计算.
难点
如何把多边形转化成三角形来探索多边形的内角和.
【教学流程】
环节
导
学
问
题
师
生
活
动
二次备课
情境引入
1.三角形的内角和是多少？
2．正方形和长方形的内角和是多少？3.猜想任意一个四边形的内角和是多少？
学生先独立探究,大胆猜想学并回答.教师提出问题并对学生的回答做出总结，引入新课.
自主探究合作交流自主探究合作交流
【问题1】
四边形的内角和是多少？怎样求？【问题
2】
用同样方法能求出五边形、六边形的内角和吗？1.
如图5，从五边形的一个顶点出发，可以画____条对角线，它们将五边形分成___个三角形，所以五边形的内角和等于180°×____=_________°；2.
如图6，从六边形的一个顶点出发，可以画出____条对角线，它们将六边形分成____个三角形，六边形的内角和等于180°×____=_________°；3.
从n边形的一个顶点出发，可以画出______条对角线，它们将n边形分成_____个三角形，所以n边形的内角和等于180°×____________.
图5
图6多边形的内角和公式：n边内角和等于﹍﹍﹍﹍.4.还有其它方法能推出多边形的内角和公式吗？以六边形为例画图说明.
图7
图8【例题探究】例1、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？（画图、写出已知、并写出解答过程）已知：如图，∠A+∠C=180°,求∠B+∠D的度数.
图结论：如果四边形的一组对角互补，另一组对角也互补.
教师：画出四边形，引导学生添加辅助线转化为三角形内角问题解决.学生：思考、交流、展示.共同总结：①如图1，过一个顶点画对角线1条，得到2个三角形，内角和为2×180°；②如图2，画2条对角线，在四边形内部交于一点，得到4个三角形，内角和为4×180°-360°；③如,3，若在四边形内部任取一点，也可以得到相应的结论； ④如图4，在任一边上任取一点，内角和为3×180°-180°….学生自主探究，按要求分割，求出内角和，并阐述过程.小组讨论交流.并找出不同分割方法的同学板演并讲解思路，尝试归纳得出结论.教师讲评、总结.并关注：学生能否对不同的观点进行质疑，感受数学结论的正确性，验证结论的正确性.结论：n边形的内角和等于（n-2）×180°（n是大于等于3的整数）.说明：多边形内角和公式的推导有多种方法，可以在画图补充说明，以调动学生积极性，开拓学生思维.教师：出示题目，引导学生分析，求解，评价，纠正生：画图、写出已知、并写出解答过程，交流、评价答案见教科书P22
尝试应用
1.求下列多边形的内角和边数3456812内角和2．四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数是（
）A．80°B．90°C．170°D．20°3.一个多边形内角和为720°,则这个多边形边数为(
)A.8
B.7
C.6
D.54．下列可能是n边形内角和的是
（
）A.300°B.550°C.780°D.1080°5.
一个多边形的内角和是900
°那么这个多边形的对角线共有（
）条.A.
12
B.
14
C.
16
D.
206.
六边形的每一个内角都相等,则每一个内角等于__________.7.
如果一个多边形的边数增加1,那么这时它的内角和增加了________度.
教师：出示题目，提出要求.根据完成情况讲评.学生：自己独立完成，组内交流，班内展示回答完成.参考答案：1.180°，360°，540°，720°，1080°，1800°2.A，3.C
4.D
5.B
6.120°，7.180°.
成果展示
1.总结：①运用多边形内角和公式可以求出任何边数的多边形的内角和；②.由多边形内角和公式可知，边数相同的多边形内角和也相等，因此已知多边形内角和也能求出多边形的边数.
尝试自我总结，注意方法规律总结，谈谈自己的收获与体会，重点要体现规律，做到进一步提高.
补偿提高
1．看图回答
问题：
（1）小华说内角和为2005°，小明为什么说不可能？
（2）小华求的是几边形的内角和．（3）小华错把外角当内角的那个外角的度数你能求吗？是多少度呢？
学生独立完成，教师巡视指导、参与学生讨论，注意返现问题，及时纠正.参考答案：1.D;2.B;3.180.
作业设计
必做题：1.课本第
24页，练习；2.习题11.3第2题.选做题：一个多边形少一个内角的度数和为2300°，求它的边数.
教师布置作业，并提出要求.学生课下独立完成，延续课堂.对于选做题可组内讨论解决.(共10张PPT)
11.3.多边形及其内角和
11.3.2多边形的内角和（第一课时）
情境引入
思考：
我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于360°。那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？你能利用三角形的内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗？
自主探究、合作交流
问题：
从n边形一个顶点出发，可以引____条对角线，它们将n边形分成_____个三角形．
n边形的内角和等于__________ ．
从上面的讨论我们知道，求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求．现在以五边形为例，你还有其它的分法吗？
n-3
n-2
（n-2）×180°
分法一:
如图，在五边形ABCDE内任取一点O，
五边形的内角和为5×180°-2×180°=（5-2）×180°=540°
·
A
B
C
D
E
O
连结
OA、OB、OC、OD、OE，
则得五个三角形．
合作探究
分法二:
如图，在边AB上取一点O，
五边形的内角和为（5-1）×180°-180°＝（5-2）×180°=540°。
如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到
n边形内角和＝（n-2）×180°
A
B
C
D
E
O
·
连OE、OD、OC，
则可以得（5-1）个三角形．
例题探究
例1
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？如图，已知四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B与∠D的关系．
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×180°=360°
又∠A＋∠C＝180°
∴∠B＋∠D=
360°－（∠A＋∠C）=180°
这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
分析：∠A、∠B、∠C、∠D有什么关系？
尝试应用：
1．四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数是（
）
A．80°B．90°C．170°D．20°
2.一个多边形内角和为720°,则这个多边形边数为(
)
A.8
B.7
C.6
D.5
3．下列可能是n边形内角和的是
（
）
A.300°B.550°C.780°D.1080°
4.
一个多边形的内角和是900
°那么这个多边形的对角线共有（
）A.
12
B.
14
C.
16
D.
20
5.
六边形的每一个内角都相等,则每一个内角等于_______度.
6.
如果一个多边形的边数增加1,那么这时它的内角和增加了________度.
A
C
D
B
120
180
1、本节课你有哪些收获？
2、还有哪些地方不很清楚？
成果展示
蔡伟
补偿提高
看图回答
问题：
（1）小华说内角和为2005°，小明为什么说不可能？
（2）小华求的是几边形的内角和．
（3）小华错把外角当内角的那个外角的度数你能求吗？是多少度呢？
谢谢！11.3.2多边形的内角和(第1课时)
【学习目标】
1.
理解多边形内角和公式的推导，识记公式；
2.
能正确利用多边形内角和公式进行计算.
【重点难点】
重点：运用多边形的内角和公式进行有关计算.
难点：多边形内角和公式的推导及理解.
【学习过程】
一、自主学习：
1.
三角形的内角和是______;
2.
正方形的内角和是_______,长方形的内角和是_______.
3.猜想任意一个四边形的内角和是多少？
二、合作探究：【课中探究】
探究一：任意四边形的内角和
如图1，你能求出这个四边形的内角和吗？
解：
结论：任意四边形的内角和都是________.
方法：是通过作四边形的对角线将四边形内角和转化为三角形内角和求出的.
想一想：还有其它求法吗？与同伴交流一下.
探究二：你用同样方法能求出五边形、六边形的内角和吗？
1.
如图2，从五边形的一个顶点出发，可以画____条对角线，它们将五边形分成___个三角形，所以五边形的内角和等于180°×____=_________°；
2.
如图3，从六边形的一个顶点出发，可以画出____条对角线，它们将六边形分成____个三角形，六边形的内角和等于180°×____=_________°；
3.
从n边形的一个顶点出发，可以画出______条对角线，它们将n边形分成_____个三角形，所以n边形的内角和等于180°×____________.
图2
图3
多边形的内角和公式：n边内角和等于﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍.
4.还有其它方法能推出多边形的内角和公式吗？以六边形为例画图说明.
图4
图5
三、例题探究：
例1.
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
已知：如图6，∠A+∠C=180°,求∠B+∠D的度数.
图6
结论：如果四边形的一组对角互补，另一组对角也互补.
四、尝试应用
1.求下列多边形的内角和
边数
3
4
5
6
8
12
内角和
2．四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数是（
）
A．80°
B．90°
C．170°
D．20°
3.一个多边形内角和为720°,则这个多边形边数为(
)
A.8
B.7
C.6
D.5
4．下列可能是n边形内角和的是
（
）
A.300°
B.550°
C.780°
D.1080°
5.
一个多边形的内角和是900
°那么这个多边形的对角线共有（
）条.
A.
12
B.
14
C.
16
D.
20
6.
六边形的每一个内角都相等,则每一个内角等于__________.
7.
如果一个多边形的边数增加1,那么这时它的内角和增加了________度.
五、补偿提高
1．看图回答
问题：
（1）小华说内角和为2005°，小明为什么说不可能？
（2）小华求的是几边形的内角和．
（3）小华错把外角当内角的那个外角的度数你能求吗？是多少度呢？
【学后反思】
参考答案：
尝试应用：
1.180°，360°，540°，720°，1080°，1800°
2.A，3.C
4.D
5.B
6.120°，7.180°.
补偿提高：
1．（1）2005°不是180°的整数倍
（2）13
（3）25°11.3.2多边形的内角和（第1课时）
【当堂达标】
一、选择题：
1．（2015 重庆）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（ ）
A．
五边形
B．
六边形
C．
七边形
D．
八边形
2．（2016 丽水）一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（ ）
A．
四边形
B．
五边形
C．
六边形
D．
七边形
3.下列各角能成为多边形内角和的是（
）
A．270°
B．560°
C．1800°
D．1900°
4.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是(
)
A.七边形
B.
六边形
C.
五边形
D.
四边形
5．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．
120°
B．
180°
C．
240°
D．
300°
6．已知正n边形的一个内角为135°，则边数n的值是（ ）
A．
6
B．
8
C．
7
D．
10
7．如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为（ ）
A．
30°
B．
36°
C．
38°
D．
45°
8．（2015 莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（ ）
A．27
B．35
C．44
D．54
9．如图，四边形ABCD中，∠A+∠B=260°，∠C=4∠D，求∠C和∠D的度数．
10．如图所示，在四边形ABCD中，∠C与∠D的平分线相交于P，且∠A=70°，∠B=80°，求∠P的度数．
【拓展应用】
11．如图所示，分别以四边形的各个顶点为圆心，半径为R作圆（这些圆互不相交），把这些圆与四边形的公共部分（即图中阴影部分）剪下来拼在一起，你有什么发现？并用有关的数学知识进行解释．
自评
师评
【学习评价】
参考答案：
1.C．2.C
3.C
4.B
5.C
6.B
7.B
8.
解：设这个内角度数为x，边数为n，
∴（n﹣2）×180°﹣x=1510，
180n=1870+x，
∵n为正整数，
∴n=11，
∴=44，
故选：C．
9.
∠A+∠B+∠C+∠D=360°，又∠A+∠B=260°，所以∠C+∠D=100°，
又∠C=4∠D，可求得∠D=20°，∠C=80°.
10．∠P=180°-∠ACD-∠CDB
=180°-（∠ACD+∠CDB）
=180°-（360°-∠A-∠B）
=180°-（360°-150°）=75°
11.发现阴影部分面积等于圆的面积．
点拨：因为四边形内角和是360，把四边形的阴影部分剪下来，恰好拼成一个圆.
