12.1全等三角形
学案
【学习目标】
1.认识全等形和全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质；能正确表示两个全等三角形，能辨识全等三角形的对应元素．
2．通过观察、拼图以及三角形的平移、旋转和翻折等活动，发现、感知两个全等三角形的特征．
【重点难点】
重点：探究并理解全等三角形的性质
难点：掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，迅速正确指出两个全等三角形的对应元素
【学习过程】
自主学习：
【探究１】请同学们用剪刀在白纸上剪出一个任意三角形,再把这个三角形按在纸板上,画下图形,照图形裁下来的纸板与原来的三角形形状、大小完全一样吗？把它们叠放在一起能够完全重合吗？（如图1）
如果能重合，它们重合的顶点是：
点与
点，
点与
点，
点与
点；它们重合的边是：
与
，
与
，
与
；它们重合的角是：
与
，
与
，
与
.
归纳:
叫全等形；
叫全等三角形.
合作探究：
【探究2】在图2中，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF．
在图3中，把△ABC沿直线翻折，得到△DEF．
在图4中，把△ABC旋转，得到△AED．
经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形全等吗？
归纳：平移、翻折、旋转前后图形全等
【探究三】请阅读课本P32．
1.怎样用几何语言表示两个全等的三角形？记两个三角形全等时的要求是什么？
2.
叫做对应顶点，
叫做对应边，
叫做对应角.
3.你能分别找出这三对全等三角形的对应顶点、对应边和对应角吗？
4.通过以上的探究你有什么发现？(用自己的话说说）,用规范的数学语言表达出来吗？
【归纳】全等三角形的性质：
；
.
【强调】书写规范及要求（“≌”的书写，对应顶点写在对应的位置上.）
三、例题探究：
例题：如图，△ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠B＝30°，BF＝2，求∠DFE的度数与EC的长．
尝试应用
1.如图,△OCA≌△OBD，C和B,A和D是对应顶点．则AC的对应边是
，AO的对应边是
,
∠A
的对应角是
,
∠B
的对应角是
.
2.
如图,
△ABC≌△CDA,AB和CD,BC和DA是对应边，则AC的对应边是
，∠BCA的对应角是
,若∠BAC=350，那么∠DCA=
.
3．如图，△ABC≌△DEF，∠B＝60°，则∠E的度数为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
4．如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
补偿提高
5.△ABE≌△ACD，AB与AC，AD与AE是对应边，∠A=40 ，∠B=30 ，求∠ADC的大小。
如图所示，已知△ABD≌△ACD，且B，D，C在同一条直线上，那么AD与BC是怎样的位置关系？为什么？
【学后反思】
参考答案：
例题：
解：在△ABC中，∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－30°＝100°.
∵△ABC≌△DEF，
∴∠DFE＝∠ACB＝100°，EF＝BC
.∴EF－CF＝BC－CF，即EC＝BF＝2.
尝试应用：
1.BD
,DO,∠D,∠C;
CA,∠DAC,350
3.C;
4.A
5.1100
6.AD⊥BC.理由如下：
∵△ABD≌△ACD，
∴∠ADB与∠ADC是对应角．
又∵∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∴AD⊥BC.第十二章
全等三角形
12.1.全等三角形
【教材分析】
教学目标
知识技能
1.掌握全等形、全等三角形的概念，能应用符号语言表示两个三角形全等；2.能熟练地找出两个全等三角形的对应元素，理解全等三角形的性质
，并解决相关简单的问题．
过程方法
通过观察、拼图以及三角形的平移、旋转和翻折等活动，发现、感知两个全等三角形的特征．
情感态度
通过对图形的观察，学会抽象几何图形蕴含的数学特征，感知生活中熟悉图形中的数学知识，在探究和运用全等三角形知识的过程中感受到数学活动的乐趣.
重点
探究全等三角形的性质
难点
掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，迅速正确指出两个全等三角形的对应元素
【教学流程】
环节
导
学
问
题
师
生
活
动
二次备课
情境引入
问题1：观察这些图片，你能看出形状、大小完全一样的几何图形吗？追问：你能再举出生活中的一些类似例子吗？
教师：出示图片，创设情境先让学生说出自己观察到的结果.
教师引导学生思考：图片中图形的形状、大小有何关系？同位交流．请学生说出生活中的发现.感受数学的美就在我们身边
自主探究合作交流自主探究合作交流
探究一：全等形、全等三角形及其有关概念问题2：请同学们用复写纸画出两个三角形，并用剪刀剪下其中一个三角形，观察这两个三角形有何关系？问题3：请同学用语言归纳出问题1
和问题2
中两个图形有何关系？全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．追问1：请同学们将问题2
中的两个三角形分别标为△ABC、△DEF，观察这两个三角形有何对应关系？
点A
与点D、点B
与点E、点C
与点F
重合，称为对应顶点；
边AB
与DE、边BC
与EF、边AC
与DF
重合，称为对应边；
∠A
与∠D、∠B
与∠E、∠C
与∠F
重合，称为对应角.
追问2：你能用符号表示出这两个全等三角形吗？△ABC与△DEF是全等的，记作：“△ABC
≌△DEF”，
读作：“△ABC
全等于△DEF”．
问题4：请同学们拿出问题2
准备的素材，按照课本P32
页图12.1-2
进行平移、翻折、旋转，变换前后的两个三角形还全等吗？
探究二：全等三角形的性质问题5：全等三角形的对应边和对应角有何大小关系？全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.用几何语言表述：∵ △ABC
≌△DEF，
∴ AB
=DE，BC
=EF，AC
=DF
（全等三角形的对应边相等），∠A
=∠D，∠B
=∠E，∠C
=∠F
（全等三角形的对应角相等）．例题探究：如图，△ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠B＝30°，BF＝2，求∠DFE的度数与EC的长．
师引导学生操作，学生操作后小组探究，师指导，全班交流，师归纳总结全等形、全等三角形的定义.师引导学生得出对应顶点、对应边、对应角的概念，并能够在图中找出来.师介绍全等符号及表示形式.【强调】书写规范及要求（“≌”的书写，对应顶点写在对应的位置上.）板书：（性质）师演示后并提问，学生小组交流后汇报.师引导学生演示全等形重合的过程，进而提出问题，引导学生观察并总结得出全等三角形的性质.例题：在△ABC中，∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－30°＝100°.∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE＝∠ACB＝100°，EF＝BC.∴EF－CF＝BC－CF，即EC＝BF＝2.
尝试应用
1.如图,△OCA≌△OBD，C和B,A和D是对应顶点．则AC的对应边是
，AO的对应边是
,
∠A
的对应角是
,
∠B
的对应角是
.
2.
如图,
△ABC≌△CDA,AB和CD,BC和DA是对应边，则AC的对应边是
，∠BCA的对应角是
,若∠BAC=350，那么∠DCA=
.3．如图，△ABC≌△DEF，∠B＝60°，则∠E的度数为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°4．如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
教师出示题目.请学生认真观察图形，理解题意，独立思考，完成练习。小组内交流.教师巡视，了解学生的学习情况，并有针对性的进行个别辅导。请四位学生口答，一起订正。1.BD
,DO,∠D,∠C;CA,∠DAC,350C;
4.A
成果展示
通过本节的学习，你有哪些收获？谈一谈你的观点和看法。
引导学生总结、反思、交流
补偿提高
5.△ABE≌△ACD，AB与AC，AD与AE是对应边，∠A=40 ，∠B=30 ，求∠ADC的大小。
如图所示，已知△ABD≌△ACD，且B，D，C在同一条直线上，那么AD与BC是怎样的位置关系？为什么？
师出示例题，学生小组讨论后，师生共同完成.5.11006.AD⊥BC.理由如下：∵△ABD≌△ACD，∴∠ADB与∠ADC是对应角．又∵∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∴AD⊥BC.
作业设计
课后作业:课本P33页习题12.1第5、6题
学生课后独立完成.12.1.全等三角形当堂达标题
【当堂达标】
一、选择题：
1．如图所示，将△ABC沿AC对折，点B与点E重合，则全等的三角形有（
）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
2．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A.72°
B.60°
C、58°
D、50°
3．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（ ）
A．
20°B．30°
C．35°
D．40°
4.
下列说法中不正确的是（ ）
①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；
③全等三角形的周长相等；④周长相等的两个三角形全等；
⑤全等三角形的面积相等；⑥面积相等的两个三角形全等．
A.④⑤
B．④⑥
C．
③⑥
D．
③④⑤⑥
二、填空题：
5．如图所示，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x=_______．
6．如图，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A=110°，∠B=40°，则∠C1= ______度.
7．已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O=70°，∠C=25°，则∠AEB= _度．
三、解答题：
8．如图，AM平分∠CAD，CN平分∠ACB，△ACB≌△CAD，请你判断AM和CN的位置关系，并说明理由．
【拓展应用】
9．如图，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形，试在下面5×5的方格纸上按下列要求画出格点三角形．
(1)所画的三角形与△ABC全等且有1个公共顶点；
(2)所画的三角形与△ABC全等且有1条公共边；
(3)探索与△ABC全等且有公共边AB的格点三角形共有多少个．
自评
师评
【学习评价】
参考答案：
1．C
2.D
3.B
4.B
5.60°
6.30°
7.120°
8.AM∥CN.理由：
∵△ACB≌△CAD，
∴∠ACB＝∠CAD.
∵AM和CN分别平分∠CAD和∠ACB，
∴∠ACN＝∠ACB，∠CAM＝∠CAD.
∴∠ACN＝∠CAM.∴AM∥CN.
9.(1)(2)画图略 (3)3个．(共15张PPT)
全等形的定义：
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
全等三角形的定义：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
平移、翻折、旋转前后
的图形全等
重合的顶点称为对应顶点；
重合的边称为对应边；
重合的角称为对应角.
当△ABC和△DEF全等时
△ABC与△DEF是全等的，
记作：“△
ABC
≌△
DEF
”，
读作：“△
ABC全等于△
DEF”．
全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等、
对应角相等.
全等三角形的对应边和对应角有何大小关系？
用几何语言表述：
∵ △ABC
≌△DEF，
∴ AB
=DE，BC
=EF，AC
=DF
（全等三角形的对应边相等），
∠A
=∠D，∠B
=∠E，∠C
=∠F
（全等三角形的对应角相等）．
例 已知：如图，△ABC
≌△DEF.
（1）若DF
=10
cm，则AC
的长为
；
（2）若∠A
=100°，则：
∠D
的度数为
；
10
cm
100°
A
B
C
D
E
F
全等三角形的性质的运用
练习：1.如图，△OCA
≌△OBD，点C
和点B，点A与点D是对应点，则下列结论错误的是（
）．
（A）
∠COA
=∠BOD
；
（B）
∠A
=∠D
；
（C）
CA
=BD
；
（D）
OB
=OA
．
D
C
B
O
A
D
2 如图，△ABC
≌△CDA，AB
与CD，BC
与DA
是对应边，则下列结论错误的是（
）．
（A）∠
BAC
=∠
DCA
；
（B）AB∥DC
；
（C）∠
BCA
=∠
DCA
；
（D）BC∥DA
．
C
A
B
C
D
等边对等角、等角对等边
1.如图，△ABC≌△ADE，则AB
=
_______，∠E
=
_______．若∠BAE
=
120°，∠BAD
=
40°，则∠BAC
=
_______.
AD
∠C
80°
综合应用
解：∵ ∠A
=100°，∠B
=30°，
∴ ∠C
=180°-∠A
-∠B
=50°．
∵ △DEF
≌△ABC
，
∴ ∠F
=∠C
=50°
（全等三角形的对应角相等）．
2.如图，△ABC
≌△DEF.若∠A
=100°，
∠B
=30°，求∠F
的度数.
A
B
C
D
E
F
数学是优美的自然科学的皇后
，数学之美在于其形象、对称、和谐、简洁、严谨、逻辑、秩序---，热爱数学吧，你将拥抱美好，走进智慧------
