课件19张PPT。第3章 对圆的进一步认识
3.1 圆的对称性
第1课时 1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初
步应用垂径定理进行计算和证明.
2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题
的能力.
3.通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并
激发学生对数学的热爱．问题：你知道赵州桥吗？它是1 300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？
【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以折叠后两侧半圆重叠.观察右图，有什么等量关系？ AO=BO=CO=DO，OO已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E.求证：AE＝BE，垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理 【证明猜想】判断下列图形，能否使用垂径定理？【解析】定理中两个条件（直径、直径垂直于弦）缺一不可，故前两个图均不能，第三个图可以！【定理辨析】例 如图，已知在圆O中，弦AB的
长为8 ㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，
求圆O的半径.OAB【解析】根据题意得，
OE⊥AB，AE=4 cm，OE=3 cm，
在Rt△OEA中，根据勾股定理得：
AO2=OE2+AE2=32+42=25，
AO=5cm.【例题】OA=OBOC=OD【归纳】如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径.关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线.【解析】提示作OM 垂直于PB ，连接OA.答案： A【跟踪训练】画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.想一想：如果将题设和结论中的5个条件适当互换，情况会怎样？（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.【推论1】如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？圆的两条平行弦所夹的弧相等.【推论2】2.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于
点E，下列结论中一定正确的是（ ）A.AE＝OE B.CE＝DE CEC.OE＝D.∠AOC＝60°B1.（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心
距为3,则AB的长是( )
A.3 B.4 C.6 D.8D3.（安徽·中考）如图，⊙O过点B，C.圆心O在等腰
直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则
⊙O的半径为（ ）
A. B. C. D.
【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB，
根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.
又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
则AD= =3,∴OD=3-1=2,
∴OB=【解析】连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定理求得BD=3,因为OC⊥AB于点D，所以AD=BD=3,所以AB=6.
答案：64.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为
5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的
长是 ．5.已知：如图，在以O为圆心
的两个同心圆中，大圆的弦AB
交小圆于C，D两点.
求证：AC＝BD.
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
AE－CE＝BE－DE.
所以，AC＝BDE.ACDBO通过本课时的学习，需要我们：
1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；
能初步应用垂径定理进行计算和证明.
2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三”
的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题. 要利用时间，思考一下一天之中做了些什么，是 “正号”还是“负号”，倘若是“正号”，则进步；倘若是“负号”，就得吸取教训，采取措施。
——季米特洛夫 课件18张PPT。3.1 圆的对称性
第2课时 1.掌握圆中心对称性.
2.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量
相等就可以推出其他的两个量对应相等，以及它们在
解题中的应用. 圆的对称性圆的轴对称性（圆是轴对称图形）垂径定理及其推论圆的中心对称性？？？？（一）圆的中心对称性（1）若将圆以圆心为旋转中心，旋转180°，你能发现什么？圆绕其圆心旋转180°后能与原来图形重合.因此 .圆是中心对称图形，对称中心是圆心 圆绕圆心旋转任意角度α，都能够与原来的图形重合.
____________________.（2）若旋转角度不是180°，而是旋转任意角度，则旋
转过后的图形能与原图形重合吗？ 圆具有旋转不变性（1）相关概念
_______：顶点在圆心的角
________________ ________________
圆心角圆心角所对的弧圆心角所对的弦 (二) 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（2）在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系OBA________________，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.在同圆或等圆中在同圆或等圆中【定理】【推论】例1 如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点 A，B和C，D，求证：AB=CD.证明：作OM⊥AB，ON⊥CD，M，N为垂足. O【例题】已知：如图，AB,CD是⊙O的两条弦，OE,OF为AB,CD的
弦心距，根据本节定理及推论填空：
（1）如果AB=CD，那么
___________,________, _________.
（2）如果OE=OF，那么 ___________,________,__________. 【跟踪训练】 （3）如果 那么
____________,__________,_________.
（4）如果∠AOB=∠COD，那么
_________,________,_________.OE=OF AB=CD⌒ ⌒AB=CD∠AOB=∠COD OE=OFAB=CD证明：连接OA、OB，设分别与CD，EF交于点F，G
∵A为CD中点，B为EF中点
∴OA⊥CD，OB⊥EF. ⌒⌒【例题】故∠AFC=∠BGE=90°
又由OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
且AM=BN，
∴△AFM≌△BGN，
∴AF=BG，
∴OF=OG，
∴DC=EF. 证明:分别作O1C1⊥A1B1,
O2C2 ⊥ A2B2,垂足分别
为C1 、C2，
∵A1B1∥O102，
∴ O1C1= O2C2如图：⊙ 和⊙ 是两个等圆，直线 平行于 . 分别交⊙ 于点 ， ，交⊙ 于点 ， .求证：【跟踪训练】证明：∴ AB=AC，又∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形， AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.·ABCO∵如图，在⊙O中， ,∠ACB=60°，
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.△ABC是等腰三角形.2.如图，AB是⊙O 的直径， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．【解析】∵，圆的对称性圆的中心对称性（圆是中心对称图形）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系证明圆弧相等：（1）定义
（2）垂径定理
（3）圆心角、弧、 弦之间的关系证明线段相等：（1）利用原来的证角相等，三角形全等等方法
（2）垂径定理
（3）圆心角、弧、弦之间的关系 成功：A=x+y+z。A代表成功，x代表艰苦的劳动，y代表正确的方法，z代表少说空话。
? ——爱因斯坦 课件22张PPT。3.2 确定圆的条件1.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及 过不在同一直线上的三个点作圆的方法.
2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.
3．经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力. 一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？ 要确定一个圆必须满足几个条件?1.过一点可以作几条直线？2.过几点可确定一条直线？过几点可以确定一个圆呢？经过两点只能作一条直线.●A●●经过一点可以作无数条直线.AB经过一个已知点A能确定一个圆吗?A经过一点可作无数个圆.【探究新知】 经过两个已知点A、B能确定一个圆吗?AB经过两个已知点A、B所作的圆的圆心在怎样的一条直线上?它们的圆心都在线段AB的中垂线上.经过两个已知点A、B能作无数个圆.过已知点A、B作圆,可以作无数个圆.1.经过两点A、B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
2.以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,这点到A或B的距离为半径作圆.你准备如何(确定圆心,半径)作圆？其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系？●A●B经过三个已知点A、B、C能确定一个圆吗？ 假设经过A、B、C三点的⊙O存在（1）圆心O到A、B、C三点距离
（填“相等”或“不相等”）.（2）连接AB、AC，过O点 分别作直线MN⊥AB， EF⊥AC，则MN是AB的 .EF是AC的 .（3）AB、AC的中垂线的交点O到B、C的距离 .NMFEABC相等垂直平分线垂直平分线相等ABC过如下三点能不能作一个圆? 为什么?不在同一条直线上的三个点确定一个圆【议一议】已知：不在同一直线上的三点A、B、C，
求作： ⊙O使它经过点A、B、C.作法：1.连接AB，作线段AB的垂直平分线MN.
2.连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O.
3.以O为圆心，OB为半径作圆.所以⊙O就是所求作的圆.ONMFEABC【例 题】现在你知道怎样将一个如图所示的破损圆盘复原吗？方法:
1.在圆弧上任取三点A、B、C.
2.作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心.
3.以点O为圆心，OC的长为半径作圆.
⊙O即为所求.ABCO【跟踪训练】 已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆ABCO【想一想】 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.锐角三角形的外心位于三角形内.
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点.
钝角三角形的外心位于三角形外.【归纳升华】1.某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等.请问这所中学建在哪个位置？怎么确定这个位置呢？●●●BAC提示：作△ABC的外心.【巩固练习】2.某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把动物园A，植物园B和人工湖C包括在内，又要使这个圆形的面积最小，请你给出这个公园的施工图.（A、B、C不在同一直线上）植物园动物园人工湖提示：作△ABC的外接圆.CAB1.（河北·中考）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）A．点P B．点Q C．点R D．点M答案：B2.（乌鲁木齐·中考）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，-2），则△ABC的外接圆的圆心的坐标是（ ）
A.（2，3） B.（3，2）
C.（1，3） D.（3，1）答案：D 3.（江西·中考）如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交
于A、B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标 ．答案：（6，0）1.通过本课的学习，你有什么收获？还有什么问题？2.确定圆的条件—— 不在同一直线上的三点圆心、半径 人生不是受环境的支配，而是受自己习惯思想的恐吓。
——赫胥黎课件17张PPT。3.3 圆周角
第1课时1.经历探索圆周角的有关性质的过程；
2.进一步理解圆周角的概念及其相关性质，并能运用相关
性质解决有关问题；
3.体会分类，转化等数学思想方法，学会数学的转化问题.顶点在圆心的角叫做圆心角.能给下图中像∠ACB 这样的角下个定义吗？顶点圆上，并且两边在圆内部的线段是圆的弦，这样的角叫做圆周角． 探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？ oABoABoABoABoABoABCCCCCCoABCoABC圆周角:顶点在圆上,并且角的两边在圆内的部分是圆的两条弦，这样的角叫做圆周角.判断条件（1）顶点在圆上；（2）角的两边都是圆的弦所在的射线.下列图中是圆周角为（ ）D【议一议】一条弧所对的圆周角有无数个，且它们都相等.当球员在B,D,E处射门时,他所处的
位置对球门AC分别形成三个张角
∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的
大小有什么关系?如图,观察圆周角∠ACB与圆心角∠AOB,它们的大小有什么关系?圆周角定理：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半.推论1：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.（1）在圆周角的
一边上（2）在圆周角的内部（3）在圆周角的外部圆周角定理:圆周角和圆心角的关系
注意圆心与圆周角的位置关系.【议一议】1. 当圆心在圆周角的一边上时.
证明：如图，OA=OC ∠A=∠C
又∠BOC=∠A+∠C ∠BOC=2∠A一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半.2.当圆心在圆周角的内部时
能否转化为1的情况?
证明：如图过点A作直径AD.由1可得:
∠BAD = ∠BOD,∠CAD = ∠COD，
∠BAD+ ∠CAD = (∠BOD + ∠COD)
∴ ∠BAC = ∠BOC.3.当圆心在圆周角的外部时.留为作业.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.同弧或等弧上的圆周角相等，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.一条弦所对的圆周角有无数个，顶点在劣弧或优弧上的圆周角分别相等.这条弦两侧的圆周角互补.如图：弦AB所对圆周角有哪些？
它们有什么关系？
解析：弦AB所对圆周角有∠D, ∠E, ∠C,
∠D=∠E,∠D+∠C=180°,∠E+∠C=180°【归 纳】【例 题】2.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,
求∠A的大小.
解析: ∠A = ∠BOC = 25°.1.如图相等的圆周角有哪些？
解析：∠1= ∠4 ， ∠2= ∠8 ，
∠3= ∠6 ， ∠5= ∠7【跟踪训练】1.（江津·中考）已知：点A、B、
P为⊙O上的点，若∠PBO=15o,
且PA∥OB，则∠AOB=（ ）
A．15o B．20o C．30o D．45o C2.（宁德·中考）如图，在⊙O中，∠ACB＝34°，则
∠AOB的度数是（ ）A.17° B.34° C.56° D.68°D3．（潍坊·中考）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC＝CD．
求证：OC∥BD.证明： ⊙O中，因为AC＝CD，
∴∠ABC＝∠DBC，
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠OCB＝∠DBC，
∴OC∥BD.1.圆周角性质：同弧或等弧上的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半，等于该弧度数的一半.
2.能用圆周角的性质解决有关圆的证明和计算问题. 通过本课时的学习，需要我们掌握： 生命里最重要的事情是要有个远大的目标，并借才能与坚毅来达成它。 课件13张PPT。3.3 圆周角
第2课时1.掌握直径（或半圆）所对的圆周角是直角及90°的
圆周角所对的弦是直径的性质，并能运用此性质解决
问题；
2.经历探索圆周角性质的过程，培养学生分析问题和解
决问题的能力.如图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角？为什么？∠BAC所对的圆心角是________圆周角∠BDC=90°，弦BC经过圆心吗？为什么？半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.180°例1 AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°,
∠ADC=50°，求∠CEB的度数.解析：连接DB
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角
是直角）.
∵∠ADC=50°
∴∠EDB=∠ADB-∠ADC=90°-50°=40°.
∵∠ABD=∠ACD=60°（同弧所对的圆周角相等）.∴ ∠CEB =∠B+∠EDB=60°+ 40°=100°【例 题】如图，在△ABC中，以BC为直径的圆O交AB于D，交AC于E，BD=CE,求证：AB=AC证明：连接CD,BE.
∵BC是直径，
∴∠BDC=∠CEB=90°.
在Rt△BDC,Rt△CEB中， ∵BC=BC,BD=CE，
∴Rt△BDC≌Rt△CEB. ∴∠DBC=∠ECB，∴AB=AC.【跟踪训练】例2 如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径，△ABE与△ADC相似吗？为什么？解析：△ABE与△ADC相似
∵AE是⊙O 的直径，
∴∠ABE=90°（直径所对的圆周角是直角）
∵ ∠ADC=90° ∴∠ABE=∠ADC
又∵ ∠AEB=∠ACD（同弧所对的圆周角相等），
∴ △ABE∽△ADC【例 题】如图，△ABC内接于⊙O，直径AD=3，∠B=∠DAC，求AC的长.解析：连接DC，在⊙O中， AD是直径
∠ACD=90°（直径所对的圆周角是直角）
∠B=∠ADC（同弧所对的圆周角相等）
又因∠B=∠DAC（已知）
所以∠ADC=∠DAC
所以AC=DC【跟踪训练】1．（南通·中考） 如图，⊙O的直径
AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则
AC的长是（ ）A.1 B. C. D.22.（台州·中考）如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为
( )A．25° B．30°
C．40° D．50°AD3.（邵阳·中考）如图,在等边△ABC中，
以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，连接
AD，则∠DAC的度数为 ．30°OFDEOCBAM4.如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D， ，BF和AD相交于E，
求证：AE=BE【证明】延长AD与圆相交于M，根据题意，得
∴所对的圆周角相等，即∠BAD=∠ABF,∵E是AD和BF的交点 ∴AE=BE 1.掌握圆周角概念及其性质：
直径（或半圆）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
2.能熟练用圆周角的性质解决有关圆的证明和计算问题.通过本课时的学习，需要我们掌握：我们应该有恒心，尤其要有自信心。
——居里夫人课件17张PPT。3.4 直线与圆的位置关系
第1课时1.经历探索直线与圆的位置关系的过程，感受类比、转化、数形结合等数学思想，学会科学地思考问题.
2.理解直线和圆的三种位置关系——相交、相离、相切.
3.会正确判断直线和圆的位置关系.“大漠孤烟直，长河落日圆” 是唐朝诗人王维的诗
句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们
把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,那你能根据
直线与圆的公共点的个数想象一下，直线和圆的位置
关系有几种？观察三幅太阳落山的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的?a(地平线)你发现这个自然现象反映出直
线和圆的位置关系有哪几种?
(1)(3)(2)（1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交, 这时直线叫做圆的割线.（2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切；这时直线叫做圆的切线.唯一的公共点叫做切点.（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数来定义的，即直线与圆没有公共点、只有一个公共点、有两个公共点时分别叫做直线和圆相离、相切、相交.思考：一条直线和一个圆，如果有公共点能不能多于两个呢？相离相交相切切点切线割线直线与圆相离、相切、相交的定义.快速判断下列各图中直线与圆的位置关系.Ol.O1.Ol.O2ll.相离相离相交相切相交O2.连接直线外一点与直线上所有点的线段中,最短
的是_______. 1.直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离.垂线段
a .AD3.用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系，来揭示圆和直线的位置关系. （2）直线l和⊙O相切（3）直线l和⊙O相交d>rd=rd（1）r=2cm ; (2)r=2.4cm; (3)r=3cm .【解析】如图，过 C 作 CD⊥AB 于 D，在 Rt△ABC中,根据三角形面积公式有【例题】即圆心 C 到 AB 的距离d=2.4 cm.(1) 当r=2cm时，有d>r，因此⊙C和AB相离. (2) 当r=2.4cm时，有d=r,因此⊙C和AB相切. (3) 当r=3cm时，有d公共点. (2)若d=6.5cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____
个公共点. (1)若d=4.5cm ,则直线与圆_______, 直线与圆有____个公共点. 相交相切相离210(3)若AB和⊙O相交,则 . 2.已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d,根据条件填写d的范围:
(1)若AB和⊙O相离，则 ;
(2)若AB和⊙O相切，则 ;d>5cmd=5cmd<5cm0cm≤3.直线和圆有2个交点,则直线和圆________;
直线和圆有1个交点,则直线和圆________;
直线和圆没有交点,则直线和圆_______.相交相切相离判定直线与圆的位置关系的方法有两种：（1）根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断.（2）根据性质，由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断.在实际应用中，常采用第二种方法判定.通过本课时的学习，需要我们掌握： 壮丽人生的种子，播种在曲折的土壤里，成长在顽强的毅力里，收获在艰苦的攀登中。课件17张PPT。3.4 直线与圆的位置关系
第2课时1．了解切线的要领，探索切线与切点、半径之间的关系.
2．能判定一条直线是否为圆的切线.
3．会过圆上一点画圆的切线.（2）直线l 和⊙O相切（3）直线l 和⊙O相交d>rd=rd1．⊙O的半径为3 ,圆心O到直线l的距离为d,若直线l与
⊙O没有公共点，则d为（ ）
A．d ＞3 B．d<3 C．d ≤3 D．d =3
2．圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线和⊙O的
位置关系是（ ）
A．相离 B.相交 C.相切 D.相切或相交
3.判断:
若直线和圆相切,则该直线和圆一定有一个公共点.( )AC√4.等边三角形ABC的边长为2,则以A为圆心,半径为1.73的圆与直线BC的位置关系是 ,以A为
圆心,以 为半径的圆与直线BC相切.相离在⊙O中,经过半径OA的外端点A
作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的
距离是多少?______,直线l和
⊙O有什么位置关系?______..OAOA相切l过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.几何应用: ∵OA⊥l,∴l是⊙O的切线.已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线?例 直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,求证:直线AB是⊙O的切线.证明: 如图，连接OC∵OA=OB, CA=CB，∴△OAB是等腰三角形,
OC是底边AB上的中线， ∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线.【例题】1. AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=30°. 求证:DC是⊙O的切线.证明: 如图，连接OC，BC.由AB为直径可得∠ACB=90°.
∠CAB=30°，可得BC= AB=OB，∠ABC= 60°， ∴△OBC为等边三角形.又BD=OB ∴ BC=BD，∠BCD=30°
∴ ∠OCB+ ∠BCD=90°，∴OC ⊥CD,
∴ DC是⊙O的切线.【跟踪训练】方法引导：当已知直线与圆有公共点,要证明直线与圆相切时,可先连接圆心与公共点,再证明连线垂直于直线 ,这是证明切线的一种方法.2.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并说明理由.【解析】△AED为直角三角形，理由如下：连接OE.∵ DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE，∠OED=90°，
即∠OEA+∠AED=90°.
又AE平分∠BAC，∴∠OAE=∠EAD.
∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA.
∴∠AED+∠EAD=90°，
∴∠ADE=90°，
∴△AED为直角三角形.FE3.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于点D,以点D为圆心,DB长为半径作⊙D.试说明AC是⊙D的切线.【解析】 如图，作DE⊥AC，垂足为E.在Rt△ABD和Rt△AED中，
∠B=∠AED=90°,
∠BAD=∠DAE,
AD=AD,
∴△ABD≌△AED.
∴DE=BD,
∴AC是⊙D的切线.1.定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.
2.数量法(d=r):到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
3.判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.即：若直线与圆的一个公共点已指明，则连接这点和圆心，说明直线垂直于经过这点的半径；若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径．证明直线与圆相切有如下三种途径：【归纳】1.(重庆·中考）已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是__________.
【解析】∵d=4＞r=3,∴直线l与⊙O的位置关系是相离.
答案：相离2.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC 于点E．求证：DE是⊙O 的切线．证明: 连接OD，则OD=OB,∠B=∠ODB.
∵AB=AC ,∴∠B=∠C ,∴∠ODB=∠C.
∴ OD∥AC.
∴∠ODE=∠DEC.∵DE⊥AC ,
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°,即DE⊥OD.
∴ DE是⊙O 的切线.证明:过点O作OE⊥AC于点E,连接OD、OA.
∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形.
又∵OB=OC,
∴AO是∠BAC的平分线,
∵AD切⊙O于D, ∴OD⊥AD,
又∵ OE⊥AC ∴OE=OD,
∴ AC与⊙O相切.3.如图所示，AB=AC，OB=OC，AD切⊙O于D.
求证：AC与⊙O相切.ADBOCE·１.切线和圆只有一个公共点.２.切线和圆心的距离等于半径.３.切线垂直于过切点的半径.４.经过圆心垂直于切线的直线必过切点.５.经过切点垂直于切线的直线必过圆心.切线的性质３,４,５可归纳为：已知直线满足a、过圆心，
b、过切点，c、垂直于切线中的任意两个，便得到第三个
结论.通过本课时的学习，需要我们掌握： 一个人的贡献和他的自负严格地成反比，这似乎是品行上的一个公理。
——拉格朗日 课件24张PPT。3.4 直线与圆的位置关系
第3课时1.理解切线长的概念，掌握切线长定理．
2.学会运用切线长定理解有关问题．
3．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，理解数形结合的思想．1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 2.这样的切线能画出几条？如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线.3.如果∠P=50°,求∠AOB的度数.130°50° OABP如何用圆规和直尺
作出这两条
切线呢？.思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°,
连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上?O ·PABO经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.·OPAB切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？切线长概念切线和切线长是两个不同的概念：
1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.比一比：
切线与切线长 OABP12思考：已知⊙O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?折一折请证明你所发现的结论.PA=PB∠OPA=∠OPB证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°，
∵ OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB.证一证切线长定理∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴PA=PB,OP平分∠APB.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 几何语言:反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法PA =PB∠OPA=∠OPBAPOB若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分AB证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.
∴OP垂直平分AB.试一试APO.B若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.CA=CB证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
∵PC=PC.
∴△PCA≌△PCB ，∴AC=BC.C.PBAO（3）连接圆心和圆外一点（2）连接两切点（1）分别连接圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形.想一想探究：PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C.
BAPOCE（1）写出图中所有的垂直关系OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP（2）写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPCD△AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP（4）写出图中所有的等腰三角形△ABP △AOB（3）写出图中所有的全等三角形
BAPOCED例1 如图.BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.【解析】设AF=x cm,则AE=x cm∴CD=CE=AC-AE=(13-x)cm
BD=BF=AB-AF=(9-x)cm由BD+CD=BC可得
(13-x)+(9-x)=14解得x=4∴ AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm.【例题】（口答）如图所示PA，PB分别切圆O于A，B，并与圆O的切线分别相交于C，D，已知PA=7cm，
(1)求△PCD的周长．
(2)如果∠P=46°,求∠COD的度数. D · OPBCAE答案：（1）14cm （2）67°【跟踪训练】例2 如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P，
求证： AD+BC=AB+CD证明：由切线长定理得
AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即AB+CD=AD+BC，
补充：圆的外切四边形的两组对边
的和相等．DLMNABCOP【例题】如图，PA，PB与⊙O相切于A,B，如果PA=4cm,
PD=2cm,求半径OA的长.42【解析】设OA=xcm；在Rt△OAP中，OA=xcm，OP=OD+PD=（x+2）cm，PA=4cm,由勾股定理，得
PA2+OA2=OP2，即42+x2=(x+2)2，整理，得x=3，所以半径OA的长为3cm.【跟踪训练】1．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙ O的切线，
切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等
于（ ） A.60° B.90°
C.120° D.150°C2.已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB于E,F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长.【解析】易证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB.∴ PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PB=PA=12cm∴周长为24cm切线的6个性质：
（1）切线和圆只有一个公共点.
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径.
（3）切线垂直于过切点的半径.
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点.
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
（6）切线长定理. 通过本课时的学习，需要我们掌握： 我之所以比笛卡儿看得远些，?是因为我站在巨人的肩上。
——牛顿 课件21张PPT。3.5 三角形的内切圆1.使学生了解画三角形的内切圆的方法，了解三角形的内切圆、圆的外切三角形、三角形内心的概念.
2.应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力.
3.激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动的热情．（2）直线l和⊙O相切（3）直线l和⊙O相交d>rd=rd（2）过点I作ID⊥BC，垂足为D.
（3）以I为圆心，ID为半径作⊙I，则⊙I就是所求作的内切圆.∵直线BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等(为什么?)因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.这样的圆可以作出几个呢?为什么?分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明它们内心的位置情况.【探究二】判断题：
1.三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ）
2.三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ）
3.等边三角形的内心和外心重合（ ）
4.菱形一定有内切圆（ ）
5.矩形一定有内切圆（ ）
6.三角形的内心一定在三角形的内部（ ）错错对对错对【跟踪训练】例 如图，在△ABC中，点O是内心，
（1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，
则∠BOC的度数________.
（2）若∠A=80°，则∠BOC=_______.
（3）若∠BOC=110°，则∠A=______.130°40°120°【例题】1.已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,
∠C是直角, AC=3,BC=4.
求⊙O的半径r ●ABC┏ABC●┏O●┗┓ODEF┗直角三角形的三边长与其内切圆半径间的关系bac【跟踪训练】2.已知:如图,△ABC的面积S=4cm2,
周长等于10cm.
求内切圆⊙O的半径r.斜三角形的三边长及面积与其内切圆半径间的关系3.如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象.已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30m，AC=40m.求镇标雕塑
中心M离道路三边的距离有多远？提示： AC⊥BC，BC=30m，AC=40m，得AB=50m.由答：中心M离道路三边的距离有10m远.ABCDEF1.设△ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆I和BC、AC、AB分别相切于点D、E、F.
求AE、CD、BF的长..I【解析】设 AE=x，BF=y，CD=z答： AE 、CD 、BF的长分别是9、2、6.2.（黄冈·中考）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线. ABCDE·O·P证明：连接DC，DO并延长交⊙O于F，连接AF.
∵AD2＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，
∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.
又∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，
∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，
又∵∠CAF＝∠CDF，
∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CAF＝∠DAF＝90°，
故DE是⊙O的切线.3.（衡阳·中考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D的切线交BC于点E．
（1）求证：【解析】(1)连接BD，
∵AB为直径，∠ABC=90°，
∴BE切⊙O于点B，因为DE切⊙O于点D，
所以DE=BE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠ADB=90°，
∴∠EBD+∠C=90°，∠BDE+∠CDE=90°，
∴∠C=∠EDC，
∴DE=CE，
本节课学习了以下内容：1．作三角形的内切圆．
2．了解三角形的内切圆，三角形的内心概念．奔向理想人生的征途是漫长的，但是只要坚强不屈地向前奋进，理想就一定会实现。课件20张PPT。3.6 弧长及扇形面积的计算1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力．
2.了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力． 在田径二百米跑比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？每位运动员弯路的展直长度相同吗？（1）半径为R的圆,周长是多少？C=2πR （3）1°圆心角所对弧长是多少？ （4）140°圆心角所对的弧长是多少？（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？n°AB若设⊙O半径为R，n°的圆心角
所对的弧长为 360°例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度l(单位：mm，精确到1mm)【例题】l （mm） 答：管道的展直长度为2971 mm． 因此所要求的展直长度 【解析】由弧长公式，可得弧AB的长l （mm） 1. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过40分钟,
分针针端转过的弧长是( )
A. B. C. D.
2.已知弧所对的圆心角为90°，半径是4，则弧长为____.
3.已知一条弧的半径为9，弧长为8 ，那么这条弧所对的圆心角为_______.160°B【跟踪训练】由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（1）半径为R的圆,面积是多少？S=πR2 （3）1°圆心角所对扇形面积是多少？ （2）圆面可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的扇形面积为S，则 O比较扇形面积与弧长公式, 用弧长表示扇形面积:1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S扇形=____.2.已知扇形面积为 ，圆心角为60°，则这个扇形的
半径R=____． 3.已知半径为2cm的扇形，其弧长为 cm，则这个扇
形的面积S扇形=____cm2．【跟踪训练】例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）.CD有水部分的面积=S扇-S△OAB提示:请同学们自己完成.【例题】1.如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）.ABDCE有水部分的面积=S扇+S△OAB提示:【跟踪训练】2.已知扇形的圆心角为30°，面积为 ，则这
个扇形的半径R=____． 6cm1.（南通·中考）如图，已知□ABCD的对角线BD=4cm，将□ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（ ） A．4π cm B．3π cm C．2π cm D．π cm
【解析】选C. 点D所转过的路径长是以O为圆心OD为半径，圆心角180°的弧长.2.一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚
(如图),那么B点从开始至B2结束所走过的路径长度_______.BB1B23.（衡阳·中考）如图，在 中，
分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留 ）【解析】答案:4.（珠海·中考）如图，⊙O的半径等于1，弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB的面积（结果保留π）.
【解析】 ∵弦AB和半径OC互相平分，∴OC⊥AB，OM=MC，OC=OA，在Rt△OAM中，∵OA=2OM, ∴∠A=30°.又∵OA=OB ∴∠B=∠A=30°∴∠AOB=120°∴S扇形＝ 1.弧长的计算公式l＝ 并运用公式进行计算.
2.扇形的面积公式S＝ ，并运用公式进行计算.
3.弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方
求另一方．通过本课时的学习，需要我们掌握： 数学是人类知识活动留下来最具威力的知识工具，是一些现象的根源、数学是不变的，是客观存在的，上帝必以数学法则建造宇宙。
——笛卡儿 课件24张PPT。3.7 正多边形与圆 1.了解正多边形与圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．你还能举出更多正多边形的例子吗？正多边形：
___________，_____________的多边形叫做正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.三条边相等，三个角也相等（60度）.四条边都相等，四个角也相等（90度）.各边相等各角也相等菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？求证：正五边形的对角线相等【想一想】怎样找圆的内接正三角形？
怎样找圆的外切正三角形？ 怎样找圆的内接正方形？
怎样找圆的外切正方形？怎样找圆的内接正n边形？
怎样找圆的外切正n边形？EFGHABCD0例1 把圆分成5等份，求证：
⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形；
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.【例题】证明:(1)∵AB=BC=CD=DE=EA，
∴AB=BC=CD=DE=EA，
∵BCE=CDA=3AB，
∴∠1=∠2，
同理∠2=∠3=∠4=∠5，
又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒（2）连接OA，OB，OC，则
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB.
∵TP，PQ，QR分别是以A，B，C为切点的⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.又∵AB=BC，
∴AB=BC，
∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形.
∴∠P=∠Q,PQ=2PA.
同理∠Q=∠R=∠S=∠T，
QR=RS=ST=TP=2PA，⌒⌒∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切，
∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形. 把圆分成n（n≥3）等份：
依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？【定理】正三角形
有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？
这两个圆有什么位置关系？正方形
有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？
这两个圆有什么位置关系？那么，正n边形呢？任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且
这两个圆是同心圆.【类比联想】【定理】以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何位置关系?正多边形的中心:
一个正多边形的外接圆的圆心.正多边形的半径:
外接圆的半径正多边形的中心角:
正多边形的每一边所对的圆心角.正多边形的边心距：
中心到正多边形的一边的距离.以中心为圆心,边心距为半径的圆为正多边形的内切圆.中心角半径R边心距rOOABGRa.中心角边心距把△AOB分成
2个全等的直角三角形设正多边形的边长为a,边数为n，
圆的半径为R,它的周长为L=na.正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴.
若n为偶数，则其为中心对称图形.1.各边相等，各角相等.
2.圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等份.
3.圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成
n等份.
4.每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个
圆是同心圆，圆心就是正多边形的中心.正多边形的性质【归纳】5.正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么它还是中心对称图形.
6.正n边形的中心角和它的每个外角都等于360°/n，每个内角都等于(n-2)·180°/n .
7.边数相同的正多边形相似，周长比、边长比、半径比、边心距比、对应对角线比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.在Rt△OPC中,OC=4,PC=2.利用勾股定理,可得边心距【解析】如图，正六边形ABCDEF的中心角为60°，
△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.因此,亭子地基的周长l =4×6=24(m).亭子地基的面积【例题】例2 有一个亭子,它的地基是半径为
4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).【跟踪训练】分别求出半径为R的圆内接正三角形、
正方形的边长、边心距和面积.【解析】作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D连接OB，则OB=R在Rt△OBD中,∠OBD=30°,在Rt△ABD中,∠BAD=30°,·ABCDO∴AB=∴S△ABC=边心距＝OD=连接OB，OC，作OE⊥BC，垂足为E，∠OEB=90°， ∠OBE=∠BOE=45°，Rt△OBE为等腰直角三角形，·ABCDOE1.下列图形中：①正五边形；②等腰三角形；③正八
边形；④正2n（n为正整数）边形；⑤任意的平行四边
形.是轴对称图形的有__________,是中心对称图形的
有_________,既是中心对称图形，又是轴对称图形的
有_________.①②③④③④⑤③④2.两个正七边形的边心距之比为3:4，则它们的边长比
为_____，面积比为_____，外接圆周长比是______，中
心角度数比是______.3:49:163:41:13.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．
4.正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的
________．
5.若正六边形的边长为1,那么正六边形的中心角是____度，
半径是___，边心距是 ，它的每一个内角是
____．
6.正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．中心边心距601120°中心7.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转 度,
才能与原来的图形位置重合.721．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．
2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长，正多边形的边心距之间的等量关系．通过本课时的学习，需要我们掌握： 我的成功只依赖两条：?一条是毫不动摇地坚持到底;一条是用手把脑子里想出的图形一丝不差地制造出来。
—蒙日
