第十一章
三角形
11.3.2
多边形的内角和（第2课时）
【教材分析】
教学目标
知识技能
了解多边形的外角定义,掌握多边形的外角和，能利用多边形的外角和是360°和多边形内角和公式解决问题.
过程方法
1.通过推理论证等数学活动，探索多边形的外角和公式，感受数学思考过程的条理性，发展推理能力和语言表达能力.2.利用多边形内角和与外角和公式解决实际问题,体会转化思想在几何中的运用.
情感态度
通过观察、猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学生学习热情.
重点
多边形的外角定义及多边形外角和公式的推导过程.
难点
综合运用多边形外角和、内角和公式解决数学问题.
【教学流程】
环节
导
学
问
题
师
生
活
动
二次备课
情境引入
【问题1】大家清早跑步吗？小明每天坚持跑步，他怎样跑步呢？看大屏幕。清晨，小明沿一个五边形广场周围的小道，按逆时针方向跑步.(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们.(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？(3)在图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？
教师：提出问题，引导学生思考回答、点评鼓励，复习引入新课.学生：回答，理解、猜测、尝试验证.
自主探究合作交流自主探究合作交流
【知识回顾】1.什么是三角形的外角 三角形的外角和是多少 2.什么是多边形的外角？一个n边形有多少个外角？3.是否有多边形的外角和？多边形的外角和等于多少？【问题2】如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？分析：（1）任何一个外角同与它相邻的内角是什么关系？（2）六边形的六个外角加上与它相邻的内角，所得总和是多少？（3）六边形的内角和是多少？（4）六边形外角和等于六个平角减去六边形内角和，是多少？（5）同样一个n边形的n个外角加上n个内角是多少个180°？（6）所以外角和=n×180°-（n-2）×180°,等于多少？结论：任何多边形的外角和都等于360°.【问题3】你还有其它方法说明任意多边形的外角和是360°吗？教材83页最后一段内容说明了什么？
提出问题，引导学生思考回答、点评鼓励，复习引入新课.学生：回答，理解、猜测、尝试验证.教师：提出问题，引导学生以六边形的外角和为例分析，求出六边形外角和，根据同样的方法，若是n边形，那么外角和=n×180°-（n-2）×180°=360°,从而得到所有多边形的外角和是个恒值，都等于360°.学生：理解，尝试推导，得出结论，并理解多边形外角和是360°.拓展理解：①多边形内角和是一个恒值，即不论为任何多边形它们的外角和都是360°，与边数无关.②多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处取一个外角的和.
尝试应用
1.一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是____边形，它的内角和是_______度，外角和是_____度.2.一个多边形的各内角都等于150°，它的边数是（
）.A.
10
B.
11
C.
12
D.
133.
已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（
）.A.八边形
B.
十二边形
C.
十边形
D.
九边形4.
如图，在四边形ABCD中，∠1，∠2分别是∠BCD和∠BAD的邻补角，且，则等于（ ）Ａ．140°Ｂ．40°Ｃ．260°Ｄ．不能确定5.在△ABC中，三外角之比为2:3:4,则与之对应的三内角度数比为（
）.A.
4：3：2
B.
5：3：1
C
.3：2：4
D.
1：3：56．（2016 铜仁市）如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是（）
A．
3
B．
4 C．
5
D．
67．一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是（
）A
.三角形
B.
四边形
C.
五边形
D.
六边形8．（2015 北京）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=
度．
教师：出示题目学生：独立完成，小组内交流，部分学生展示，教师讲评.参考答案：1.六，720，360；2.C
3.C
4.A5.B
6.D
7.B
8.360
成果展示
1.
三角形的外角和是多少？通过本节的学习你有哪些收获？2.
方法：同顶点的每一个内角和外角互为邻补角是解决含内、外角问题的关键，是内、外角转换的纽带.
学生自我总结，畅谈体会和收获，梳理知识点，总结规律和应用方法.
补偿提高
9．（2015 巴彦淖尔）如图，小明从A点出发，沿直线前进12米后向左转36°，再沿直线前进12米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了多少米．
学生尝试完成，教师巡视、指导，注意学生完成情况，讲评时总结、评价.参考答案：解：由题意得：360°÷36°=10，则他第一次回到出发地A点时，一共走了12×10=120（米）．故答案为：120．
作业设计
必做题：课本习题11.3，第
3、6、8题选做题：完成探究.
教师布置作业，并提出要求.学生课下独立完成，延续课堂.11.3.2多边形的内角和（第2课时）
【当堂达标】
一、填空题：
1.如图，四边形ABCD中，去掉一个60°的角得到一个五边形，则1+∠2=
度．
2.如图，、、、是五边形ABCDE的4个外角，若，则
二、选择题：
3．（2015 南宁）一个正多边形的内角和为540°，这个正多边形的每一个外角等于（）
A．
60°
B．
72° C．
90°
D．
108°
4.（2016 北京市）
正十边形的每个外角等于
A．
B．
C．
D．
5．多边形的边数增加2，这个多边形的外角和增加（
）．
A．180°
B．360°
C．90°
D．0°
6.一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是(
)
A.1个
B.2个
C.5个
D.4个
7．如图为某公司的产品标志图案，图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ）
A．360°
B．540°
C．630°
D．720°
9.
已知一个多边形的每个内角都比它相邻的外角大60°。求这个多边形的边数.
10．求图中的x值．
【拓展应用】
11．（2015 河北）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=
．
12．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
自评
师评
【学习评价】
参考答案：
1.240°
【分析】∵四边形的内角和为（4﹣2）×180°=360°，∴∠B+∠C+∠D=360°﹣60°=300°。
∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°=540°，∴∠1+∠2=540°﹣300°=240°。
2.300。
【分析】由题意得，∠A的外角=180°－∠A=60°，
又∵多边形的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°－∠A的外角=300°.
3、B；
4、B
5、D
6、D
7．B
解析：∵∠1=∠C+∠D，∠2=∠E+∠F，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=540°．故选B．
10．（1）x=65°
（2）120°
11.
24°；解析：正三角形的每个内角是：
180°÷3=60°，
正方形的每个内角是：
360°÷4=90°，
正五边形的每个内角是：
（5﹣2）×180°÷5
=3×180°÷5
=540°÷5
=108°，
正六边形的每个内角是：
（6﹣2）×180°÷6
=4×180°÷6
=720°÷6
=120°，
则∠3+∠1﹣∠2
=（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°）
=30°+12°﹣18°
=24°．
12．如图．连BE，∠1+∠2=∠D+∠C，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠1+∠2+∠E+∠F+∠G=（5-2）180°=540°，(共16张PPT)
11.3多边形及其内角和
11.3.2多边形的内角和（第二课时）
A
B
C
D
1
2
3
4
5
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角。
外角
6
7
8
9
10
问题
大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步的效果图.
请你观察并思考如下几个问题:
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们.
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
(3)在上图中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5的大小吗？你是怎样得到的？
从多边形的一个顶点A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。
由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所转的各个角的和等于一个周角。
即：多边形的外角和等于360
多边形
图形
多边形的外角和
三角形
四边形
五边形
六边形
n边形
3×180o-1×180o=360o
4×180o-2×180o=360o
5×180o-3×180o=360o
6×180o-4×180o=360o
n×180o-(n-2)×180o=360o
多边形的外角和
从上表中得到了什么结论？
结论：任何多边形的外角和为360°
练习
（1）八边形的内角和为______，外角和为_____
（2）已知一个多边形的每一个外角都是72o，求这个边形的边数为______
例1：一个多边形的内角和等
于它的外
角和的3倍，它
是几边形？
解：设它是n边形，则
(n-2).180=3×360
解得：n=8
答：它是8边形
例2：一个正多边形的每个内角比相邻外角大36°求这个多边形的边数。
解：设一个外角为x°，
则内角为（x＋36）°
根据题意得：
x+x+36＝180
x＝72
360÷72＝5
答：这个正多边形为正五边形。
A
B
C
D
E
F
∵∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE＋∠DEF＋∠AFE=（6-2）×180°=720°
1
2
P
Q
R
如图所示：可向两个方向分别延长AB，CD，EF三条边，构成△PQR。
解：∵
DE∥AB
∴∠1=∠R,同理∠2=∠R
∴∠1＝∠2，
∴∠CDE=∠FAB
同理∠AFE＝∠BCD，∠ABC=∠DEF
∴∠FAB＋∠BCD＋∠DEF=
×720°=360°
例3
一个六边形如图，已知AB∥DE，BC∥EF，
CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度数。
尝试应用
1.一个多边形每个外角都是60°，这个多边
形是____边形，它的内角和是_______度，
外角和是_____度.
2.一个多边形的各内角都等于150°，它的边数是（
）.
A.
10
B.
11
C.
12
D.
13
3.
已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（
）.
A.八边形
B.
十二边形
C.
十边形
D.
九边形
4.
如图，在四边形ABCD中，∠1，∠2分别是∠BCD和∠BAD的邻补角，且，则等于（ ）
Ａ．140°Ｂ．40°Ｃ．260°Ｄ．不能确定
尝试应用
5.在△ABC中，三外角之比为2:3:4,则与之对应的三内角度数比为（
）.
A.
4：3：2
B.
5：3：1
C
.3：2：4
D.
1：3：5
6．（2016
铜仁市）如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是（）
A．
3
B．
4 C．
5
D．
6
7．一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是（
）
A
.三角形
B.
四边形
C.
五边形
D.
六边形
8．（2015
北京）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=
度．
1、本节课你有哪些收获？
2、还有哪些地方不很清楚？
成果展示
蔡伟
补偿提高：
（2015
巴彦淖尔）如图，小明从A点
出发，沿直线前进12米后向左转36°，再
沿直线前进12米，又向左转36°…照这样
走下去，他第一次回到出发地A点时，一共
走了多少米．11.3.2多边形的内角和（第2课时）
【学习目标】
1.
知道多边形的外角定义,理解多边形外角和等于360°.
2.
会利用多边形的内角和、外角和及其它们之间的关系解决问题.
【重点难点】
重点：多边形外角的定义及多边形外角和公式的推导过程；
难点：综合运用多边形外角和、内角和公式解决数学问题.
【学习过程】
一、自主学习：
知识回顾
1.
三角形一边与___________组成的角，叫做三角形的外角,三角形的外角和是_________.
2.多边形的一边与_______________________组成的角叫做多边形的外角.在图1中____和___都是五边形的外角；且多边形每一个顶点处有____个外角，它们与同顶点的内角______________.
图1
图2
二、合作探究：
探究一：多边形的外角和
如图2，在六边形的每个顶点处各取_______外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.
注意：
多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处取一个外角的和.
探究二：六边形的外角和
（1）任何一个外角同与它相邻的内角______________；
（2）如图2，六边形的六个外角加上与它相邻的内角，所得总和是________.
（3）六边形的内角和是__________
（4）六边形外角和=180°×6-180°×(6-2)=_________度.
探究三：多边形的外角和
（1）一个n边形在个顶点处各取一个外角，这n个外角加上n个内角是_____个180°.
（2）n边形的内角和是_________________________.
所以n边形的外角和=n×180°-（n-2）×180°=__________.
结论：任何多边形的外角和都等于360°.
【尝试应用】
1.一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是____边形，它的内角和是_______度，外角和是_____度.
2.一个多边形的各内角都等于150°，它的边数是（
）.
A.
10
B.
11
C.
12
D.
13
3.
已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（
）.
A.八边形
B.
十二边形
C.
十边形
D.
九边形
4.
如图，在四边形ABCD中，∠1，∠2分别是∠BCD和∠BAD的邻补角，且，则等于（ ）
Ａ．140°
Ｂ．40°
Ｃ．260°
Ｄ．不能确定
5.在△ABC中，三外角之比为2:3:4,则与之对应的三内角度数比为（
）.
A.
4：3：2
B.
5：3：1
C
.3：2：4
D.
1：3：5
6．（2016 铜仁市）如果一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数是（ ）
A．
3
B．
4
C．
5
D．
6
7．一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是（
）
A
.三角形
B.
四边形
C.
五边形
D.
六边形
8．（2015 北京）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．
五、补偿提高
9．（2015 巴彦淖尔）如图，小明从A点出发，沿直线前进12米后向左转36°，再沿直线前进12米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了多少米．
【学后反思】
参考答案：
尝试应用：
1.六，720，360；2.C
3.C
4.A
5.B
6.D
7.B
8.360
补偿提高：
9.解：由题意得：360°÷36°=10，
则他第一次回到出发地A点时，一共走了12×10=120（米）．
故答案为：120．
