一轮复习数学模拟试题01
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．已知集合，，则= （ ）
A． B．
C． D．
2．已知为等差数列,若,则的值为 ( )
A． B． C．- D．
3．若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 ( )
A． B． C． D．
4．函数（其中）的图象
如图所示，为了得到的图像，则只要将
的图像 ( )
A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位
5．设p∶，q∶，则p是q的 ( )
A充要条件. B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条
6． 观察下列各式，…则的末两位数字为 （ ）
A．01 B．43 C．07 D．49
7．平面向量=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
8．在等差数列中，已知,那么的值为（ ）
A．-30 B．15 C．-60 D．-15
9．设、 为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，有如
下的两个命题：①若∥，则l∥m；②若l⊥m，则⊥．那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题 D．①②都是假命题
10，已知一个几何体的三视图如图（由左至右依次为 主，左，俯）所示，则该几
何体的体积为( )
A．6 B．5.5
C．5 D．4.5
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．
11．已知，且是第二象限的角，
则 ___________.
12．执行右边的程序框图，若=12, 则输
出的= ；
13．函数若
则的值为： ；
14．在椭圆的焦点为，点p在椭圆上，若，则____ =_______
15.设函数 若，则的取值范围是 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分）
16，（本题满分12分）已知函数在时取得最大值4．
(1)?求的最小正周期；
(2)?求的解析式；
(3)?若(α?+)=,求sinα．
17．（本小题12分）已知函数.
（1）若从集合中任取一个元素，从集合中任取一个元素，
求方程y=0有两个不相等实根的概率；
（2）若从区间中任取一个数，从区间中任取一个数，求方程y=0 没有实根的概率.
18．（本小题12分）在平面直角坐标系xoy中，已知四点 A(2，0)， B(－2，0)，C(0，－2)，D(－2，－2)，把坐标系平面沿y轴折为直二面角.
（1）求证：BC⊥AD；
（2）求三棱锥C—AOD的体积.
19．（本小题12分）
已知数列的前n项和为, 且满足,
(1) 求的值;
(2) 求证:数列是等比数列；
(3) 若, 求数列的前n项和.
20、（本小题满分13分）
已知抛物线 y 2 = – x与直线 y = k ( x + 1 )相交于A、B两点, 点O是坐标原点.
(1) 求证: OA?OB;
(2) 当△OAB的面积等于时, 求k的值.
21、（本题满分14分）已知函数
(1) 若曲线在处的切线平行于直线，求函数的单调区间；
(2) 若，且对时，恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
A
C
B
B
A
D
C
二、填空题:
11．； 12．4.； 13．1或 14. 2, 15．．
．
三、解答题：
，，，，．
17．解：（1）a取集合｛0，1，2，3｝中任一元素，b取集合｛0，1，2｝中任一元素
∴a、b的取值情况有（0，0），（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0），
（2，1），（2，2），（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，基本事件总数为12.
设“方程有两个不相等的实根”为事件A，
当时方程有两个不相等实根的充要条件为
当时，的取值有（1，0）（2，0）（2，1）（3，0）（3，1）（3，2）
即A包含的基本事件数为6.
∴方程有两个不相等的实根的概率
……………………………………………………（6分）
（2）∵a从区间［0，2］中任取一个数，b从区间［0，3］中任取一个数
则试验的全部结果构成区域
这是一个矩形区域，其面积
设“方程没有实根”为事件B
则事件B构成的区域为
即图中阴影部分的梯形，其面积
由几何概型的概率计算公式可得方程没有实根的概率
………………………………………………（12分）
18．解法一：（1）∵BOCD为正方形，
∴BC⊥OD， ∠AOB为二面角B-CO-A的平面角
∴AO⊥BO ∵AO⊥CO 且BO∩CO=O
∴AO⊥平面BCO 又∵
∴AO⊥BC 且DO∩AO=O ∴BC⊥平面ADO
∴BC⊥AD …………(6分)
（2）…………………………（12分）
19．解：（1）因为，令， 解得 ……1分
再分别令，解得 …………………3分
（2）因为，
所以，
两个代数式相减得到 ……………………5分
所以 ，
又因为，所以构成首项为2， 公比为2的等比数列…7分
（3）因为构成首项为2， 公比为2的等比数列
所以，所以 ……………………8分
因为，所以
所以
令
因此 ……………………………11分
所以 ………………………12分
20. (本小题满分13分)
解: (1) 当k = 0时直线与抛物线仅一个交点, 不合题意, ………… 2分
∴k ? 0由y = k (x+1)得x = –1 代入y 2 = – x 整理得: y 2 +y – 1 = 0 ， 2分
设A (x 1 , y 1), B (x 2 , y 2) 则y 1 + y 2 = –, y 1y 2 = –1. ………… 2分
∵A、B在y 2 = – x上, ∴A (–, y 1 ), B (–, y 2 ) ，
∴ kOA·kOB === – 1 .
∴ OA?OB. ……………………… 3 分
(2) 设直线与x轴交于E, 则 E ( – 1 , 0 ) ∴|OE| = 1 ，
S△OAB =|OE|(| y 1| + | y 2| ) =| y 1 – y 2| ==, 解得k = ? 4分
21．（本小题满分14分）
解: (1) 定义域为
直线的斜率为,
………………………3分
所以
由; 由
所以函数的单调增区间为,
减区间为 …………………………………………6分
(2) ，且对时，恒成立
. 即
设 ……………………………10分
当时, ,
当时, , …………………………12分
所以当时,函数在上取到最大值,且
所以 所以
所以实数的取值范围为 …………………………………14分
一轮复习数学模拟试题02
满分150分，时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 满分50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数的实部和虚部相等，则实数等于
A． B． C． D．
2 设全集U＝R，集合A＝{y|y=x2+2x,x∈R}则＝
A {－1，+} B (－1，+) C {－，-1] D(，-1)
3 下列双曲线中，渐近线方程是y=2x的是
A B C D
4设O为坐标原点，M（1，2），若N（x,y）满足，则的最大值为
A 4 B 6 C 8 D10
5. 是的
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.如图，右边几何体的正视图和侧视图可能正确的是
7.定义某种运算,运算原理如图所示，则式子的值为
A．13 B．11 C．8 D．4
8.在空间四边形中，分别为的中点，若则与所成的角为
A． B． C． D．
9.对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），记出现向上的点数分别为，如果是偶数，则把乘以2后再减去2；如果是奇数，则把除以2后再加上2，这样就可得到一个新的实数，对仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数.当时，甲获胜，否则乙获胜.若甲获胜的概率为，则的值不可能是
A．0 B．2 C．3 D．4
10.已知函数中，常数那么的解集为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 满分100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置上.
11.已知向量是单位向量，若向量满足，则的取值范围是 .
12.两圆相交于两点和，两圆圆心都在直线上，且均为实数，则 .
13.已知，且，则的最小值是 .
14.已知数列满足.定义：使乘积…为正整数的叫做“简易数”.则在内所有“简易数”的和为 .
15.以下五个命题： ①标准差越小，则反映样本数据的离散程度越大； ②两个随机变量相关性越强，则相关系数越接近1； ③在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，则预报变量减少0.4个单位； ④对分类变量X与Y来说，它们的随机变量的观测值越小，“X与Y有关系”的把握程度越大； ⑤在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好.
其中正确的命题是： （填上你认为正确的命题序号）.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知为的三内角，且其对边分别为．若向量，，向量，，且.
(1)求的值； (2)若，三角形面积，求的值．
17．（本小题满分12分）
在“2012魅力宿州”青少年才艺表演评比活动中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下图，据此回答以下问题：
(1)求参赛总人数和频率分布直方图中，之间的矩形的高，并完成直方图；
(2)若要从分数在，之间任取两份进行分析，在抽取的结果中，求至少有一份分数在，之间的概率．
18.（本小题满分12分）
设函数.
(1)对于任意实数，在恒成立（其中表示的导函数），求的最大值；
(2)若方程在上有且仅有一个实根，求的取值范围.
19.（本小题满分13分）
如图，四边形为矩形，平面，为上的点，且平面.
(1)求证：； (2)求三棱锥的体积；
(3)设在线段上，且满足，试在线段上确定一点，使得平面.
20．（本小题满分12分）
椭圆的左、右焦点分别为、，点，满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与圆相交于两点，且，求椭圆的方程．
21．（本小题满分14分）
已知函数，，满足，.
(1)求，的值；
(2)若各项为正的数列的前项和为，且有，设，求数列的前项和；
(3)在(2)的条件下，证明：.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
B
B
A
A
D
C
B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 12.3 13. 14.2036 15.③⑤
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
解：（1）∵向量，向量，且.
∴， …………………………………………………………………3分
得，又，所以. …………………………………………5分
（2），∴. ………………………………7分
又由余弦定理得：.……………………………9分
∴，所以. …………………………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：(1)由茎叶图知，分数在之间的频数为2.
由频率分布直方图知，分数在之间的频率为.
所以，参赛总人数为(人)．………………………2分
分数在之间的人数为（人）,
分数在之间的频率为，
得频率分布直方图中间矩形的高为.………4分
完成直方图，如图.……………………………………………………………………………6分
(2)将之间的4个分数编号为之间的个分数编号为.则在之间任取两份的基本事件为：
共15个，其中至少有一个在之间的基本事件为:共9个. ………………………10分
故至少有一份分数在之间的概率是.……………………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：(1), .
法一：在恒成立在恒成立.…………………3分
由在的最小值为，
所以,得，即的最大值为. …………………………………………………6分
法二：令，.
要使在恒成立，则只需在恒成立.
由于的对称轴为,当时，，
解得，所以的最大值为.……………………………………………………6分
(2)因为当时, ；当时, ；当时, ；
即在和单增，在单减.
所以，.………………………………9分
故当或时,方程仅有一个实根.
得或时，方程仅有一个实根.
所以.………………………………………………………………12分
19．（本小题满分13分）
证明：（1）∵平面，且
∴平面，则.………………………………………2分
又∵平面，则，且与交于点，
∴平面，又平面 ∴.………………4分
（2）由第（1）问得为等腰直角三角形，易求得边上的高为，
∴.…………………………………………………7分
（3）在三角形中过点作交于点，在三角形中过点作交于点，连.
由比例关系易得.………………………………………………………………9分
∵平面,平面，
∴平面. 同理，平面，且与交于点，
∴平面.………………………………………………………………11分
又， ∴.
∴点为线段上靠近点的一个三等分点.…………………………………………13分
20．（本小题满分12分）
解：(1)设，因为，
所以. …………………………………………………………………2分
整理得，得(舍)，或.
所以.……………………………………………………………………………………4分
(2)由(1)知，椭圆方程，的方程为．
两点的坐标满足方程组，消去并整理，得.
解得.得方程组的解，.………………………7分
不妨设，则.
于是.
圆心到直线的距离.………………10分
因为，所以，整理得.
得 (舍)，或.
所以椭圆方程为. ……………………………………………………………12分
21．（本小题满分14分）
解：(1)由 ，
由代入可得，且.……………………………………………………2分
当时，（成立），当时，（舍去）.
所以，.…………………………………………………………………………4分
(2)，即.
时， .
所以，当时，由可得，
整理得，.
又得，且，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，即，.
. ………………………………………………………………………………7分
，
，
由上两式相减得 .
. ……………………………………………………………………10分
(3)由(2)知，只需证.设(且).
则，
可知在上是递减，.
由，则，
故. …………………………………………………………………………14分
一轮复习数学模拟试题03
第I卷 选择题（共40分）
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上。
1.已知集合 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2.如果，那么“∥”是“”的 （ ）
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
3.如图，是圆的切线，切点为，交圆于两点，，则=( )
（A）
（B）
（C）
（D）
4.在平面直角坐标系中，点的直角坐标为.若以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标可以是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为 （ ）
（A）5
（B）6
（C）7 是
（D）8 否
6.已知函数，则对任意，若，下列不等式成立的是( )
（A）
（B）
（C）
（D）
7.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是( )
（A）
（B）
（C）
（D）
8.如图，边长为1的正方形的顶点,分别在轴、轴正半轴上移动，则的最大
值是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）4
第II卷 非选择题(共110分）
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在答题卡上的指定位置。
9.是虚数单位，则__.
10. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .
11．已知函数（>0, ）的图象如图所示，则__，=__.
12.如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有 种.
13.设是定义在上不为零的函数，对任意，都有，若，则数列的前项和的取值范围是 .
14. 是抛物线的焦点，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，设，则：①若且，则的值为；②（用和表示）.
三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15．（本小题共13分）
已知的三个内角，，所对的边分别是,，，,
.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面积.
16.（本小题共13分）
今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：
高一年级
高二年级
高三年级
10人
6人
4人
（I）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；
（II）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
17.（本小题共14分）
在直三棱柱中，=2 ,.点分别是 ,的中点，是棱上的动点.
（I）求证：平面；
(II)若//平面，试确定点的位置，并给出证明；
(III)求二面角的余弦值.
18．（本小题共13分）
已知函数．
（I）当时，求函数的单调递减区间；
（II）求函数的极值；
（III）若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
19.（本小题共14分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点为，离心率为．
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线与椭圆相交于不同的两点．当时，求的取值范围．
20．（本小题共13分）
在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列．
（I）求点的坐标；
（II）设抛物线列,中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：；
（III）设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，，求的通项公式．
参考答案
一、选择题（每题5分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
B
A
C
D
B
A
二、填空题（每题5分，共30分）
9．; 10. ; 11. ,; 12. 120； 13. ;
14. ① ；②或
三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。共80分）
15．（本小题共13分）
解：（I）解
……………………5分
（II）由（I）知 ， ……………………7分
∴
∴ ……………………10分
∴
……………………13分
16．（本小题共13分）
解：（I）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件，则
答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为. ………………………4分
（II）解法1：的所有取值为0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为.所以 ………………………6分
; ;
;;
. ………………………11分
随机变量的分布列为：
0
1
2
3
4
………………………12分
所以……………………13分
解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为. …………………5分
则随机变量服从参数为4，的二项分布，即～.……………7分
随机变量的分布列为：
0
1
2
3
4
所以 …………………13分
17．（本小题共14分）
(I) 证明：∵在直三棱柱中，，点是的中点，
∴ …………………………1分
,,
∴⊥平面 ………………………2分
平面
∴，即 …………………3分
又
∴平面 …………………………………4分
（II）当是棱的中点时，//平面.……………………………5分
证明如下:
连结,取的中点H，连接,
则为的中位线
∴∥，…………………6分
∵由已知条件，为正方形
∴∥，
∵为的中点，
∴ ……………………7分
∴∥，且
∴四边形为平行四边形
∴∥
又 ∵ ……………………8分
∴//平面 ……………………9分
(III) ∵ 直三棱柱且
依题意，如图：以为原点建立空间直角坐标系，……………………10分
,,,,
则，
设平面的法向量，
则,即，
令，有 ……………………12分
又平面的法向量为，
==， ……………………13分
设二面角的平面角为，且为锐角
． ……………………14分
18．（本小题共13分）
解：（I）依题意，函数的定义域为，
当时，，
……………………2分
由得，即
解得或，
又，
的单调递减区间为． ……………………4分
（II），
（1）时，恒成立
在上单调递增，无极值. ……………………6分
（2）时，由于
所以在上单调递增，在上单调递减，
从而． ……………………9分
（III）由（II）问显然可知，
当时，在区间上为增函数，
在区间不可能恰有两个零点． ……………………10分
当时，由（II）问知，
又，为的一个零点． ……………………11分
若在恰有两个零点，只需
即 ……………………13分
（注明：如有其它解法，酌情给分）
19．（本小题共14分）
解：（I）依题意可设椭圆方程为 ，则离心率为
故，而，解得， ……………………4分
故所求椭圆的方程为. ……………………5分
（II）设，P为弦MN的中点，
由 得 ，
直线与椭圆相交，
，① …………7分
，从而，
（1）当时
(不满足题目条件)
∵，则
，即 ， ② …………………………9分
把②代入①得 ，解得 ， …………………………10分
由②得，解得．故 ………………………11分
（2）当时
∵直线是平行于轴的一条直线，
∴ …………………………13分
综上，求得的取值范围是． …………………………14分
20．（本小题共13分）
解：（I） …………………………2分
…………………………3分
（II）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为： …………………………5分
把代入上式，得，
的方程为：. …………………………7分
当时，
= …………………………9分
（III），
T中最大数. …………………………10分
设公差为，则，由此得
一轮复习数学模拟试题04
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．复数（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
3．执行如图所示的程序框图，则输出（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
4．函数的零点个数为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
6．过点作圆的两条切线，，为切点，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
7．设等比数列的公比为，前项和为．则“”是“”的（ ）
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
8．已知函数的定义域为．若常数，对，有，则称函数具有性质．给定下列三个函数：
①； ②； ③．
其中，具有性质的函数的序号是（ ）
（A）①
（B）③
（C）①②
（D）②③
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知向量，．若向量与共线，则实数______．
10．平行四边形中，为的中点．若在平行四边形内部随机取一点，
则点取自△内部的概率为______．
11．双曲线的渐近线方程为______；离心率为______．
12．若函数是奇函数，则______．
13．已知函数，其中．当时，的值域是______；若的值域是，则的取值范围是______．
14．设函数，集合，且．在直角坐标系中，集合所表示的区域的面积为______．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在△中，内角的对边分别为，且．
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，，求△的面积．
16．（本小题满分13分）
为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于至之间．将数据分成以下组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．
（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；
（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．
17．（本小题满分14分）
如图，直三棱柱中，，，，分别
为，的中点．
（Ⅰ）求线段的长；
（Ⅱ）求证：// 平面；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面？说明理由．
18．（本小题满分13分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）若是的一个极值点，求的值；
（Ⅱ）求的单调区间．
19．（本小题满分14分）
如图，，是椭圆的两个顶点．，直线的斜率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线平行于，与轴分别交于点，与椭圆相交于．证明：△的面积等于△的面积．
20．（本小题满分13分）
如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且．记为所有这样的数表构成的集合．
对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积．令．
（Ⅰ）对如下数表，求的值；
（Ⅱ）证明：存在，使得，其中；
（Ⅲ）给定为奇数，对于所有的，证明：．
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．B； 2．A； 3．C； 4．B； 5．C； 6．D； 7．A； 8．B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．； 10．； 11．，；
12．； 13．，； 14．．
注：11、13题第一空2分，第二空3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由已知得 ， ………………2分
即 ．
解得 ，或． ………………4分
因为 ，故舍去． ………………5分
所以 ． ………………6分
（Ⅱ）解：由余弦定理得 ． ………………8分
将，代入上式，整理得．
因为 ，
所以 ． ………………11分
所以 △的面积． ………………13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由频率分布直方图知，第，，组的学生人数之比为． …………2分
所以，每组抽取的人数分别为：
第组：；第组：；第组：．
所以从，，组应依次抽取名学生，名学生，名学生． ………………5分
（Ⅱ）解：记第组的位同学为，，；第组的位同学为，；第组的位同学为． ………………6分
则从位同学中随机抽取2位同学所有可能的情形为：
，共种可能． ………………10分
其中，
这11种情形符合2名学生不在同一组的要求． ………………12分
故所求概率为． ………………13分
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连接．
因为 是直三棱柱，
所以 平面， ………………1分
所以 ． ………………2分
因为 ， 所以 平面． ………………3分
因为 ，，
所以 ． ………………4分
（Ⅱ）证明：取中点，连接，． ………………5分
在△中，因为 为中点，所以，．
在矩形中，因为 为中点，所以，．
所以 ，．
所以 四边形为平行四边形，所以 ． ………………7分
因为 平面，平面， ………………8分
所以 // 平面． ………………9分
（Ⅲ）解：线段上存在点，且为中点时，有平面． ………11分
证明如下：连接．
在正方形中易证 ．
又平面，所以 ，从而平面．…………12分
所以 ． ………………13分
同理可得 ，所以平面．
故线段上存在点，使得平面． ………………14分
18．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：． ………………2分
依题意，令，得 ． ………………4分
经检验，时符合题意． ………………5分（Ⅱ）解：① 当时，．
故的单调减区间为，；无单调增区间． ………………6分
② 当时，．
令，得，． ………………8分
和的情况如下：
↘
↗
↘
故的单调减区间为，；单调增区间为．
………………11分
③ 当时，的定义域为．
因为在上恒成立，
故的单调减区间为，，；无单调增区间．
………………13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：依题意，得 ………………2分
解得 ，． ………………3分
所以 椭圆的方程为． ………………4分
（Ⅱ）证明：由于//，设直线的方程为，将其代入，消去，
整理得． ………………6分
设，．
所以 ………………8分
证法一：记△的面积是，△的面积是．
由，，
则． ………………10分
因为 ，
所以 ， ………………13分
从而． ………………14分
证法二：记△的面积是，△的面积是．
则线段的中点重合． ………………10分
因为 ，
所以 ，．
故线段的中点为．
因为 ，，
所以 线段的中点坐标亦为． ………………13分
从而． ………………14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：，；，，
所以． ………………3分
（Ⅱ）证明：（ⅰ）对数表：，显然．
将数表中的由变为，得到数表，显然．
将数表中的由变为，得到数表，显然．
依此类推，将数表中的由变为，得到数表．
即数表满足：，其余．
所以 ，．
所以 ，其中．……………7分
【注：数表不唯一】
（Ⅲ）证明：用反证法．
假设存在，其中为奇数，使得．
因为， ，
所以，，，，，，，这个数中有个，个．
令．
一方面，由于这个数中有个，个，从而． ①
另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为）；也表示， 从而． ②
①、②相互矛盾，从而不存在，使得．
即为奇数时，必有． ………………13分
一轮复习数学模拟试题05
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则=
A. B. C. D.
2．命题“”的否定是
A． B．
C． D．
3. 已知等差数列，等比数列，则该等差数列的公差为
A．3或 B．3或 C． D．
4.已知函数，则
A. B. C. D.
5. 已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为
A. B. C. D.
6.已知直线，，则“”是“”
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是
A． B. C． D.
8.已知函数的两个
零点为，则实数的大小关系是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 已知，，向量与的夹角为，则 .
10. 若复数（为虚数单位）为纯虚数，
其中，则 .
11. 执行如图的程序框图，如果输入，则输出的 .
12.在中，依次是角的对边，且.
若，则角 .
13. 设满足约束条件 ，若，则的取值范围是
.
14. 已知定义在正整数集上的函数满足以下条件：
（1），其中为正整数；（2）.
则 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （本小题满分13分）
已知.
（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若，求的最小值及取得最小值时对应的的取值．
16.（本小题满分14分）
如图，四棱锥的底面为菱形，，底面，，为的中点.
(Ⅰ)求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积；
（Ⅲ）在侧棱上是否存在一点，满足平面，
若存在，求的长；若不存在，说明理由.
17. （本小题满分13分）
某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了人，回答问题统计结果如图表所示．
（Ⅰ）分别求出的值；
（Ⅱ）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组应各抽取多少人?
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．
18. （本小题满分13分）
已知函数.
(Ⅰ)当时，求曲线在点的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数的单调性.
19. （本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为.过的直线交椭圆于两点，且的周长为.过定点的直线与椭圆交于两点（点在点之间）.
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得以、为邻边的平行四边形为菱形.如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.
20. （本小题满分13分）
是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：
(1)对任意，都有 ；
(2)存在常数，使得对任意的，都有
.
(Ⅰ)设，证明：；
(Ⅱ)设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的.
答案
一、选择题：D D C B B A D A
二、填空题：
9. 10. 11. 12. 13. 14.
三、解答题：
15. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）
…………4分
，最小正周期为. …………5分
由，得 …………6分
…………7分
…………8分
单调递增区间为. …………9分
（Ⅱ）当时，， …………10分
在区间单调递增， …………11分
，对应的的取值为. …………13分
16.（本小题满分14分）
(Ⅰ)证明：设、相交于点，连结，
底面为菱形，为的中点，
又为的中点，. …………3分
又平面，平面，
平面. …………5分
（Ⅱ）解：因为底面为菱形，，所以是边长为正三角形，
又因为底面，所以为三棱锥的高，
. …………8分
（Ⅲ）解：因为底面，所以，
又底面为菱形，，
，平面，平面，
平面，. …………10分
在内，易求，，
在平面内，作，垂足为，
设，则有，解得. …………12分
连结，，，，平面，
平面，平面.
所以满足条件的点存在，此时的长为. …………14分
17. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）第1组人数， 所以， …………1分
第2组人数，所以， …………2分
第3组人数，所以， …………3分
第4组人数，所以 …………4分
第5组人数，所以. …………5分
（Ⅱ）第2,3,4组回答正确的人的比为，所以第2,3,4组每组应各依次抽取人，人，人. …………8分
（Ⅲ）记抽取的6人中，第2组的记为，第3组的记为，第4组的记为， 则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：
，，，，，
，，，，
，，，
，，
. …………10分
其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：
，，，，，
，，，. …………12分
故所求概率为. …………13分
18. （本小题满分13分）
解：函数的定义域为，. …………2分
(Ⅰ) 当时，，，
所以曲线在点的切线方程为. …………5分
（Ⅱ）， …………6分
（1）当时，，在定义域为上单调递增，……7分
（2）当时，令，得（舍去），，
当变化时，，的变化情况如下：
此时，在区间单调递减，在区间上单调递增； …………10分
（3）当时，令，得，（舍去），
当变化时，，的变化情况如下：
此时，在区间单调递减，在区间上单调递增.………13分
19. （本小题满分14分）
解：(Ⅰ)设椭圆的方程为，离心率，
的周长为， …………1分
解得，则， …………2分
所以椭圆的方程为. …………3分
（Ⅱ）直线的方程为，
由，消去并整理得（*）……5分
，解得， …………6分
设椭圆的弦的中点为，则“在轴上是否存在点，使得以、为邻边的平行四边形为菱形.”等价于“在轴上是否存在点，使得”. …………8分
设，，由韦达定理得，，……9分
所以， …………10分
，，
所以，，解得.………12分
，所以，
函数在定义域单调递增，，
所以满足条件的点存在，的取值范围为. …………14分
20. （本小题满分13分）
解：(Ⅰ)对任意，，
，，所以
对任意的，
，
，
所以0＜，
令＝，，
所以. …………8分
(Ⅱ)反证法:设存在两个使得，则
由，得，所以，矛盾，故结论成立. …………13分
一轮复习数学模拟试题06
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1．是虚数单位，复数在复平面上的对应点所在
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第三象限
2．如图设全集U为整数集，集合则下图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为
A．3
B．4
C．7
D．8
3．设命题p：函数的最小正周期为，命题q：函数的图象关于直线对称，则下列判断正确的是
A．p为真 B．为真 C．为真 D．为真
4．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：
x
2
4
5
6
8
y
20
40
60
70
80
根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为，据此模型来预测当x= 20时，y的估计值为
A． 210 B．210．5 C．211．5 D．212．5
5．“∥”是“存在唯一实数，使得=”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．函数的大致图象是
7．△ABC中，若sinB既是sinA，sinC的等差中项，又是sinA，sinC的等比中项，则∠B的大小是
A． B． C． D．
8．在区间[0，]上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为
A． B． C． D．
9．若运行如右图所示的程序，则输出S的值是
A． B．
C． D．
10．已知函数
半个周期内的图象如图所示，则函数的解析式为
A．
B．
C．
D．
11．若点A（m、n）在第一象限，且在直线上，则的最小值为
A． B． C．4 D．5
12．能够把圆O：x2 +y2= 16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上。）
13．以椭圆的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准议程为 。
14．若函数 ，则函数的零点为 。
15．已知O是坐标原点，点M的坐标为（2，1），若点N（x，y）为平面区域上的一个动点，则·的最大值是 。
16．已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1，sinxl）、B（x2，sinx2）是函数y=sinx（z∈（0，））的图象上的不同两点，则类似地有____成立．
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）
17．（本小题满分12分）
已知数列
（I）证明：数列 是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
18（本小题满分12分）
已知函数·（其中>o），且函数的最小正周期为
（I）求的值；
（Ⅱ）将函数y= f（x）的图象向右平移单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．求函数g（x）的单调区间．
19．（本小题满分12分）
某学校为促进学生的全面发展，积极开展丰富多样的社团活动，根据调查，学校在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团，三个社团参加的人数如下表示所示：
社团
泥塑
剪纸
年画
人数
320
240
200
为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人．
（I）求三个社团分别抽取了多少同学；
（Ⅱ）若从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率．
20．（本小题满分12分）
没椭圆的左、右焦点分别F1、F2，点P是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，△P F1F2的周长为16．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆C所截线段的中点坐标。
21．（本小题满分14分）
如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，
其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相
切的直路（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点
O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
若池边AE满足函数的图象，且点M到边
OA距离为．
（I）当时，求直路所在的直线方程；
（Ⅱ）当t为何值时，地块OABC在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？
22．（本小题满分14分）
已知函数·的图象过点（1，0）
（I）求的解析式；
（Ⅱ）若为实数）恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，讨论在区间（0，2）上极值点的个数。
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C 7.C 8.B 9.C 10.A 11.D 12.D
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）
13． 14． 1或0 15．3 16．
三、解答题（本大题共6小题，共74分.）
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因点在直线的图象上，，
令，故只需证是等比数列， 2分
，， 4分
数列是以为首项，3为公比的等比数列.
即数列是以为首项，3为公比的等比数列. 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列是以为首项，3为公比的等比数列，
∴， 8分
9分
所以数列的前n项和
10分
. 12分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为， 2分
因为，函数周期为 3分
所以，所以 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的倍，纵坐标不变，得到函数. 8分
由，；得
由 ；得
故函数的增区间为[] ;
减区间为[]，. 12分
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设抽样比为，则由分层抽样可知，“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为． 1分
则由题意得，解得． 2分
故“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为，，． 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从“剪纸”社团抽取的同学为6人，其中2位女生记为A，B，4位男生记为C，D，E，F． 6分
则从这6位同学中任选2人，不同的结果有
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，
{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，
{C，D}，{C，E}，{C，F}，
{D，E}，{D，F}，
{E，F}，
共15种． 8分
其中含有1名女生的选法为
{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，
{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，
共8种； 10分
含有2名女生的选法只有{A，B}1种．
故至少有1名女同学被选中的概率为=． 12分
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则由题设得，解得，所以，故所求的方程为. 6分
（Ⅱ）解法一、过点且斜率为的直线方程为，……………………… 8分
将之代入的方程，得
，即. 9分
因为在椭圆内，所以直线与椭圆有两个交点， 10分
因为，所以线段中点的横坐标为，
纵坐标为. 11分
故所求线段的中点坐标为. 12分
解法二、过点且斜率为的直线的方程为， 8分
因为在椭圆内，所以直线与椭圆有两个交点，
设两交点的坐标分别为，中点M的坐标为
则有. 9分
由（1）-（2）得，
即
得，又， 11分
所以
故所求线段的中点坐标为. 12分
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵，∴，
∴过点M 的切线的斜率为, 2分
所以过点M的切线方程为，即；
当时，切线的方程为……………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，切线的方程为：，
令，得．故切线与线段AB交点为F，…………5分
令，得．故切线与线段BC交点为G……………………6分
地块OABC在切线右上部分的区域为一三角形，设其面积为，
∴， 8分
10分
∵
∴当时为单调递增函数；当时为单调递减函数，
∴当时，的最大值为． 11分
∴当点M到边OA距离为m时，
地块OABC在直路不含游泳池那侧的面积取到最大，最大值为m2． 12分
22.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）函数的图象过定点（1，0），……………………………………1分
把点（1，0）代入得，
所以，…………………………………………………………………………………2分
（Ⅱ）恒成立，
即恒成立，得，因为，
所以， 3分
令， 4分
当时，，所以在为减函数； 5分
当时，，所以在为增函数； 6分
的最小值为，故 ； 7分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，所以
所以
又，由得，，． 9分
（1）当时，得，，在（0，2）为增函数，无极值点； 10分
（2）当且时，得且，根据的变化情况检验，可知有2个极值点； 12分
（3）当或时，得或时，根据的变化情况检验，可知有1个极值点； 13分
综上，当时，函数在（0，2）无极值点；当或时，有1个极值点；当且时，有2个极值点． 14分
一轮复习数学模拟试题07
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置。
1.已知平面向量，，且，则实数的值为
A． B． C． D．
2.设集合，，若，则实数的值为
A． B． C． D．
3．已知直线平面,直线,则“”是“”的
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 定义：.若复数满足，则等于
A． B． C． D．
5.函数在处的切线方程是
A． B． C． D．
6. 某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，
则可以输出的函数是
A． B． C． D．
7. 若函数的图象（部分）如图所示，
则和的取值是
A． B．
C． D．
8. 若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则可以是
A． B． C． D．
9．已知，若方程存在三个不等的实根，则的取值范围是
A． B． C． D．
10．已知集合, 。若存在实数使得成立,称点为“￡”点，则“￡”点在平面区域内的个数是
A． 0 B．1 C．2 D． 无数个
第二卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在答题卡上.
11. 已知随机变量，若，则等于 ．
12．某几何体的三视图如下右图所示，则这个几何体的体积是 ．
13. 已知抛物线的准线与双曲线相切，
则双曲线的离心率 ．
14.在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域的面积是9，则实数的值为 ．
15. 已知不等式，若对任意且，该不等式恒成立，则实
数的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．（本小题满分13分）
在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且， ．
（Ⅰ）求与；
（Ⅱ）证明：．
17. （本小题满分13分）
已知向量
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）求由的图象、轴的正半轴及轴的正半轴三者围成图形的面积。
18. （本小题满分13分）图一，平面四边形关于直线对称，，，．把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于．
对于图二，完成以下各小题：
（Ⅰ）求两点间的距离；
（Ⅱ）证明：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
19. （本小题满分13分） 二十世纪50年代，日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等症状，人们把它称为水俣病．经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞，使鱼类受到污染．人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒． 引起世人对食品安全的关注．《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.00ppm．
罗非鱼是体型较大，生命周期长的食肉鱼，其体内汞含量比其他鱼偏高．现从一批罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前一位数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：
（Ⅰ）若某检查人员从这15条鱼中，随机地抽出3条，求恰有1条鱼汞含量超标的概率；
（Ⅱ）以此15条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据．若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的鱼汞含量超标的条数，求ξ的分布列及Eξ
20. （本小题满分14分）
已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点的直线与椭圆交于，两点.
① 若直线垂直于轴，求的大小;
② 若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.
21. (本小题共14分)
已知是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意，
① 方程有实数根；② 函数的导数满足．
‘
答案
三、解答题
16．解：（Ⅰ）设的公差为，
因为所以…………………………………………3分
解得 或（舍），．
故 ，．……………………………………6分
（Ⅱ）因为，
所以．……………………………………9分
故
…………………………………………………………………11分
因为≥，所以≤，于是≤，
所以≤．
即≤ ……………………………………………13分
17．解：（Ⅰ） …………2分
………………………………4分
………………………………6分
，
∴ 。……………………………………………………………………7分
（Ⅱ）令＝0,解得
易知的图象与轴正半轴的第一个交点为。 ……………………9分
所以的图象、轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积
。……………………………………………………………11分
……………………………………………………………13分
18．解：（Ⅰ）取的中点 ，连接 ，
由，得：
∴就是二面角的平面角，即 …………………2分
在中，解得，又
，解得。 …………………………………………4分
（Ⅱ）由，
∴，∴，
∴， 又，∴平面．……………8分
（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面，平面
∴平面平面，平面平面，
作交于，则平面，
就是与平面所成的角。……………………………………………11分
∴．……………………………………………13分
方法二：设点到平面的距离为，
∵， ，
∴ ，……………………………………………………………………………11分
于是与平面所成角的正弦为．………………………13分
方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，
则．
设平面的法向量为，则
，，，，
取，则， ………………………………………………………11分
于是与平面所成角的正弦．………13分
19．解：（I）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A
则．
∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为 ………………5分
（II）解法一：依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P=，……7分
所有ξ的取值为0，1，2，3，其分布列如下：
ξ
0
1
2
3
P(ξ)
………11分
所以ξ～， ………………………………………12分
所以Eξ=1. ………………………………………………13分
解法二：依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P=， ……7分
所有ξ的取值为0，1，2，3，其分布列如下：
ξ
0
1
2
3
P(ξ)
………11分
所以Eξ=. ……………………………………13分
20．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，且.
由题意可知：，. ………………………………………2分
解得.
∴ 椭圆的标准方程为. ……………………………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.设.
（ⅰ）当直线垂直于轴时，直线的方程为.
由 解得：或
即（不妨设点在轴上方）. …………………5分
则直线的斜率，直线的斜率.
∵ ，得 .
∴ . ………………………………………6分
（ⅱ）当直线与轴不垂直时，由题意可设直线的方程为.
由消去得：.
因为 点在椭圆的内部，显然.
………………………………………8分
因为 ，，，
所以
.
∴ . 即为直角三角形. ……………11分
假设存在直线使得为等腰三角形，则.
取的中点，连接，则.
记点为.
另一方面，点的横坐标，
∴点的纵坐标.
又
故与不垂直，矛盾.
所以 当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形.
………………………………………13分
21.解：（Ⅰ）因为①当时，，
所以方程有实数根0；
②，
所以，满足条件；
由①②，函数是集合中的元素. …………5分
（Ⅱ）假设方程存在两个实数根，，
则，.
不妨设，根据题意存在，
满足.
因为，，且，所以.
与已知矛盾.又有实数根，
所以方程有且只有一个实数根. …………10分
（Ⅲ）当时，结论显然成立； ……………………………………………11分
当，不妨设.
因为,且所以为增函数，那么.
又因为，所以函数为减函数，
一轮复习数学模拟试题08
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知i为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2．设集合，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
3．“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．执行右边的程序框图，输出S的值为（ ）
A. 14 B. 20 C. 30 D. 55
5.已知向量，向量，且，则实数x等于（ ）
A. 0 B. 4 C. -1 D. -4
6．若是等差数列的前n项和，则的值为（ ）
A．12 B．22 C．18 D．44
7. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
8．已知为两条不同直线，为两个不同平面，则下列命题中不正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
9．将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，再把所得图像向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则该几何体的底面积是（ ）
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
11．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且，垂足为A，若直线AF的斜率为，则|PF|等于（ ）
A. B.4 C. D.8
12．若对任意的，函数满足，且，则（ ）
A.0 B. 1 C.-2013 D.2013
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在答题卡的相应位置）
13．一组数据为15,17,14,10,15,17,17,14,16,12,设其平均数为m，中位数为n，众数为p，
则m，n，p的大小关系是_____________.
14．已知变量满足则的最小值是____________．
15．若双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率是____________．
16．设函数，观察：
……
依此类推，归纳推理可得当且时，．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答题应写出文字说明、证明过程、或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是等比数列，公比为，且满足，求数列的前n项和．
18.（本小题满分12分）
设关于的一元二次方程.
（1）若，都是从集合中任取的数字，求方程有实根的概率；
（2）若是从区间[0,4]中任取的数字，是从区间[1，4]中任取的数字，求方程有实根的概率．
19.（本小题满分12分）
设函数
（1）写出函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）当时，函数的最大值与最小值的和为，求不等式的解集．
20．（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面底面ABCD，且，若E，F分别为PC，BD的中点．
（1）求证：平面PAD；
（2）求证：平面PDC平面PAD；
（3）求四棱锥的体积．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆过点，且离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在过点的直线交椭圆于不同的两点M、N，且满足（其中点O为坐标原点），若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分14分）
已知函数在处取得极小值2．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的极值；
（3）设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
答案
又当时，，满足上式 ……4分
∴ ……5分
（2）由（1）可知，， ……7分
又
∴ ……8分
又数列是公比为正数等比数列
∴
又
∴ ……9分
∴ ……10分
∴数列的前n项和 ……12分
18、解：（1）设事件A=“方程有实根”，记为取到的一种组合，则所有的情况有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4） ……2分
一共16种且每种情况被取到的可能性相同 ……3分
∵关于的一元二次方程有实根
∴ ……4分
∴事件A包含的基本事件有：
（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共10种…5分
∴方程有实根的概率是 ……6分
（2）设事件B=“方程有实根”，记为取到的一种组合
∵是从区间[0,4]中任取的数字，是从区间[1，4]中任取的数字
∴点所在区域是长为4,宽为3的矩形区域，如图所示：
又满足：的点的区域是如图所示的阴影部分
∴
∴方程有实根的概率是
（第（2）题评分标准说明：画图正确得3分，求概率3分，本小题6分）
19、解：（1） ……1分
……3分
……4分
令 ，
∴，
∴函数的递减区间为： ……6分
（2）由得：
……8分
……9分
∴
， ……11分
又
∴不等式的解集为 ……12分
20、解：（1）连接EF，AC
∵四棱锥中，底面ABCD是边长为a的正方形且点F为对角线BD的中点
∴对角线AC经过F点 ……1分
又在中，点E为PC的中点
∴EF为的中位线
∴ ……2分
又 ……3分
∴平面PAD ……4分
（2）∵底面ABCD是边长为a的正方形
∴ ……5分
又侧面底面ABCD，，侧面底面ABCD=AD
∴ ……7分
又
∴平面PDC平面PAD ……8分
（3）过点P作AD的垂线PG，垂足为点G
∵侧面底面ABCD，，侧面底面ABCD=AD
∴，即PG为四棱锥的高 ……9分
又且AD=a
∴ ……10分
∴ ……12分
21、解：（1）∵椭圆过点，且离心率
∴ ……2分
解得：, ……4分
∴椭圆的方程为： ……5分
（2）假设存在过点的直线交椭圆于不同的两点M、N，且满足． ……6分
若直线的斜率不存在，且直线过点，则直线即为y轴所在直线
∴直线与椭圆的两不同交点M、N就是椭圆短轴的端点
∴
∴
∴直线的斜率必存在，不妨设为k ……7分
∴可设直线的方程为：，即
联立 消y得
∵直线与椭圆相交于不同的两点M、N
∴ 得： …… ① ……8分
设
∴
∴ ……9分
又
∴
化简得
∴或，经检验均满足①式 ……10分
∴直线的方程为：或 ……11分
∴存在直线：或满足题意． ……12分
22、解：（1）∵函数在处取得极小值2
∴ ……1分
又
∴
由②式得m=0或n=1，但m=0显然不合题意
∴，代入①式得m=4
∴ ……2分
经检验，当时，函数在处取得极小值2 ……3分
∴函数的解析式为 ……4分
（2）∵函数的定义域为且由（1）有
令，解得： ……5分
∴当x变化时，的变化情况如下表： ……7分
x
-1
1
—
0
+
0
—
减
极小值-2
增
极大值2
减
∴当时，函数有极小值-2；当时，函数有极大值2 ……8分
（3）依题意只需即可．
∵函数在时，；在时，且
∴ 由（2）知函数的大致图象如图所示：
∴当时，函数有最小值-2 ……9分
又对任意，总存在，使得
∴当时，的最小值不大于-2 ……10分
又
①当时，的最小值为
∴得； ……11分
②当时，的最小值为
∴得； ……12分
③当时，的最小值为
∴得或
又∵
∴此时a不存在 ……13分
综上所述，a的取值范围是． ……14分
